FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS

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1 FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS 1 Dans l espace F(R, R) de toutes les fonctions définies sur R à valeurs réelles, muni des lois usuelles, étudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels : F = {f f() = }, F,1 = {f f() = et f(1) = } F 1 = {f f() = 1}, C 1 = {f continue croissante} S = {f deux fois dérivable f + f = }, B = {f bornée} I = { f continue 1 } f(t) dt =, E l = { f continue } lim f(x) = l x ± 2 On considère l espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres réels (a) Montrer que l ensemble des suites qui convergent vers zéro est un sous-espace vectoriel (b) Montrer que l ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel (c) L ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel? 3 Etant donnés a et b réels fixés, on considère les ensembles suivants : A = {(u n ) n n N, u n+2 = au n+1 + bu n } B = {(u n ) n n N, u n+1 = (an + b)u n } (a) Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels de l espace des suites (b) Montrer qu ils sont de dimension finie et donner la dimension de chacun d eux 4 Soit E le C-espace vectoriel des suites à termes complexes et a, b deux nombres complexes On considère F l ensemble des suites (u n ) de E telles que u n+2 = au n+1 + bu n pour tout n N (a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E (b) Soit r un nombre complexe Montrer que la suite (r n ) appartient à F si et seulement si r 2 = ar + b On suppose désormais que a = 2 et b = 5 (c) Trouver deux nombres complexes α et β tels que les suites (α n ) et (β n ) appartiennent à F (d) Soient (u n ) et (v n ) des suites appartenant à F telles que u = v et u 1 = v 1 Montrer que u n = v n pour tout n N (e) Soit (u n ) une suite appartenant à F Montrer qu il existe des nombres complexes λ et µ tels que u n = λα n + µβ n pour tout n N (f) Donner une base et la dimension de F 5 Les systèmes de vecteurs suivants de R 2 sont-ils des systèmes libres ou liés? Sont-ils des bases? Pour chacun de ces systèmes, donner son rang Pour les systèmes liés en extraire un système libre et pour les systèmes libres les compléter par des vecteurs de la base canonique pour obtenir une base de R 2 {(2, 1), ( 1, 1)} ; {( 6, 2), (9, 3)} ; {(, 2), (1, 2), ( 1, 2)} 1

2 6 Les systèmes de vecteurs suivants de R 3 sont-ils des systèmes libres ou liés? Sont-ils des bases? Pour chacun de ces systèmes, donner son rang Pour les systèmes liés en extraire un système libre et pour les systèmes libres les compléter par des vecteurs de la base canonique pour obtenir une base de R3 {(1, 1, 1), ( 1, 1, 1)} ; {(1,, 1), ( 1, 1, ), (, 1, 1)} ; {(1, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 1)} ; {(1, 5, 15), ( 4, 2, 6)} ; {(1, 1, ), (, 1, 1), (1,, 1), ( 1, 1, 1)} 7 (a) Dans R[X] on donne les polynômes P 1 (X) = X(X 1)(X 2), P 2 (X) = X(X 2)(X 3), P 3 (X) = X(X 1)(X 3), P 4 (X) = (X 1)(X 2)(X 3) Forment-ils un système libre? (b) Même question avec les polynômes Q 1 (X) = (X 1) 3, Q 2 (X) = (X 1) 2 (X 2), Q 3 (X) = (X 1)(X 2) 2, Q 4 (X) = (X 2) 3 8 Dans F(R, R) on considère les fonctions f k et g k définies par f (x) = 1, f k (x) = cos kx et g k (x) = sin kx pour tout entier k compris entre 1 et n (a) Montrer par récurrence que (f, f 1, g 1,, f n, g n ) forme un système libre (b) Soit A le sous-espace vectoriel de F(R, R) engendré par (f, f 1, g 1, f 2, g 2 ) et soit h l application de R dans R définie parh(x) = 1+sin x+sin 2x Après avoir donné une base et la dimension de A, déterminer si le système formé de h et de ses 4 premières dérivées est une base de A 9 On considère les vecteurs de R 4 suivants : u 1 = (2, 1,, 3), u 2 = (3, 1, 5, 2), u 3 = ( 1,, 2, 1) Le vecteur v = (2, 3, 7, 3) appartient-il au sous-espace vectoriel F engendré par u 1, u 2, u 3? Déterminer une base de F Dans le cas où v F, déterminer les coordonnées de v dans cette base 1 On considère les vecteurs de C 3 suivants : u 1 = (1 i, i, 1 + i), u 2 = ( 1, 1, 3), u 3 = (1 i, i, i) (a) Montrer que (u 1, u 2, u 3 ) est une base de C 3 (b) Calculer les coordonnées du vecteur v = (1 + i, 2, i) dans la base (u 1, u 2, u 3 ) 11 Soit E un espace vectoriel sur un corps K et x 1,, x n, n vecteurs de E 1) On considère les vecteurs y 1 = x 1 x 2, y 2 = x 2 x 3,,y n 1 = x n 1 x n et y n = x n x 1 Sont-ils linéairement indépendants? 2

