GÉOMÉTRIE PLANE. 1 Mode de repérage. 1.1 Coordonnées cartésiennes. Remarque. On appelle plan vectoriel l ensemble des vecteurs du plan.

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1 GÉOMÉTRIE PLANE 1 Mode de repérage 1.1 Coordonnées cartésiennes Remarque. On appelle plan vectoriel l ensemble des vecteurs du plan. Définition 1.1 (Base) On appelle base du plan vectoriel tout couple de vecteurs ( ı, j) non colinéaires. Définition 1.2 (Repère cartésien) On appelle repère cartésien du plan affine P tout triplet R = (O, ı, j) où O est un point de P appelé origine et ( ı, j) une base du plan vectoriel. Proposition 1.3 (Coordonnées cartésiennes) Pour tout vecteur u du plan, il existe un unique couple (x,y) de réels tels que u = x ı+y j. Le couple (x,y) s appelle les coordonnées cartésiennes du vecteur u. Pour tout point M du plan, les coordonnées cartésiennes (x,y) du vecteur OM # sont appelées les coordonnées cartésiennes du point M. Remarque. L unicité se traduit par le fait que si x ı+y j = x ı+y j alors x = x et y = y. Grâce à l unicité, on peut identifier le plan affine et le plan vectoriel à R 2. Si (x,y) R 2, on pourra donc parler du point ou du vecteur (x,y) plutôt que du point ou du vecteur de coordonnées (x,y). EXERCICE 1. Changement de base Soit B 0 = ( # u 0, # v 0 ) une base de P. On note # u = 2 # u 0 +3 # v 0 et # v = # u0 + # v Prouver que la famille B = ( # u, # v) est une base de P. 2. Déterminer les coordonnées du vecteur # w = 6 # u 0 +3 # v 0 dans la base B. On suppose maintenant qu on a orienté le plan, c est-à-dire qu on a choisi un sens positif de parcours du cercle trigonométrique : on choisit usuelement le sens inverse des aiguilles d une montre appelé sens direct ou trigonométrique. Définition 1.4 (Base orthonormale) On appelle base orthonormale du plan vectoriel toute base( ı, j) formée de deux vecteurs unitaires orthogonaux. On dit que la base est directe (resp. indirecte) si l angle orienté ( ı, j) vaut + π 2 (resp. π 2 ). 1

2 Définition 1.5 (Repère orthonormal) On appelle repère orthonormal tout repère cartésien (O, ı, j) où ( ı, j) est une base orthonormée. De plus, le repère orthonormal est dit direct (resp. indirect) si la base ( ı, j) est directe (resp. indirecte). 1.2 Affixe Définition 1.6 On suppose le plan affine muni d un repère orthonormal R = (O, ı, j). Soit z C. On appelle image du complexe z le point de coordonnées (Re(z), Im(z)). Soit M un point de coordonnées (x,y). On appelle affixe du point M le complexe x+iy. Soit u un vecteur de coordonnées (x,y). On appelle affixe du vecteur u le complexe x+iy. Remarque. Comme précédemment, on peut identifier le plan vectoriel et le plan affine à C. Si z C, on pourra donc parler du point ou du vecteur z plutôt que du point ou du vecteur d affixe z. 1.3 Coordonnées polaires Dans toute cette section, on suppose donné un repère orthonormal R = (O, ı, j) du plan affine. Définition 1.7 (Repère polaire) v(θ) Soit θ R. On note u(θ) et v(θ) les vecteurs d affixes e iθ et e i(θ+ π 2 ) = ie iθ. Le repère orthonormal direct (O, u(θ), v(θ)) est appelé repère polaire d angle θ. j θ u(θ) O ı Remarque. et u(θ) = cosθ ı+sinθ j et ı = cosθ u(θ) sinθ v(θ) et v(θ) = sinθ ı+cosθ j j = sinθ u(θ)+cosθ v(θ) Il suffit de retenir la première formule. En effet, si l on prend (O, u(θ), v(θ)) comme repère de référence, alors (O, ı, j) est le repère polaire d angle θ : on déduit donc la seconde formule de la première en échangeant ı et u(θ), j et v(θ) et en changeant θ en θ. Définition 1.8 On appelle coordonnées polaires d un point M tout couple de réels [r,θ] tel que # OM = r u(θ). 2

