manba3math 1 ASC yassine mrazek

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1 manba3math 1 ASC yassine mrazek septembre 2013

2 2 QUI PEUT FAIRE ; PEUT FAIRE MIEUX

3 Table des matières 1 enchaînement d opérations vocabulaire la somme et la différence Exemples Le produit et Le quotient Exemples Expression avec parenthèses convention des parenthèses Exemples Exemple Exercices d application Expression avec un quotient Exemples Expression sans parenthèses expression avec + et - ( ou bien avec et ) Exemples Enchaînemant d opérations Exercices d application Nombres en écriture fractionnaire Sens de l écriture fractionnaire Définition Exemples proportion, fréquence : exemple Multiple et diviseurs Exemple Critères de divisibilité Égalité de quotients propriété des quotients simplification de fractions Exemple Division par un nombre décimal Exercices d application Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire Addition, Soustraction de nombres en écriture fractionnaire Les dénominateurs sont égaux

4 4 TABLE DES MATIÈRES Exemple Un dénominateur est miltiple de l autre Exemple Multiplication Règle Exemple Cas particulier Exercices d application Les nombres relatifs : définition et comparaison Les nombres relatifs Remarques Exemples Repérage sur une droite graduée Abscisse Distance à Zéro Nombres opposés Comparaison de nombres relatifs Propriété Exemples Exercices d application Les nombres relatifs : addition et soustraction Somme de deux nombres relatifs Les deux nombres sont de même signe Les deux nombres sont de signes contraires Différence de deux nombres relatifs propriété Distance de deux points sur une droite graduée Calcul d une expression Exercices d application Médiatrice d un segment - inégalité triangulaire Définition propriété Inégalité triangulaire Exercices et applications Le triangle Somme des mesures des angles d un triangle Application aux triangle particuliers le triangle rectangle Le triangle isocèle Le triangle équilatéral Je Rédige La Solution d un exercice Exercices d application

5 TABLE DES MATIÈRES 5 8 Droites remarquables d un triangle Médiatrices d un triangle Propriété - Définition Exemple Médianes d un triangle Hauteurs d un triangle Exercices d application

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Chapitre 1 enchaînement d opérations 1.1 vocabulaire la somme et la différence la somme de deux nombres a et b est notée a+b ou b+a la différence de deux nombres a et b notée a-b lorsque a>b les nombres a et b que l on ajoute ou que l on soustrait s appellent des termes Exemples est la somme de 3 et 5 le calcul de cette somme donne 8 3 et 5 sont les termes de la somme 9-2,3 est la différence de 9 et de 2,3 le calcul de cette différence donne 6,7 9 et 2,3 sont les termes de la différence Le produit et Le quotient le produit de deux nombres a et b est noté a b ou b a - les nombres a et b que l on multiplie s appellent les facteurs du produit Le quotient d un nombre a par un nombre b ( avec b 0) est noté a :b Exemples 6 9 est le produit de 6 par 9 Le calcul de ce produit donne 54 6 et 9 sont les facteurs du produit 14 :7 est quotient de 14 par 7 le calcul de ce quotient donne 2 ce quotient se note aussi Expression avec parenthèses convention des parenthèses pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d abord les calculs entre parenthèses. 7

8 8 CHAPITRE 1. ENCHAÎNEMENT D OPÉRATIONS Exemples A = 3 (5+2) A = 3 7 A = 21 B = (2+3) : 4 B = 5 : 4 B = 1,25 C = (5+2) (6 4) C = 7 2 C = 14 Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on effectue d abord les calculs dans les parenthèses les plus intérieures Exemple 1.3 Exercices d application 1 D = 51 [(14+2) 3] D = 51 (16 3) D = D = 3 Exercice 1 (oralement). Calculer astucieusement Exercice 2. calculer (8 + 4) 2. 5 (11 7) 3. (14 + 7) 5 correction de l exercice 2

9 1.4. EXPRESSION AVEC UN QUOTIENT 9 Exercice 3. calculer A = 24 [3 (5 1,5)] correction de l exercice Expression avec un quotient - Calculer une expression avec quotient revient à calculer une expression avec parenthèses Exemples A = 10+5 = (10+5) : 5 = 15 : 5 = B = 8 = (12 : 8)4 = 1,5 : 4 = 0, Expression sans parenthèses expression avec + et - ( ou bien avec et ) Dans une suite d addition et de soustraction, on effectue les opérations, l une aprés l autre, de la gauche vers la droite Il en est de même dans une suite de multiplications et de divisions