3 2) On suppose que n est impair Montrer que si les vecteurs x 1,, x n sont linéairement indépendants alors il en est de même des vecteurs y 1 = x 1 +x 2, y 2 = x 2 +x 3,,y n 1 = x n 1 +x n et y n = x n + x 1 Que se passe-t-il si n est pair? 12 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel E Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F G ou G F 13 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K Montrer que si E F est de dimension finie alors E et F sont de dimension finie 14 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit f : E F une application vérifiant la propriété suivante : pour tous vecteurs x, y de E et tous λ, µ K, on a : f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) 1) Montrer que f() = 2) Soient x 1,, x n des vecteurs de E et λ 1,, λ n des scalaires Montrer que : ( ) f λ i x i = λ i f(x i ) 3) Soit G un sous-espace vectoriel de E Montrer que f(g) est un sous-espace vectoriel de F 4) Soit H un sous-espace vectoriel de F Montrer que f 1 (H) est un sous-espace vectoriel de E 5) Soit (u 1,, u n ) un système générateur de G Montrer que (f(u 1 ),, f(u n )) engendre f(g) 6) On suppose désormais que f 1 ({}) = {} Montrer que si (u 1,, u n ) est une base de G alors (f(u 1 ),, f(u n )) est une base de f(g) 15 Soit E un espace vectoriel sur un corps K de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E Soit H le sous-ensemble de E défini par : H = {x E x = y + z, où y F et z G} 1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E 2) On suppose que F G = {} Montrer que H = E si et seulement si dim F + dim G = dim E 3

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5 Corrigé 1 Il s agit de tester si les sous-ensembles de F(R, R) proposés contiennent la fonction nulle, et sont stables par addition et multiplication par un scalaire F La fonction appartient à F Si f et g sont dans F et λ dans R, alors (f + g)() = f() + g() = et (λf)() = λf() =, donc f + g et λf sont dans F qui est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) F 1 La fonction n appartient pas à F 1 qui n est donc pas un sous-espace vectoriel de F(R, R) S La fonction appartient à S Si f et g sont dans S et λ dans R, alors f et g sont deux fois dérivables, donc f + g et λf également, et (f + g) + (f + g) = f + g + f + g = (f + f) + (g + g) =, ainsi que (λf) + (λf) = λf + λf = λ(f + f) = Donc f + g et λf sont dans S qui est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) I La fonction est continue et son intégrale sur [, 1 ] est nulle Elle appartient donc à I Si f et g sont dans I et λ dans R, alors f et g sont continues, donc f + g et λf également, et ainsi que 1 (f + g)(t) dt = 1 1 (λf)(t) dt = (f(t) + g(t)) dt = 1 1 f(t) dt λf(t) dt = λ dt = g(t) dt =, Donc f + g et λf sont dans I qui est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) F,1 La fonction appartient à F,1 Si f et g sont dans F,1 et λ dans R, alors (f + g)() = f() + g() = et (λf)() = λf() =, ainsi que (f + g)(1) = f(1) + g(1) = et (λf)(1) = λf(1) =, donc f + g et λf sont dans F,1 qui est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) 5