3 Proposition 1.9 Tout point admet des coordonnées polaires. Si [r 1,θ 1 ] et [r 2,θ 2 ] sont deux couples de coordonnées polaires du même point alors on a : r 1 = r 2 et θ 1 θ 2 [2π] ou r 1 = r 2 et θ 1 θ 2 +π[2π] Attention! Contrairement au cadre cartésien, il n y a pas unicité des coordonnées polaires. Par convention, on préfère néanmoins travailler avec r 0 et θ ] π;π]. Proposition 1.10 (Lien entre coordonnées cartésiennes et polaires) Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires [r,θ]. Alors x = r cosθ y = r sinθ r 2 = x 2 +y 2 Proposition 1.11 (Lien entre affixe et coordonnées polaires) Soit M un point d affixe z et de coordonnées polaires [r,θ]. Alors r = z et θ arg(z)[2π] ou r = z et θ arg(z)+π[2π] EXERCICE 2. Trouver un couple de coordonnées polaires du point de coordonnées cartésiennes ( 6, 2). 1.4 Changement de repère orthonormal direct Si (O, ı, j) est un repère orthonormal direct du plan, alors tous les autres repères orthonormaux directs du plan sont de la forme (Ω, u(θ), v(θ)). Le passage d un repère à l autre se fait de la manière suivante. Changement de repère orthonormal direct Soit M un point de coordonnées (x,y) dans le repère (O, ı, j) et de coordonnées (x,y ) dans un repère (Ω, u(θ), v(θ)) où Ω est un point du plan de coordonnées (x Ω,y Ω ) et θ R. Ainsi Or on sait que : # OM = x ı+y j et # ΩM = x u(θ)+y vθ u(θ) = cosθ ı+sinθ j v(θ) = sinθ ı+cosθ j ı = cosθ u(θ) sinθ v(θ) j = sinθ u(θ)+cosθ v(θ) On en tire donc les formules de changement de repère : { x = x Ω +x cosθ y sinθ y = y Ω +x sinθ+y cosθ et { x = (x x Ω )cosθ+(y y Ω )sinθ y = (x x Ω )sinθ+(y y Ω )cosθ 3

4 Remarque. Il est bien entendu impossible de retenir ces formules : il faut donc savoir les retrouver. EXERCICE 3. Changement de rond Soient B = (O, # u, # v) un repère orthonormé direct de P et B la base obtenue en faisant tourner B = ( # u, # v) de +π/4. On note O le point de coordonnées (2, 2) R dans R. On pose R = (O,B ). Exprimer les formules du changement de repère R R. 2 Barycentre Définition 2.1 SoitA 1,...,A n des points du plan et α 1,...,α n des réels tels que de points pondérés {(A 1,α 1 ),...,(A n,α n )} l unique point G du plan tel que n i=1 α i # GA i = 0 n α i 0. On appelle barycentre du système i=1 Proposition 2.2 Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A 1,λ 1 ),...,(A n,λ n )}. Alors pour tout point M du plan : ( n n ) # # λ i MA i = λ i MG i=1 i=1 Proposition 2.3 Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A 1,λ 1 ),...,(A n,λ n )}. Soit R un repère du plan. Notons (x i,y i ) les coordonnées du point A i pour 1 i n. Les coordonnées de G sont : n i=1 x G = λ ix i n i=1 λ i n i=1 y G = λ iy i n i=1 λ i Proposition 2.4 (Associativité du barycentre) Soient I un ensemble fini et {(A i,λ i )} i I un système de points pondérés tel que i I λ i 0. On appelle G le barycentre de ce système. Soit (I k ) 1 k n une partition de I. Pour tout k 1,n, on pose Λ k = i I k λ i et on suppose Λ k 0; on définit le barycentre G k du système de points pondérés {(A i,λ i )} i Ik. Alors G est le barycentre de la famille de points pondérés ((G k,λ k )) 1 k n. 3 Outils vectoriels 3.1 Produit scalaire 4

5 Définition 3.1 (Définition géométrique du produit scalaire) Soit u et v deux vecteurs du plan. On définit le produit scalaire de u et v par u. v = { u v cos( u, v) si u et v sont non nuls 0 sinon Remarque. On a en particulier u. u = u 2. Proposition 3.2 (Produit scalaire et orthogonalité) Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0. Proposition 3.3 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tous vecteurs u, v du plan, u. v u v avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires. Remarque. L inégalité de Cauchy-Schwarz est encore vraie sans la valeur absolue. u. v u v Corollaire 3.4 (Inégalité triangulaire) Pour tous vecteurs u, v du plan u+ v u + v avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires et de même sens. Définition 3.5 SoitD une droite orientée par un vecteur unitaire u. SoientAetBdeux points ded. On appelle mesure algébrique AB l unique réel λ tel que AB # = λ u. Remarque. Si # AB et u ont même sens, alors AB = AB. Sinon, AB = AB. 5

