Chapitre 6. Fonctions ; nombre dérivé

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1 hapitre 6. Fonctions ; nombre dérivé hapitre 6 Le programme ontenus apacités attendues ommentaires Fonctions et représentations graphiques Fonctions de référence Fonctions linéaires, fonctions affines, fonctions t t, t, t t t, t t. Nombre dérivé oefficient directeur de la tangente en un point d une courbe. Nombre dérivé en a. Nombre dérivé en a des fonctions de référence. Tangente en un point à une courbe d équation y f(t). Résolutions graphiques d équations et d inéquations. Lectures graphiques et interprétation d un tableau de variation. Tracer la courbe et dresser le tableau de variation des fonctions de référence sur un intervalle I [a ; b]. omparer deu fonctions de référence : graphiquement ; algébriquement si les calculs n eigent pas trop de technicité. Approche graphique de la notion de tangente à une courbe. Lire le coefficient directeur d une tangente à une courbe sur un graphique. onstruire la tangente en un point d une courbe. On s assurera à cette occasion que le vocabulaire mis en place en seconde est bien assimilé (sens de variation, etrema, ), mais il ne sera pas fait de révisions systématiques. Le travail sera amené par la pratique de problèmes. Il sera également fait référence à des représentations graphiques de fonctions dont on n a pas l epression algébrique, par eemple un électrocardiogramme. On choisira le plus souvent I [0 ; + [. La variable pourra souvent être appelée t et non par référence au temps. On s appuiera en particulier sur des situations issues d autres discipline, afin d illustrer par des eemples les notions de linéarité et de proportionnalité. À cette occasion, on mettra en évidence à partir de la représentation graphique, des vitesses de croissance variant différemment. On pourra résoudre, sur des eemples concrets, des équations et des inéquations du premier degré et des équations et inéquations simples du second degré ne nécessitant pas l usage du discriminant. Le discriminant est hors programme. On procédera par des changements d éclairage entre l aspect algébrique et l aspect graphique afin de donner du sens au résolutions proposées. Parmi les approches possibles du nombre dérivé, on pourra faire observer, par eemple, avec un logiciel de géométrie dynamique, la position limite d une sécante à une courbe lorsque cette sécante pivote autour d un point, mais aucune théorie sur la notion de limite n est au programme. La notion de vitesse permet aussi une autre approche pertinente. Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté f (a), est le coefficient directeur de la tangente au point A(a, f(a)). Toute recherche, hors contete, d une équation de la tangente à une courbe n est pas un objectif du programme. 7

2 hapitre 6 Nos objectifs L aspect graphique tient une place très importante dans ce chapitre. Les élèves doivent savoir : lire et interpréter la courbe représentative d une fonction ; lire graphiquement un nombre dérivé. La plupart des eercices proposent ainsi de faire le lien entre l aspect numérique et l aspect graphique des fonctions. Activités et applications. Vue sur les fonctions de référence Activité. Tracés sur l écran de la calculatrice.. a) Pour ]0 ; [, on a : < < < <. b) Pour ] ; + [, on a : < < < <.. Application. L abscisse du point d intersection des droites d équations y 6 et y est. La droite d équation y 6 est située au-dessous de la droite d équation y pour ] ; [. La droite d équation y 6 est située au-dessus de la droite d équation y pour ] ; + [. onclusion : pour, f () g(); pour ] ; [, f () < g(); pour ] ; + [, f () > g(). Application f () g(), soit en factorisant : f () g() ( ) ( )( + ). Pour, 0 et, f () g(). Pour ] ; [ ]0 ; [, f () < g(). Pour ] ; 0[ ] ; + [, f () > g().. Graphiques ; sens de variation Activité. L eercice d éducation physique est considérée sur l intervalle [0 ; 0].. Le rythme cardiaque de l élève au repos est de 70 pulsations par minute et de 00 pulsations par minute au bout de minutes.. Le rythme cardiaque est de 90 pulsations par minute à la e minute et à la e minute.. L intervalle de temps le plus grand pendant lequel le rythme cardiaque a toujours augmenté est l intervalle [0 ; 8] ; l intervalle de temps le plus grand pendant lequel il a toujours diminué est l intervalle [8 ; 0]. Application L équation f () 0 a trois solutions,, et. L équation f () a une solution,. L équation f () n a pas de solution. Application f est strictement croissante sur chacun des intervalles [ ; 0] et [ ; 6]. f est strictement décroissante sur chacun des intervalles [ ; ], [0 ; ] et [6 ; 8].. Tangente en un point A à une courbe ; nombre dérivé en a d une fonction Une autre possibilité d introduction du nombre dérivé est proposée dans l activité guidée page 6 (livre élève). Activité. Tracés sur l écran de la calculatrice.. ( + b) 0 0, donc les coordonnées (0 ; 0) du point O vérifient l équation y ( + b). 7