6 C 1 Si l on prend la fonction f : x x qui est continue et croissante et λ = 1, la fonction λf n est plus croissante Donc C 1 n est pas un sous-espace vectoriel de F(R, R) B La fonction est bornée Si f et g sont bornées, il existe des nombres K 1 et K 2 tels que, quel que soit x réel, f(x) K 1 et g(x) K 2, donc et (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) K 1 + K 2, (λf)(x) = λf(x) = λ f(x) λ K 1 Les fonctions f + g et λf sont bornées, donc S est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) E l Si l, la fonction n appartient pas à E l qui n est donc pas un sous-espace vectoriel de F(R, R) Si l =, la fonction est dans E l Si f et g sont dans E et λ dans R, alors et lim (f + g)(x) = lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) =, x ± x ± x ± x ± lim (λf)(x) = x ± lim (λf(x)) = λ lim f(x) =, x ± x ± donc f + g et λf sont dans E qui est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) 2 Il s agit de tester si les sous-ensembles de F(N, R) proposés contiennent la suite nulle, et sont stables par addition et multiplication par un scalaire (a) La suite appartient à F Si u et v convergent vers et si λ appartient à R, alors lim(u + v) = lim u + lim v = et lim(λu) = λ lim u =, donc u + v et λu ont pour limite, et le sous-ensemble des suites qui convergent vers est bien un sous-espace vectoriel de F(R, R) (b) La suite est bornée Si u et v sont bornées, il existe des nombres K 1 et K 2 tels que, quel que soit n entier naturel, u n K 1 et v n K 2, donc et (u + v) n = u n + v n u n + v n K 1 + K 2, (λu) n = λu n = λ u n λ K 1 6

7 Les suites u + v et λu sont bornées L ensemble des suites bornées est bien un sous-espace vectoriel de F(N, R) (c) On sait que la somme de deux suites convergentes est convergente, et que si u est convergente et λ réel la suite λu est aussi convergente Donc l ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de F(N, R) 3 A La suite nulle appartient à A Si u et v appartiennent à A et si λ appartient à R, alors, pour tout entier n, u n+2 + v n+2 = a(u n+1 + v n+1 ) + b(u n + v n ) et λu n+1 = a(λu n+1 ) + b(λu n ), donc u + v et λu appartiennent à A qui est bien un sous-espace vectoriel de F(N, R) Posons A = ( ) a b 1 et U n = Alors, si u appartient à A, on a, si n, ( ) ( ) un+2 aun+1 + bu U n+1 = = n = donc u n+1 u n+1 U n = A n U ( un+1 u n ( a b 1 ) ) ( ) un+1 = AU n, Et inversement si la suite (U n ) n vérifie la relation ci-dessus, la suite u appartient à A En notant, si n, ( ) A n αn β = n, on a donc et, si n, on en déduit que γ n γ n δ n ( ) ( ) U n = A n αn β U = n u1, δ n u n = γ n u 1 + δ n u On a donc trouvé deux suites γ et δ telles que u = u 1 γ + u δ Les suites γ et δ forment un système générateur de A ( ) 1 Les suites γ et δ sont dans A La première provient de la donnée U =, et la seconde de la ( ) donnée U = 1 ( ) ( ) 1 a b Remarquons que A = I = et A 1 1 = A = on en déduit donc 1 Alors, si l on a pour tout n la relation u γ =, γ 1 = 1, δ = 1, δ 1 = λγ n + µδ n =, u n 7