6 Interprétation du produit scalaire en terme de projection On a # AB. # AC = AB.AH = # AB. # AH. A C H B Remarque. Le produit scalaire est indépendant de l orientation de la droite (AB). Si on oriente la droite (AB) dans l autre sens, les mesures algébriques changent de signe mais leur produit reste de même signe. Attention! L interprétation du produit scalaire en terme de projection orthogonale n est valide que si l on projette un vecteur sur la droite dirigée par l autre vecteur. Il ne faut EN AUCUN CAS projeter les deux vecteurs sur une droite qui ne serait pas dirigée par l un des deux vecteurs. Proposition 3.6 (Produit scalaire et affixe) Soit u et v deux vecteurs du plan complexe d affixes respectives a et b. Alors u. v = Re(ab) EXERCICE 4. Des rectangles Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que les points d affixes respectives z,z 2,z 3 et z 4 forment un rectangle. Proposition 3.7 (Produit scalaire dans une base orthonormale) Si deux vecteurs u et u ont pour coordonnées respectives (x,y) et (x,y ) dans une base orthonormale alors u. u = xx +yy Corollaire 3.8 Si un vecteur u a des coordonnées (x,y) dans une base orthonormale ( ı, j), alors x = u. ı et y = u. j Corollaire 3.9 (Distance en repère orthonormal) Soient A et B deux points de l espace de coordonnées respectives (x A,y A ) et (x B,y B ) dans un repère orthonormal. Alors AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 6

7 Trouver un vecteur normal à un autre vecteur Soit u un vecteur de coordonnées (a,b). Alors le vecteur de coordonnées ( b,a) est normal à u. Proposition 3.10 (Symétrie et bilinéarité du produit scalaire) Soient u et v deux vecteurs du plan. Alors u. v = v. u On dit que le produit scalaire est symétrique. Soient u, v 1, v 2 trois vecteurs et λ 1, λ 2 deux réels. Alors u.(λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) = λ 1 u. v 1 +λ 2 u. v 2 et, par symétrie, (λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ). u = λ 1 v 1. u+λ 2 v 2. u On dit que le produit scalaire est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables. 3.2 Déterminant Définition 3.11 (Définition géométrique du déterminant) Soit u et v deux vecteurs du plan. On définit le déterminant de u et v par Det( u, v) = { u v sin( u, v) si u et v sont non nuls 0 sinon Proposition 3.12 (Déterminant et colinéarité) Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si Det( u, v) = 0. Remarque. On a en particulier Det( u, u) = 0. Corollaire 3.13 (Déterminant et base) Un couple de vecteurs ( u, v) est une base si et seulement si Det( u, v) 0. Alignement et déterminant Pour prouver que 3 points A, B, C sont alignés, il est nécessaire et suffisant de prouver que Det( # AB, # AC) =

8 Proposition 3.14 Pour tous vecteurs u, v du plan, Det( u, v) u v avec égalité si et seulement si u et v sont orthogonaux. Interprétation du déterminant en terme d aire D Le parallélogramme ABDC a pour aire AB CH = Det( AB, # AC). # A C H B Remarque. On retrouve le fait que le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul puisque cela correspond au cas d un parallélogramme «aplati». Remarque. L aire d un triangle ABC est 1 2 Det( # AB, # AC). Proposition 3.15 (Déterminant et affixe) Soit u et v deux vecteurs du plan complexe d affixes respectives a et b. Alors Det( u, v) = Im(ab) EXERCICE 5. Problème d alignement Le plan P est muni d un repère orthonormé direct R. Déterminer l ensemble des points M(z) du plan P tels que les points d affixes respectives 1,z 2 et z 4 soient alignés. Proposition 3.16 (Déterminant dans une base orthonormale directe) Si deux vecteurs u et u ont pour coordonnées respectives(x,y) et(x,y ) dans une base orthonormale directe alors Det( u, u x x ) = y y = xy x y 8

