Le Principe Fondamental de la Statique

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1 La statique est une partie de la mécanique dont la finalité est l étude de l équilibre des systèmes matériels (solide ou ensemble de solides) au repos ou en mouvement uniforme par rapport à un repère supposé fie (un repère Galiléen). En fait, la statique (solides au repos) n est qu un particulier de la dynamique (solides en mouvement quelconque). En toute logique, et si nous possédions de bonnes connaissances mathématiques, il nous faudrait commencer par étudier la dynamique pour en déduire la théorie concernant le cas particulier qu est la statique. Enoncé du Principe Fondamental de la Statique.. Définition Un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R si, au cours du temps, chaque point de {E} conserve une position fie par rapport au repère R... Enoncé du Principe Fondamental de la Statique Si un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R, la somme des actions mécaniques etérieures à {E} qui agissent sur {E} est nulle. Nota : est souvent noté «P.F.S.» par les initiés.3. Frontière d isolement (S ) (S ) Le PFS fait apparaître la notion «d etérieur à un ensemble matériel». Par conséquent, avant d envisager l utilisation du PFS, nous devons installer une frontière d isolement. P D (S ) Toutes les actions mécaniques situées dans cette frontière seront donc internes au système isolé, et par conséquent, elles n interviendront pas dans l écriture du PFS. Seules les actions mécaniques etérieures qui traversent cette frontière sont à prendre en compte lors de l écriture du PFS. (S ) P Eemples : Isolons le solide S. Les actions mécaniques etérieures à S qui agissent sur S s énumèrent de la façon suivante : Poids de S, ction, en de S sur S, ction, en D de S sur S, ction, en, de S sur S. et sont concernées par le PFS. D G P (S ) (S ) Si nous isolons les solides S +S. Les actions mécaniques etérieures à S +S qui agissent sur S +S s énumèrent de la façon suivante : Poids de S, Poids de S, ction, en de S sur S, ction, en de S sur S, ction, en D de S sur S. G P Isolement de S + S D G P Version du 9/9/3 Page /

2 Nous étudions des mécanismes spatiau (3D) ou admettant un plan de symétrie (D). En fonction du problème à traiter, certaines méthodes sont mieu adaptées à la résolution d un problème de statique.. appliqué au problèmes 3D Pour résoudre un problème de statique défini dans l espace et ne possédant pas de plan de symétrie, deu solutions s offrent à nous : - Résolution Informatique (Logiciel Mecanalyst, ) - Résolution nalytique (utilisation des Torseurs)... Résolution analytique d un problème de statique 3D D après le PFS, si un système matériel {S} est en équilibre par rapport à un repère R, la somme des actions mécaniques etérieures à {S} qui agissent sur {S} est nulle. Mathématiquement, nous pouvons traduire ce PFS par la relation suivante : { τ (S S) }= {} Notation : S désigne le «complémentaire» à S (l environnement de S, sans S lui même, donc l etérieur à S). ette relation fait intervenir un torseur. Elle cache donc deu relations entre des vecteurs. La somme vectorielle (résultante R(s s)) de toutes les forces etérieures à S, agissant sur S est nulle : Théorème de la Résultante : R(s s) = R(s i s) = La somme vectorielle des moments en (moment résultant en M ) de toutes les actions mécaniques (s s) etérieures à S, agissant sur S, est nulle en un point quelconque. Théorème du moment résultant en : M = M (s s) = (si s) n i= n i=.. pplication: Etude d un portique Nous souhaitons étudier l équilibre du portique représenté ci-contre. Nous émettrons les hypothèses suivantes : = h. = L.y les liaisons sont supposées parfaites. = d.y Nous négligerons le poids du tirant par rapport au autres efforts mis en jeu. y Nous souhaitons eprimer les actions mécaniques dans les liaisons centrées en, et en fonction des paramètres d, h, L, F et F. F F Version du 9/9/3 Page / F

