Analyse II Corrigé de la Série QCM et V/F

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1 EPFL Peter Wittwer Sections IN, SC 4 mai 04 Analyse II Corrigé de la Série QCM et V/F Première partie: Questions à choix multiple Question On peut récrire l équation sous la forme dy dx y + x = x et on peut donc séparer les variables On obtient y dy = x + x dx et en intégrant on trouve yx = ln + x + C avec C R Comme y0 = on a C = et donc Ainsi y = ln + 4 yx = ln + x + 4 Question la forme Il s agit d une équation différentielle linéaire La solution générale est donc de yx = y part x + C y hom x avec C R Pour trouver y hom x il faut résoudre l équation homogène La séparation des variables donne et en intégrant on obtient avec C R, et donc y sinx + y cosx = 0 dy y = cosx sinx dx ln yx = ln sinx + C y hom x = C sinx avec C R Ensuite on fait la variation de la constante qui donne C x sinx + sinx = 0, sinx

2 d où il suit que C x = sinx et donc Cx = cosx Finalement on a y part x = cosx = cosx sinx sinx Rappel: cosx = cosx sinx = cosx La solution générale est alors yx = cosx sinx + C sinx = cosx + + C sinx Puisque C R est arbitraire on peut récrire la solution comme yx = cosx + C sinx avec C R Question 3 On peut récrire l équation sous la forme y = y x + cos y x, ce qui est une équation différentielle homogène On pose yx = x vx et l on obtient ou Par séparation des variables on obtient et par intégration et donc v + x v = v + cosv x v = cosv dv cosv = dx x tanv = lnx + C yx = x arctan lnx + C avec C R Avec la condition initiale on trouve y = arctanc = π 4 et donc C = La solution recherchée est alors yx = x arctan lnx + Question 4 On calcule les limites selon les axes x et y On a 0 ln + x lim fx, 0 = lim x 0 x 0 x exp x = lim 0 = 0 5 x 0

3 et lim f0, y = lim y 0 y 0 y ln + y exp y y 5 ln + y = lim 4 lim y 0 exp y y 0 y 4 La première limite se calcule directement : lim y 0 = exp y exp0 = La deuxième limite est de la forme 0 0 et on peut utiliser Bernoulli-l Hospital : ln + y 4 lim y 0 y 4 = lim y 0 4y 3 +y 4 4y 3 = Puisque lim fx, 0 lim f0, y la limite lim fx, y n existe pas x 0 y 0 x,y 0,0 Remarque: Ceci est une manière de trouver la réponse, mais d autres méthodes sont aussi possibles Question 5 On calcule la dérivée partielle concernée On trouve f0, h f0, 0 0, 0 = lim y h 0 h Remarque: Pour x, y 0, 0 on a h 5 0 h = lim 4 h 0 h = lim h 0 = y x, y = 5y4 x 4 + y 4 4y 3 x 5 y 5 x 4 + y 4 = y8 5y 4 x 4 4y 3 x 5 x 4 + y 4 et il est facile à montrer en passant en coordonnées polaires par exemple que la limite n existe pas lim x,y 0,0 x, y y Question 6 L équation du plan tangent au graphe de f au point p = p, p est En l occurrence on a et π, π = π y, π = z = fp + p x p + y p y p π f, π = + cosπ π sin = 4 y x + cosy ] sinx cosx ] + siny sinx x x,y= π,π = π x,y= π,π = 4 π, 3

4 Ainsi l équation du plan tangent est z = 4 4 π x π + π y π = 4 4 π x + π y Question 7 La fonction f est de classe C pour x > 0 et y > 0 si bien qu on peut utiliser le gradient pour calculer la dérivée directionnelle On a x π, = x + y cos + ln x + y π ] π sin = x x x 3 x,y=, π, = y x + y cos = x ]x,y=, et donc e f, =, e + y, e = 0 = Remarque: Comme la première composante de e est zéro, on n a en fait même pas besoin de calculer, Question 8 et ainsi On a y x, y = x e siny cosy f y x, y = x e siny cosy siny La quatrième solution est donc la seule possible Question 9 En dérivant l équation f x, y, gx, y = par rapport à x on trouve et donc, puisque g, 3 =, x, y, gx, y + z x, y, gx, y x, y = 0 d où, 3, + z, 3 =, 3, =, 3, z = = 9, 3,, 3 = 0, ] 9yx 6z 6y x,y,z=,3, Question 0 La fonction f est définie par fu, v = g ve u, u e v, u 4

5 Ainsi et comme u, v = ve u, u e v, u ve u u + ve u, u e v, u ue v y + ve u, u e v, u z ] ve u, u e v, u = 0,,, on a u,v=,0, 0 = 0,, 0 + 0,, + 0,, u y z = 0,, + 0,, y z Deuxième partie: Questions du type vrai-faux Question ou encore Si kx = α hx alors l équation différentielle devient et on peut bien séparer les variables y + hx y = α hx y = hx α y La réciproque est plus délicate à démontrer et trop difficile pour un examen QCM où le temps à disposition par question est réduit On a y = kx hx y et on peut séparer les variables si et seulement si c est-à-dire si y = axby, kx hx y = axby En dérivant cette équation par rapport à y on trouve hx = axb y, ce qui implique que b y = b est constante car le côté gauche de l équation ne dépend pas de y En plus b 0 parce que h0 = a0b 0 par hypothèse Il suit que ax = b hx et by = b y + b avec b une deuxième constante Ainsi on a axby = b hx b y + b = hx y b b hx, ce qui veut dire que kx = αhx avec α = b b 5

6 Question de la forme La solution générale d une équation différentielle linéaire du premier ordre est yx = y part x + C y hom x La fonction y x = yx + C est donc solution seulement si y hom x est constante ce qui n est pas toujours le cas Question 3 Oui, comme discuté au cours Question 4 Soient y x et y x des solutions de l équation différentielle a y + b y + c y = qx, avec a, b, c R En remplaçant yx = y x y x dans la partie gauche de cette équation on a a y x + b y x + c yx = a y x a y x + b y x b y x + c y x c y x = a y x + b y x + c y x a y x + b y x + c y x = qx qx = 0 Ainsi yx est bien solution de l équation homogène associée a y + b y + c y = 0 Question 5 Il ne suffit pas de regarder les limites de la forme limites le long de droites pour montrer que lim fαt, βt = 0 t 0 lim fx, y = 0 x,y 0,0 ou encore l existence de cette limite voir les contre-exemples du cours Question 6 Pour une fonction f : R R de classe C on a pour tout x 0, y 0 R f y x 0, y 0 = f y x 0, y 0 mais il n existe en général aucun lien entre les dérivées partielles premières x 0, y 0 et y x 0, y 0 Question 7 Question 8 Oui, ça découle de la définition de différentiable Non, pour h = f g on a J h p = J f gp Jg p Question 9 Oui, voir le cours Question 0 Non, on a f x 0, y 0 = lim x 0 + h, y 0 x 0, y 0 h 0 h Remarque: L expression dans l énoncé n est pas non plus, mais seulement la limite à droite de cette définition puisque h > 0 6