9 Règle du γ On peut retenir la formule précédente de la manière suivante : on écrit les coordonnées des deux vecteurs sous forme de deux colonnes et on dit que le produit des deux vecteurs est la différence des produits des termes diagonaux. x x Det( u, v) = = xy yx y y Proposition 3.17 (Antisymétrie et bilinéarité du déterminant) Soient u et v deux vecteurs du plan. Alors Det( u, v) = Det( v, u) On dit que le déterminant est antisymétrique. Soient u, v 1, v 2 trois vecteurs et λ 1, λ 2 deux réels. Alors Det( u,λ 1 v 1 +λ 2 v 2 ) = λ 1 Det( u, v 1 )+λ 2 Det( u, v 2 ) et, par antisymétrie, Det(λ 1 v 1 +λ 2 v 2, u) = λ 1 Det( v 1, u)+λ 2 Det( v 2, u) On dit que le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables. 4 Droites 4.1 Equation cartésienne d une droite Proposition 4.1 (Equation cartésienne d une droite) Toute droite du plan admet une équation cartésienne du type ax+by+c = 0 avec (a,b) (0,0) Deux telles équations représentent la même droite si et seulement si elles sont proportionnelles. Réciproquement, une équation ax+by+c = 0 avec (a,b) (0,0) représente une droite. 9

10 Proposition 4.2 (Vecteur directeur, vecteur normal) Soit (a,b) R 2 \(0,0) et c R. La droite d équation ax+by+c = 0 admet le vecteur de coordonnées ( b,a) (resp. (a,b)) pour vecteur directeur (resp. normal). Trouver une équation cartésienne de droite Pour trouver une équation cartésienne d une droite D passant par un point A et de vecteur directeur u, on écrit : M D AM, u # colinéaires Det( AM, u) # x x A u x = 0 y y A u y = 0 Pour trouver une équation cartésienne d une droite D passant par un point A et de vecteur normal n, on écrit : M D AM, n # orthogonaux AM. n # = 0 (x x A )n x +(y y A )n y = 0 Pour trouver une équation cartésienne d une droite passant par deux points distincts A et B, on écrit : M D A,B,M alignés Det( AM, # AB) # x x A x B x A = 0 y y A y B y A = 0 Proposition 4.3 (Parallélisme et perpendicularité de droites) Soient deux droites D 1 et D 2 d équations cartésiennes respectives a 1 x+b 1 y+c 1 = 0 et a 2 x+b 2 y+c 2 = 0. D 1 et D 2 sont parallèles si et seulement si les couples (a 1,b 1 ) et (a 2,b 2 ) sont proportionnels. D 1 et D 2 sont perpendiculaires si et seulement si a 1 a 2 +b 1 b 2 = Paramétrage d une droite Proposition 4.4 (Paramétrage d une droite) Une droite D passant par un point A de coordonnées (x A,y A ) et de vecteur directeur le vecteur u de coordonnées (u x,u y ) est paramétrée par : { x = x A +tu x avec t R y = y A +tu y Remarque. Cela siginifie que pour tout point M de D de coordonnées (x,y), il existe t R qui vérifie les équations précédentes et que, réciproquement, tout point de coordonnées (x A +tu x,y A +tu y ) appartient à D. Trouver un paramétrage de droite Pour trouver une équation cartésienne d une droite D passant par un point A et de vecteur directeur u, on écrit : M = A+t u 10

11 Passage d un paramétrage à une équation cartésienne de droite Supposons qu une droite D soit paramétrée par { x = a+tb (E 1 ) y = c+td (E 2 ) avec t R On obtient une équation cartésienne de D en éliminant le t de ces deux équations : il suffit d effectuer l opération d (E 1 ) b (E 2 ) et on obtient l équation cartésienne : dx by = da bc Passage d un paramétrage à une équation cartésienne de droite (bis) Supposons qu une droite D soit paramétrée par { x = a+tb (E 1 ) y = c+td (E 2 ) avec t R Un point de D est A(a,c) et un vecteur directeur de D est # u(b,d). On sait alors déterminer une équation cartésienne de D. EXERCICE 6. Trouver une équation cartésienne de la droite paramétrée par : { x = 1 2t avec t R y = 2+t Passage d une équation cartésienne à un paramétrage de droite Supposons qu une droite D admette une équation cartésienne ax+by+c = 0 Le vecteur ( b,a) est donc un vecteur directeur de D. De plus, on trouve facilement un couple (x 0,y 0 ) qui vérifie l équation cartésienne de D (essayer x 0 = 0 ou y 0 = 0). Un paramétrage de D est alors : { x = x 0 tb avec t R y = y 0 +ta 11

