La géométrie dans l espace

Transcription

1 Chapitre 2 terminale S La géométrie dans l espace 1 Vecteurs de l espace : La notion de vecteur du plan se généralise dans l espace. 1) Caractérisation : a) On donne deux points de l espace et, distincts. Le vecteur non nul u= a trois caractéristiques : - Sa direction : c est la droite (), qui porte le vecteur. - Son sens : celui de vers. - Sa norme ou longueur : c est la longueur. On écrit : = b) Vecteurs égaux : = CD si et seulement si DC est un parallélogramme. 2,56 Ceci nous prouve donc qu un vecteur ne dépend pas du point d origine et de son extrémité mais des trois caractéristiques données dans le a). On peut donc représenter plusieurs vecteurs égaux par un représentant c) Remarques : Etant donné un point O de l espace, pour tout vecteur u de l espace, il existe un seul point M de l espace tel que u= OM Pour tout point M de l espace, le vecteur MM est le vecteur nul noté 0. Tout vecteur non nul u admet un vecteur opposé noté u qui a même direction et même norme que u, mais de sens contraire. Le vecteur nul est son propre opposé. 2) Opérations sur les vecteurs : D H C G a) ddition de vecteurs : Comme dans le plan, il y a deux méthodes pour additionner des vecteurs. E F Relation de Chasles : (on ajoute les vecteurs bout à bout dans un plan) Soit u et v deux vecteurs quelconques. On peut trouver trois points, et C dans un même plan tels que = u et C= v. La somme des vecteurs u et v est le vecteur, noté u+ v, défini par : u + v = C. On a donc + C= C. Règle du parallélogramme : (Les vecteurs ont la même origine) Soit u et v deux vecteurs quelconques. On peut trouver un parallélogramme CD tel que = u et D= v. Le vecteurs u + v est le vecteur diagonal qui par de et arrive en C : On a C = + D.

2 b) Différence de deux vecteurs : La différence de deux vecteurs se trouve en ajoutant au premier l opposé du deuxième : u v= u + ( v) c) Multiplication par un réel : Soit u un vecteur de l espace et k un réel quelconque. On appelle produit du vecteur u par le réel k le vecteur, noté k u, défini par : - Si u = 0 ou si k = 0 alors k u = 0. - Si u 0 et k > 0, alors k u et u sont même direction, de même sens et ku = k u. - Si u 0 et k < 0, alors k u et u sont même direction, de sens opposés et ku = k u. d) Règles de calcul : Pour tout vecteurs de l espace u, v et w et pour tout réels a et b u + v = v + u (commutativité) (u + v) + w = u + (v + w) (associativité) u+ 0= u a(u+ v) = au+ av (distributivité) (a+ b)u= au+ bu a(bu) = (ab)u au= 0 équivaut à a= 0 ou u= 0 1 u = u ( 1) u= u u+ u = 0 3) Colinéarité : a) Définition : On dit que u et v sont colinéaires si il existe un réel k tel que u = kv ou tel que v = ku. (Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction) b) pplication : Trois points, et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et C sont colinéaires. Deux droites () et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et MN sont colinéaires. 2 repère de l espace : 1) Définitions : a) Un repère de l espace est un quadruplet ( O, i, j, k ) où O est un point de l espace (appelé origine du repère) et i, j et k sont trois vecteurs non coplanaires et non nuls. Si les vecteurs i, j et k sont orthogonaux deux à deux on dit que le repère est orthogonal. Si de plus les deux vecteurs i, j et k ont la même norme, on dit que le repère est orthonormal. b) Soit ( O, i, j, k ) un repère de l espace. Pour tout point M, il existe un unique triplet de coordonnées (x ; y ; z) de réels tels que OM= x i + yj+ zk. x est l abscisse de M, y est l ordonnée de M et z est la cote de M. On écrit M (x ; y ; z) c) De même pour tout vecteur u de l espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que u= xi + yj+ zk. x, y et z sont les coordonnées de..dans la base ( i, j, k x ). On écrit u y z 2) Calculs dans un repère : Théorème : L espace est rapporté au repère ( O, i, j, k ). x Soit u y et z x x x + kx v y alors : u v y y + + et ku ky pour tout k réel ; z z+ z kz u = 0 équivaut à x = 0, y = 0 et z = 0. u= v équivaut à x = x, y = y et z = z. x x Soit (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) deux points Et I leur milieu alors y y x x y y z z = et I ; ; z z 3) Longueurs dans l espace : On considère un repère orthonormal de l espace. x Si u y alors u = x + y + z ; z Si (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) alors = = (x x ) + (y y ) + (z z ) ( ) Théorème de Pythagore.