8 on en déduit µ =, en prenant n =, et λ = en prenant n = 1 Il en résulte que les suites γ et δ forment un système libre de A Elles forment donc une base et A est de dimension 2 B Notons a n = an + b On a donc B = {(u n ) n n N, u n+1 = a n u n } La suite nulle appartient à B Si u et v appartiennent à B et si λ appartient à R, alors, pour tout entier n, u n+1 + v n+1 = a n (u n + v n ) et λu n+1 = a n (λu n ), donc u + v et λu appartiennent à B qui est bien un sous-espace vectoriel de F(N, R) Si u appartient à B, on a alors, pour tout entier n 1, Si l on définit une suite α en posant u n = (a n 1 a n 2 a )u α n = { an 1 a n 2 a si n 1 1 si n =, on a alors u = u α La suite α appartient à B, et tout élément de B est un multiple de α Il en résulte que B est un sous-espace vectoriel de dimension 1 de F(N, R) 4 (a) La suite nulle appartient à F Si u et v appartiennent à F et si λ appartient à C, alors, pour tout entier n, u n+2 + v n+2 = a(u n+1 + v n+1 ) + b(u n + v n ) et λu n+1 = a(λu n+1 ) + b(λu n ), donc u + v et λu appartiennent à F qui est bien un sous-espace vectoriel de E = F(N, C) (b) Dire que (r n ) appartient à F, signifie que l on a pour tout entier n En particulier, ceci est vrai si n = et l on a (avec la convention = 1 si r = ) r n+2 = ar n+1 + br n r 2 = ar + b Réciproquement si on a cette relation, en multipliant par r n, on obtient r n+2 = ar n+1 + br n (c) Si a = 2 et b = 5, l équation r 2 ar b = a pour racines complexes α = 1 + 2i et β = 1 2i, et les suites (α n ) et (β n ) sont dans F 8

9 (d) On démontre par récurrence que l on a pour tout n l égalité u n = v n Par hypothèse, c est vrai si n = et n = 1 Supposons la propriété vraie aux rangs n + 1 et n où n Alors v n = u n et v n+1 = u n+1 On en déduit donc v n+2 = av n+1 + bv n = au n+1 + bu n = u n+2 Donc la propriété est encore vraie au rang n + 2 Il en résulte qu elle sera vraie pour tout n (e) Soit (u n ) un élément de F, d après ce qui précède, si l on a u n = λα n + µβ n, pour n = et n = 1, alors l égalité sera vraie pour tout n On est alors ramené au système { λ + µ = u λα + µβ = u 1 ce système de deux équations à deux inconnues se résout facilement, et on trouve λ = βu u 1 β α et µ = u 1 αu β α (f) Il résulte de ce qui précède que les suites (α n ) et (β n ) forment une base de F Si l on avait, pour tout n l égalité λα n + µβ n =, en reprenant le calcul de la question précédente avec u n =, on trouve λ = µ = Donc les suites (α n ) et (β n ) ne sont pas colinéaires Il en résulte qu elles forment un système libre, donc une base de F 5 {(2, 1), ( 1, 1)} Partons de l égalité λ(2, 1) + µ( 1, 1) = (, ), elle équivaut au système d équations { 2λ µ = λ + µ = En additionnant, on tire immédiatement λ = puis on en déduit µ = Le système de vecteurs est donc libre {( 6, 2), (9, 3)} On constate que 3( 6, 2) + 2(9, 3) =, les vecteurs sont liés Par contre ( 6, 2) n étant pas nul, il forme un système libre 9

10 {(, 2), (1, 2), ( 1, 2)} Le système contient 3 vecteurs Comme R 2 est de dimension 2, le système ne peut être libre Si l on prend les deux premiers vecteurs, l égalité λ(, 2) + µ(1, 2) = (, ), équivaut au système d équations { µ = 2λ + 2µ = d où l on tire λ = µ = Le système de vecteurs ((, 2), (1, 2)) est donc libre, et forme une base de R 2 6 {(1, 1, 1), ( 1, 1, 1)} Partons de l égalité elle équivaut au système d équations λ(1, 1, 1) + µ( 1, 1, 1) = (,, ), λ µ = λ + µ = λ + µ = En effectuant un pivot, pour résoudre ce système, on a (en omettant le second membre nul),, Le système est donc équivalent à { λ = 2µ = on obtient donc λ = µ = et le système est libre Si l on ajoute le vecteur (,, 1), l équation conduit au système de vecteurs λ(1, 1, 1) + µ( 1, 1, 1) + ν(,, 1) = (,, ), λ µ = λ + µ = λ + µ + ν = Si l on effectue un pivot sur ce système, on est amené à refaire le pivot précédent en ajoutant une colonne qui est inchangée dans les premiers calculs et le système donne λ = µ = ν = Le système ((1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (,, 1)) est donc libre et forme une base de R 3 1

