Algèbre bilinéaire : Compléments

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1 Algèbre bilinéaire : Compléments Table des matières 1 Endomorphismes symétriques d un espace euclidien, matrices symétriques Définitions Caractérisation d un endomorphisme symétrique Propriétés des endomorphismes symétriques Projection orthogonale Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F Caractérisation du projeté orthogonal Caractérisation d une projection orthogonale Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F Matrice de p F dans une base orthonormée de E Caractérisation par minimisation de la norme Application au problème des moindres carrés Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques Réduction des matrices symétriques de n () Étude du signe d une forme quadratique. 7 1

2 1 Endomorphismes symétriques d un espace euclidien, matrices symétriques. Dans cette section, E désigne un espace vectoriel de dimension finie 1.1 Définitions. Définition d un endomorphisme symétrique Un endomorphisme f d un espace vectoriel euclidien E est symétrique si et seulement si pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a : f (x), y = x, f (y). Exercice 1 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 3. Soit (a, b) une famille libre de E. Soit f l application : x < a, x > b+ < b, x > a 1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E. 2. Déterminer le noyau et le rang de f. 3. Déterminer une base de Im(f ). Exercice 2 Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E. 1. Montrer que Kerf = (Im f ). 2. Montrer que Kerf 2 = Kerf. 3. Montrer que Im f 2 = Im f. Exercice 3 E = n [X ] est muni du produit scalaire défini par : (P,Q) E 2, P,Q = 1 0 P(t)Q(t)dt On considère Φ défini par : P E, Φ(P) = P(1 X ). 1. Montrer que Φ est un endomorphisme symétrique. 2. Déterminer Φ Φ. Quelle propriété du spectre de Φ peut-on en déduire? 3. Écrire la matrice de Φ dans la base 1, (X 1 ),..., X 1 n. 2 2 Définition Une matrice M n () est dite symétrique lorsque t M = M. On note n () l ensemble des matrices carrées d ordre n, à coefficients réels, symétriques. Exercice 4 Montrer que n () est un -espace vectoriel de dimension n(n + 1) Caractérisation d un endomorphisme symétrique. Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme de E et une base orthonormée de E. Alors, f est symétrique si et seulement si sa matrice dans est symétrique. 2

3 1.3 Propriétés des endomorphismes symétriques. Si f est un endomorphisme symétrique d un espace euclidien E et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors F est stable par f. Les sous-espaces propres d un endomorphisme symétrique f d un espace euclidien sont deux à deux orthogonaux. Corollaire Si (u k ) 1kp sont p vecteurs propres d un endomorphisme symétrique f d un espace euclidien, associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille (u k ) 1kp est une famille orthogonale. 2 Projection orthogonale. 2.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F. Définition Soit E un espace euclidien. Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle projection orthogonale sur F la projection sur F parallèlement à F, que l on note p F. Remarque p F + p F = id E. 2.2 Caractérisation du projeté orthogonal. Soit p F la projection orthogonale sur F. Soit x E. Alors : y = p F (x) y F et x y F 3

4 2.3 Caractérisation d une projection orthogonale. Soit p un projecteur de E. Alors p est un projecteur orthogonal si et seulement si Ker(p) Im(p). Si p est un projecteur (ou une projection) de E alors p est un projecteur orthogonal (ou une projection orthogonale) si et seulement si p est un endomorphisme symétrique. Corollaire Soit E un espace euclidien et une base orthonormée de E. Soit f (E). On note M = Mat (f ) alors t M = M f est un pro jecteur or thogonal et M 2 = M 2.4 Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F. Soit p F la projection orthogonale sur F. Si (u 1,..., u k ) est une base orthonormée de F, alors : k x E, p F (x) = x, u i u i. 2.5 Matrice de p F dans une base orthonormée de E. Soit est une base orthonormée de E. Si (u 1,..., u k ) est une base orthonormée de F et si U 1,..., U k sont les vecteurs colonnes associés aux vecteurs u 1,..., u k dans la base, alors : k Mat (p F ) = U t i U i. Exercice 5 Dans 3 muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P d équation x + y z = 0. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique de 3 et la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique de 3. Exercice 6 Soit E un espace euclidien. Soit F un hyperplan de E. Soit a un vecteur unitaire dirigeant F. Exprimer p F ( x ) à l aide de x et a. Exercice 7 Soit u un vecteur unitaire de 3 de coordonnées (a, b, c) dans la base canonique = ( i, j, k) de 3. On a donc a 2 + b 2 + c 2 = 1. On note p le projecteur orthogonal sur la droite de vecteur directeur u et q le projecteur orthogonal sur. id désigne l application identité de 3 et.,. le produit scalaire canonique de Que vaut p + q? 2. Exprimer, pour v 3, p( v) à l aide de v, u et de u. Calculer alors p( i), p( j) et p( k). En déduire les matrices P et Q de p et q dans la base. 2.6 Caractérisation par minimisation de la norme. Soit E un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. Soit p F la projection orthogonale sur F. x et v sont deux éléments de E. v = p F (x) v F et x v = min x u u F 4