3 3 Vecteurs coplanaires : 1) Définition : trois vecteurs u, v et w de l espace sont coplanaires si on peut trouver des représentants de u, v et w dans un même plan, c est-à-dire s il existe des points,, C et D appartenant à un même plan tels que u=, v= C et w= D 2) Caractérisation : Soient u, v et w des vecteurs de l espace tels que u et v ne soient pas colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réels k et k tels que : w = ku + k v. 3) Démonstration du théorème du toit : Si deux droites parallèles (D) et (D ) sont contenues respectivement dans deux plans sécants (P) et (P ), alors l intersection de (P) et (P ) est parallèle à (D) et à (D ).

4 4 Produit scalaire dans l espace : 1) Définition : Etant donné que deux vecteurs u et v de l espace sont toujours coplanaires dans un plan P, le produit scalaire dans l espace de u et v sera le produit scalaire des représentants de ces deux vecteurs dans le plan P. 2) Conséquence : On étend les définitions et les propriétés du produit scalaire du plan dans l espace. 3) Les 4 Définitions du produit scalaire : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, leur produit scalaire est le nombre réel, noté u v défini : a) vec des normes : u v = u+ v u v ou u v = u + v u v 2 (S utilise seulement si la norme des deux vecteurs et la nome de leur somme ou de leur différence sont connues, donc assez rare). u v = u v cos u, v b) vec un cosinus : ( ) (Le produit scalaire ne dépend pas du sens de l angle) (S utilise dès qu un angle est évoqué dans l énoncé ou les questions) c) vec une projection : Si u= et v= C et H le projeté orthogonal de C sur () H si et H sont de meme sens u v= C= H si et H sont de sens opposé ttention la projection se fait d un vecteur sur l autre. (S utilise lorsque la figure comporte des angles droits visibles ou sous-entendus) d) Dans un repère orthonormal : Si les vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x ; y ; z ) alors u i v= xx + yy + zz et u = x + y + z. (S utilise lorsque qu un repère orthonormal est donné ou lorsqu on peut en créer un) 4) Remarques : a) Si u ou v est nul, on pose u v= 0. b) Si les deux vecteurs u et v sont colinéaires alors u v= u v contraires. s il ont le même sens et u v= u v 5) Produit scalaire et orthogonalité : a) Définition : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si l un des deux est nul ou si leurs directions sont orthogonales. b) Propriété fondamentale : Deux vecteurs non nul sont orthogonaux équivaut à u v= 0. 6) Propriétés du produit scalaire : a) Commutativité et linéarité : i) u v= v u u v + w = u v + u w ii) ( ) u kv = k u v = ku v iii) ( ) ( ) ( ) s ils sont de sens Il en ressort qu un produit scalaire peut se calculer en utilisant le calcul vectoriel (relation de Chasles, égalités vectorielle) b) Carré scalaire : Le carré scalaire de u 2 2 est le nombre u u = u = u Propriétés : = = et u = x + y + z dans un repère orthonormal. c) Identités remarquables : pour tous vecteurs u et v de l espace, on a : ( ) u + v = u + 2u v + v ( ) u v = u 2u v + v u + v u v = u v ( )( ) Un produit scalaire sert donc à calculer des longueurs, des angles ou à montrer que des droites ou des vecteurs sont orthogonaux. Très souvent, plusieurs de ses définitions et ses propriétés sont utilisées dans la même question. 2 2

