Cours 11

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1 Mathématiques générales I Cours 11 1 / 21

2 Vecteurs dans R n Définition : un vecteur v dans le plan R 2 est un couple (ordonné) de nombres réels (appelés les composantes, ou coordonnées de v) : on note v = (a, b) avec a, b R. Plus généralement, on définit un vecteur dans R n, comme étant un n-uple v = (a 1,..., a n ), avec a i R. Les éléments de R, dans ce contexte, seront appelés scalaires (du latin scala échelle). 2 / 21

3 Représentation d un vecteur dans le plan Un vecteur (non nul) peut être visualisé par trois données : sa direction son sens de parcours sa longueur (ou magnitude, norme, module) magnitude sens direction 3 / 21

4 Norme d un vecteur La norme (ou le module) d un vecteur v = (a, b) est une valeur scalaire v donnée par : y v = (a, b) = a 2 + b 2 P(a,b) v b x a Exemple 11.1 La norme du vecteur v = (1, 2) est (1, 2) = (1) 2 + ( 2) 2 = 5 4 / 21

5 Vecteur nul L unique vecteur de norme 0 est le vecteur nul 0 = (0, 0) Le vecteur nul n a pas de direction spécifique Le vecteur nul est l élément neutre pour l addition vectorielle 5 / 21

6 Opérations sur les vecteurs Soit u = (u 1, u 2 ) et v = (v 1, v 2 ) deux vecteurs, et λ R un scalaire. Égalité : les deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si u 1 = v 1 et u 2 = v 2 Addition : la somme de vecteurs est définie par u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ) Multiplication d un vecteur par un scalaire : λu = (λu 1, λu 2 ) Toutes ces considérations se généralisent aux vecteurs dans R n. 6 / 21

7 Exemple Exemple 11.2 Soit u = (4, 3) et v = ( 2, 3). Trouvez : (a) u ; (b) u + v ; (c) u v ; (d) 3u 2v ; et (e) 2u + 4v... 7 / 21

8 Propriétés Commutativité de l addition : u + v = v + u Associativité de l addition : u + (v + w) = (u + v) + w Existence d un élément neutre pour l addition : 0 + u = u Existence d un élément opposé : u + ( 1)u = ( 1)u + u = 0 Unitarité : 1u = u Distributivité de la multiplication d un vecteur par un scalaire sur l addition de vecteurs : λ(u + v) = λu + λv Distributivité de la multiplication d un vecteur sur l addition de scalaires : (λ + µ)u = λu + µu Associativité de la multiplication de scalaires et de la multiplication d un vecteur par un scalaire : (λµ)u = λ(µu). 8 / 21

9 Vecteurs unitaires Vecteur unitaire : un vecteur dont la norme est égale à 1 Si a = (a 1, a 2 ) 0, alors u = a est le seul vecteur unitaire a ayant la même direction que a. En effet 2 u = a 1 ( a ) + ( a 2 2 a ) = 1 a1 2 a + a2 2 = 1 Deux vecteurs unitaires particuliers : e 1 = (1, 0) : vecteur unitaire aligné sur l axe des x e 2 = (0, 1) : vecteur unitaire aligné sur l axe des y Chaque vecteur du plan a = (a 1, a 2 ) peut être exprimé comme combinaison linéaire de e 1 et e 2 : a = (a 1, a 2 ) = (a 1, 0) + (0, a 2 ) = a 1 (1, 0) + a 2 (0, 1) = a 1 e 1 + a 2 e 2 9 / 21

10 Exemple Exemple 11.3 Prenons a = 2e 1 3e 2 et b = 3e 1 + 4e 2. Comment exprimer 5a 3b en fonction de e 1 et e 2? Solution : 5a 3b = 5 (2e 1 3e 2 ) 3 (3e 1 + 4e 2 ) = (10 9)e 1 + ( 15 12)e 2 = e 1 27e / 21

11 Autre exemple Exemple 11.4 Dessinez les vecteurs a = 8e 1 + 5e 2 et b = 11e e 2 et déterminez s ils sont perpendiculaires / 21

12 Vecteurs en 3 dimensions On utilise le système des coordonnées dit de la main droite : i = e 1, j = e 2, k = e 3 On a trois vecteurs unitaires privilégiés : e 1 = (1, 0, 0); e 2 = (0, 1, 0); e 3 = (0, 0, 1) On peut écrire tout vecteur a R 3 comme combinaison linéaire de e 1, e 2 et e 3 : a = (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 12 / 21

13 Distance entre deux points Rappel : La distance entre deux points P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) et P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) est définie par : d(p 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 La norme du vecteur v = (x, y, z) est égale à la distance du point P = (x, y, z) au point (0, 0, 0) : v = x 2 + y 2 + z 2 Plus généralement, la distance entre deux points est égale à la norme de la différence de leur vecteurs. Exemple 11.5 La distance entre les points P 1 = (1, 3, 2) et P 2 = (4, 3, 1) est égale à d(p 1, P 2 ) = (4 1) 2 + ( 3 3) 2 + (1 + 2) 2 = 54 7, / 21

14 Exemple Exemple 11.6 Soit a = (3, 4, 12) et b = ( 4, 3, 0). Trouvez : (a) a ; (b) a + b ; (c) 2a ; et (d) 2a 3b / 21

15 Produit scalaire Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 et b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 est défini par : a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Autre notation : a b = a, b. Exemple 11.6, cont. a b = (3)( 4) + (4)(3) + (12)(0) = = 0 15 / 21

16 Propriétés a a = a 2 a b = b a a (b + c) = a b + a c Pour λ R, on a (λa) b = λ(a b) = a (λb) 16 / 21

17 Interprétation géométrique Soit θ l angle entre les vecteurs a et b. Théorème : a b = a b cos θ. Donc, θ = cos 1 ( a b a b ) Corollaire : Deux vecteurs (non nuls) a et b sont perpendiculaires si et seulement si a b = / 21

18 Problème : l aire d un triangle Exemple 11.7 Trouvez l aire du triangle de sommets A(3, 0, 1), B(4, 2, 5) et C(7, 2, 4). Solution : L aire d un triangle est égale à la moitié du parallélogramme qui a la même base et la même hauteur que le triangle / 21

19 Produit vectoriel (uniquement dans R 3!) Soient a = (a 1, a 2, a 3 ) et b = (b 1, b 2, b 3 ) dans R 3. On cherche un vecteur perpendiculaire à a et b. Pour cela on calcule leur produit vectoriel par la formule a b = a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) Contrairement au produit scalaire (dont le résultat est un scalaire), le résultat du produit vectoriel est un vecteur de R 3. Théorème : Le produit vectoriel a b est perpendiculaire à a et à b 19 / 21

20 Signification géométrique Théorème : Soit θ l angle entre les vecteurs (non nuls) a et b, 0 θ π. Alors, a b = a b sin θ. Corollaire : Deux vecteurs (non nuls) a et b sont parallèles (c.-à-d. θ = 0 ou θ = π) si et seulement si a b = 0. Une interprétation géométrique du théorème : Revenons à l exemple / 21

21 Propriétés du produit vectoriel Soit a, b et c R 3 et λ R alors, a b = (b a) (λa) b = a (λb) = λ(a b) a (b + c) = (a b) + (a c) a (b c) = (a b) c a (b c) = (a c)b (a b)c a b 2 = a 2 b 2 a b 2 (identité de Lagrange) 21 / 21