5 En d autre termes : la quantité x y lorsque y décrit F est minimale si et seulement si y = p F (x). Ainsi x p F (x) = min y x y F On dit que p F (x ) est la meilleure approximation de x parmi les vecteurs de F. Définition Soit F un sous-espace vectoriel de E et x E. On appelle distance de x à F et on note d(x, F) la quantité min y x y F d(x, F) = x p F (x) = min y x y F = inf y x y F Remarque On note m = min y F x y 2. m = x p F (x) 2 = p F (x) 2 = x p F (x), x p F (x) = x p F (x), x = x 2 x, p F (x) 1 Exercice 8 Déterminer inf (a,b) 2 0 (x 2 ax b) 2 dx. Exercice 9 Soit E l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée). On pose F = {P E / P(1) = 0}. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. 2. Déterminer une base de F et une base de F. 3. Déterminer d(x, F) (distance du polynôme X au sous-espace F, c est-à-dire inf X P ). P F Exercice 10 Soit E le -espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels. Pour P et Q dans E, on pose : + P,Q = 1. Vérifier que l on définit ainsi un produit scalaire sur E. 0 e t P(t)Q(t) d t 2. Soit f définie sur 3 par : f (x, y, z) = + 0 e t (t 3 x t 2 y t z) 2 d t Montrer qu il existe un unique triplet (x 0, y 0, z 0 ) tel que f présente en (x 0, y 0, z 0 ) un minimum absolu et déterminer ce triplet. 2.7 Application au problème des moindres carrés. Propriété préliminaire Soit A n,p () de rang p alors t AA p (). De plus t AA est inversible. : Minimisation de AX B n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. Soit les matrices A n,p () de rang p (donc p n) et B n,1 (). Lorsque X décrit p,1 (), la quantité AX B est minimale si et seulement si X est l unique solution de l équation t AAX = t AB. Le programme nous dit que " la formule donnant la valeur de X réalisant le minimum n est pas exigible", il faut donc apprendre à la retrouver... 5

6 Remarque : Expression analytique de AX B 2 n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. b 1 Soit A = (a i,j ) (i,j) [1,n ] [1,p ] n,p (), B =.. n,1() et X = Exercice 11 Soit A = j=1 b n j=1 x 1.. x p p,1() alors p p p AX B 2 = a i,j x j b i = a 1, j x j b a n,j x j b n et B = Déterminer X 2,1 () rendant minimale la quantité AX B et déterminer cette valeur minimale. j=1 3 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques. 3.1 fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. Soit (E,.,. ) un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E. Alors f est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Il existe donc une base de E orthonormée composée de vecteurs propres de f. Remarque f étant un endomorphisme symétrique de l espace euclidien E, on obtient une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f en concaténant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de f. 3.2 Réduction des matrices symétriques de n (). Soit n. Soit A une matrice symétrique de n (). Alors A est diagonalisable et il existe une base orthonormée de n,1 () (muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de A. Ainsi il existe une matrice P n () (c est-à-dire vérifiant t P = P 1 ) et une matrice n () diagonale vérifiant t PAP =. 2 i Exercice 12 Soit A = i 0 2 (). 1. Déterminer le spectre de A. 2. Montrer que la matrice A est symétrique mais qu elle n est pas diagonalisable. Le théorème précédent s applique à des matrices symétriques à coefficients réels Soit n. Soit A n (). Soit (X 1,..., X n ) une base orthonormée de n,1 () (muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres (λ 1,..., λ n ), alors : A = λ i X t i X i = λ 1 X t 1 X λ n X t n X n Propriété Si A est symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P 1 AP = t PAP. Si X 1,..., X n sont les colonnes de P, alors (X i ) 1in est une base orthonormée de n,1 (), formée de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres λ 1,..., λ n. 6

