La fonction logarithme népérien
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- Guillaume Malo
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1 La fonction logarithme népérien DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD Blaise Pascal septembre 2016 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
2 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
3 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
4 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
5 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
6 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. Définition 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à tout réel x > 0 associe le réel y, noté ln(x), dont l exponentielle est x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
7 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. Définition 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à tout réel x > 0 associe le réel y, noté ln(x), dont l exponentielle est x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
8 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. Définition 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à tout réel x > 0 associe le réel y, noté ln(x), dont l exponentielle est x. Remarques On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Quand il n y a pas d ambiguïté, on note souvent ln x au lieu de ln(x). DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
9 La fonction exponentielle est définie et continue sur R, et ayant pour limite 0 en et + en +, alors d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : Propriété 1 Pour tout réel x de ] 0 ; + [, il existe un unique réel y tel que e y = x. Définition 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à tout réel x > 0 associe le réel y, noté ln(x), dont l exponentielle est x. Remarques On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Quand il n y a pas d ambiguïté, on note souvent ln x au lieu de ln(x). DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
10 Exercice 1 Compléter : 1. e y = 7 y = e y = 2 y =... Exercice 2 Résoudre dans R l équation 2e 2x 9e x 5 = 0. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
11 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
12 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
13 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 3. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
14 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 3. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. 4. ln(1) = 0. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
15 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 3. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. 4. ln(1) = ln(e) = 1. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
16 Propriété 2 1. Pour tout réel x > 0 et tout réel y, x = e y équivaut à y = ln x. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 3. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. 4. ln(1) = ln(e) = 1. Démonstration 1. Se déduit directement de la définition. 2. Se déduit directement de la définition. 3. Pour tout réel x, si y = ln(e x ), alors d après??, e x = e y, et donc x = y. 4. Puisque e 0 = 1, alors d après la définition ln(1) = Puisque e 1 = e, alors d après la définition ln(e) = 1. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
17 Propriété 3 Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
18 Propriété 3 Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3 e y = x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
19 Propriété 3 Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3 e 2 y = e x y = x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
20 Propriété 3 Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et du logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3 e 2 1 y = e x y = x y = ln x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
21 Démonstration On note C et C les courbes représentatives des fonctions exp et ln. À l aide de la définition de la fonction exponentielle, on peut dire que M(x ; y) appartient à C équivaut à dire que y = ln(x), ce qui équivaut à x = e y, ce qui équivaut finalement à dire que M(y ; x) appartient à C. C et C sont donc symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3 e 2 1 y = e x y = x y = ln x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
22 Propriété 4 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : 1. ln a = ln b a = b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
23 Propriété 4 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : 1. ln a = ln b a = b 2. ln a < ln b a < b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
24 Propriété 4 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : 1. ln a = ln b a = b 2. ln a < ln b a < b Démonstration À faire. Idée : utiliser les propriétés analogues déjà démontrées pour la fonction exponentielle. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
25 Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien) La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
26 Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien) La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