3 Si nous nous limitons à l étude de la géométrie du portique, nous constatons que le plan (, y, ) est un plan de symétrie pour le mécanisme. Mais lorsque nous eaminons l effort F qui s applique au point nous constatons que cet effort n est pas intégralement porté par le plan (, y, ). e problème ne peut donc pas être traité dans le plan. est un véritable problème 3D que nous traiterons avec l outil «Torseur». ) Graphe des interactions Rotule de centre ) Isolement du tirant Pivot d ae (, ) Rotule de centre Force F Si nous isolons le tirant, nous pouvons écrire que: { τ ( ) }= { τ ( ) }+{ τ ( ) } 3 ) «llure» des torseurs intervenants dans l isolement du tirant F F F = h. = L.y = d.y L action mécanique eercée par le mur sur le tirant est transmise par une liaison. Nous écrirons : L : Liaison Rotule parfaite de centre. R Mobilités : Tr Rot Ry R d où le torseur associé Il en est de même pour la liaison rotule parfaite de centre entre et : 4 ) Écriture au même centre de réduction { τ ( ) } { τ ( ) } X Y Z X Y Z y Pour pouvoir additionner les torseurs, nous allons les écrire au même point. { τ ( ) } est déjà eprimé au point. Nous devons donc «déplacer» uniquement { τ ( ) }. M ( ) = M ( )+ R( ) or M ( ) = et nous avons L. Par conséquent, h X L.Z h.y M ( ) = + L Y = h.x h Z L.X Soit { } τ ( ) = X Y Z L.Z h.y h.x L.X Version du 9/9/3 Page 3/

4 5 ) pplication du PFS au tirant Si est en équilibre, alors, d après le PFS { τ ( ) }= { τ ( ) }+{ τ ( ) }={} Équation de Résultante Équation de Moment Résultant par rapport au point R( ) + R( ) = M ( ) + M ( ) = Proj. Sur () X + X = Proj. Sur (4) L.Z h.y = Proj. Sur y () Y +Y = Proj. Sur y (5) h.x = Proj. Sur (3) Z + Z = Proj. Sur (6) L.X = Les équations (5) et (6) sont linéairement dépendantes. Nous obtenons donc 5 équations significatives, pour 6 inconnues de liaison. Nous ne pourrons pas résoudre complètement le problème. Par contre nous pouvons eprimer toutes les inconnues restantes en fonction d une seule inconnue (5) -> X = () -> X = X = (4) -> Y = L h.z () -> Y = Y = L h.z { τ ( ) }= L h.z Z { τ ( ) }= L h.z Z (3) -> Z = Z Pour poursuivre la résolution de notre problème, nous devons isoler un autre système matériel. 6 ) Isolement du portique Si nous isolons le portique, nous pouvons écrire que: { τ ( ) }= { τ (p ) }+ { τ ( ) }+{ τ ( ) } 7 ) «llure» des torseurs intervenants dans l isolement du portique L action mécanique eercée en par l opérateur sur est une force. Elle se modélise donc par un F glisseur en son point d application : { τ (p ) } F L action mécanique eercée par le mur sur le portique est transmise par une liaison. Nous écrirons : L : Liaison Pivot parfaite d ae (, ). Mobilités : Tr Rot R d où le torseur associé { τ ( ) } X Y M Z N L action mécanique eercée par le tirant sur le portique a un air de déjà-vu. En effet, nous l avons déjà abordée lorsque nous avons isolé le tirant. Un principe est à notre disposition Version du 9/9/3 Page 4/

5 D après le Principe des ctions Mutuelles, si un solide S eerce une action mécanique sur S, alors, le solide S eerce une action mécanique S similaire mais opposée. Le Principe des ctions Mutuelles peut donc s écrire : { τ (S S) }= { τ (S S) } Par conséquent, d après le principe des actions mutuelles, { } 8 ) Écriture au même centre de réduction τ ( ) = { τ ( ) }= L h.z Z Nous devons eprimer les torseurs au même point. Le torseur { τ ( ) } a une allure compliquée (5 inconnues). Nous allons donc le «laisser» au point, et eprimer les deu autres torseurs en ce même point. M (p ) = M (p ) + R(p ) or M (p ) = et nous avons d. Par conséquent, F d.f M (p ) = + d = F d.f Soit { τ (p ) } F d.f F d.f M ( ) = M ( ) + R( ) or M ( ) = et nous avons L. Par conséquent, M ( ) = + L L L.Z h.z = Z 9 ) pplication du PFS au portique Soit { τ ( ) }= L.Z L h.z Z Si est en équilibre, alors, d après le PFS { τ ( ) }= { τ (p ) }+ { τ ( ) }+{ τ ( ) }={}. Équation de Résultante Équation de Moment Résultant par rapport au point R(p ) + R( ) + R( ) = M (p ) + M ( ) + M ( ) = Proj. Sur () F + X + = Proj. Sur (4) d.f + + L.Z = Proj. Sur y () +Y L h.z = Proj. Sur y (5) + M + = Proj. Sur (3) F + Z + Z = Proj. Sur (6) d.f + N + = Nous obtenons un système de 6 équations pour 6 inconnues. La résolution est envisageable. Version du 9/9/3 Page 5/

