ECE2 Année scolaire Séries numériques

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1 ECE2 Année scolaire Lycée Marcelin Berthelot Mathématiques Rappels Séries numériques On récapitule ici sans démonstrations les concepts et résultats introduits en première année dans l étude des séries numériques. Définition. Soit (u n ) n N une suite de réels. On appelle série de terme général u n la suite (S n ) n N donnée par n n N, S n = u k k=0 Les S n sont appelées sommes partielles de la série. On notera u n pour désigner la série de terme général u n. On se pose alors la question de la convergence de (S n ). Définition 2. On dit que u n converge ssi la suite des sommes partielles converge vers un réel l. Dans le cas contraire, on dit que u n diverge. Remarque. De la même manière que pour les suites : Une combinaison linéaire de séries convergentes est convergente ; La somme d une séries convergente et d une série divergente est divergente ; On ne peut rien dire sur la nature d une combinaison linéaire de séries divergentes. On trouve rapidement une condition nécessaire de convergence : Proposition. Si u n converge, alors lim u n = 0. n + Par contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, u n diverge : on dit qu elle diverge grossièrement. Un cas particulier où on peut se ramener à l étude d une suite est le cas des séries téléscopiques : Proposition 2. La suite (u n ) et la série (u n+ u n ) sont de même nature. De manière un peu inattendue, il sera plus facile d étudier la série, et d en déduire un résultat sur la suite. Nous verrons que beaucoup des critères d étude développés dans le chapitre mettent en jeu des séries à termes positifs (SATP). Heureusement, leur étude peut déboucher sur des résultats pour des séries quelconques. On introduit pour cela la notion de convergence absolue : Définition 3. On dit que la série u n converge absolument ssi la série u n converge.

2 Le résultat suivant (qui sera démontré plus tard dans le cours) permet alors de déduire des informations sur un : Théorème 3. Si u n converge absolument, alors elle converge. On a de plus : u n u n Remarque 2. La réciproque de ce théorème est fausse. On appelle parfois série semi-convergente une série telle que u n diverge et u n converge. Vous avez étudié en première année quelques cas particuliers : Proposition 4 (Nature de séries particulières). Série constante. Soit a R. a diverge ssi a 0. Série arithmétique. Si (u n ) est arithmétique, la série u n converge ssi elle est nulle. Série géométrique. Soit q R. q n converge ssi q < ; on a alors q n = q Série géométrique dérivée. nq n converge ssi q < ; on a alors n= nq n = ( q) 2 Série géométrique dérivée seconde. n(n )q n 2 converge ssi q < ; on a alors n=2 n(n )q n 2 2 = ( q) 3 Série exponentielle. x n n! converge pour tout réel x ; on a alors x n n! = ex 2

3 2 Séries numériques à termes positifs L intérêt de l étude des séries à termes positifs est motivé par le théorème Une première observation On considère une série u n à termes positifs. Comme : n N, S n+ S n = u n+ 0, on voit que la suite (S n ) est croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée; on en déduit un premier résultat de convergence : Proposition 5. Soit u n une série à termes positifs. un converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Remarque 3. Ce résultat est peu utilisé en pratique ; on ne cherchera pas en priorité à l appliquer. Ce critère est faux pour les séries à termes quelconques : la série ( ) n a ses sommes partielles majorées; elle diverge pourtant grossièrement. Ce critère va nous servir à établir la nature de séries de référence. 2.2 Comparaison série-intégrale Cette méthode permet d examiner la convergence de séries de la forme f (n), où f est une fonction continue, positive et décroissante. Elle est hors-programme mais ultra-classique, et peut donc se retrouver dans de multiples exercices. Théorème 6 (Comparaison série-intégrale). Soit f : R + R +, continue et décroissante. On a n+ f (t)dt n k= n f (k) f (t)dt 0 Démonstration. On commence par encadrer le terme général f (k) en s aidant de la figure ci-dessous. décroissance permet d écrire : t [k, k], f (k) f (t); en intégrant sur [k, k] on a : f (k) k k f (t)dt Enfin, on somme de k = à n et on utilise la relation de Chasles, pour obtenir : n n k n f (k) f (t)dt = f (t)dt k= k= k L autre terme de l inégalité se trouve de la même manière, en remarquant que la décroissance permet aussi d écrire : t [k,k + ], f (t) f (k). 0 La f n n n + 3