27 Corollaire (Sens de variation de la fonction logarithme népérien) La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [. Exercice 3 Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. ln x = 5 2. ln(2x 1) > 2 3. ln(1 + x) ln(x 2 4) < ln x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
28 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
29 Théorème 1 (Relation fondamentale) Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ln(ab) = ln a + ln b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
30 Théorème 1 (Relation fondamentale) Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ln(ab) = ln a + ln b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
31 Théorème 1 (Relation fondamentale) Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ln(ab) = ln a + ln b Remarque Le logarithme «transforme les produits en sommes». DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
32 Théorème 1 (Relation fondamentale) Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ln(ab) = ln a + ln b Remarque Le logarithme «transforme les produits en sommes». Démonstration Idée : comparer les exponentielles des deux membres. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
33 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
34 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b ( a ) ln = ln a ln b b DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
35 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b ( a ) ln = ln a ln b b ln (a n ) = n ln a où n Z DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
36 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b ( a ) ln = ln a ln b b ln (a n ) = n ln a où n Z ln ( a) = 1 2 ln a DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
37 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b ( a ) ln = ln a ln b b ln (a n ) = n ln a où n Z ln ( a) = 1 2 ln a Démonstration À faire. (Utiliser la relation fondamentale.) DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
38 Propriété 5 Pour tous réels a et b de ] 0 ; + [ : ( ) 1 ln = ln b b ( a ) ln = ln a ln b b ln (a n ) = n ln a où n Z ln ( a) = 1 2 ln a Démonstration À faire. (Utiliser la relation fondamentale.) Remarque Attention à ne pas confondre ln(a n ) et (ln a) n. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
39 Exercice 4 1. Exprimer en fonction de ln 3 : ( ) 1 ( ln 27 ; ln ; ln 63 ln 7 ; ln 9 ) 3 9 ; 2 ln 6 ln 4 2. Simplifier l écriture de : a = ln ( ) + ln ( 5 1 ) 3. Simplifier S = 99 ln n=1 2 ( n n + 1 ). ( ; b = ln 2 + ) 5 ( 3 + ln 2 ) 5 3 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
40 Exercice 5 Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. 2 ln x = ln 3 + ln(2x + 3) 2. ln(x 2 ) = ln 3 + ln(2x + 3) 3. ln(x 2 3) ln x + ln 2 4. (ln x) 2 3 ln x + 2 = 0 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
41 Exercice 6 Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 2 et de raison À partir de quel rang a-t-on u n 1000? 2. Et si q = 1 2, à partir de quel rang a-t-on u n 0, 1? DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
42 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
43 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
44 Propriété 6 lim ln x = + x + lim ln x = x 0 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
45 Propriété 6 lim ln x = + x + lim ln x = x 0 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
46 Propriété 6 lim ln x = + x + lim ln x = x 0 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
47 Propriété 6 Démonstration lim ln x = + x + lim ln x = x 0 À faire. Pour la limite en +, revenir à la définition de limite infinie. Pour la limite en 0, on pourra poser X = 1 x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
48 Exercice 7 Déterminer la limite en + de : ( ) x f(x) = ln x g(x) = x (ln x) 2 3 ln x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
49 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
50 Propriété 7 La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [, et pour tout x dans ] 0 ; + [, on a : ln (x) = 1 x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
51 Propriété 7 La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [, et pour tout x dans ] 0 ; + [, on a : ln (x) = 1 x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
52 Propriété 7 La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [, et pour tout x dans ] 0 ; + [, on a : ln (x) = 1 x Démonstration On admet la continuité et la dérivabilité de la fonction ln. Pour ensuite déterminer la dérivée de ln, on peut dériver les deux membres de l égalité : e ln x = x. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
53 Propriété 8 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln u est dérivable sur I et on a : (ln u) = u u DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
54 Propriété 8 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln u est dérivable sur I et on a : (ln u) = u u DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
55 Exercice 8 Dériver les fonctions f, g, h et k définies par : 1. f(x) = x ln x sur ] 0 ; + [ 2. g(x) = ln ( 1 + x 2) sur R ( ) x 1 3. h(x) = ln sur ] 1 ; + [ ( 4. k(x) = ln x+1 x 1 x+1 ) sur ] ; 1 [ DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
56 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
57 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
58 e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
59 2 1 y = ln x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
