Deuxième étape. Louiselle Bolduc

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1 Notes de cours Math4-CST Deuxième étape Louiselle Bolduc

2 Table des matières 1. Corrélation Interprétation qualitative Distribution à 2 variables : 2 modes Interprétation quantitative Coefficient de corrélation Droite de régression Figures et semblables Rappel du secondaire 1 à 3 : Triangles Conditions minimales Raisonnement déductif Triangles semblables Conditions minimales Relations métriques Relations métriques dans un triangle rectangle

3 1. Corrélation 1.1 Interprétation qualitative Utilisée pour la distribution à 2 caractères : Données statistiques lorsqu il y a deux choses observées (2 questions de sondage, 2 examens, etc.). Il s agit de couples. Corrélation : Lien qui existe entre deux variables statistiques. On peut qualifier : le type : modèle mathématique (droite, courbe, ) le sens : Positive ou Négative Positive : Si les variables varient dans le même sens Négative : Si les variables varient dans des sens contraires Intensité : Force du lien (Nulle, Faible, Moyen, Forte, Parfaite) Distribution à 2 variables : 2 modes a) Tableau à double entrée : Permet de représenter une distribution à 2 variables : qualifie le type et le sens de corrélation entre les 2 variables. 1 ère variable (1 ère colonne) 2 e variable (1 ère ligne) Total [0,5[ [5,10[ [10,15[ [15,20[ Total 2

4 Exemple: Dans le domaine de l éducation, une question se pose fréquemment : Peut-on affirmer qu il existe un lien entre le nombre de jours de classe et la réussite scolaire? Pays Nb annuel moyen de jours de classe Canada France Hongrie Irlande Italie Écosse Slovénie Russie Espagne Suisse États-Unis Pourcentage de réussite en sciences Source : National Center for Education Statistics, Measuring Mathematics and Learning Science, 1992 Nb annuel moyen de jours de classe % de réussite [170, 180[ [180, 190[ [190, 200[ [200, 210[ [210, 220[ Total en sciences [60%, 65%[ [65%, 70%[ [70%, 75%[ Total *Astuce : Encercler la diagonale. -Lorsque le nombre annuel moyen de jours en classe augmente, le pourcentage de réussite en - science augmente. Le sens est positif. -L ovale est étroit. Le lien est fort. -La corrélation est donc positive et forte. 3

5 b) Nuage de points : Permet de représenter une distribution à 2 variables : qualifie le type, le sens et l intensité de la corrélation entre les 2 variables. Corrélation..linéaire : Le nuage ressemble à une droite oblique. Corrélation..nulle : Les points sont distribués au hasard. Corrélation..forte : Les points se rapprochent de la droite oblique. Sens Intensité Positif (taux de variation positif) Négatif (Taux de variation négatif) Nulle Faible Moyenne Forte Parfaite Exemple : Qualifions la corrélation de ses nuages de points. 4

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7 1.2 Interprétation quantitative Coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation (r) quantifie l intensité de la corrélation linéaire entre deux variables statistiques dans le nuage de points. Sa valeur se situe dans l intervalle [-1, 1]. Démarche : 1) Tracer une droite qui suit la tendance de points et qui les partage équitablement. 2) Dessiner le plus petit rectangle possible qui encadrera le nuage tout en touchant les points extrêmes. Deux côtés de ce rectangle seront parallèles à la droite tracée. 3) Mesurer la longueur et la largeur. 4) Calculer le coefficient de corrélation r ± ( 1 mesure du petit côté ) mesure du grand côté Exemple : Estime le coefficient de corrélation de ce nuage de points mesure du petit côté r ± ( 1 mesure du grand côté ) r ± ( 1 ) r Rép. : L intensité est Interprétation du résultat obtenu : Coefficient de corrélation Intensité - + Près de 0 0 Nulle Près de -0,5 0,5 Faible Près de -0,75 0,75 Moyenne Près de -0,87 0,87 Forte Égal à -1 1 Parfaite 6

8 1.2.2 Droite de régression La droite le mieux ajustée à l ensemble des points d un nuage. Elle permet de prédire une ou des valeurs à l aide de l équation fonctionnelle qui la représente. Le coefficient de corrélation nous précisera la fiabilité de cette prédiction. Voici 2 méthodes pour calculer une droite de régression : 1-Droite médiane-médiane (surtout pour un nombre impair de coordonnées) 2-Droite de Mayer (nombre pair de coordonnées) Droite médiane-médiane Démarche : 1- Construire la mini-table de valeurs qui représente le nuage de points. Ordonner les couples avec les abscisses. 2- Diviser en 3 sous-groupes de même quantité de couples. Si impossible, le 1 er et le 3 e groupe doivent avoir la même quantité de couples. 3- Calculer le couple médian de chaque sous-groupe.m 1 -M 2 -M 3 4- Déterminer un point P en calculant la moyenne des abscisses et des ordonnées des 3 couples médians (M 1 -M 2 -M 3 ). 5- Déterminer l équation de la droite en 3 étapes : Calculer la pente (taux de variation) du premier et dernier couple médian (M 1 et M 3 ) Calculer l ordonnée à l origine (b) avec le point P. Écrire sous forme d équation fonctionnelle. 7

