( ) ( ) = u!.v! + u!.w "! ( ) = k u!.v! ( ), k!. ( ).v. u!.v! = u! v! cos u!,v! = AB AB = a 2. = u. Produit scalaire de l espace

Transcription

1 Produit scalaire de l espace I Produit scalaire de deux vecteurs 1 Définition Soit u et v deux vecteurs de l espace A, B et C trois points tels que u """ = AB et v """ = AC Il existe un plan P contenant les points A, B et C Définition On appelle produit scalaire de l'espace de u et v le produit u v égal au produit scalaire AB AC dans le plan P On a ainsi : Si u ou v est nul, alors u v = 0 u v = u v cos u,v ( ) Exemple ABCDEFGH est un cube d arête a u v """ """ = AB DG """ """ = AB AF = AB AB = a 2 2 s Les propriétés dans le plan sont conservées dans l espace Soit u, v " et w trois vecteurs de l espace u u = u " 2 u v = v u u v + w ku ( ) = u v + u w " ( ) = k u v ( ) v = u kv ( ), k TS 1

2 Démonstration Il existe un plan P tel que les vecteurs u et v admettent des représentants dans P Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent 3 Expression du produit scalaire en repère orthonormal Dans un repère orthonormé de l'espace : Le produit scalaire des vecteurs u x y et v x' y' est u v = xx'+ yy'+ zz' z z' La norme du vecteur u x y est u = u u = x 2 + y 2 + z 2 z Démonstration On écrit u = xi + y j + zk et v = x'i + y' j + z'k Exemple On considère le repère orthonormé de l espace C;CB " " ",CD,CG ( ) On a CE 1 et DI 0 1 soit DI 1 1 0,5 0 0,5 Alors CE DI = ( 1 ) +1 0,5 = 0,5 Les vecteurs CE et DI ne sont pas orthogonaux Exercice 1 Soit ABCD un tétraèdre régulier de côté a, I, J et K sont les milieux respectifs de BC, AC et AD 1 Calculer AB AC, AI " BC, IK " AD et BK CD 2 En calculant de 2 façons différentes DA DI, déterminer une valeur approchée de l angle 1 ADI ( DADI = 2 DA ( " DB + DC ) = = DADIcos # ( ADI ) ADI 54,7 ) TS 2

3 IV Orthogonalité dans l espace Par définition, deux vecteurs u et v de l'espace sont orthogonaux si u v = 0 En particulier, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace 1 Droites orthogonales Soit deux droites D et D' de vecteurs directeurs respectifs u et v On a l'équivalence : D est orthogonale à D ' u v = 0 Application 1 Montrer que les droites D et D'de vecteurs directeurs respectifs u = i 3 j + k et v = i + j + 2k, dans un repère orthonormal O;i, j,k ( ) sont orthogonales Application 2 Soit les points A( 1;2;3 ), B 1;0;2 ( CD) sont orthogonales ( ),C( 2;3;1 )et D 1;4;1 ( ) Montrer que les droites ( AB) et 2 Droite orthogonale à un plan Si une droite D est orthogonale à 2 droites sécantes d un plan P, alors D est orthogonale à toute droite de P On dit que D est orthogonale au plan P Soit u un vecteur directeur de D et un plan P de repère A;v,w " ( ) ( v et w " ne sont pas colinéaires) On a l'équivalence : Démonstration D P u v = 0 et u w " = 0 Si D de vecteur directeur u est orthogonale à P, alors D est orthogonale à toute les droites de P donc à deux droites D 1 Donc u v = 0 et u w " = 0 ( ) et ( D 2 ) admettant des vecteurs directeurs respectifs v " et w TS 3

4 " Réciproquement, toute droite D'de P admet un vecteur directeur u' linéaire) de la formeα v + β " w Donc : u " " u' = u α v + β w ( ) = αu v + βu w " = 0, car u v = 0 et u w " = 0 Ainsi, la droite D est orthogonale à toute droite (qui est une combinaison D ' de P, elle est donc orthogonale au plan P Exercice 2 Soit ABCDEFGH un cube On se place dans le repère orthonormal A; AB, AD, AE 1 Déterminer les coordonnées des vecteurs AG, BE et ED 2 Démontrer que( AG) et orthogonal à( BED) ( ) 3 Vecteur normal à un plan Par définition, un vecteur normal à un plan P est un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan P Soit A un point de l'espace et n un vecteur non nul L'ensemble des points M de l'espace vérifiant AM n " = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n Application 1 ABCDEFGH est un cube Démontrer que le vecteur CF est normal au plan ( ABG) Réponse " Coordonnées dans le repère B; BA " ", BC, BF B, C, F et G, puis des vecteurs CF, BG et AB et produit scalaire CF BG et CFAB ( ) des points A, TS 4

5 Application 2 On donne A( 1;2; 2 ), B( 1;3;1 ) et C( 2;0; 2) Déterminer un vecteur normal au plan ( ABC) 4 Equation cartésienne d'un plan L'espace est muni d'un repère orthonormal O;i """, j,k ( ) Un plan P de vecteur normal n a b non nul admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, avec d Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l ensemble des points M x; y;z ax + by + cz + d = 0, avec d, est un plan de vecteur normal n a b Démonstration (exigible au bac) ( ) un point du plan P et n a b Soit A x A ; y A ;z A M P AM n " = 0 a x x A un vecteur normal au plan P ( ) + b( y y A ) + c( z z A ) = 0 ax + by + cz + d = 0 avec d = ax A by A cz A Réciproquement, supposons a 0 (a, b et c sont non tous nuls) On note E l ensembles des points M x; y;z ( ) vérifiant ax + by + cz + d = 0 alors le point A d a ;0;0 vérifie ax + by + cz + d = 0 donc A E Soit un vecteur non nul n a b " AM " d n = a x + a + b y 0, pour tout point M ( x; y;z), on a : ( ) + c( z 0) = ax + by + cz + d = 0 Donc E est l ensemble des points M x; y;z ( ) tels que AM Ainsi, E est le plan passant par A et de vecteur normal n " n " = 0 ( ) tels que TS 5

6 Exemple Le plan d équation x y + 5z +1= 0 admet pour vecteur normal n Application 1 Dans un repère orthonormé, déterminer une équation du plan P passant par le point et de vecteur A( 1;2;1 ) normal n Exercice 3 Dans un repère orthonormé, le plan P a pour équation 2x y + 3z 2 = 0 Soit deux points A 1;2; 3 ( ) 1 Démontrer que la droite AB ( ) et B 1;2;0 ( ) et le plan P sont sécants 2 Déterminer les coordonnées de leur point d intersection Exercice 4 Dans un repère orthonormé, les plans P et P' ont pour équations respectives x + 2y + z 5 = 0 et 2x y + 3z 1= 0 1 Démontrer que les plans P et P' sont sécants 2 Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection d Exercice 5 Dans un repère orthonormal( O;i, j ;k )de l espace, on donne : ( ) B( 2;1; 2 ) C( 1;0; 2 ) A 0;1; 1 1 Démontrer que les points déterminent un plan 2 Déterminer un vecteur n normal du plan ABC ( ) 3 Déterminer une équation du plan ABC ( ) ( ) 4 Déterminer une équation du plan P parallèle au plan AB passant par D 1;2;1 ( ) 5 Déterminer une équation du plan P' perpendiculaire au plan ABC ( ) ( ) passant par D 1;2;3 TS 6