Gonflement d une enveloppe sphérique

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1 MEC Mécanique des milieux continus - DM Andrei CONSTANTINESCU - andrei.constantinescu@lms.polytechnique.fr Habibou MAITOURNAM - habibou@lms.polytechnique.fr Gonflement d une enveloppe sphérique L objet de cet exercice est d expliquer un phénomène bien connu des enfants qui gonflent des ballons de caoutchouc : cette opération nécessite un effort initial substantiel puis, lorsque le ballon atteint une certaine taille, se poursuit plus aisément. Ce phénomène ne peut évidemment pas être compris dans le cadre de la théorie H.P.P. (où l accroissement de volume dépend linéairement de la pression appliquée), et sa compréhension nécessite une étude en grandes déformations en prenant en compte les variations de géométrie. Le ballon est assimilé à une sphère creuse dont les rayons intérieur et extérieur sont notés A et B dans la configuration initiale, et a et b dans la configuration déformée. Le matériau constituant le ballon est homogène, isotrope et incompressible et on s intéresse à l opération du gonflement (a >A). Le problème est quasi-statique, isotherme. Les données sont : forces de masse nulles, pression extérieure p e constante, pression intérieure p i (t) croissant à partir de p e. A. Cinématique du gonflement Compte tenu de la symétrie du problème, on s intéresse à une transformation purement radiale définie, en coordonnées sphériques par : r = (R)R, =,'=. 1. Calculer le gradient F de cette transformation et l écrire sous la forme : F = r e r e r + e e + ' e ' e ' 2. Déduire de l incompressibilité du matériau une équation différentielle portant sur (R). 3. Donner l expression de (R) en fonction de (A). B. Comportement du matériau On va considère deux cas de matériau élastique incompressible: néohookien: Mooney-Rivlin: où µ et respectivement µ + et µ = µb + I = µ + B + I + µ B 1 sont des paramètres matériaux supposées connus. On rappelle que: B = F F T C = F T F et que est le multiplicateur de Lagrange correspondant à la condition d incompressibilité. Une justification de cette expression pour le comporetement de Mooney-Rivlin sera donnée en fin d exercice. Compte tenu du fait que le néohookien est un cas particulier de Mooney-Rivlin (µ directement les calculs pour le cas Mooney-Rivlin. =0) on peut effectuer 1

2 C. Analyse du gonflement du ballon 1. Donner l expression de la contrainte pour le comportement de Mooney-Rivlin sous la forme: = rr e r e r + e e + '' e ' e ' 2. Expliciter les équations d équilibre et les conditions aux limites. 3. Pour calculer la pression intérieure p i en fonction de l dilatation: on pourrait résoudre le système pour identifier la fonction inconue, ce qui n est pas demandé, soit obtenir directement à partir de l équilibre la relation suivante: Z b 1 p i = p e 2 a r ( rr ) dr ce qui est demandé! 4. Le calcul de l intégrale s obtient facilement suite aux changements de variable suivants: r = R dr = 1 2 dr y = (R) dy = dr R Justifier les formules précédentes et calculer l expression de la pression interne p i en fonction de (B). (A) et 5. On se place dans le cas particulier d une membrane fine B =(1+ )A, 1. Montrer que la pression interne p i est: 1 1 µ 2 p i = p e +2 µ µ + 6. Dans le cas particulier d une membrane fine tracer (avec un logiciel) la différence de pression [p] = p i p e en fonction de (A) pour les valeurs suivantes: = et les comportements: néohookien: µ + =3bar µ =0 Mooney-Rivlin: µ + =3bar µ =0.3 bar 7. Identifier le comportement le plus proche de la réalité dans la figure 1 et justifier le choix! Figure 1: Courbe de Gonflement du ballon: différence de pression par rapport à l dilatation = r R 2

3 D. Raisonnemment du "chaudronnier" On va refaire l analyse du Gonflement du ballon en utilisant en se placant dans le cadre d une membrane mince: B =(1+ )A, 1. Figure 2: Equilibre des efforts sur une démi-sphère Dans un premier temps on considère le chargement biaxial d un petit parallelepipède découpe comme montré en figure 2. On considère que les dilatations dans les directions des axes du parallelepipède sont 1 et Donner l expression du gradient de cette transformation sous l hypothèse d un matériau incompressible. 2. Compte tenu que la membrane est fine on suppose que les contraintes dans la direction de l épaisseur sont negligéables. Donner l expression complète des composantes du tenseur des contraintes de Cauchy: = 11 e 1 e e 2 e 2 On précise qu il s agit d un comportement de type Mooney-Rivlin. 3. Dans le cas du ballon, compte tenu de la symétrie sphérique, on a: 1 = 2 = = r R Ecrire l équilibre de la demisphère et en déduire l expression de la pression interne p i en fonction de l dilatation. L incompressibilité s écrit dans ce cas: er 2 = ER 2 avec e, E les épaisseurs du ballons en configuration actuelle et respectivement initiale. 3

4 Justification de la forme de la loi de Mooney-Rivlin On considère une énergie libre pour un matériau incompressible de la forme suivante: 0 (I 1,I 2 ) dépendant seulement des deux premiers invariants de C =2e + I: I 1 =trc I 2 = 1 2 (tr C)2 tr (C C) Le tenseur de Piola (Kirchhoff) s écrit dans ce = + Le tenseur de Cauchy s écrit sous = 2 0 I +2 0 (I 1 I C)+ C 1 (2) I 2 = µ + I µ (I 1 I C)+ C 1 (3) = µ + F F T µ (I 1 F F T F F T F F T )+ I (4) = µ + B µ (I 1 B B B)+ I (5) Les valeurs propres de B = F F T et de C = F T F sont égales, donc leurs invariants sont aussi égaux. En utilisant le théorème de Hamilton-Cayley on obtient: (1) B 3 + B 2 I 1 BI 2 + I 3 I = O ce qui après multiplication par B 1 se transforme en: B 2 + BI 1 II 2 + I 3 B 1 = O La dernière égalité permet d exprimer alors le tenseur des contraintes de Cauchy sous la forme: = µ + B + µ ( I 1 I + B 1 )+ I (6) = µ + B + µ B 1 + I (7) en tenant compte du fait que est une fonction inconnue. 4

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