9 Exemple : 1) x y ) 12 coupes à diviser en 3 sous-groupes de 4 couples chacun. 3) Calculer les 3 couples médians : M 1 (6, 13) M 2 ( 10, 8) M3 (20, 6) Md = (n+1)/2 Md = (4couples +1)/2 Md = 2.5 e position 4) Identifier le point P : moyenne des couples médians P (12, 9) x = ( ) /3 y = ( )/3 x = 12 y = 9 5) Équation : utiliser les couples M 1 -M 3 et P. Pente : -7/14 ou -1/2 Paramètre b? (avec P) Équation fonctionnelle y=6 13 x=20 6 y = -0.5x +b y = -0.5x = -0.5(12) +b 9 = -6 +b 15 =b 8

10 Droite de Mayer 1- Construire la mini-table de valeurs qui représente le nuage de points. Ordonner les couples avec les abscisses. 2- Diviser en 2 groupes de même quantité. 3- Trouver les couples moyens P 1 et P 2. Calculer la moyenne des abscisses et les ordonnées pour les 2 groupes. 4- Déterminer l équation de la droite en 3 étapes avec P 1 et P 2 Calculer la pente (taux de variation) Calculer l ordonnée à l origine (b) Écrire sous forme d équation fonctionnelle. Exemple : 1) 2) Diviser les 10 couples en 2 x y groupes de 5 couples chacun. 3) Calculer les couples moyens. P 1 (10, 36) x des abscisses = ( ) 5 x des abscisses = 10 P 2 (20, 62) x des abscisses = ( ) 5 x des abscisses = 20 x des ordonnées = ( ) 5 x des ordonnées = 36 x des ordonnées = ( ) 5 x des ordonnées = 62 9

11 4) Équation : utiliser les couples P 1 et P 2. Pente : 2.6 ou 13/5 Paramètre b? Équation fonctionnelle y=62 36 x=20 10 y = 2.6x +b y = 2.6x = 2.6(10) +b 36 = 26 +b 10=b *Détermine : a) (40, y) b) (x, 18) *Jusqu à quel point peux-tu te fier à tes résultats? Il faut calculer le coefficient de corrélation pour le savoir. (voir p.6) --- ATTENTION --- * Une forte corrélation indique l existence d un lien statistique. Cependant, elle n explique pas la raison et la nature du lien. Par la suite, on essaie de caractériser qualitativement et quantitativement ce lien et d établir des prédictions tout en étant conscient des limitations de ces prédictions. 10

12 2. Figures et semblables 2.1 Rappel du secondaire 1 à 3 : Nous pouvons classer les triangles par les mesures de leurs côtés ou de leurs angles. Classification des triangles : Côtés Illustration Caractéristique Nom Angles Illustration Caractéristique Nom Un angle obtus Obtusangle Aucun côté isométrique Scalène Trois angles aigus Acutangle Deux côtés Isocèle Un angle droit Rectangle Trois côtés Équilatéral Deux angles Isoangle Trois angles Équiangle Relation de Pythagore : Dans un triangle rectangle : l hypoténuse est le côté opposé à l angle droit. C est le plus long des trois côtés ; une cathète est un côté qui forme l angle droit ; le carré de la mesure de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes : a 2 + b 2 = c 2 Côté opposé à l angle de 30 est la moitié de l hypoténuse. Utiliser la formule 2a 2 = c 2 avec le triangle rectangle isocèle 11

13 Propriétés des quadrilatères : Propriétés Illustration Nom Côté Angle Diagonale Axe de symétrie Trapèze sans particularité Trapèze isocèle Trapèze rectangle Parallélogramme Rectangle Losange Carré Une paire de côtés parallèles Une paire de côtés parallèles Deux côtés Une paire de côtés parallèles Deux paires de côtés opposés parallèles et Deux paires de côtés opposés parallèles et Deux paires de côtés opposés parallèles Quatre côtés Deux paires de côtés opposés parallèles Quatre côtés Deux paires d angles Deux angles droits Angles opposés Angles consécutifs supplémentaires Quatre angles droits Angles consécutifs supplémentaires Angles opposés Angles consécutifs supplémentaires Quatre angles droits Angles consécutifs supplémentaires 12