3 hapitre 6 ( + b) b b + b, donc les coordonnées (b; b + b ) du point B vérifient l équation y ( + b). Ainsi, cette équation est bien celle de la droite (OB), de coefficient directeur + b.. a) et b) Tracés des droites sur l écran de la calculatrice. On constate que plus b prend des valeurs proches de zéro, plus la droite (OB) se rapproche de la droite.. Même remarque que la question. Application. Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à, donc f ().. f ( ). Application.. Tracé sur l écran de la calculatrice.. f (,).. Nombre dérivé en a des fonctions de référence Activité. f ( ) ; f ( ) ; f (0) 0 ; f () et f ().. f (a) a. Application f (a), donc f (). a g (a) a, donc g ( ). Application. f (a) a. f () ; f ( ) ; f () et f ( ). T est la droite passant par le point de coordonnées ( ; ) et de coefficient directeur. T est la droite passant par le point de coordonnées ( ; ) et de coefficient directeur. Eercices d entraînement indique que l eercice est corrigé dans le livre élève. Eercice résolu dans le livre élève... Le pri à payer est proportionnel au nombre de nuitées passées, car f est définie sur [0 ; + [ par f ().. Durée. a) Le pri de l abonnement n est pas proportionnel à sa durée, car par eemple 86, 66,6. 6 Plus la durée de l abonnement est longue, plus le pourcentage de remise est élevé. b) Le tarif normal est proportionnel à la durée, car 9,6 87, 7,,. 6. a) On a la relation y,, soit y,. b) Tracé sur l écran de la calculatrice. c) Il s agit de la fonction linéaire f définie sur [0 ; + [ par f (),. a) Vrai, h est une fonction affine. b) Fau, g est strictement décroissante sur ]0 ; + [. c) Vrai, (fonction de référence de courbe connue). d) Vrai, h est une fonction affine avec m < 0. e) Fau, par eemple h() < 0. f) Vrai. g) Fau, l ensemble des solutions est ]0 ; + [. h) Vrai. 6 Nombre de nuitées Pri à payer (en ) Tarif normal. Réponse b).. Réponse a).. Réponse a). Remise mois 9,60 8% 6 mois 87,0 % mois 7,0 8 % Pri de l abonnement (arrondi au centime) 9,6 9,6 0,08 86, 87, 87, 0, 66,6 7, 7, 0,8 07,0 7

4 hapitre 6 7 Pour 0 ou, f () g() h() k(). Pour ]0 ; [, on a : h() < g() < f () < k(). Pour ] ;,], on a : k() < f () < g() < h(). 8 f () g() ( ) ( )( + ). Pour, k() f (). Pour ]0 ; [, k() > f (). Pour ] ; + [, k() < f (). Pour, 0 et, f () g(). Pour ] ; [ ]0 ; [, f () < g(). Pour ] ; 0[ ] ; + [, f () > g(). 9 0 a) g() f () ( ). Pour, g() f (). Pour ] ; + [, g() > f(). Pour ]0 ; [, g() < f(). b) h() f() ( ) ( + ) ( ). Pour, h() f (). Pour ] ; + [, h() > f (). Pour ]0 ; [, h() < f (). ( + ) ( ) c) k() f(). a) La solution de l équation 9 est. 0 b) L équation 6 n a pas de solution. c) La solution de l équation est. d) La solution de l équation 0 est. L équation 8 + est équivalente à 8 0, soit ( + ) 0. Les solutions de cette équation sont 0 et. L équation + est équivalente à + 0, soit ( ) 0. La solution de cette équation est. 6 équivaut à. La solution de l équation f () est ( )( + ).. L équation f () est équivalente à : ( )( + ) 0. Les solutions dans de l équation f () sont et. 9 0 Eercice résolu dans le livre élève. a) L ensemble des solutions de l inéquation > est ] ; + [. b) L ensemble des solutions de l inéquation + < est ]7 ; + [. 76