12 Passage d une équation cartésienne à un paramétrage de droite (bis) Supposons qu une droite D admette une équation cartésienne ax+by+c = 0 On fixe une des coordonnées comme paramètre (par exemple, y = t) et on exprime l autre en fonction du paramètre. EXERCICE 7. Trouver un paramétrage de la droite d équation cartésienne x = 2y 1. Remarque. Il ne s agit évidemment pas de retenir le résultat mais bien la méthode de passage de l équation cartésienne au paramétrage dans un sens comme dans l autre. EXERCICE 8. Intersections Le plan P est muni d un repère orthonormé direct noté R = (O, # u, # v). Déterminer l intersection D 1 D 2 des droites suivantes 1. D 1 = M 1 + vect( # d 1 ) où M 1 (1, 1) R, # d 1 (2,1) R et D 2 : x 3y = 1; 2. D 1 : x 2y = 3 et D 2 : 2x+3y = 1; 3. D 1 = M 1 + vect( # d 1 ) où M 1 ( 1,2) R, # d 1 (1,3) R et D 2 = M 2 + vect( # d 2 ) où M 2 (2,1) R, # d 2 (3,2) R ; 4. D 1 = M 1 + vect( # d 1 ) où M 1 (1, 1) R, # d 1 (2,1) R et D 2 : x 2y = 1; 5. D 1 = M 1 + vect( # d 1 ) où M 1 ( 1, 1) R, # d 1 (4,3) R et D 2 : 3x 4y = 1; 4.3 Distance d un point à une droite On appelle distance d un point à une droite la plus petite distance entre ce point et un point de la droite. Proposition 4.5 (Distance d un point à une droite) On se place dans un repère orthonormal. Soit M un point de coordonnées (x M,y M ) et D une droite. La distance de M à D est la distance MH où H est la projection orthogonale de M sur D. Si D est la droite passant par A de vecteur normal n, alors d(m,d) = n. # AM n. Si D a pour équation cartésienne ax + by + c = 0, alors d(m,d) = ax M +by M +c a2 +b 2. Si D est la droite passant par A de vecteur directeur u, alors d(m,d) = Det( u, AM) #. u Remarque. Les première et dernière expressions de la distance se déduisent très facilement de cconsidérations géométriques : il n est peut-être pas utile de les apprendre par coeur. 12

13 EXERCICE 9. Le plan P est muni d un repère orthonormé direct R. 1. Calculer la distance de M à D dans les cas suivants : a. D est d équation 2x y = 3 et M(2,3) R. b. D est la droite définie par D = M 0 + vect( # d) où M 0 (1, 1) R, M(4, 3) R et # d(2,3) B. Calculs de distances 2. Soient D et D d équations respectives 5x+y 5 = 0 et 3x+2y 4 = 0. Déterminer l ensemble E des points M tels que d(m,d ) = 2d(M,D). Déterminer un projeté orthogonal sur une droite On souhaite déterminer le projeté orthogonal H d un point M sur une droite D. Première méthode Si on connaît un point A et un vecteur directeur u de D, on remarque qu il existe λ R tel que H = A+λ u. La condition MH. u # # AM. u = 0 permet alors de déterminer λ = u 2. ( # ) 2 AM. u Le théorème de Pythagore donne alors d(m,d) 2 = AM 2 u 2. Deuxième méthode Si on connaît un vecteur n normal àd, on remarque qu il existeλ R tel que H = M+λ n. La condition H D permet alors d identier λ : on écrit AH. n # = 0 où A est un point de D ou bien on utilise une équation cartésienne de D. Définition 4.6 (Equation normale d une droite) On appelle équation normale d une droite une équation cartésienne ax+by+c = 0 avec a 2 +b 2 = 1. Interprétation géométrique de l équation normale d une droite SoitD une droite du plan. On note H la projection de O sur D et [r,θ] un couple de coordonnées polaires de H. Alors D a pour équation normale D x cosθ+ysinθ = r H ı O ı θ Remarque. Comme [ r,θ+π] est un deuxième couple de coordonnées polaires de H, on trouve alors la deuxième équation normale de D. Trouver une équation normale de droite Si on a une équation cartésienne ax+by+c = 0 d une droite D, on trouve une équation normale de D en divisant l équation par a 2 +b 2 : on dit qu on normalise la première équation. 13

