FONCTIONS AFFINES. I. Fonctions affines et fonctions linéaires. 2 gx ( ) =- x est une fonction linéaire sur

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1 1 sur 11 FONCTIONS AFFINES I. Fonctions affines et fonctions linéaires 1. Définitions Une fonction affine f est définie sur R par f() x = ax+ b, où a et b sont deux nombres réels. Lorsque b = 0, la fonction f définie par f( x) = ax est une fonction linéaire. Exemples : La fonction f définie sur R par f( x) =- x+ 6 est une fonction affine. La fonction g définie sur R par 2. Variations 2 gx ( ) =- x est une fonction linéaire. 7 Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par f() x = ax+ b. Si a > 0, alors f est croissante sur R. Si a < 0, alors f est décroissante sur R. Si a = 0, alors f est constante sur R. Démonstration : Soient m et p deux nombres réels tels que m < p. f( p) - f( m) = ( ap+ b) -( am+ b) = a( p- m) On sait que m < p donc p m > 0. Le signe de f( p) - f( m) est le même que celui de a. - Si a > 0, alors f( p) - f( m) > 0 soit f( m) < f( p). Donc f est croissante sur R. - Si a = 0, alors f( p) - f( m) = 0 soit f( m) = f( p). Donc f est constante sur R. - Si a < 0, alors f( p) - f( m) < 0 soit f( m) > f( p). Donc f est décroissante sur R. 3. Représentation graphique Vidéo Vidéo Vidéo

2 2 sur 11 La représentation graphique d une fonction affine est une droite qui n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Dans le cas d une fonction linéaire, il s agit d une droite passant par l origine du repère. Dans le cas d une fonction constante, il s agit d une droite parallèle à l axe des abscisses. Exemple 2 est le coefficient directeur (si on «avance en abscisse» de 1, on «monte en ordonnée» de 2) -2 est l ordonnée à l origine (il se lit sur l axe des ordonnées) Pour (d) : Le coefficient directeur est 2 L ordonnée à l origine est -2 La fonction f représentée par la droite (d) est définie par f(x) = 2x - 2 Pour (d ) : Le coefficient directeur est -0,5 L ordonnée à l origine est -1 La fonction g représentée par la droite (d ) est définie par g(x) = -0,5x - 1 Pour la fonction f définie sur R par f() x = ax + b : a est coefficient directeur et b est l ordonnée à l origine de la droite représentative. Propriété : Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points distincts de la droite (d) représentant la fonction f définie sur R par f() x = ax+ b alors : yb - ya a =. x - x B A Démonstration : y B y A = f(x B ) f(x A ) = (ax B + b) (ax A + b) = a(x B x A ) Comme la droite (d) n est pas verticale, x A x B, et on a : a = y B y A x B x A.

3 3 sur 11 Méthode : Déterminer l expression d une fonction affine Vidéo Déterminer par calcul une expression de la fonction f telle que f (-2) = 4 et f (3) = 1. Méthode : Appliquer un pourcentage Vidéo Le litre d'essence coûte 1,40. En janvier, il augmente de 8%. En février, il diminue de 8%. 1) Calculer les prix successifs du litre d'essence. 2) En mars, le prix du litre d'essence est égal à 1,37. Calculer la variation entre février et mars en pourcentage.

4 4 sur 11 II. Expressions algébriques et équations 1. Développer, factoriser Définitions : Développer c est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes. Factoriser c est transformer une somme en un produit de facteurs. Exemple : DEVELOPPER x(4 y) = 4x xy FACTORISER On dit que la multiplication est distributive par rapport à l addition (ou la soustraction). Dans l exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. Propriété : la double distributivité Propriété : les identités remarquables Pour tous nombres réels a et b, on a : DEVELOPPER (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 FACTORISER

5 5 sur 11 Exemples : ( 3x 5) 2 = 3x ( ) 2 2 3x = 9x 2 30x + 25 ( 2x 1) ( 2x +1) = ( 2x) = 4x x x + 4 = ( 5x) x = ( 5x + 2) 2 Méthode : Développer une expression Vidéo Développer et réduire l expression suivante : A = x + 2 ( )( 4x 3) x( 7 x) Méthode : Factoriser une expression Vidéo Factoriser les expressions suivantes : ( ) ( 5 + 2x) ( 2 + 3x) ( ) 2 ( 2 5x) ( 1+ x) ( ) ( 4 + 3x) ( 2x 1) B = x C = 2 5x D = 5 1 2x E = 3x 2 x