10 10 CHAPITRE 1. ENCHAÎNEMENT D OPÉRATIONS Exemples A = A = A = 2+3 A = 5 B = B = B = 20 2 B = Enchaînemant d opérations Pour calculer une expression sans parenthèses, on effectue d abord les multiplications et les divisions 1.6 Exercices d application 2 Exercice 4 (oralement - calcul mental -). Calculer [10 (3+4)] 2 (14 9) (36 25) 19 [4 (2,3+1,7)] [36 : (3,7+5,3)] 5 : 2 Exercice 5. Réécrire les expressions suivantes en remplacant les traits de fraction par le signe " :"; puis les calculer correction de l exercice 5

11 1.6. EXERCICES D APPLICATION 2 11 Exercice 6. calculer les expressions suivantes ,7 5 0, : 7 3,5+0,7 8 2 correction de l exercice 5

12 12 CHAPITRE 1. ENCHAÎNEMENT D OPÉRATIONS

13 Chapitre 2 Nombres en écriture fractionnaire 2.1 Sens de l écriture fractionnaire Définition Soient a et b deux nombres, avec b 0 Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b donne a Ce quotient se note a :b ou en écriture fractionnaire a b Exemples 22 = 22 : 4 = 5,5 4 car 5,5 4 = 22 3,5 = 3,5 : 7 = 0,5 7 car 0,5 7 = 3, proportion, fréquence : exemple - Dans le mot MATH, 3 lettres sur les 4 sont des consonnes On dit que la proportion ( ou la fréquence) de consomnes parmi les lettres du mot MATH est

14 14 CHAPITRE 2. NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 2.2 Multiple et diviseurs Exemple Comme 48 = 48 : 6 = 8 on en déduit que : 6 4 est un multiple de 6 48 est divisible par 6 6 est un diviseur de Critères de divisibilité un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8 un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par Égalité de quotients propriété des quotients Un quotient ne change pas lorsque l on multiplie ou l on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul si b 0 et k 0, alors a b = a k b k et a b = a k b k Exemple 1 2 = = = = simplification de fractions Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits Exemple = = = = 3 4 Remarque Lorsque la fraction trouvée n admet pas de simplification, On dit qu il s agit d une fraction irréductible - comme 3 4 ;; 1 3 ;;2 5...

15 2.4. EXERCICES D APPLICATION Division par un nombre décimal propriété Exemple Pour diviser un nombre décimal non entier, On se ramène à la division par un nombre entier en multipliant le dividende et le diviseur par 10 ou par 100 ou par ,61 0,3 = 5, ,3 10 = 56,1 3 donc 5,61 : 0,3 = 56,1 : 3 = 18,7 2.4 Exercices d application Exercice 7 (oralement). 1- Quelle proportion de la surface totale est nommée A? B? C? D? 2- la surface C correspond à combien de huitième(s)? quart(s)? demi(s)? Exercice 8 (oralement). compléter les phrases suivantes : 1-12 est un...de est un...de est un...par 11 Exercice 9. 1) Recopier et comlpéter les égalités : 7 3 =? 15 ; 12 8 =? 2 ;; 3,5 4 = 7? 2) Pour chaque quotient, déterminer une fraction qui lui soit égale 7,3 8,7 ;; 5 9,74 ;; 8,27 12,3 ;; 1 0,125 ;; 1,5 3,004 correction de l exercice 9

16 16 CHAPITRE 2. NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE Exercice 10. soit les écritures suivantes : 3,09 3,1 ;; 7,02 7,002 ;; 0,33 0,303 ;; 7,80 7,8 ;; 11,12 12,11 1) entourer, en bleu ceux qui sont inférieurs à 1 et, en vert, ceux qui sont supérieurs à 1 2) Que peut-on dire du quotient qui n est pas entouré. correction de l exercice 10