14 Remarque. Si ax+by+c= 0 est une équation normale d une droite D et M un point de coordonnées (x M,y M ), alors d(m,d) = ax M +by M +c 5 Angles 5.1 Angles de vecteurs On ne peut définir un angle de vecteurs qu entre deux vecteurs non nuls. Proposition 5.1 Soient # u et # v deux vecteurs non nuls. Alors ( # v, # u) ( # u, # v)[2π] ( # u, # v) π+( # u, # v)[2π] ( # u, # v) π+( # u, # v)[2π] ( # u, # v) ( # u, # v)[2π] Proposition 5.2 (Relation de Chasles) Soient # u, # v et # w trois vecteurs non nuls. Alors ( # u, # v)+( # v, # w) ( # u, # w)[2π] Déterminer un angle orienté de vecteurs Soient deux vecteurs u et v dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormal direct. On peut donc calculer leur produit scalaire et cos( u, v) = u. v ( ) u. v. Soit α = arccos. L angle ( u, v) vaut donc ±α u v u v modulo 2π. Le signe de Det( u, v) permet de conclure. EXERCICE 10. Angles de vecteurs Le plan est muni d une base orthonormale directe B. Déterminer l angle orienté ( u, v) avec # u(2,1) B et # v(1,3) B. 5.2 Angles de droites Définition 5.3 (Angle orienté de droites) Soient D 1 et D 2 deux droites du plan. On appelle mesure de l angle orienté des droites D 1 et D 2, noté (D 1,D 2 ), toute mesure de l angle orienté ( u 1, u 2 ) où u 1 et u 2 sont deux vecteurs directeurs respectifs de D 1 et D 2. Proposition 5.4 La mesure d un angle orienté de droites est définie modulo π, c est-à-dire que, si θ 1 et θ 2 sont deux mesures du même angle orienté de droites (D 1,D 2 ), alors θ 1 θ 2 [π] 14

15 Exemple 1. θ+π D 2 Sur la figure ci-contre, θ et θ + π sont deux mesures de l angle orienté de droites (D 1,D 2 ). θ D 1 Exemple 2. Deux droites D 1 et D 2 sont parallèles si et seulement si (D 1,D 2 ) 0[π]. Proposition 5.5 (Relation de Chasles) Soient D 1, D 2 et D 3 trois droites. Alors (D 1,D 2 )+(D 2,D 3 ) (D 1,D 3 )[2π] EXERCICE 11. Angles de droites Le plan est muni d un repère orthonormal direct R. Déterminer l angle orienté (D 1,D 2 ) avec D 1 : x 3y = 3 et D 2 : 4x 2y = 0. 6 Cercles 6.1 Equation cartésienne d un cercle Proposition 6.1 (Equation cartésienne d un cercle) Le cercle de centre A(x A,y A ) et de rayon R admet pour équation dans un repère orthonormal : (x x A ) 2 +(y y A ) 2 = R 2 Tout cercle admet une équation cartésienne du type x 2 +y 2 +ax+by+c = 0. cartésienne Déterminer le centre et le rayon d un cercle connaissant son équation Si on a une équation cartésienne du type x 2 +y 2 +ax+by+c = 0, on remarque que x 2 +ax = et on se ramène à une équation du type ( x+ a ) 2 a et y 2 +by = (x x A ) 2 +(y y A ) 2 = R 2 ( y+ b ) 2 b2 2 4 Attention! Suivant les valeurs de a, b, c, l ensemble des points de coordonnées (x,y) vérifiant x 2 +y 2 + ax+by+c = 0 peut ne pas être un cercle au sens propre du terme : cet ensemble peut être réduit à un point (cas R = 0) ou être vide (cas R 2 < 0). 15