60 2 1 y = ln x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
61 2 1 y = x 1 y = 1 e x y = ln x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
62 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
63 Propriété 9 ln(1 + x) lim = 1 x 0 x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
64 Propriété 9 ln(1 + x) lim = 1 x 0 x DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
65 Propriété 9 Démonstration ln(1 + x) lim = 1 x 0 x Idée : reconnaître un taux d accroissement... DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
66 Propriété 10 (Croissances comparées) ln x lim x + x = 0+ lim x ln x = 0 x 0 + DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
67 Propriété 10 (Croissances comparées) ln x lim x + x = 0+ lim x ln x = 0 x 0 + DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
68 Propriété 10 (Croissances comparées) ln x lim x + x = 0+ lim x ln x = 0 x 0 + DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
69 Propriété 10 (Croissances comparées) Démonstration ln x lim x + x = 0+ lim x ln x = 0 x 0 + À faire. (Indication : poser X = ln x et utiliser les croissances comparées concernant la fonction exponentielle...) DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
70 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
71 Définition 2 La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, définie sur ] 0 ; + [ par log x = ln x ln 10. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
72 Définition 2 La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, définie sur ] 0 ; + [ par log x = ln x ln 10. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
73 Définition 2 La fonction logarithme décimal est la fonction notée log, définie sur ] 0 ; + [ par log x = ln x ln 10. Remarque La fonction log a les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln. De plus, ln 10 étant positif, la fonction log a le même sens de variation et les mêmes limites aux bornes de ] 0 ; + [ que la fonction ln. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
74 2 1 y = ln x y = log x e DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
75 Propriété 11 Pour tout n entier relatif : En particulier, log(10) = 1. log(10 n ) = n. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
76 Propriété 11 Pour tout n entier relatif : En particulier, log(10) = 1. log(10 n ) = n. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
77 Propriété 11 Pour tout n entier relatif : En particulier, log(10) = 1. log(10 n ) = n. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
78 Propriété 11 Pour tout n entier relatif : En particulier, log(10) = 1. log(10 n ) = n. Démonstration À faire. Facile. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
79 Exercice 9 (Le nombre de chiffres d un nombre...) 1. Avec combien de chiffres le nombre 7 20 s écrit-il? Vous pourrez ensuite vérifier votre réponse à l aide d un logiciel de calcul formel. 2. En 2011, le plus grand nombre premier a était : Combien de chiffres comporte son écriture décimale? Pouvez-vous vérifier à l aide d un logiciel de calcul formel? a. Un nombre entier naturel est dit premier lorsqu il n admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
80 Exercice 10 (En acoustique : intensité d un son) Si l intensité sonore d une guitare électrique est de 62 db («décibels»), quelle sera l intensité sonore de deux guitares électriques? Si vous avez répondu 124 db, alors vous avez franchi le seuil de douleur, vous êtes peut-être devenu sourd... et cet exercice est fait pour vous! L intensité I d un son (en db) est reliée à sa puissance de réception (en watt par m 2 ) de façon que l on ait, pour deux sons quelconques 1 et 2 : ( ) P2 I 2 I 1 = 10 log. 1. À quelle variation d intensité correspond un doublement de puissance? 2. Que signifie une augmentation de 10 db en termes de puissance sonore? P 1 DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
81 Sommaire 1. La fonction logarithme népérien 2. Propriétés algébriques 3. Étude de la fonction ln 3.1 Limites 3.2 Continuité et dérivabilité 3.3 Représentation graphique 3.4 D autres limites à connaître 4. La fonction logarithme décimal 5. Les autres fonctions logarithme DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
82 Pour tout réel a strictement positif et différent de 1 : Définition 3 On appelle fonction logarithme de base a la fonction notée log a définie sur ] 0 ; + [ par : loga (x) = ln x ln a. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
83 Pour tout réel a strictement positif et différent de 1 : Définition 3 On appelle fonction logarithme de base a la fonction notée log a définie sur ] 0 ; + [ par : loga (x) = ln x ln a. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
84 Pour tout réel a strictement positif et différent de 1 : Définition 3 On appelle fonction logarithme de base a la fonction notée log a définie sur ] 0 ; + [ par : loga (x) = ln x ln a. Pour tout n entier relatif : log a (a n ) = n. En particulier, log a (a) = 1. La fonction ln est la fonction logarithme de base e. DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
85 FIN DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD (Blaise Pascal) Chapitre 12 septembre / 37
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
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