11 {(1,, 1), ( 1, 1, ), (, 1, 1)} Il est facile de voir que la somme de ces trois vecteurs est nulle Le système de vecteurs n est pas libre On peut également le voir en partant de l égalité λ(1,, 1) + µ( 1, 1, ) + ν(, 1, 1) = (,, ) Elle équivaut au système d équations On le résout par un pivot λ µ = µ ν = λ + ν = Le système équivaut à { λ ν = µ ν = on trouve ν = µ = λ Par contre si l on supprime le dernier vecteur, on obtient cette fois µ = λ = et le système formé des deux premiers vecteurs est libre {(1, 1, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 1)} Partons de l égalité λ(1, 1, 1) + µ(2, 1, 2) + ν(1, 2, 1) = (,, ), elle équivaut au système d équations λ + 2µ + ν = λ µ 2ν = λ + 2µ ν = En effectuant un pivot, pour résoudre ce système, on a, Le système d équations a donc comme solution λ = µ = ν = et le système de vecteurs est libre C est une base de R 3 {(1, 5, 15), ( 4, 2, 6)} On voit que 2(1, 5, 15) + 5( 4, 2, 6) = (,, ) Le système de vecteurs est donc lié, et (1, 5, 15) qui n est pas nul, forme un système libre 11

12 {(1, 1, ), (, 1, 1), (1,, 1), ( 1, 1, 1)} Le système contient quatre vecteurs Dans R 3, il ne peut être libre Effectuons un pivot sur ces vecteurs On constate que le système d équations λ + ν = λ + µ = µ + ν = provenant de l égalité λ(1, 1, ) + µ(, 1, 1) + ν(1,, 1) = (,, ), a comme unique solution λ = µ = ν = Le système ((1, 1, ), (, 1, 1), (1,, 1)) est libre, et c est aussi une base de R 3 7 (a) Posons On a alors P (X) = λ 1 P 1 (X) + λ 2 P 2 (X) + λ 3 P 3 (X) + λ 4 P 4 (X), P () = 6λ 4, P (1) = 2λ 2, P (2) = 2λ 3, P (3) = 6λ 1 Alors si P est le polynôme nul, on a en particulier P () = P (1) = P (2) = P (3) =, d où l on déduit λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = Donc le système (P 1, P 2, P 3, P 4 ) est un système libre de R[X] (b) Posons On a alors Q(X) = λ 1 Q 1 (X) + λ 2 Q 2 (X) + λ 3 Q 3 (X) + λ 4 Q 4 (X), Q(1) = λ 4, Q(2) = λ 1 Alors si Q est le polynôme nul, on a en particulier Q(1) = Q(2) =, d où l on déduit λ 1 = λ 4 = Il reste alors λ 2 Q 2 (X) + λ 3 Q 3 (X) = On peut diviser par (X 1)(X 2) et l on obtient R(X) = λ 2 (X 1) + λ 3 (X 2) = Mais alors R(1) = λ 3 = et R(2) = λ 2 = Finalement λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = Donc le système (Q 1, Q 2, Q 3, Q 4 ) est un système libre de R[X] 8 (a) On montre par récurrence, que pour tout entier n, le système (f, f 1, g 1,, f n, g n ) est libre Initialisation : si n =, la fonction f n étant pas la fonction nulle, elle forme un système libre Hérédité : on suppose que le système (f, f 1, g 1,, f n, g n ) est libre Considérons le système (f, f 1, g 1,, f n, g n, f n+1, g n+1 ), et écrivons une combinaison linéaire des éléments de ce système 12