6 6 sur 11 Méthode : Factoriser en utilisant une identité remarquable Vidéo Factoriser l expression suivante : A = (3x + 1) Résolution d équations a. Equations du premier degré à une inconnue Exemple : résolution de l équation 2x 1 = 4x x -1 = 4x +1 2x 1-4x= 4x + 1 4x -2x -1 = 1-2x = x = 2 +,- +, =, +, soit x= -1 Graphiquement, résoudre cette équation revient à lire, dans un repère, l abscisse du point d intersection des droites représentant les fonctions affines x 2x 1 et x 4x 1 b. Equation-produit Définition : Toute équation du type P(x) x Q(x) = 0, où P(x) et Q(x) sont des expressions algébriques, est appelée équation-produit. Remarque : Nous rencontrerons plus particulièrement des équations-produits de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0. Propriétés : - Dire qu un produit de facteurs est nul, équivaut à dire que l un au moins des facteurs est nul. - Le cas particulier de l équation-produit (ax + b)(cx + d) = 0 équivaut à ax + b = 0 ou cx + d = 0.

7 7 sur 11 Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit Vidéo Vidéo Résoudre dans R les équations : 1) (3x + 1)(1 6x) (3x + 7)(3x + 1) = 0 2) 5x 2 4x = 0 III. Résolution d inéquations 1) Inéquations du premier degré à une inconnue a. Exemple d introduction a) Compléter le tableau de valeurs suivant de l expression 2x 10 : x x 10 b) Compléter alors la 2 e ligne du tableau de signes de l expression 2x 10 : x? + 2x 10 0 c) Pour quelle valeur x de l expression 2x 10 s annule-t-elle? Compléter alors la 1 ère ligne du tableau de signes. d) Vérifier à l aide d une calculatrice graphique. a) x x

8 8 sur 11 b) x? + 2x c) 2x 10 = 0 soit 2x = 10 soit encore x = 5. x 5 + 2x d) On trace la représentation graphique de f (x) = 2x 10. b. Généralisation : Signe de ax+b ( avec a 0) On considère a et b deux nombres fixés (a 0) et x est un nombre réel. Soit la fonction affine f définie sur R par f (x) = ax + b. Déterminons l abscisse x du point d intersection de la droite représentative de f dans un repère avec l axe des abscisses : Cela revient à résoudre l équation f(x) = 0. soit : ax + b = 0, soit : ax = - b, b soit encore x = -. a Si a > 0 : La fonction f est croissante sur R. On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b : f(x) = ax+b x - b + a ax+b J O I

9 9 sur 11 Si a < 0 : La fonction f est décroissante sur R. On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b : x - b + a ax+b J O f(x) = ax+b I Méthode : Déterminer le signe d une expression du type ax + b Vidéo 1) Déterminer le tableau de signes de l expression 2x + 6, où x est un nombre réel. 2) Déterminer le tableau de signes de l expression -3x + 12, où x est un nombre réel. Règles (rappel) : Pour résoudre algébriquement une in équation du 1 er degré, on utilise les règles cidessous. On additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l inéquation. On multiplie ou on divise les deux membres de l inéquation : Par un nombre strictement positif en conservant le sens de l inégalité. Par un nombre strictement négatif en changeant le sens de l inégalité.

10 10 sur 11 Exemple : résolution de l inéquation - 4x - 3 > 2x + 3-4x - 3 > 2x + 3-4x > 2x x > 2x + 6-4x - 2x > 2x + 6 2x -6x > < 1 soit x < L ensemble des solutions de cette inéquation est donc l intervalle ; 1. On a coloré cet ensemble en rouge sur la droite graduée ci-dessous : 2) Signe d un produit Méthode : Résoudre une inéquation en étudiant le signe d un produit Vidéo Résoudre dans R l inéquation suivante : ( 3 6x) ( x + 2) > 0. 3) Signe d un quotient Méthode : Résoudre une inéquation en étudiant le signe d un quotient Vidéo Résoudre dans R l inéquation suivante : 2 6x 3x 2 0.

11 11 sur 11 4) Equation-quotient Définition : Toute équation du type P(x) Q(x) = 0, où P(x) et Q(x) sont des expressions algébriques (avec Q(x) 0), est appelée équation-quotient. Propriété : Pour tout x qui n annule pas l expression Q(x), l équation-quotient P(x) = 0 équivaut à P(x) = 0. Q(x) Exemple : L équation x + 2 x + 3 = 0 a pour solution x = -2. Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-quotient Vidéo Vidéo Résoudre dans R les équations : 3x + 5 a) x 1 = 0 ( 2x +1) ( x 3) b) c) x2 9 = 0 x 4 x + 3 = 0 d) 1 x + 3 x 3 = 2 2 x