5 hapitre 6 c) L ensemble des solutions de l inéquation est [ ; + [. d) L ensemble des solutions de l inéquation est [0 ; + [. a) Les solutions de l équation f () sont et. b) L équation f () 0 n a pas de solution. c) L équation f () n a pas de solution. a) L équation est équivalente à + +, soit. Les solutions de cette équation sont et. b) L équation 0 n a pas de solution dans. + c) L équation est équivalente à, + soit. ette équation n a pas de solution dans. Eercice résolu dans le livre élève. a) > équivaut à > 0, soit ( )( + ) > 0. L ensemble des solutions de l inéquation 6 est ] ; 6] [6; + [. 6. ( + )( ) f () g () + 6. Pour et, f () g(). Pour ] ; [,f () < g(). Pour ] ; [ ] ; + [, f () > g(). 7. ( )( ) f () g() + 7. L ensemble des solutions de l inéquation > est ] ; [ ] ; + [. b) < 9 équivaut à 9 < 0, soit ( )( + ) < 0. L ensemble des solutions de l inéquation < 9 est ] ; [. c) 6 équivaut à 6 0, soit ( 6)( + 6) 0. Pour 0, et, f () g(). Pour ] ; 0,[ ] ; + [, f () < g(). Pour ]0, ; [, f () > g(). 0 f 0 ; f 8 ; f () ; f () 0 et f (0). 0 9 f ( 00) ; f ( ) ; f ( ) ; 00 f et f 0 0. f ( ) ; f ( ) 6 ; f ( ) ; f (0) 0 ; ; f () et f (). 6 f ; f 77

6 hapitre 6 f ( ), f (0), f () et f ( ). f ( ), f (0), f ( ),6, f () et f (). 6 7 On résout l équation f (), équivalente à + + 0, soit ( + ) 0. a un antécédent par f :. 8 On résout successivement dans ]0; + [ les équations ; et 0. a un antécédent par f :; n a pas d antécédent par f ; 0 n a pas d antécédent par f. 9 0 Eercice résolu dans le livre élève.. L image par f de chacun des nombres ; 0 et est ; et.. Les antécédents par f de 0 sont ; et ; a un seul antécédent par f : ; n a pas d antécédent par f.. L image par f de chacun des nombres ; et est ; et 0.. a un seul antécédent par f :0; a deu antécédents par f : et ; n a pas d antécédent par f. 0 f () 000 7,7 0, 78 f () 0, f () f ( ), f ( ), f () et f (6).. Les antécédents par f de sont,, 0 et. Les antécédents par f de 0 sont et,. Les antécédents par f de sont et. L antécédent par f de est. Eercice résolu dans le livre élève. a). f est strictement croissante sur [ 6 ; ] et sur [ ; ]. f est strictement décroissante sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. b). f est strictement croissante sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. c).. f est strictement croissante sur [ ; ] et sur [ ; ]. f est strictement décroissante sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour et. d). f est strictement croissante sur [ ; ] et sur [0 ; ]. f est strictement décroissante sur [ ; 0] et sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour et 0. f admet un maimum égal à, atteint pour et. e). f est strictement décroissante sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. 6 a) Tableau de variation de f sur [ ; ]. b) Tableau de variation de f sur [ ; 6]. 7 a) 78