13 (1) λ f + En remarquant que, si j 1, on obtient en dérivant 2 fois (2) λ j j 2 f j j=1 λ j f j + j=1 µ j g j + λ n+1 f n+1 + µ n+1 g n+1 = j=1 f =, f j = j 2 f j et g j = j 2 g j, µ j j 2 g j λ n+1 (n + 1) 2 f n+1 µ n+1 (n + 1) 2 g n+1 = j=1 En multipliant par (n + 1) 2 l équation (1) et en l ajoutant à l équation (2), on trouve (n + 1) 2 λ f + ((n + 1) 2 j 2 )λ j f j + j=1 et en utilisant l hypothèse de récurrence, on obtient, si 1 j n, ((n + 1) 2 j 2 )µ j g j =, j=1 (n + 1) 2 λ = ((n + 1) 2 j 2 )λ j = ((n + 1) 2 j 2 )µ j = Comme (n + 1) 2 j 2 n est pas nul, on a donc λ = λ j = µ j = Finalement, il reste λ n+1 f n+1 + µ n+1 g n+1 = En particulier λ n+1 = λ n+1 f n+1 () + µ n+1 g n+1 () =, ce qui donne λ n+1 =, et comme g n+1 n est pas la fonction nulle, il en résulte aussi µ n+1 = On en déduit que le système (f, f 1, g 1,, f n, g n ) est libre La propriété est donc vraie au rang n + 1 Il en résulte qu elle est vraie pour tout n (b) Les fonctions (f, f 1, g 1, f 2, g 2 ) forment un système libre Elles engendrent un espace A de dimension 5 On a h = f + g 1 + g 2, donc en dérivant h = f 1 + 2f 2, h = g 1 4g 2, h (3) = f 1 8f 2, h (4) = g g 2 Partons de la combinaison linéaire α h + α 1 h + α 2 h + α 3 h (3) + α 4 h (4) ) = Si l on remplace les fonctions par leur expression, on trouve α (f + g 1 + g 2 ) + α 1 (f 1 + 2f 2 ) + α 2 ( g 1 4g 2 ) + α 3 ( f 1 8f 2 ) + α 4 (g g 2 ) =, et donc α f + (α 1 α 3 )f 1 + (α α 2 + α 4 )g 1 + (2α 1 8α 3 )f 2 + (α 4α α 4 )g 2 = 13

14 ceci est donc équivalent au système α = α 1 α 3 = α α 2 + α 4 = 2α 1 8α 3 = α 4α α 4 = On résout ce système par la méthode du pivot On en déduit α = α 1 = α 2 = α 3 = α 4 =, et le système (g, g, g, g (3), g (4) ) est libre C est donc aussi une base de A 9 On cherche s il existe λ 1, λ 2, λ 3 tels que Ceci équivaut au système d équations que l on résout par un pivot λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v 2λ 1 + 3λ 2 λ 3 = 2 λ 1 λ 2 = 3 5λ 2 + 2λ 3 = 7 3λ 1 + 2λ 2 + λ 3 = Le système devient Donc Le vecteur v appartient bien à F λ 3 = 1 λ 1 = 2 1λ 2 = 1 v = 2u 1 u 2 u 3 14