16 EXERCICE 12. Soit ABC un triangle équilatéral du plan. Déterminer l ensemble des points M tels que AB 2 +MC 2 = 2(MA 2 + MB 2 ). EXERCICE 13. Déterminer la nature et les caractéristiques des ensembles d équation cartésienne C 1 : x 2 +y 2 4x 6y+λ = 0, où λ R. 2. C 2 : x 2 +y 2 2λx 2λy+λ 2 = 0, où λ R. 3. C 3 : x 2 +y 2 +λx 4λy+2λ 2 = 0, où λ R. B.A.BA sur les cercles Déterminer une équation de cercle connaissant un diamètre Soit C un cercle de diamètre [AB]. Un point M appartient à C si et seulement si le triangle MAB est rectangle en M. On détermine donc une équation cartésienne de C en écrivant : M C # MA. # MB = Paramétrages du cercle Proposition 6.2 (Paramétrage trigonométrique d un cercle) M(x, y) Le cercle de centre A(x A,y A ) et de rayon R se paramètre par R { x = x A +R cosθ avec θ R A y = y A +R sinθ θ Remarque. On peut ausi regrouper les deux équations précédentes en une seule en passant en complexe : z = z A +Re iθ EXERCICE 14. Déterminer la nature et les caractéristiques des ensembles d équation paramétrique : 1. C 1 : x(t) = 4cos(t) 3, y(t) = 4sin(t)+2, t R. 2. C 2 : z(t) = eit, avec t R. 3. C 3 : z(t) = 1 5e 3it, avec t R. Le cercle paramétré 16

17 c Laurent Garcin Proposition 6.3 (Paramétrage rationnel d un cercle) Le cercle de centre A(x A,y A ) et de rayon R privé du point B(x A R,y A ) se paramètre par x = x A +R 1 t2 1+t 2 y = y A +R 2t 1+t 2 avec t R A B Rt R M(x, y) 6.3 Intersections Proposition 6.4 (Intersection d un cercle et d une droite) Soit C un cercle de centre A et de rayon R et D une droite. Si d(a, D) < R, alors C et D ont deux points d intersection distincts. Si d(a, D) > R, alors C et D n ont aucun point d intersection. Si d(a, D) = R, alors C et D ont un seul point d intersection qui est la projection orthogonale H de A sur D. Dans ce cas, D est dite tangente à C en H. H H A H A A d(a,d) < R d(a,d) > R d(a,d) = R Proposition 6.5 (Intersection de deux cercles) Soient C 1 et C 2 deux cercles non concentriques de centres respectifs A 1 et A 2 et de rayons respectifs R 1 et R 2. On note d = A 1 A 2. Si R 1 R 2 < d < R 1 +R 2, alors les deux cercles ont deux points d intersection. Si d < R 1 R 2 ou d > R 1 +R 2, alors les deux cercles n ont aucun point d intersection. Si d = R 1 R 2, alors les deux cercles sont tangents intérieurement et si d = R 1 +R 2, alors les deux cercles sont tangents extérieurement : dans les deux cas, les deux cercles n ont qu un seul point d intersection. 17

18 c Laurent Garcin A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 R 1 R 2 < d < R 1 +R 2 d < R 1 R 2 d = R 1 R 2 A 1 A 2 A 1 A 2 d > R 1 +R 2 d = R 1 +R 2 EXERCICE 15. Contact Etudier les positions relatives des cercles C et C d équations : 1. x 2 +y 2 = 100 et x 2 +y 2 24x 18y+200 = 0; 2. x 2 +y 2 2x = 0 et x 2 4x+y 2 = Angles et cocyclicité Proposition 6.6 (Angle inscrit et angle au centre) M Soit C un cercle de centre O et M, A, B trois points distincts sur le cercle C. Alors ( OA, # OB) # 2( MA, # MB)[2π] # A O B Proposition 6.7 (Angles et cocyclicité) Quatre points distincts A, B, C et D sont cocycliques ou alignés si et seulement si (CA, CB) (DA, DB)[π]. Le cas où les points sont alignés correspond au cas où les deux anglent sont nuls modulo π. Remarque. Comme on a une égalité modulo π, on a préféré utiliser des angles orientés de droites. Néanmoins, si on garde l égalité modulo π, on peut aussi utiliser des angles orientés de vecteurs. 18

19 Birapport Si A, B, C, D sont quatre points distincts d affixes a, b, c, d, alors la condition de cocyclicité ou d alignement (CA,CB) (DA,DB)[π] est équivalente à d b c a d ac b R. EXERCICE 16. Soit z C\R. Montrer que les points d affixes 1, 1, z et 1 z sont cocycliques. 7 Géométrie du triangle Proposition 7.1 (Somme des angles d un triangle) Soient ABC un vrai triangle (i.e. dont les sommets sont deux à deux distincts). Alors ( # AB, # AC)+( # BC, # BA)+( # CA, # CB) π[2π] ((AB),(AC))+((BC),(AB))+((AC),(BC)) 0[π] Proposition 7.2 Les médianes d un triangle concourent en son centre de gravité. Proposition 7.3 Les médiatrices d un triangle concourent en le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Proposition 7.4 Les bissectrices d un triangle concourent en le centre du cercle inscrit dans ce triangle. Proposition 7.5 Les hauteurs d un triangle concourent en un point appelé orthocentre du triangle. Proposition 7.6 (Théorème d Al-Kashi et lois des sinus) Soit ABC un triangle. On note ^A, ^B et ^C ses angles non orientés. On pose a = BC, b = CA, c = AB. Alors a 2 = b 2 +c 2 2bccos ^A b 2 = c 2 +a c 2ca cos^b c 2 = a 2 +b 2 2ab cos ^C sin ^A a = sin ^B b = sin ^C c 19