7 hapitre 6 b) 9. Représentation graphique : 8 Eercice résolu dans le livre élève. 9 0 f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. f admet un minimum égal à, atteint pour 0. f admet un maimum égal à 0, atteint pour 0. a) f admet un minimum égal à 0, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. b) f admet un minimum égal à, atteint pour, 0 et. f admet un maimum égal à, atteint pour et.. L abscisse du point d intersection des droites d équations y + et y + est. La droite d équation y + est située au-dessus de la droite d équation y + pour ] ; [. La droite d équation y + est située au-dessous de la droite d équation y + pour ] ; + [. onclusion : pour, f () g(); pour ] ; [, f () > g(); pour ] ; + [, f () < g(). 60. Représentation graphique : Eercice résolu dans le livre élève. Les solutions de l équation f () sont et. L ensemble des solutions de l inéquation f () > est ] ; [. L ensemble des solutions de l inéquation f() < est ] ; [. 6 a) Fau, f () 0,. b) Fau, l équation f () 0 a trois solutions : ; et 0. c) Vrai. d) Fau, par eemple f () < Les solutions de l équation f () 0 sont et 0. L équation f () n a pas de solution.. L ensemble des solutions de l inéquation f() 0 est [ 6 ; 0]. L inéquation f () n a pas de solution.. Les abscisses des points d intersection de la courbe d équation y et de la droite d équation y + sont et. La courbe est située au-dessous de la droite d équation y + pour ] ; [. La courbe est située au-dessus de la droite d équation y + pour ] ; [ ] ; + [. onclusion : pour et, f () g(); pour ] ; [, f () < g(); pour ] ; [ ] ; + [, f () > g(). 79

8 hapitre 6 6. Représentation graphique : a) La courbe est située au-dessus de l ae des abscisses pour ]0 ; + [. L ensemble des solutions de l inéquation > 0 est ]0 ; + [. b) L inéquation < 0 n a pas de solution dans ]0 ; + [. 6 Représentation graphique :. Les abscisses des points d intersection de la courbe d équation y et de la droite d équation y sont et 0. La courbe est située au-dessus de la droite d équation y pour ] ; [ ]0 ; + [. La courbe est située au-dessous de la droite d équation y pour ] ; 0[. onclusion : pour et 0, f () g(); pour ] ; 0[, f () < g(); pour ] ; [ ]0 ; + [, f () > g(). 6 Représentation graphique : a) L abscisse du point d intersection de la courbe d équation y et de la droite d équation y est. La solution de l équation est. b) La courbe est située au-dessus de la droite pour ] ; + [. L ensemble des solutions de l inéquation > est ] ; + [. 6 Représentation graphique : On trace la courbe d équation y et la droite d équation y sur la même figure. a) Les abscisses des points d intersection de la courbe d équation y et de la droite d équation y sont et. Les solutions de l équation 0 sont et. b) La courbe est située au-dessous de la droite pour ] ; [. L ensemble des solutions de l inéquation < 0 est ] ; [. 6 La tangente à au point d abscisse 0 est la droite D d équation réduite y La tangente à au point d abscisse est la droite T d équation y T est la droite d équation y ; f ().. Le coefficient directeur de T est ; le coefficient directeur de T est.. f ( ) ; f () f ( ) est le coefficient directeur de T ; f ( ). f ( 0,) 0 ; f () 0. f (,) est le coefficient directeur de T ; f (,). 7 80

9 hapitre 6 7 f () est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points de coordonnées ( ; ) et (0 ; 0), soit f (). 7 f () est le coefficient directeur de la droite (AB), soit f () f (0) 0, et f ( ) 0. f ( ) (coefficient directeur de T). f (0) 0. On lit f () ; la tangente à au point d abscisse passe par les points de coordonnées ( ; ) et ( ; ). Le coefficient directeur de la droite passant par ces deu points est, donc f (). 77 f ( ) ; f ( ) ; f est le coefficient directeur de la droite (AB), soit f. 78 f ( ) est le coefficient directeur de T, soit f ( ) ; f ( ) ; f (0) 0 ; f est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points de coordonnées ; et 0; 8 8, soit f ; f (). 79 f (0) avec la courbe ; f ( ) avec la courbe ; f ( ) avec la courbe 6 ; f ( ) avec la courbe ; f (0) 0 avec la courbe ; f (0) avec la courbe. 80. f () 0 et f () 0.. f () et f ().. f ( ) et f ( ).. f () et f (). 8 a) Vrai. b) Fau, f (). c) Vrai. d) Fau, f ( ) f (). e) Vrai. f) Fau, l équation réduite de la tangente au point d abscisse est y +. g) Fau, elle passe par ( ; ). h) Vrai. i) Vrai. 8 a) Vrai. b) Vrai. c) Fau, f (,) 0. d) Fau, f (,),. e) Vrai. f) Vrai. g) Vrai. h) Vrai. i) Vrai. 8.. f ( ). ( ) T est la droite passant par le point de coordonnées ( ; ) et de coefficient directeur. 8.. f (a) a, donc f (0,) (0,) 0,7. T est la droite passant par le point de coordonnées (0, ; 0,) et de coefficient directeur 0,7.. f ( 0,) ( 0,) 0,7. f (0,) f ( 0,) ; T et T ont même coefficient directeur, donc elles sont parallèles. 8. f (0,) ; T : y ,,, f () 0,7 0, 0,0 0, 0, 0,9 8