6 (5) -> M = (6) -> N = d.f () -> X = F d (4) -> Z = L.F ()-> Y = L h.z = L h. d L.F = d h.f (3) -> Z = F Z = F d L.F = L d L.F Si nous récapitulons les résultats de nos deu études précédentes, nous obtenons : Dans la pivot entre et { τ ( ) } F d h.f L d L.F d.f Dans la rotule entre et Dans la rotule entre et F F F = h. = L.y = d.y y { τ ( ) }= d h.f d L.F { τ ( ) } = d.f h d L.F (, y,) ) pplication Numérique vec L = h = 5 m d = 4 m F = 5 N F = 5 N, nous obtenons : { τ ( ) } 5 N 4 N N N.m (, y,) et { τ ( ) } = 4 N 4 N.3. Le retour du Portique Un cousin peu éloigné du portique que nous venons d étudier est représenté ci-contre. Nous émettrons les hypothèses suivantes : les liaisons sont supposées parfaites. Nous négligerons le poids du tirant par rapport au autres efforts mis en jeu. Nous souhaitons eprimer les actions mécaniques dans les liaisons centrées en, et en fonction des paramètres d, h, L et P. Version du 9/9/3 Page 6/ G P = d. = h. = L.y G = L.y P = P. y

7 3. appliqué au problèmes D Pour résoudre un problème de statique défini dans le plan ou admettant un plan de symétrie, plusieurs solutions s offrent à nous : - Résolution Informatique (Logiciel Mecanalyst, ), - Résolution nalytique (utilisation des Torseurs), - Résolution nalytique (utilisation des Moments par rapports à un ae), - Résolution Graphique. 3.. Résolution analytique d un problème de statique D Une résolution analytique grâce à l outil «Torseur» est bien entendu envisageable. Même si cette méthode demande de nombreuses écritures, et est parfois fastidieuse à appliquer, elle a le mérite d être systématique. Il suffit de suivre la méthode indiquée au paragraphe.. Les torseurs sont «allégés» car, seules les composantes de résultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent. Une Solution plus efficace, consiste à utiliser la notion de moment par rapport à un ae perpendiculaire au plan d étude. Eemple : Equilibre d un véhicule sur un sol horiontal. ) Graphe des interactions (Sol ) Y (Sol ) Force en (sol ) h G Y Sol ol (sol ) Poids P y a P P b ) Isolement Isolons le véhicule repéré. Pour ce faire, traçons une frontière d isolement sur le graphe des interactions. Les actions mécaniques etérieures à qui agissent sur sont : Le Poids de, L action en du Sol sur, L action en du Sol sur. 3 ) Enoncé du PFS Si le véhicule repéré est en équilibre par rapport au repère R, la somme des actions mécaniques etérieures à qui agissent sur est nulle. Par conséquent, à l équilibre, nous pouvons écrire : Équation de la résultante : R( ) = P + (Sol ) + (Sol ) = et Équat ion du moment résultant par rapport à l ae (, ) : M ( ) = M (P)+ M ((Sol ) )+ M ((Sol )) = Nous devrons faire un choi judicieu pour l écriture de l équation du moment résultant. Version du 9/9/3 Page 7/

8 4 ) Résolution Équation de Résultante Équation de Moment Résultant par rapport à l ae (, ) P + (Sol ) + (Sol ) = M (P)+ M ((Sol ) )+ M ((Sol ) ) = Proj. Sur () + + = (3) a.p + (a + b).y = Proj. Sur y () P +Y +Y = L équation () ne nous est pas d une grande utilité Il nous reste donc un système de deu équations à inconnues (Y, Y ). La résolution de ce système d équations est donc envisageable. () P +Y +Y = (3) a.p + (a + b).y = () Y = P Y (3) Y = a.p (a + b) où encore, soit finalement : Y = b.p (a + b) Y = a.p (a + b) Par conséquent les actions mécaniques en et s écrivent : (Sol ) b.p (a + b) et (Sol ) a.p (a + b) 3.. Résolution graphique d un problème de statique D Lorsque nous souhaitons un résultat rapide avec une précision limitée, il peut être intéressant d utiliser une méthode graphique pour résoudre un problème de statique. Nous n aborderons que les problèmes plans faisant intervenir ou 3 forces par ensemble isolé. Nous devons, au préalable, énoncer deu théorèmes qui découlent du PFS Solide soumis à l action de deu forces D après le théorème des deu forces, un solide est en équilibre sous l action de deu forces si ces deu forces sont égales en intensité et directement opposées (même direction et sens contraire). Par conséquent, les deu forces ont : Solide S en quilibre F la même ligne d action (droite ), la même intensité, un sens opposé. - F Version du 9/9/3 Page 8/