20 8 Lieux géométriques On appelle problème de lieu géométrique un problème consistant à déterminer les points du plan vérifiant une ou plusieurs conditions. Ce genre de problème se résoud comme une équation à l exception près que l inconnue est ici un point et non un réel ou un complexe. On peut travailler soit par équivalence, soit par double implication (ou analyse/synthèse). EXERCICE 17. Soient A B et k R +. Déterminer l ensemble L des points M du plan vérifiant : # MA MB # = k. Etude d un lieu géométrtique Définition 8.1 (Ligne de niveau) Soit f une application du plan à valeurs dans R et soit λ R. On appelle ligne de niveau λ ou courbe de niveau λ l ensemble des points M tels que f(m) = λ. 8.1 Droites et lignes de niveau Proposition 8.2 (Lignes de niveau de M u. # AM) Soit u un vecteur non nul du plan et A un point. Les lignes de niveau de M u. AM # sont des droites orthogonales à u. Plus précisément, la ligne de niveau λ de M u. AM # est la droite orthogonale à u passant par le point H de D tel que AH # = λ u u 2. A u H Proposition 8.3 (Lignes de niveau de M Det( u, # AM)) Soit u un vecteur non nul du plan et A un point. Les lignes de niveau de M Det( u, AM) # sont des droites dirigées par u. Plus précisément, si on note n le vecteur unitaire directement orthogonal à u (i.e. tel que ( u, n) + π # [2π]), la ligne de niveau λ de M Det( u, AM) est la droite 2 dirigée par u passant par le point H de D tel que AH # = λ n. H n u A 20

21 c Laurent Garcin 8.2 Cercles et lignes de niveau Proposition 8.4 (Lignes de niveau de M (MA,MB)) Soient A et B deux points distincts du plan et α R. L ensemble des points M tels que (MA,MB) α[π] est la droite (AB) privée des points A et B si α 0[π] ; un cercle passant par A et B privé des points A et B sinon. Remarque. On élimine les points A et B car si M = A ou M = B, l angle de droites (MA,MB) n est pas défini. Proposition 8.5 (Lignes de niveau de M ( MA, # MB)) # L ensemble des points M tels que ( MA, # MB) # α[2π] est la droite (AB) privée du segment [AB] si α 0[2π] ; le segment ]AB[ si α π[2π] ; un arc de cercle d extrémités A et B privé des points A et B sinon. Construction des lignes de niveau de M (MA,MB) en pratique Soit α R et notons E α = {M P (MA,MB) α[π]}. Si α 0[π], E α = (AB)\{A,B} et dans ce cas, on sait évidemment tracer E α. Sinon, notons β = π 2α. Traçons le triangle OAB isocèle en O tel que 2 ( BO, # BA) # ( AB, # AO) # β[2π] Comme la somme des angles orientés d un triangle vaut π modulo 2π, on a ( OA, # OB) # 2α[π]. Notons C α le cercle de centre O et de rayon OA = OB. Pour tout point M de C α distinct de A et B, on a : 2( # MA, # MB) ( # OA, # OB) 2α[2π] Par conséquent (MA,MB) ( MA, # MB) # α[π]. Par conséquent, C α \ {A,B} E α. Mais comme on sait que E α est un cercle privé des points A et B, c est que E α = C α \{A,B}. A β 2α O β B Proposition 8.6 (Lignes de niveau de M MB MA ) Soient A et B deux points distincts du plan et k R +. L ensemble des points M tels que MB = kma est la médiatrice de AB si k = 1; un cercle si k 1. Plus précisément, si k 1, l ensemble recherché est le cercle de diamètre G 1 et G 2, où G 1 est le barycentre de {(A,k),(B,1)} et G 2 est le barycentre de {(A, k),(b,1)}. 21