10 hapitre 6. On trace sur la calculatrice la courbe d équation y ; on obtient les valeurs précédentes avec la fonction TABLE. 88. Réponse b) ;. Réponse a) ;. Réponse a) ;. Réponse b) ;. Réponse a) Eercice résolu dans le livre élève.. f () ; T : y +.. f (0,) ; T : y +. f () ; T : y +. Je fais le point Savez-vous comparer deu fonctions, par le calcul ou graphiquement? Énoncé f () g(). Pour, f () g(). Pour ] ; [, f () < g(). Pour ] ; + [, f () > g(). Graphiquement : Pour, les droites représentatives de f et de g se coupent. Pour ] ; [, la droite représentative de f est située au-dessous de celle de g. Pour ] ; + [, la droite représentative de f est située au-dessus de celle de g. Énoncé f () g() ( ). Pour 0 et, f () g(). Pour ]0 ; [, f () < g(). Pour ] ; + [, f () > g(). Graphiquement : Pour 0 et, les droites représentatives de f et de g se coupent. Pour ]0 ; [, la courbe représentative de f est située au-dessous de celle de g. Pour ] ; + [, la courbe représentative de f est située au-dessus de celle de g. Savez-vous déterminer graphiquement l image et les éventuels antécédents d un nombre par une fonction? Énoncé. f ( ).. Les antécédents par f de sont, et. Énoncé. f ( 6).. Les antécédents par f de sont et. Savez-vous déterminer graphiquement le sens de variation, et les éventuels minimum et maimum d une fonction? Énoncé. f est strictement croissante sur [ ; ] et sur [ ; ]. f est strictement décroissante sur [ 6 ; ] et sur [ ; ].. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour. Énoncé. f est strictement croissante sur [ ; ], sur [ ; 0] et sur [ ; ]. f est strictement décroissante sur [ ; ] et sur [0 ; ]. 8

11 hapitre 6. f admet un minimum égal à, atteint pour. f admet un maimum égal à, atteint pour et. Savez-vous résoudre graphiquement une équation f () k et une inéquation f () < k (ou f () > k)? Énoncé. Les solutions de l équation f () sont, et.. L ensemble des solutions de l inéquation f () < est ] ; [. Énoncé. Les solutions de l équation f () sont et 0.. L ensemble des solutions de l inéquation f () > est ] ; 0[. Savez-vous déterminer graphiquement un nombre dérivé (coefficient directeur d une tangente à la courbe représentative d une fonction)? Énoncé f (,). Énoncé f ( ). Savez-vous déterminer le nombre dérivé en a d une fonction de référence? Énoncé f (a) a, donc f ( ) ( ) ; f ( ). Énoncé f (a), donc f ( ). a ( ) Activités guidées 9.. e tableau représente une situation de proportionnalité, car 8,8,76 9,6 8,8 0, Le coefficient de proportionnalité est 0,96. Le pourcentage de la TVA est de 9,6 %.. e tableau représente une situation de proportionnalité, car,8 7,76 9,6 8,8, On a la relation P VT y,96, soit,96 équivalent à y,96. P VHT. a) Pour y 8, on lit 0. Le pri de vente hors tae d un article valant 8 tae comprise est environ 0. b) Pour 0, on lit y. Le pri de vente tae comprise d un article valant 0 hors tae est environ. c) Pour y 8, 8, soit 0,.,96 Pour 0, y,96 0, soit y,9. 9 AG Pri de vente HT (en ) Montant de la TVA,8 7, ,6 00 8,8 00 (en ) 8,8,76 9,6 8,8 Pri de vente TT,8 7,76 9,6 8,8 (en ) AG. a) b) Tracé sur la calculatrice. c) Le grossissement important d une partie de la courbe ne permet pas d observer la courbure de l arc de parabole. haque partie grossie ressemble alors à un segment.. a) Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à,99. Le coefficient directeur de la droite (AF) est égal à,0. b) Le coefficient directeur de la droite (AE ) est égal à,999. Le coefficient directeur de la droite (AF ) est égal à,00. c) Le coefficient directeur de Δ est égal à. d) Δ : y. 8