4 On en déduit un rapport entre convergence d une série et convergence d une intégrale : Théorème 7 (Comparaison série-intégrale, partie 2). Soit f : R + R +, continue et décroissante. Si l intégrale + a (avec a > 0) converge, alors la série f (n) converge ; + Si l intégrale diverge, alors la série f (n) diverge. a 2.3 Exemple fondamental : les séries de Riemann On va appliquer le résultat de comparaison série-intégrale à l étude des séries de Riemann : Définition 4. On appelle séries de Riemann les séries, avec α R. nα Théorème 8. Soit α R. La série converge si et seulement si α >. nα Les séries de Riemann sont l exemple le plus important de comportement des séries numériques. On disposera plus loin de théorèmes permettant de décider de la nature d une série en la comparant à d autres séries : très souvent, on comparera à une série de Riemann. 2.4 Théorèmes de comparaison On prendra garde que la plupart des théorèmes suivants sont valables pour des séries à termes positifs (SATP). Théorème 9. Soient u n et v n deux SATP, telles que : n N, u n v n. Si v n converge, alors u n converge, et Si u n diverge, alors v n diverge. u n v n. Démonstration. Les sommes partielles de u n sont majorées par Si u n diverge, ses sommes partielles ne sont pas majorées, et donc celles de v n ne le sont pas non plus. v n. Ce théorème permet de démontrer le théorème 3 (voir annexe). 4

5 Remarque 4. La convergence ou divergence d une série numérique ne dépend pas de ses premiers termes (c est une propriété asymptotique). On en déduit que la proposition précédente (hormis le résultat de comparaison des sommes) s applique encore sous l hypothèse : N N, n N, u n v n (ie la propriété de comparaison est vraie à partir d un certain rang). Exemple. Nature des séries suivantes : lnn. n 2 + e n. n + n On peut également procéder à partir des comparaisons asymptotiques o et. On démontre que : Théorème 0. Soient u n et v n deux SATP. Si v n = o(u n ) pour n + et si u n converge, alors v n converge. Si u n v n pour n +, les séries u n et v n sont de même nature. Remarque 5. Attention, ces résultats s appliquent à des SATP. En particulier, le résultat sur la nature de deux séries de terme général équivalent est faux dans le cas de séries à termes quelconques. On peut donner un contre-exemple utilisant des séries alternées : ( ) n converge, mais ( ( ) n + ) diverge (somme d une n n n convergente et d une divergente). Exemple 2. Nature des séries suivantes : 3n 3 5 2n 4 + 2n + n 2 + 4n e n. ln(n) n 2 + lnn. Pour démontrer la convergence d une série, on pourra donc commencer par essayer de démontrer sa convergence absolue; on pourra alors faire appel aux résultats concernant les SATP. Il existe toutefois des séries convergentes, non absolument convergentes : on les appelle parfois séries semi-convergentes. Par exemple, ( ) n converge (on est dans le cadre du critère des séries alternées ; voir exercice). n 2.5 Règle du n α u n Cette règle est simple à démontrer, mais est très utile en pratique. Elle consiste, indirectement, à comparer une série à une série de Riemann. Théorème. Soit u n une série numérique. S il existe α > tel que lim n + nα u n = 0, alors u n converge absolument. 5

6 ( Démonstration. L hypothèse du théorème peut se réécrire u n = o. La série est une série de Rie- nα mann convergente; ceci permet de conclure. n α ) Remarque 6. En pratique, ce critère est invoqué pour des séries dont le terme général est négligeable devant toute série de Riemann (on peut les imaginer dans une zone entre les séries de Riemann convergentes et les séries exponentielles convergentes). On l utilisera donc souvent avec α = 2 (pour fixer les choses). Exemple 3. Donner la nature de 2 n. 6

7 Démonstration du théorème 3 Si u n converge absolument, alors elle converge. On a de plus : u n u n. Démonstration. Pour tout n N, posons : Ainsi : si u n 0, alors u + n = u n et u n = 0; si u n 0, alors u + n = 0 et u n = u n; u + n = max(u n,0) et u n = max( u n,0) Dans tous les cas, on a : u n = u + n + u n et u n = u + n u n. u + n (resp. u n ) est appelée partie positive (resp. négative) de u n. Ce sont tous deux des réels positifs. On a : n N, u + n u n, donc u + n converge; de même u n converge. On en déduit que u n = (u + n u n ) converge. L inégalité triangulaire sur les sommes s obtient en prenant la limite en N + de l inégalité triangulaire sur les sommes partielles de u n et u n. Démonstration du théorème 8 Soit α R. La série converge si et seulement si α >. nα Remarque 7. Avant de se lancer dans des démonstrations techniques, on remarque que si α 0, ce cas la série diverge grossièrement. Démonstration. Cas α : la comparaison série-intégrale donne, pour tout n N : n+ 2 dt n t α k=2 k α soit, après calcul des intégrales : ( α (n + ) α ) n 2 α k α ( ) α n α k=2 n dt t α n α 0 ; dans Pour α <, le terme de gauche de l inégalité tend vers + lorsque n + : les sommes partielles sont minorées par une série tendant vers +, donc la série diverge. Pour α >, on étudie le terme de droite de l inégalité : ( ) α n α α et on en déduit que les sommes partielles sont majorées : comme la série est à termes positifs, elle converge. Cas α = : On utilise cette fois : n N, n+ dt n t k ce qui donne, après calcul de l intégrale, S n ln(n + ). La suite (S n ) est minorée par une suite tendant vers +, donc S n + : la série n diverge. k= 7