7 1 1 1 Exercice 13 Soit A = Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P 1 AP = t PAP. Exercice 14 Soit A une matrice de n () vérifiant A t AA = I n. Montrer que A est symétrique puis déterminer A Exercice 15 Soit A = n () (c est-à-dire que l on a : a i,j = 1 si i = j + 1 ou i = j 1 et a i,j = 0 sinon) (a) Soit λ un scalaire. Que peut-on dire du rang de A λi n? (b) Montrer que A admet exactement n valeurs propres réelles. Exercice 16 Montrer que la matrice 1 i i i est inversible. Exercice 17 Soit (E,.,. ) un espace euclidien. f et g sont deux endomorphismes symétriques de E vérifiant 1. Montrer que tout espace propre de f est stable par g. f g = g f. 2. Montrer l existence d une base orthonormée de E constituée de vecteurs qui sont à la fois des vecteurs propres de f et de g. Exercice 18 Soit n. Soit A n (). 1. Montrer que : 2. Montrer que : ( q / A q = 0) = A = 0. ( q / A q = I n ) = A 2 = I n. Exercice 19 Soit n. Soit A n (). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives. Montrer qu il existe une matrice B n () telle que B 2 = A. 4 Étude du signe d une forme quadratique. Définition de la forme quadratique associée à un endomorphisme symétrique Soit (E,.,. ) un espace euclidien. On appelle forme quadratique associée à l endomorphisme symétrique u de E l application : q : E x q(x) = u(x), x 7

8 Remarque : Expression de la forme quadratique associée à u dans une B.O.N. de vecteurs propres de u Soit q la forme quadratique sur E associée un endomorphisme symétrique u. Soit = (e 1,..., e n ) une base orthonormale constituée de vecteurs propres de u et plus précisément : Alors : i 1, n, u(e i ) = λ i e i x E, q(x) = où (x 1,..., x n ) sont les coordonnées de x dans la base. λ i x 2 i : Signe de la forme quadratique q associée à l endomorphisme symétrique u x E, q(x) 0 Sp u [0, + [ x E \ {0}, q(x) > 0 Sp u ]0, + [ x E, q(x) 0 Sp u ], 0] x E \ {0}, q(x) < 0 Sp u ], 0[ (x, x ) E E/q(x) > 0 et q(x ) < 0 (λ, β) Sp u Sp u / λ > 0 et β < 0 Remarque q garde un signe constant les valeurs propres de u sont de même signe. Définition de la forme quadratique associée à une matrice symétrique Soit n. Soit A n (). On appelle forme quadratique associée à A l application : q : n,1 () X q(x ) = t XAX : Signe de la forme quadratique q associée à la matrice A n () X n,1 (), q(x ) 0 Sp A [0, + [ X n,1 () \ {0}, q(x ) > 0 Sp A ]0, + [ X n,1 (), q(x ) 0 Sp A ], 0] X n,1 () \ {0}, q(x ) < 0 Sp A ], 0[ (X, X ) n,1 () n,1 ()/q(x ) > 0 et q(x ) < 0 (λ, β) Sp A Sp A / λ > 0 et β < 0 Remarque q garde un signe constant les valeurs propres de A sont de même signe. 8

9 Remarque : Expression analytique dela forme quadratique q associée à la matrice A n () x 1 Soit A = (a i,j ) 1i,jn n (). Soit X =.. n,1(). On a : t XAX = j=1 x n a i,j x i x j = a i,i x 2 i + 2 1i<jn a i,j x i x j Exercice 20 Unicité de la matrice symétrique associée à une forme quadratique Soit A n () et B n () vérifiant : X n,1 (), t XAX = t X BX alors A = B. Exercice 21 On considère la forme quadratique q définie sur 3,1 () par : X = x y z 3,1 (), q(x ) = x y + xz + yz 1. Déterminer A 3 () de sorte que q soit la forme quadratique associée à A. 2. Déterminer le spectre de A. 3. Que peut-on dire du signe de q? Exercice 22 Soit (E,.,. ) un espace euclidien. Soit u un endomorphisme symétrique de E. On note α la plus petite valeur propre de u et β la plus grande valeur propre de u. Montrer que : x E, α x 2 u(x), x β x 2 Exercice 23 Soit n. Soit A n (). n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. On note α la plus petite valeur propre de A et β la plus grande valeur propre de A. Montrer que : X n,1 (), α X 2 AX, X = t XAX β X 2 9