BAC BLANC MATHEMATIQUES Terminale ES, 2014, Lycée Lapérouse

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1 BAC BLANC MATHEMATIQUES Terminale ES, 04, Lycée Lapérouse Exercice. (4 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.. y La courbe C h représentative d une fonction h définie et dérivable sur R est représentée ci-contre. n a tracé la tangente T à C h au point A( ; ). T passe par le point B(0 ; ). Proposition : le nombre dérivé h ( ) est égal à. + A T C h x + B. La courbe représentative de la dérivée f d une fonction f dérivable sur l intervalle [0; ] et passant par le point de coordonnées (;0) est donnée en figure figure figure Proposition : la figure est la courbe représentative de la fonction f.. n désigne par f une fonction définie et deux fois dérivable sur [0 ; + [. La courbe représentative de la fonction f, dérivée seconde de la fonction f, est donnée ci-contre. Lepointdecoordonnées(;0)estleseul point d intersection de cette courbe et de l axe des abscisses. Proposition : la fonction f est concave sur l intervalle [; 4]. y 4 x /6

2 4. Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle que f (x) = (x+)e x. Proposition : la courbe représentative de f admet un point d inflexion. Exercice. (5 points) Commun à tous les candidats Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le er janvier 0 avec 5 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au er janvier d une année restent présents le er janvier suivant et que 0 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. n s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 5, le terme u n donnant une estimation du nombre d oiseaux l année 0 + n.. Calculer u et u.. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au er janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme permet d estimer le nombre d oiseaux présents au er janvier de l année 0 + n. Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Variables : Variables : Variables : U est un nombre réel U est un nombre réel U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers i et N sont des nombres entiers Début Début Début Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Affecter 5 à U Pour i de à N faire Affecter 5 à U Pour i de à N faire Affecter 5 à U Pour i de à N faire Affecter 0,6 U +0 à U Affecter 0,4 U +5 à U Affecter 0,4 U +0 à U Fin Pour Fin Pour Fin Pour Afficher U Afficher U Afficher U Fin Fin Fin algorithme algorithme algorithme b. Donner, pour tout entier naturel n, l expression de u n+ en fonction de u n.. n considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 00. a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v 0. b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel n,u n = ,4 n. d. La capacité d accueil du centre est de 00 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse. 4. Chaque année, le centre touche une subvention de 0 euros par oiseau présent au er janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le er janvier 0 et le décembre 08 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. /6

3 Exercice. (6 points) Commun à tous les candidats Partie A n considère la fonction f définie sur l intervalle [0; 5] par f(x) = x++e x+0,5. n a représenté en annexe, dans un plan muni d un repère orthonormé : la courbe C représentative de la fonction f ; la droite d équation y =,5x.. a. Vérifier que pour tout x appartenant à l intervalle [0; 5], on a f (x) = e x+0,5 où f désigne la fonction dérivée de f. b. Résoudre dans l intervalle [0; 5] l équation f (x) = 0. c. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0; 5]. d. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l intervalle [0; 5].. n note α l abscisse du point d intersection de C et. Partie B a. Donner, par lecture graphique, un encadrement de α à 0,5 près. b. Résoudre graphiquement sur l intervalle [0; 5] l inéquation f(x) <,5x. Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à l aide d une machine. Lafonctionf,définiedanslapartieA,représentelecoûtd utilisationdelamachineenfonction de la quantité x de cartes produites, lorsque x est exprimé en centaines de cartes et f(x) en centaines d euros.. a. Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d utilisation de la machine. b. Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50. Larecetteperçuepourlaventedexcentainesdecartesvautdonc,5xcentainesd euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d euros, par la vente de x centaines de cartes est donné par B(x) = 0,5x e x+0,5.. a. Montrer que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [0; 5]. b. Montrer que, sur l intervalle [0; 5], l équation B(x) = 0 admet une unique solution comprise entre, et,.. n dira que l entreprise réalise un bénéfice lorsque B(x) > 0. Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. /6

4 Exercice 4. (5 points) Pour les candidats de ES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et les candidats de L Une plateforme de téléchargement légal propose des films et des albums de musique que les internautes peuvent acquérir soit par souscription à un abonnement, soit par achat occasionnel. Lors de son bilan annuel le gérant de la plateforme constate que : 5% des téléchargements ont été effectués par des abonnés; parmi les téléchargements effectués par des abonnés, 8% concernent un film; parmi les téléchargements effectués lors d achats occasionnels, 56% concernent un album de musique. Le gérant de la plateforme choisit au hasard le relevé d un téléchargement dans le bilan annuel. n note : A l évènement le téléchargement a été effectué par un abonné F l évènement le téléchargement concerne un film, A l évènement contraire de A F l évènement contraire de F.. Donner la valeur de la probabilité P A (F).. Reproduire et compléter l arbre de probabilités ci-dessous.... F... A... F... A F F. Calculer la probabilité de l évènement le téléchargement a été effectué par un abonné et concerne un film. 4. Montrer que la probabilité que le téléchargement concerne un film est égale à 0, Calculer la probabilité que le téléchargement ait été effectué par un abonné, sachant qu il concerne un film. Le résultat sera arrondi au millième. 6. n choisit au hasard 0 téléchargements. n suppose le nombre de téléchargements suffisamment importants pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques. n note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de films téléchargés parmi ces 0 téléchargements. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. b. Déterminer la probabilité qu au moins un film soit téléchargé. Le résultat sera arrondi au millième. 4/6

5 Exercice 5. (5 points) Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité n considère le graphe G suivant : B F E C A D. Déterminer le degré de chaque sommet. En déduire le nombre d arêtes de ce graphe.. a. Le graphe G est-il connexe? Justifier la réponse. b. Le graphe G est-il complet? Justifier la réponse.. a. Le graphe G admet-il des chaînes eulériennes? Si c est le cas, en citer une. b. Justifier qu il n existe pas de cycles eulériens pour le graphe G. c. Quelle arête peut-on ajouter au graphe G pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien? 4. Déterminer la matrice M dun graphe G. (les sommets seront classés dans l ordre alphabétique) 5. a. Déterminer la matrice M. b. En déduire le nombre de chaînes de longueur partant du sommet A et aboutissant au sommet F. c. Citer alors toutes ces chaînes. 5/6

6 ANNEXE EXERCICE C L. JAUNATRE Terminale ES, BAC BLANC MATHEMATIQUES 6/6