COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE LIMITES

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1 COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE LIMITES I Limite en + - Eercice 0 Soit f définie sur [ + [ par f() = - ) Calculer f'() étudier le sens de variation de f sur [ + [. 2 ) Démontrer que pour tout dans [ + [, f() <. Que peut-on en déduire pour la courbe (C) représentative de f? 3 ) Déterminer un réel A tel que : si > A, alors f() > 0,99. Que peut-on en déduire pour la courbe (C)? 4 ) Déterminer un réel A tel que : si > A, alors f() > 0,9999. Que peut-on penser de la ite de f() quand tend vers +? 5 ) Faire le tableau de variations de f tracer la courbe (C). Eemple Compléter le tableau de valeurs suivant : Chacune des fonctions ci-dessus prend des valeurs aussi proches de zéro que l'on veut à partir du moment où on choisit suffisamment grand. On dit que les fonctions qui à associent 2 3 tendent vers 0 lorsque tend vers +. Les représentations graphiques de ces fonctions obtenues avec une calculatrice ou un ordinateur montrent que chacune des courbes est très proche de l'ae O lorsque est très grand positif. On dit que ces courbes ont pour asymptote horizontale l'ae O quand tend vers ères Limites page

2 Plus généralement on dit qu'une fonction f tend vers 0 lorsque tend vers + si on peut rendre f() aussi proche que l'on veut de 0 à partir du moment où on choisit suffisamment grand. On dit dans ce cas que la courbe représentative de f a pour asymptote horizontale la droite d'équation y = 0 (Ae O) = 0 2= 0 3= 0 = 0 Eercice 02 En utilisant la ite de quand tend vers +, déterminer les ites suivantes : Lorsque tend vers -, c'est-à-dire lorsque devient très grand (en valeur absolue) négatif, 2 3 prennent des valeurs aussi proches de zéro que l'on veut. = 0 2= 0 3= 0 Eercice 03 En utilisant des ites connues, déterminer les ites suivantes : Définition Si la ite en + (resp. en - ) d'une fonction f est égale à un nombre réel l, alors on dit que la courbe (C) représentative de f a pour asymptote horizontale la droite d'équation y = l au voisinage de + (resp. de - ) f() = l f() = l y = l y = l Dire que f() = l revient à dire que f() - l = 0 f() = l + ε() avec ε() = 0. (On a une remarque similaire lorsque tend vers - ) ou encore que ères Limites page 2

3 Eemple Compléter le tableau de valeurs suivant : Chacune des fonctions ci-dessus prend des valeurs aussi grandes que l'on veut à partir du moment où on choisit suffisamment grand. On dit que les fonctions qui à associent 2 3 tendent vers + lorsque tend vers Plus généralement on dit qu'une fonction f tend vers + lorsque tend vers + si on peut rendre f() aussi grand que l'on veut à partir du moment où on choisit suffisamment grand. De façon similaire, on pourra dire qu'une fonction f tend vers - lorsque tend vers +, ou qu'une fonction f tend vers + lorsque tend vers -, ou qu'une fonction f tend vers - lorsque tend vers -. = + 2 = + 3 = + = + = - 2 = + 3 = - Eercice 04 En utilisant des ites connues, déterminer les ites suivantes : ( - ) Eercice 05 En utilisant un tableau de valeurs, ou une représentation graphique de la fonction obtenue avec une calculatrice ou un ordinateur, conjecturer les ites suivantes : ères Limites page 3

4 Eercice 06 Soit f définie sur IR par f() = ) Tracer avec une calculatrice ou un ordinateur, la courbe représentative de f. Conjecturer la ite de f en +. 2 )Montrer que pour tout 0 on a : = = 2 En déduire que f() = pour tout 0 2 Que peut-on dire de la ite de f en +? 3 ) Montrer que pour tout réel, on a : f() = Rrouver à partir de cte epression la ite de f en + 4 ) Faire apparaître sur le dessin du ) la droite d'équation y = 2 +. Que remarque-t-on? + 2 Définition Soit f une fonction, soient a b deu nombres réels. Si f() - (a + b) = 0, alors on dit que la courbe (C) représentative de f a pour asymptote (oblique) la droite d'équation y = a + b au voisinage de +. Si f() - (a + b) = 0, alors on dit que la courbe (C) représentative de f a pour asymptote (oblique) la droite d'équation y = a + b au voisinage de -. f() - (a + b) = 0 f() - (a + b) = 00 Dire que f() - (a + b) = 0 revient à dire que f() = a + b + ε() avec ε() = 0. (On a une remarque similaire lorsque tend vers - ) Eercice 07 Soit f définie par f() = Justifier que la courbe représentative de f a pour asymptote au voisinage de + de -, une droite D dont on précisera l'équation. Vérifier en représentant la courbe avec une calculatrice ou un ordinateur. Eercice 08 Dans chacun des cas déterminer la ite demandée. Peut-on déterminer une asymptote à la courbe de f? ) f() = f() 2 ) f() = + f() 3 ) f() = f() 4 ) f() = f() 5 ) f() = 2 2 f() 6 ) f() = 2 - f() ) f() = Eercice 09 f() 8 ) f() = f() Soit f définie pour - par f() = En traçant la courbe représentative de f avec une calculatrice ou un ordinateur, conjecturer l'eistence d'une asymptote oblique au voisinage de - au voisinage de +. Démontrer. ères Limites page 4