9 3... Solide soumis à l action de trois forces D après le théorème des trois forces, un solide soumis à l action de trois forces coplanaires (non parallèles) est en équilibre si les trois forces sont concourantes au même point et si la somme vectorielle de ces trois forces est nulle. F F I F F 3 IÊ:Point de concourance F F 3 Triangle des forces nommdynamique F + F + F 3 = pplication : Potence à tirant Une potence est supportée par un mur et par un tirant 3. Sur cette potence, en, se situe un palan dont le poids est connu. Les points, et D sont des articulations, modélisées par des pivots parfaits. L ensemble est supposé en équilibre. n néglige les poids de la potence et du tirant 3 par rapport au autres efforts mis en jeu. D 3 y P avec P = dan De toute évidence, ce problème admet comme plan de symétrie (pour la géométrie et pour les efforts) le plan,, y. Nous pouvons donc envisager d utiliser une méthode graphique (entre autres) pour ( ) déterminer les efforts dans les différentes liaisons. Rapidement, nous constatons que le tirant 3 est soumis à l action de deu forces D( 3) et ( 3), tandis que la potence est sollicitée sous l action de trois forces P, ( ) et (3 ). Version du 9/9/3 Page 9/

10 Nous commencerons notre étude en isolant le tirant 3. Isolement du tirant 3 : Force Direction Sens Intensité ( 3) () D () () 35 dan D( 3) () D () () 35 dan En appliquant le théorème des deu forces, nous sommes capables de déterminer la direction des supports des forces D( 3) et ( 3). En effet, si le tirant 3 est en équilibre, et comme il est soumis à l action de deu forces, ces deu forces ont obligatoirement la même droite d action D (). ette découverte faîte, nous traçons et repérons ce support D sur le document de la page suivante. Pour le moment, nous ne pouvons rien dire de plus. Il nous faut donc isoler la potence. Isolement de la potence : Force Direction Sens Intensité P () Verticale () descendante () dan ( ) (5) I () () 35 dan (3 ) (3) D () () 35 dan Le poids de la potence est intégralement connu (). La force (3 ) ne nous est pas totalement inconnue. En effet, d après le Principe des actions mutuelles (3 ) = ( 3). Nous en déduisons que le support de (3 ) est aussi la droite D (3). Nous la traçons, en, sur le document en page suivante concernant l isolement de. En utilisant la première partie du théorème des trois forces, nous pouvons déterminer le point de concourance I des supports des trois forces. Pour ce faire, il suffit de prolonger les supports de P et de (3 ). Nous localisons ainsi le point I (4). Remarque : Si ces supports étaient parallèles, il n y aurait pas de point de concourance, et nous ne pourrions pas appliquer cette méthode de résolution graphique. Nous en déduisons, toujours en appliquant la première partie du théorème des trois forces, que le support de ( ) est la droite I. Nous la traçons et la repérons sur le document adéquat (5). Il nous reste à eploiter la deuième partie de théorème des 3 forces. Si est en équilibre sous l action de trois forces, alors, la somme vectorielle P + ( ) + (3 ) est nulle. Pour traduire graphiquement cette relation, nous allons construire le triangle des forces (aussi appelé Dynamique). Nous commençons par tracer, à proimité de la pièce isolée, le vecteur force P qui est intégralement connu. Nous devons donc, définir une échelle des forces (6), puis tracer le vecteur P (7). Nous traçons une parallèle au support de ( ) passant par l origine du vecteur P (8). Nous traçons une parallèle au support de (3 ) passant par l etrémité du vecteur P (9). Il nous reste plus qu à tracer, sur le triangle que nous venons de construire, deu vecteurs pour obtenir la somme vectorielle P + ( ) + (3 ) nulle (). Nous devons compléter les tableau précédents en eploitant les informations «lues» sur le dynamique ( et ). (3). En général, nous reportons les forces que nous venons de déterminer sur chacune des pièces isolées Version du 9/9/3 Page /

11 D Isolement du tirant 3 3 () Support de ( 3) D( 3) Dynamique (6) Echelle pour les forces : cm 5 dan Isolement de la potence (9) // au support de (3 ) (3) Support de (3 ) () ( ) (7) P (3 ) (8) // au support de ( ) (5) Support de ( ) (4) Point I () P avec P = dan Version du 9/9/3 Page /