12 hapitre 6. b) Au voisinage du point A, la courbe ( ) peut être assimilée à la droite Δ. 9 AG. a) 0 ; ; et. b) f ( ) ; f ( ) ; f ( ) 0 et f ( ) a) b) Lorsque a se rapproche de 0, f (a) devient de plus en plus grand. c) Lorsque l abscisse se rapproche de 0, le coefficient directeur de la tangente à devient de plus en plus grand. On peut alors considérer que la tangente à au point d abscisse 0 est «verticale», d équation 0. ette droite n a pas de coefficient directeur. 96 AG. f (), donc le point A appartient à.. m + ( m) m + m, donc T passe par A. 6. a) Il faut entrer la valeur dans la cellule B. b) f (). 97 AG6. f (), donc le point A appartient à.. a) f (h) h ; l ordonnée de M est h. b) (AM) : y m + p. Les coordonnées des points A et M vérifiant l équation de (AM), on obtient le système : m + p { équivalent sucessivement à h mh + p { { { m + p m + p m + p h m(h ) ; ; ; m h m h + h m h + {. p h h Ainsi, (AM) : y (h + ) h.. b) T est la tangente à au point d abscisse. 6. Lorsque h se rapproche de, la droite (AM) se rapproche de la droite T. 98 AG a f (a) f ( ), f (0) et f ().. a) Les solutions de l équation f () sont 0 et. b) Les solutions de l équation f () 0 sont 0, ; 0,6 et,9. c) L équation f () n admet pas de solution.. a) f est strictement croissante sur [ ; 0] et sur [ ; ]. f est strictement décroissante sur [0 ; ]. b) Tableau de variation de f sur [ ; ] : c) f admet un minimum égal à, atteint pour et. f admet un maimum égal à, atteint pour 0 et.. a) L ensemble des solutions de l inéquation f () > 0 est approimativement ] 0, ; 0,6[ ],9 ; ]. L ensemble des solutions de l inéquation f () < 0 est approimativement [ ; 0,[ ]0,6 ;,9[. b) 99. a) f ().. a) On résout l équation f () 0, équivalente à ( ) ( ) 0, soit 0 ou 0. Les solutions de l équation f () 0 sont et.. f () 0 pour et. f () < 0 pour ] ; [. f () > 0 pour [ ; [ ] ; 6].. f est strictement décroissante sur [ ;,]. f est strictement croissante sur [, ; 6]. f admet un minimum égal à,, atteint pour,. 00. a) f ().. a) On résout l équation f () 0, équivalente à ( ) ( ) 0, soit 0 ou 0. Les solutions de l équation f () 0 sont et.. f () 0 pour et. f () < 0 pour [0 ; [ ] ; ]. f () > 0 pour ] ; [.. f est strictement croissante sur [0 ;,]. f est strictement décroissante sur [, ; ]. f admet un maimum égal à,, atteint pour,. 0. a) f ; f ( ) 0 ; f (). b) L ordonnée du point de d abscisse est 0. c) L abscisse du point de d ordonnée est. d) L image de 0 par f est. e) Les antécédents de par f sont, et. 8