5 II Limite en a Eemple Compléter les tableau de valeurs suivants : Chacune des fonctions ci-dessus prend des valeurs aussi grandes que l'on veut (positives ou négatives) à partir du moment où on choisit suffisamment proche de zéro O O = + 0 = - 0 2= = > 0 < 0 > 0 < 0 La règle des signes aura une importance capitale pour déterminer si une fonction tend vers - ou vers +. Eercice 0 Déterminer les ites suivantes : - 0 < > < 0 3 ( - 3) 2 Eercice Déterminer les ites suivantes : > -2 > < ères Limites page 5

6 Définition Lorsqu'une fonction f a pour ite + ou - lorsque tend vers un réel a (par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures), on dit que la courbe représentative de f a pour asymptote (verticale) la droite d'équation = a. f() = + a > a a = a = a a f() = - a < a = a a f() = + a < a Eercice 2 Déterminer les ites suivantes : > 5 < 2 > 3 < - 2 Vérifier en traçant les courbes avec une calculatrice ou un ordinateur. Eercice 3 Soit f la fonction définie par : f() = - + Donner l'ensemble de définition de f. Déterminer les ites de f au bornes de son ensemble de définition. Eercice 4 On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-contre. Conjecturer en utilisant le graphique les valeurs de : f() f() - < - f() 3 > 3 f() -2 < -2 f() - > - f() Eercice 5 On considère la fonction f définie pour -2 par f() = ) Justifier que pour tout -2, on peut écrire f() = a + b + c + 2 a, b c étant des réels à déterminer. 2 ) Déterminer les ites de f au bornes de son ensemble de définition. Préciser les asymptotes éventuelles à la courbe (C) représentative de f. 3 ) Calculer f'() étudier son signe. 4 ) Donner le tableau des variations de f. 5 ) Tracer la courbe (C) ses asymptotes. 6 ) Justifier que la courbe (C) a pour centre de symétrie le point Ω (-2 -) 7 ) Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = -2. Placer ces points sur le dessin tracer les tangentes correspondantes. 8 ) Résoudre l'équation f() = Interpréter graphiquement. ères Limites page 6

7 III Règles de calcul Les tableau suivants permtent de donner, dans certains cas, la ite de la somme du produit de deu fonctions f g, ainsi que la ite de l'inverse d'une fonction f lorsqu'on connaît la ite des deu fonctions. Les ites peuvent être des ites en +, en -, en 0, des ites à droite ou à gauche, mais bien entendu toutes les ites utilisées doivent être de la même nature. ( Il n'est, par eemple, pas question d'utiliser le tableau avec la ite de f en + la ite de g en 0 ) Limite d'une somme Si f a pour ite l l l Si g a pour ite l' Alors f + g a pour ite l + l' pas de résultat général Limite d'un produit Si f a pour ite l l 0 + ou - 0 Si g a pour ite l' + ou - + ou - + ou - Alors f g a pour ite l l' + ou - suivant les signes + ou - suivant les signes pas de résultat général Limite d'un inverse Si f a pour ite l 0 Alors f a pour ite l 0 par valeurs supérieures 0 par valeurs inférieures + ou s Les résultats des deu tableau précédents permtent de trouver les résultats pour un quotient. Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle souvent de «forme indéterminée». Les formes indéterminées sont de 2 types eprimés sous forme abrégée par : Ces notations, incorrectes, sont à proscrire dans un devoir rédigé. La ite d'une fonction polynôme en + ou en - est égale à la ite de son terme de plus haut degré. La ite d'une fonction rationnelle en + ou en - est égale à la ite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur du dénominateur. Eemples P() = On pourra écrire P() = -3 3 = + Le résultat se démontre facilement en factorisant le terme de plus haut degré. R() = On pourra écrire R() = 2 3 = 3 = + Le résultat se démontre facilement en factorisant les termes de plus haut degré du numérateur du dénominateur. Eercice 6 Déterminer : ères Limites page ( + )5 ( + 3) 4

8 Déterminer Eercice 7 a) b) c) d) La ite d'un polynôme est-elle égale à la ite de son terme de plus haut degré? La ite d'une fonction rationnelle est-elle égale à la ite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur du dénominateur? La propriété sur les ites de fonctions polynômes de fonctions rationnelles ne peut être utilisée qu'en + ou -. En aucun cas elle ne peut être utilisée lorsque tend vers un nombre réel. Eercice 8 Dans chacun des cas, justifier qu'il eiste au moins deu fonctions f g telles que : ) f() = + g() = + f() g() = + 2 ) f() = + 3 ) f() = + 4 ) f() = 0 5 ) f() = 0 Eercice 9 g() = + g() = + g() = 0 g() = 0 f() g() = 3 f() g() = 0 f() g() = + f() g() = 0 La fonction f est définie par f() = a + b + Son tableau de variations est : c + d où a, b, c d sont quatre nombres réels. Déterminer les valeurs de a, b, c d. Compléter le tableau en donnant les ites de f au bornes de son ensemble de définition. Indiquer les asymptotes à la courbe représentative de f. Eercice f'() f 6 Soient a b deu réels f la fonction définie sur IR - { -b } par : f() = a2-4 + b On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O i, j ) Répondre par Vrai ou par Fau au questions suivantes (justifier) : ) Pour toutes valeurs de (a, b) la courbe (C) adm une asymptote verticale. 2 ) Il eiste au moins une valeur de a telle que (C) admte une asymptote horizontale. 3 ) Il eiste au moins un couple (a b) tel que (C) ait pour asymptote la droite d'équation y =. 4 ) Pour (a, b) = (, ), (C) a pour asymptote au voisinage de + la doite d'équation y = -. 5 ) Pour (a, b) = (-, ), (C) n'a pas d'asymptote au voisinage de +. ères Limites page 8