15 1 On cherche s il existe λ 1, λ 2, λ 3 tels que λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = u Avec successivement u = (,, ), et u = (1 + i, 2, i) Comme λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = ((1 i)λ 1 λ 2 + (1 i)λ 3, iλ 1 + λ 2 + iλ 3, (1 + i)λ 1 + 3λ 2 + iλ 3 ), on résout les systèmes par un pivot sur le tableau de nombres 1 i 1 1 i 1 + i i i i 1 i 2 i 1 i i 1 + i 3 i i 1 2i 2i i 6 1 7i i 3 3i 7i 8 Les solutions de l équation λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = sont λ 1 = λ 2 = λ 3 =, et le système (u 1, u 2, u 3 ) est libre, donc c est une base de C 3 Les solutions de l équation λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = v sont λ 1 = 8 + 7i, λ 2 = 3 3i, λ 3 = 11 6i Ce sont les coordonnées de v dans la base (u 1, u 2, u 3 ) 11 1) On constate que y 1 +y 2 + +y n = Le système (y 1,, y n ) n est donc pas linéairement indépendant b) Si l on a on obtient en remplaçant y i par sa valeur λ 1 y λ n y n =, (λ 1 + λ n )x 1 + (λ 2 + λ 1 )x (λ n + λ n 1 )x n = Comme le système de vecteurs (x 1,, x n ) est libre, cela implique le système d équations λ 1 + λ n = λ 2 + λ 1 = λ n + λ n 1 = En particulier, pour k compris entre 2 et n, on a λ k = λ k 1 On a donc une suite géométrique de raison 1, donc λ k = ( 1) k 1 λ 1, et en particulier λ n = ( 1) n 1 λ 1 Si n est impair, on a donc λ n = λ 1, mais aussi λ 1 + λ n = On en déduit λ 1 =, et par suite, tous les λ i sont nuls Le système est donc libre dans ce cas Si n = 2s est pair, on a et le système est lié y 1 y 2 + y 3 y y 2s 1 y 2s =, 15

16 12 Supposons que F G soit un sous-espace vectoriel de E, et que G ne soit pas inclus dans F Il existe donc un élément g appartenant à G et pas à F Mais puisque G est inclus dans F G, le vecteur g est dans F G Soit alors f dans F Il est également dans F G Comme F G est un sous-espace de E, il contient en particulier f + g Si f + g appartenait F, alors g = (f + g) f appartiendrait à F, ce qui n est pas le cas Donc f + g n appartient pas à F Comme il est dans F G, c est qu il appartient à G, alors f = (f + g) g appartient aussi à G Donc F est inclus dans G Finalement si F G est un sous-espace vectoriel de E alors F G ou G F Réciproquement, si F G, alors F G = G est un sous-espace de E De même, si G F, alors F G = F est un sous-espace de E 13 Si E F est de dimension finie, soit B = ((e 1, f 1 ), (e n, f n )) une base de E F Si e appartient à E, alors (e, ) est dans E F, donc se décompose dans la base B Il existe λ 1,, λ n dans K tels que (e, ) = λ 1 (e 1, f 1 ) + + λ n (e n, f n ), et l on en déduit e = λ 1 e λ n e n Il en résulte que (e 1,, e n ) est un système générateur fini de E, et donc que E est de dimension finie On démontre de la même manière que (f 1,, f n ) est un système générateur fini de F, et donc que F est aussi de dimension finie 14 1) En prenant λ = µ =, on a f() = 2) On démontre par récurrence la propriété P n suivante : ( ) ( (x 1,, x n ) E n ) ( (λ 1,, λ n ) K n ) f λ i x i = Initialisation : en prenant µ = dans la relation λ i f(x i ) f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) on obtient, ce qui est la propriété au rang 1 f(λx) = λf(x), Hérédité : supposons la propriété vraie au rang n Et soient (x 1,, x n, x n+1 ) dans E n+1 et (λ 1,, λ n, λ n+1 ) dans K n+1 Posons Alors f ( n+1 y = λ i x i ) λ i x i = f(λ n+1 x n+1 + y) = λ n+1 f(x n+1 ) + f(y) Mais en utilisant l hypothèse de récurrence ( ) f(y) = f λ i x i = 16 λ i f(x i )