17 Chapitre 3 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire 3.1 Addition, Soustraction de nombres en écriture fractionnaire Les dénominateurs sont égaux Propriété Pour additionner ( ou pour soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur On additionne ( ou on soustrait) les numérateurs On conserve le dénominateur commun Exemple = = 4 5 5,8 2,5 3 2,5 = 5,8 3 2,5 = 2,8 2, Un dénominateur est miltiple de l autre propriété Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire qui n ont pas le même dénominateur on doit d abord les réduire au même dénominateur Exemple = = = , = 2, = 7, = 6,5 9 17

18 18 CHAPITRE 3. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 3.2 Multiplication Règle Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateur entre eux a, b, c et d représentent quatre nombres décimaux, avec b 0 et d 0 a b c d = a c b d Exemple = = , ,3 =3, ,3 = 9,6 6, Cas particulier a c d = a c d ( avec d 0) Exemple =3 2 = ,3 2,3 = 7 7 = 11, Exercices d application Exercice 11 (oralement). Calculer puis simplifier si possible Exercice 12 (calcul mental) ,8 5 1, , ,5 3

19 3.3. EXERCICES D APPLICATION 19 Exercice 13. Recopier et compléter avec une fraction pour que l égalité soit vraie 3?? 7 9 = ?? = 7 5?? = 1 12?? = 1 3 correction de l exercice 13 Exercice 14. 1) calculer, puis simplifier ,12 5 3,2 4. 1, ,1 2) calculer ( simplifier avant de multiplier! ) correction de l exercice

20 20 CHAPITRE 3. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES EN ÉCRITURE FRACTIONNAIRE

21 Chapitre 4 Les nombres relatifs : définition et comparaison 4.1 Les nombres relatifs Les nombres plus grandes que 0 sont appelés des nombres positifs On peut écrire ces nombres avec un signe + Il existe aussi des nombres négatifs Ceux-ci sont toujours écrits avec un signe - Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs Remarques 0 est à la fois un nombre positif et négatif On appelle les nombres qui sont entiers les nombres entiers relatifs Exemples -3 et 100 sont des nombres entiers relatifs -5,3 et 98,15 sont des nombres décimaux 4.2 Repérage sur une droite graduée Abscisse Propriété - Définition Sur une droite graduée ( ou axe ) chaque point est repéré par un nombre relatif, appelé son abscisse.en particulier, 0 est l abscisse de l origine O 21

22 22 CHAPITRE 4. LES NOMBRES RELATIFS : DÉFINITION ET COMPARAISON Distance à Zéro Sur cette droite graduée d origine O Le point c a pour abscisse (+3) La distance à zéro du nombre (+3) est la longueur du segment [OC], c est à dire 3 Le point E a pour abscisse (-2) La distance à zéro du nombre (-2) est la longueur du segment [OE], c est à dire Nombres opposés Définition Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsqu ils ont des signes contraires (l un positif; l autre négatif) et des distance à zéro égales. exemple Les nombres relatifs -3 et +3 sont opposés 4.3 Comparaison de nombres relatifs Propriété (1) Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif (2) De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. (3) De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance á zéro Exemples Règle (1) 2>-3 ;; 0>-15 ;; 7>-189 Règle (2) 4,5>2 ;; 1010>1009 ;; 25,7>25,07 Règle (3) -1,5>-3,5 ;; -1,570>-3,75 ;; -2,3> Exercices d application Exercice 15. compléter avec > ou < : ,1...-4, , , ,5...7,5

23 4.4. EXERCICES D APPLICATION 23 Exercice 16. on considère la figure ci-dessous Quelle est l abscisse de chacun des points A; B; C; D; E; F; G et H? Recopier et compléter le tableau ci-dessous en classant les nombres suivants Exercice ; -1,1; -3,5; -2,4; -1,8; -2,01; 2,01 Nombres inférieurs à -3 Nombres compris entre -3 et -2 Nombres supérieurs à -2

24 24 CHAPITRE 4. LES NOMBRES RELATIFS : DÉFINITION ET COMPARAISON

25 Chapitre 5 Les nombres relatifs : addition et soustraction 5.1 Somme de deux nombres relatifs Les deux nombres sont de même signe La somme de deux nombres positifs est un nombre positif La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif La distance à zéro du résultat est égale à la somme des distances á zéro. Exemples Les deux nombres sont positifs : 3,4 +4,5 = 7,9 Les deux nombres sont négatifs ( -3,4) +(-7,2) = -10, Les deux nombres sont de signes contraires La somme de deux nombres de signes contraires est un nombre relatif qui a : Pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro Pour distance à zéro, la différence des distances à zéro Exemple +8,5 + (-3) = 5,5 Distance à zéro : 8,5 > 3, donc la somme a le signe de 8,5 : elle est positive. La somme a pour distance à zéro : 8,5-3 propriété La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro Exemple (-8) + (+8) = (+8) +(-8) = 0 25