13 hapitre 6. f () 0.. f.. T passe par les points de cordonnées (0 ; ) et ;. L équation réduite de T est y. f (0). 0. f ( ) ; f et f (),.. L ensemble des solutions est { 0, ; }.. f () > 0 : l ensemble des solutions est [, ; 0,[ ] ;,]. f () < 0 : l ensemble des solutions est ] 0, ; [.. f 0, proposition c).. f (), proposition c). 6. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est, proposition d). 7. f. La tangente cherchée passe par les points de coordonnées ; et ; 9, son coefficient directeur f est. 0. L ordonnée du point de d abscisse, est,. f (,) (,),,., + 0,. Les abscisses des points de d ordonnée sont et. On a ( + ) ( ). Par le calcul, on résout l équation successivement équivalente à + ; 0 ; + ( + ) ( ) 0 ; ou Partie A f() Partie B. a) La fréquence cardiaque du sportif au départ de la course est de 69 battements par minute. b) À mi-course, sa fréquence cardiaque est de battements par minute.. a) La fréquence cardiaque du sportif est égale à battements par minute au bout de 0 mètres de course. b) 0,000 6( 60) ( 0) 0, , 8. On résout l équation 0, , + 69 successivement équivalente à 0, , 8 0 ; 0,000 6( 60) ( 0) 0 ; 60 0 ou 0 0 ; 60 ou [0 ; 00], la seule solution est 0.. La fréquence cardiaque est supérieure à 00 battements par minute à partir de 68 mètres parcourus. 0.. Partie A t f(t) y Équation de la tangente à au point d abscisse : y. Équation de la tangente à au point d abscisse : y f (0) Les tangentes à au points d abscisses 0 et 0 sont parallèles à l ae des abscisses. t 8

14 hapitre 6 Partie B. La fonction f admet un maimum égal à 00, atteint en t 0. On en déduit que le 0 e jour après l apparition des premiers cas, le nombre de malades est maimal et égal à 00.. Le nombre de personnes malades est supérieur ou égal à entre le 0 e et le 8 e jour. 06 Partie A. f(0) ; f(),7 et f(0),7.. t 0. L ensemble des solutions de l inéquation f(t) est l ensemble des abscisses des points de situés au-dessus de la droite d équation y ; les solutions sont les nombres réels de l intervalle [ ; 9]. Partie B. a) f admet un maimum égal à,7, atteint en t. On en déduit que la concentration de lactate est maimale au bout de minutes. b) La concentration maimale est égale à,7 mmol L.. Au bout de 8 minutes, la concentration de lactate est de, mmol L.. La concentration de lactate atteint à nouveau mmol L au bout de 9 minutes.. La concentration de lactate est supérieure ou égale à mmol L entre les instants t min et t 9 min f(t) t f(t) Partie A 0 0,7 7 t 0 0,,, f(t) 0 0,, 8,6 7. Voir courbe ci-après. Partie B. Le nombre de milliers de bactéries à l instant t 0 est f (0) +, soit milliers de bactéries.. a) Au bout de heures et minutes, il y a, milliers de bactéries. b) On atteint 0 milliers de bactéries au bout de heures.. a) f (0,) + ; au bout de minutes, on atteint milliers de bactéries. 0,7 b) f (t) t. f (0,) 0, ; au bout de minutes, la vitesse de prolifération est égale à 00 bactéries par heure. f () ; au bout de heures, la vitesse de prolifération est égale à 000 bactéries par heure.. On atteint 0 milliers de bactéries au bout de,6 heures. ourbe question, Partie A. 0 8 f(,) + f(,) 0 8 y 0, y t t 86