17 Donc f ( n+1 ) λ i x i = λ n+1 f(x n+1 ) + n+1 λ i f(x i ) = λ i f(x i ) La propriété est donc vraie au rang n + 1 Il en résulte qu elle est vraie pour tout n 3) Soit G un sous-espace vectoriel de E Alors f(g) est un sous-ensemble de F contenant f() = Soient y 1 et y 2 dans f(g) et λ 1 et λ 2 dans K Il existe x 1 et x 2 dans G tels que f(x 1 ) = y 1 et f(x 2 ) = y 2 Alors f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 Or x = λ 1 x 1 +λ 2 x 2 appartient à G et f(x) = λ 1 y 1 +λ 2 y 2 Il en résulte que λ 1 y 1 +λ 2 y 2 appatrient à f(g) qui est un sous-espace vectoriel de F 4) Soit H un sous-espace vectoriel de F Alors f 1 (H) est un sous-ensemble de E qui contient, puisque f() = appartient à H Soient x 1 et x 2 dans f 1 (H) et λ 1 et λ 2 dans K Alors f(x 1 ) et f(x 2 ) sont dans H, donc λ 1 f(x 1 ) + λ 2 f(x 2 ) aussi Mais ce vecteur vaut f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) Il en résulte que λ 1 x 1 + λ 2 x 2 est dans f 1 (H) qui est un sous-espace vectoriel de E 5) Si (u 1,, u n ) est un système générateur de G, et si y appartient à f(g), il existe x dans G tel que f(x) = y Mais alors, il existe (λ 1,, λ n ) dans K n tel que On en déduit x = λ 1 u λ n u n y = f(x) = f(λ 1 u λ n u n ) = λ 1 f(u 1 ) + λ n f(u n ) Donc tout élément de G s écrit comme combinaison linéaire de (f(u 1 ),, f(u n )) Il en résulte que ce système est générateur de f(g) 6) Si l on a on a également λ 1 f(u 1 ) + + λ n f(u n ) =, f(λ 1 u λ n u n ) =, mais comme on a supposé que f 1 ({}) = {}, ceci implique λ 1 u λ n u n =, et puisque (u 1,, u n ) est un système libre de G, on en déduit λ 1 = = λ n = Il en résulte que (f(u 1 ),, f(u n )) est un système libre Puisque c est aussi un système générateur de f(g), c est donc une base de de f(g) 15 1) H est un sous-ensemble de E et contient F et G, car y dans F s écrit y = y + avec dans G et z dans G s écrit z = + z avec dans F Soient x 1 et x 2 dans H Il existe y 1, y 2 dans F et z 1 et z 2 dans G tels que x 1 = y 1 + z 1 et x 2 = y 2 + z 2 Soient λ 1 et λ 2 dans K Alors λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = (λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) + (λ 1 z 1 + λ 2 z 2 ) 17

18 Mais y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 est dans F et z = λ 1 z 1 + λ 2 z 2 est dans G Alors x = y + z est bien dans H qui est donc un sous-espace vectoriel de E 2) Soit (y 1,, y p ) une base de F et (z 1,, z q ) une base de G Le système B = (y 1,, y p, z 1,, z a ) est un système de vecteurs de H Si l on prend x = y + z dans H, où y est dans F et z est dans G, on peut écrire y et z sous la forme y = λ 1 y λ p y p et z = µ 1 z µ q z q Alors x = λ 1 y λ p y p + µ 1 z µ q z q, et il en résulte que le système B est un système générateur de H Cherchons si ce système est libre Si l on a on peut écrire λ 1 y λ p y p + µ 1 z µ q z q =, λ 1 y λ p y p = (µ 1 z µ q z q ), mais λ 1 y λ p y p est dans F et (µ 1 z µ q z q ) est dans G Comme ces vecteurs sont égaux, ils sont dans F G donc nuls Mais implique λ 1 = = λ p =, et λ 1 y λ p y p = µ 1 z µ q z q = implique µ 1 = = µ q = Il en résulte que B est un système libre de H C est donc une base de H Si l on a H = E, alors B est une base de E donc p + q = dim E c est-à-dire dim F + dim G = dim E Réciproquement, si l on a p + q = dim E, comme B est un système libre, c est une base de E, et comme B engendre H, alors H = E 18