26 26 CHAPITRE 5. LES NOMBRES RELATIFS : ADDITION ET SOUSTRACTION 5.2 Différence de deux nombres relatifs propriété Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé Exemples (-5) - ( +20 )=(-5)+(-20)=-25 soustraire (+20), c est ajouter (-20) (-3) -(-18) = (-3) +(+18) = +15 soustraire (-18), c est ajouter (+18) Distance de deux points sur une droite graduée Sur une droite graduée, la distance de deux points d abscisse données est égale à la différence entre l abscisse la plus grande et l abscisse la plus petite Exemple Comme 6 > 3,5, la distance AB est égale à la distance de l abscisse du point A et l abscisse du point B Donc AB= BA =6-3,5 = 2,5 De même BC= CB = 3,5 - (-3) =3,5 + (+3) = +6,5 et DC = CD =-3 - (-7) =-3 + ( +7) = Calcul d une expression Pour calculer une expression où ne figurent que des additions et soustractions, on commence par n écrire que des additions Exemple A = 6 7,5+9 2,5+6 A = 6+( 7,5)+9+( 2,5)+6 A = 6 6+( 7,5)+( 2,5)+9 A = 10+9 A = 1

27 5.4. EXERCICES D APPLICATION Exercices d application Exercice 18 (oralement). donner le signe des expressions suivantes : (-42) +(-36) (+15) +(-50) (+2,8) + (-2,8) (+34,2) +( -15,7) 18,54 +(-36,76) (+3,7) - (+3,7) Exercice 19. compléter chacune des phrases. La somme de deux...est égale à zéro La différence de deux...est égale à zéro Exercice 20. Recopier et compléter le tableau a b a b b a ,2 +6,7 +4,8-7,8 Exercice 21. Calculer les expressions algébriques 1) (-46) - (-25) - (+7) 2) (-4,5) - (-11,2) - (+3) 3) 1,8 - (-2,7) - (-2,6) - (-2,6) 4) (-1 +2) - (-3 +4) - (-5 +6 )

28 28 CHAPITRE 5. LES NOMBRES RELATIFS : ADDITION ET SOUSTRACTION

29 Chapitre 6 Médiatrice d un segment - inégalité triangulaire 6.1 Définition La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu propriété Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment Donnée M appartient à la médiatrice du segment [AB] Conclusion AM = MB 29

30 30 CHAPITRE 6. MÉDIATRICE D UN SEGMENT - INÉGALITÉ TRIANGULAIRE 6.2 Inégalité triangulaire inégalité triangulaire (admis) si A, B, C sont trois points quelconques, alors AB + BC AC Cas d inégalité : Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté exemple Dans un triangle ABC. on a AB < AC + CB; AC < AB +BC et BC< BA + AC Cas d égalité si un point B appartient au segment [AC], alors AB + BC = AC propriété Propriété réciproque Si A, B, C sont trois points tels que AB + BC = AC, alors le point B appartient au segment [AC]. remarque B n est pas nécessairement le milieu de [AC] 6.3 Exercices et applications Exercice 22. on donne les longueurs de trois segments. Peut-on construire un triangle à l aide de ces segment? Pourquoi? 5 cm; 8cm; 6cm 4cm;2cm;7cm 13cm;9cm;4cm Exercice 23. Soit [AB] un segment Construire la médiatrice du segment [AB] avec la règle et le compas

31 6.3. EXERCICES ET APPLICATIONS 31 Exercice 24. Recopier et compléter par < ou > ou = : 1 - E, F, G sont les points ci dessous a - EG + GF...EF b- EF...EG + GF c - FG...FE + EG 2- A, B, C sont les points alignés a - AB + BC... AC b - BC... BA +AC