15 hapitre Partie A t 0 0,, f(t) 6,,06, 6 6,6 7, 9 y 0 Partie B. Le tau d anticorps à la naissance est égal à 6 g/l.. La fonction f de la partie A admet un minimum égal à, atteint pour t. Ainsi, le tau d anticorps est minimal pour t d année, soit, arrondi au mois le plus proche, au 8 e mois.. Le nourrisson retrouve le tau d anticorps de sa naissance au bout de 6 mois. 09. Au bout de heure et 0 minutes, on note, mg de principe actif de médicament dans le sang.. La quantité de principe actif est maimale au bout de heures.. La quantité de principe actif est de mg au bout de heures et au bout de heures.. Le médicament est efficace entre heure et minutes et heures et minutes. 0. Au bout de trois quarts d heures, la concentration d insuline est égale à,6.. La concentration d insuline est maimale au bout de heure.. La concentration d insuline devient le double de celle injectée au bout de 0 minutes.. La concentration d insuline reste supérieure ou égale à pendant heure et 0 minutes. t Partie A. a) Lorsque la production est nulle, le coût de production est égal à milliers d euros. b) Lorsque l entreprise produit et vend 0, tonne de produit, la recette est de milliers d euros. Elle ne réalise pas de bénéfice, car pour 0,, est au-dessus de.. a) Le bénéfice est nul pour et. b) L entreprise est bénéficiaire lorsque ] ; [.. Le bénéfice est maimal pour (valeur de pour laquelle la distance verticale entre et est maimale). On a alors un bénéfice égal à millier d euros. Partie B. B() ( + ) +.. (0) ; R(0,) 0, ; B(0,),. On retrouve les résultats de la question. de la partie A.. a) ( ) ( ) +. b) B() 0 équivaut à ( ) ( ) 0, soit ou. B() > 0 équivaut à ( ) ( ) > 0. Les solutions de l inéquation B() > 0 sont les nombres réels de l intervalle ] ; [.. On constate, d après le tableau de variation, que la fonction B admet un maimum égal à en B() 0 + 0,. a) 8 kg de nougats coûtent 80 euros. Le pri des nougats étant proportionnel à la quantité achetée, kg de nougats coûte euros. Ainsi f (). b) g(0) 606,67 arrondi à 0,0 près. f (8) + g(0) 886,67, donc 8 kg de nougats et 0 kg de chocolats coûtent 886,67 euros. c) 6 kg de nougats et 6 kg de chocolats coûtent 0 euros. Par le calcul, f (6) + g(6) 0.. a) Le pri moyen d un kilogramme de chocolats, 60 pour 6 kilogrammes achetés, est égal à, soit 6 euros. 87

16 hapitre 6 b) Le pri moyen d un kilogramme de chocolats g() pour une commande de kilogrammes est égal à, ( 7 ) 7 soit ( 7) (6 ) d) La courbe descend sur l intervalle [0 ; 0] ; plus on achète de chocolats, plus le pri moyen d un kilogramme de chocolats baisse. Tableur sur papier. a) On entre 0 dans la cellule A et dans la cellule A ; on sélectionne ces deu cellules que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule A6. b) Dans la cellule B, on entre la formule 0/(0,9*A+) et dans la cellule, on entre la formule /(,*A+). En cliquant dans la cellule B9, on obtient la formule 0/(0,9*A9+) ; en cliquant dans la cellule 9, on obtient la formule /(,*A9+). c) Dans la cellule D, on entre la formule B. En cliquant dans la cellule D6, on obtient la formule B6 6.. a) Graphiquement, on lit t 7 heures. b) Les valeurs numériques des cellules B8 et B9 sont respectivement égales à 0, et 0,9, et correspondent respectivement à t 6 et t 7, ce qui confirme la valeur précédente. c) On résout l équation f (t) 0,, successivement équivalente à 0 0,(0,9t + ) ; 0 0,t +, ; 7, t ; t 6,667 arrondi à 0,00 près. 0,. Pour le second malade, graphiquement on lit t 9 heures. Les lignes et du tableau confirment cette valeur. Algébriquement, on résout l équation g(t) 0,7, successivement équivalente à 0,7(,t + ) ; 9 0,97t + ; t ; t 9, arrondi à 0,97 0,00 près.. a) Graphiquement, on lit t 9 heures.,0 b) Il s agit de la ligne. Le bouton permet de,00 contrôler ce résultat en ajoutant des décimales au résultat. c) On résout l équation f (t) g(t), successivement équivalente à 0(,t + ) (0,9t + ) ; 0 t + 0 0,8t + 60 ;,t 0 ; t ;, t 9,09 arrondi à 0,0 près. Les quantités de médicament présentes dans le sang des deu malades sont égales au bout de 9,09 heures. La valeur de t trouvée ci-dessus est la seule solution de l équation f (t) g(t). 88