3. Fonctions associées

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1 3. Fonctions associées 1. Sens de variation fonction valeur absolue 1. Sens de variation Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I f est croissante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a b, on a. (strictement croissante si ). On dit que f conserve le sens des inégalités. f est décroissante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a b, on a. On dit que f inverse le sens des inégalités. f est constante sur I, lorsque pour tous réels a et b de I tels que a b, on a. f est monotone sur l intervalle I si elle est ou croissante ou décroissante sur I. Variation des fonctions de référence Propriété 1 : Fonction affine o Si a 0, alors f est strictement croissante sur o Si a 0, alors f est strictement décroissante sur o Si a 0, alors f est constante sur Propriété : Fonction carré o La fonction carré est décroissante sur o La fonction carré est croissante sur. Propriété 3 : Fonction inverse o La fonction inverse est décroissante sur et sur.. Fonction valeur absolue Définition : o Sur une droite graduée d origine O, est l abscisse d un point M. La valeur absolue O M d un réel, notée, est la distance OM. si est positif, alors 0 si est négatif, alors M O 0 o La fonction valeur absolue est définie sur par Cours Première S E. Poulin O. Leguay Page 1

2 Eemples : ; ; Propriété 4 : Quel que soit le nombre : et Propriété 5 : Quel que soit les nombres et y : signifie =0 signifie =y ou =-y avec y 0 (inégalité triangulaire) Propriété 6 : Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur sur. et strictement croissante Démonstration : en eercice Pour tout réel 0,, donc f est croissante sur Pour tout réel 0,, donc f est décroissante sur Représentation graphique Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion des demi-droites d équations y sur y sur y Propriété 7 : Dans un repère orthogonal,la courbe représentative de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. 3. La fonction racine carrée 1. Fonction racine carrée Définition 3 : La fonction f telle que est appelée «fonction racine carrée». Elle est définie sur l intervalle. Propriétés 7 : f est strictement croissante sur. Cours Première S E. Poulin O. Leguay Page

3 Tableau de variations : 0 f + f 0 Démonstration : Soient a et b deu réels tels que f 0 a b. b a b a b a b f a b a b a b a Or, b a 0 et a b 0. Par conséquent b 0 La fonction f est donc strictement croissante sur. f, soit a f. Propriétés 8 : Pour tout réel, Démonstration o Si 0, alors o Si 0, alors 0. Or, d où. Représentation graphique de la fonction racine carrée Propriétés 9 : Dans un repère orthonormé, la courbe représentative C de la fonction racine carrée et la courbe représentative P de la fonction carré sur sont symétriques par rapport à la droite d équation y Démonstration : y équivaut à appartient à P. y, c est-à-dire appartient à C si et seulement si 4. Position relatives des courbes Propriété 10 :,, o Si 0 1, alors o Si 1 alors Démonstration o Si 0 1, o en multipliant par chaque membre de cette inégalité, on obtient o Comme la fonction racine carrée est croissante sur, on obtient, à partir Cours Première S E. Poulin O. Leguay Page 3

4 de l inégalité précédente Ainsi o Si 1, soit car pour positif o en multipliant par chaque membre de cette inégalité, on obtient o Comme la fonction racine carrée est croissante sur, on obtient, à partir de l inégalité précédente, soit car pour positif Ainsi Conséquence graphique : 5. Opération sur les fonctions - Sens de variation 1. fonctions et Propriétés 11 : u est une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel. Les fonctions u et u+k ont le même sens de variation sur l intervalle I. Propriétés 1 : u est une fonction définie sur un intervalle I et un nombre réel non nul. Si, alors les fonctions u et ont le même sens de variation sur I Si, alors les fonctions u et ont des sens de variation contraires sur I. Cours Première S E. Poulin O. Leguay Page 4

5 Eemple : La fonction a le même sens de variation sur que la fonction carré. La fonction est décroissante sur. 1. fonctions u et u Propriétés 13 : u est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout nombre réel de I, u 0. La fonction, notée u, a le même sens de variation que u sur l intervalle I. Propriétés 14 : u est une fonction définie sur un intervalle I tel que pour tout nombre réel de I, garde le même signe avec u 0. u La fonction, notée u 1, a un sens de variation contraire à celui de u sur l intervalle I. Cours Première S E. Poulin O. Leguay Page 5