14 Formules d Aires : Figure Aire Figure Aire A triangle b h 2 A rectangle b h A trapèze b h B 2 A c carré 2 A parallélog ramme b h A polygonerégulier périmètre apothème 2 A losange D d 2 A πr disque 2 Angles créés par une droite sécante à deux droites parallèles : Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante : les angles alternes-internes sont 4 6 et 3 5 ; les angles alternes-externes sont : 1 7 et 2 8 ; les angles correspondants sont. 1 5 et et 3 7. On remarque alors que et

15 2.2 Triangles Des triangles sont des triangles dont les angles et les côtés homologues sont Conditions minimales Les énoncés géométriques ci-dessous présentent les conditions minimales qui permettent d affirmer que deux triangles sont. 1. Deux triangles qui ont leurs côtés (3) homologues sont (CCC). On peut utiliser l abréviation CCC (Côté-Côté-Côté) pour simplifier l écriture de cet énoncé. Ex. : AC DE AB DF BC EF Donc, ABC DEF. 2. Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre des angles homologues sont (ACA). On peut utiliser l abréviation ACA (Angle-Côté-Angle) pour simplifier l écriture de cet énoncé. Ex. : B E BC EF C F Donc, ABC DEF. 3. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues sont (CAC). On peut utiliser l abréviation CAC (Côté-Angle-Côté) pour simplifier l écriture de cet énoncé. Ex. : AC DF C F BC EF Donc, ABC DEF. 14

16 2.2.2 Raisonnement déductif En géométrie, il existe divers types d énoncés qui permettent de structurer un raisonnement déductif : la conjecture, le théorème, le contre-exemple et la démonstration. Démonstration Une démonstration est un raisonnement logique qui permet d établir des affirmations à partir de propriétés précédemment établies ou admises. Ex. : Voici une façon de montrer que BCD CBE dans la figure ci-contre. Énoncé déjà établi. Hypothèses : AB AC Permet d annoncer ce qu il faut démontrer. Conclusion : BD CE BDC CBE Ce sur quoi est basée la démonstration. Énoncé qui appuie l affirmation. AFFIRMATION Le triangle ABC est isocèle. Par hypothèse ( AB AC ). ACB ABC BD CE Par hypothèse ( BD CE ). BC BC Côté commun. BCE BCD JUSTIFICATION Les angles opposés aux côtés d un triangle isocèle sont. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre descôtés homologues sont (CAC). BCD CBE Dans des triangles, les angles homologues sont. 15

17 2.3 Triangles semblables Des triangles semblables sont des triangles dont les angles homologues sont et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles Conditions minimales Les énoncés géométriques ci-dessous présentent les conditions minimales qui permettent d affirmer que deux triangles sont semblables. 1. Deux triangles qui ont deux angles homologues sont semblables (AA). Ex. : m A m D 85 m B m E 39 Donc ABC DEF. Utiliser l abréviation AA (Angle-Angle). 2. Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblables (CAC). Utiliser l abréviation CAC (Côté-Angle- Côté). Ex. : m AC 3,8 2 m EF 1,9 m BC 2 2 m DE 1 m C m E 90 Donc ABC FDE. 3. Deux triangles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblables (CCC). Utiliser l abréviation CCC (Côté-Côté- Côté). Ex. : m AC m DF 8 3,2 2,5 m BC 5 2,5 m EF 2 m AB 4,5 2,5 m DE 1,8 Donc ABC DEF. 16

18 Lorsque deux triangles sont semblables, il est possible de trouver certaines mesures manquantes. Ex. : Sachant que les deux triangles ci-contre sont semblables, détermine la mesure du côté AB. m AB m DE m BC m EF m AC m DF En remplaçant les mesures connues, on a : m AB 52,5 9 31, On déduit que m AB 15 cm. 17

19 2.4 Relations métriques En abaissant la hauteur issue du sommet de l angle droit d un triangle rectangle, on peut déterminer trois triangles rectangles semblables. À l aide des mesures des côtés homologues des triangles ainsi formés, on peut établir des proportions et ainsi déduire certains énoncés géométriques. Comprendre et appliquer le produit des extrêmes et des moyens Relations métriques dans un triangle rectangle 1. Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesure de sa projection sur l hypoténuse et celle de l hypoténuse entière, c est-à-dire : AD m AB m AB m CD m BC 2 ou m AB m AD m AC ou m BC m CD m AC m 2 m AC m BC m AC Détermine la mesure du côté manquant. a) 10cm b) 18

20 2. Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu elle détermine sur l hypoténuse, c est-à-dire : m AD m BD m BD m CD ou 2 m BD m AD m CD Détermine la mesure du côté manquant. 3. Dans un triangle rectangle, le produit des mesures de l hypoténuse et de la hauteur correspondante égale le produit des mesures des côtés (cathètes) de l angle droit. m AC m BD m AB m BC Détermine la mesure du côté manquant. 19