32 32 CHAPITRE 6. MÉDIATRICE D UN SEGMENT - INÉGALITÉ TRIANGULAIRE

33 Chapitre 7 Le triangle 7.1 Somme des mesures des angles d un triangle Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180 o Exemple Dans le triangle JKL, on a ĴKL+ĴLK + LJK = 180 O 7.2 Application aux triangle particuliers le triangle rectangle propriété si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures de ses angles aigus est égale à 90 o 33

34 34 CHAPITRE 7. LE TRIANGLE exemple Le triangle ABC est rectangle en A donc : ÂBC +ÂCB = 90 o Le triangle isocèle propriété Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure Exemple Dans le triangle ABC isocèle en A ÂBC = BCA = 70 o La somme des mesures des angles est égale à 180 o Â+ B +Ĉ = 180o 70 o +70 o + = 180o d ou  = 180o 140 o  = 40 o la mesure de l angle BAC est égale à Le triangle équilatéral Propriété Si un triangle est équilatéral alors chacun de ces angles a pour mesure 60 o

35 7.3. JE RÉDIGE LA SOLUTION D UN EXERCICE 35 Exemple Le triangle SPR est équilatéral, donc : PSR = ŜRP = RPS = 60 o 7.3 Je Rédige La Solution d un exercice Exercice 25. : 1 - a) Construire un triangle MAS tel que : SM = 3cm, ÂSM = 120 o et ÂMS = 30 o b) construire le point R tel que le triangle SAR soit équilatéral et que le segment [RS] ne coupe pas le segment [AM]. 2 - a) - Les points R, S et M sont-ils alignés? Justifier la réponse b) Quelle est la nature du triangle MAR? Justifier la réponse correction de l exercice 25

36 36 CHAPITRE 7. LE TRIANGLE 7.4 Exercices d application Exercice 26 (oralement). : Deux des trois angles du triangle ABC sont donnés Calculer le troisième. Préciser éventuellement la nature du triangle a - BAC = 60 o et ÂBC = 40 o b - BAC = 110 o et ÂBC = 35 o c - ĈAB = ĈBA = 60 o d - BCA = 55 o et BAC = 35 o Exercice 27. : Construire un triangle NID, isocèle en N, tel que NI = 5,4cm et NID = 71 o correction de l exercice 27

37 7.4. EXERCICES D APPLICATION 37 Exercice 28. : Les étiquettes correspondant à chaque triangle ont été mélangées Pour chaque triangle, retrouver la bonne étiquette Justifier la réponse correction de l exercice 28

38 38 CHAPITRE 7. LE TRIANGLE

39 Chapitre 8 Droites remarquables d un triangle 8.1 Médiatrices d un triangle Propriété - Définition Définition (Rappel) La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment en lui étant perpendiculaire Dans un triangle, on peut construire les médiatrices de ses côtés Propriétés Les médiatrices des trois côtés d un triangle se coupent en un même point : on dit qu elles sont concourantes. Ce point est le centre d un cercle qui passe par les trois sommets du triangle Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle Exemple Les médianes de ABC sont concourantes au point O ce point O est le centre du cercle circonscrit au triangle 39

40 40 CHAPITRE 8. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE 8.2 Médianes d un triangle Définition Dans un triangle, la médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé Exemple Dans le triangle ABC, la droite (AI) est la médiane issue de A 8.3 Hauteurs d un triangle Définition Dans un triangle, la hauteur issue d un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet Exemples Dans le triangle EFG la droite (FH) est la hauteur issue de F Dans le triangle MOT la droite (MH) est la hauteur issue de M

41 8.4. EXERCICES D APPLICATION Exercices d application Exercice 29 (oralement). : Parmi les droites (d1), (d2), (d3) et (d4) citer celle qui représente pour le triangle ABC une hauteur une médiane une médiatrice une bissectrice Exercice 30. 1) tracer un triangle ABC tel que AB=4cm; AC= 5,5 cm; BC=6cm 2) Dans ce triangle, tracer : en bleu, la hauteur issue de A en rouge, la médiane issue de C en vert, la médiatrice du côté [AC] en noir, la bissectrice de l angle ÂBC ; correction de l exercice 30

42 42 CHAPITRE 8. DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE Exercice 31. 1) construire un triangle DEF tel que DE=3,1cm, FDE = 36 o et DEF = 124 o 2) Construire le cercle circonscrit au triangle DEF correction de l exercice 31