5 5 Les caractérisations d une droite dans l espace : 1) Définition vectorielle : Soit D une droite, un point de D. On appelle vecteur directeur d une droite, tout vecteur u non nul qui dirige la droite. lors : M D si et seulement si il existe un réel t tel que M= tu. (Une droite est l ensemble des points de l espace formant des vecteurs colinéaires à un vecteur directeur donné, à partir d un point donné) 2) Définition paramétrique : L espace est rapporté au repère( O; i, j,k). Soit D une droite et ( x ; y ;z ) un point de D et u( a;b;c) un vecteur directeur de D. M u x= x + t a La droite D est caractérisée par le système y = y + t b avec t R. Ce système est une représentation paramétrique de la z= z + t c droite D. Le paramètre est t et chaque valeur du paramètre t permet de calculer les coordonnées d un point sur la droite. Remarque : ttention, dans l espace, l équation cartésienne d une droite n existe pas. Exemples : 1) Donner une représentation paramétrique de la droite (d) passant par ( 1;2;0) et dirigée par 0 ; 1 ;1. =3 1 2) Soit (d) la droite de représentation paramétrique =+2 où R. = 2 Donner un point et un vecteur directeur de la droite (d). = +2 3) Le point 3 ; 1 ;4 est-il un point de la droite de représentation paramétrique = 2+3 où R? =3 2 4) Soient 2 ;0;1 et 0 ; 1 ;3. =4+6 La droite a-t-elle pour représentation paramétrique = 1+3 où R? = 1 6 Démonstrations :

6 6 Les caractérisations d un plan dans l espace : 1) Vecteur normal : a) Définition : Un vecteur normal à un plan P est un vecteur non nul n dont la direction est orthogonale au plan P. Donc n est orthogonal à tous les vecteurs du plan P. b) Conséquences : Soit P1 de vecteur normal n 1 et P2 de vecteur normal n 2. lors : (1) P1 P2 ssi n 1 et n 2 colinéaires. (2) P1 P2 ssi n1 n 2. 2) Propriété : Un vecteur n non nul est normal à un plan ssi n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. (Une droite est orthogonale à un plan ssi elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan). Exemple : 1) Vérifier que les points 0 ;1 ; 1, 3 ; 2 ;0 et 3 ; 2 ;2 définissent un plan. 2) Le vecteur 1 ;2 ;3 est-il normal au plan? 3) Définitions vectorielles d un plan : a) Soient P un plan, un point de P et u et v deux vecteurs non colinéaires de P. M P si et seulement si il existe deux réels k et k tels que M= ku+ k v. (Un plan est l ensemble des vecteurs de l espace coplanaires à deux vecteurs directeurs donnés, à partir d un point donné) b) Soient P un plan, un point de P et n un vecteur normal à P. M P si et seulement si M i n= 0. (Un plan est l ensemble des vecteurs de l espace orthogonaux à un vecteur normal donné, à partir d un point donné.) 4) Caractérisation paramétrique : L espace est rapporté au repère( O; i, j,k). Soit P un plan, ( x ; y ;z ) un point de P et deux vecteurs directeurs de P, u( a;b;c) v a ;b ;c. (Ils ne sont donc pas colinéaires) et ( ) M u v x= x + k a+ k a Le plan P est caractérisé par le système y= y + k b+ k b avec k R et k R. Ce système est une représentation z= z + k c+ k c paramétrique du plan P. Si on donne deux valeurs pour les paramètres k et k, on peut calculer les coordonnées d un point du plan.

7 Exemples : 1) Soient 1 ;0 ;2, 1 ;1 ;3 et 5 ;1 ;0. a) Démontrer que les points,, définissent un plan. b) Déterminer une représentation paramétrique de. = ) Soit le plan de représentation paramétrique = 1+ où ; R. =3+3 Donner un point et un couple de vecteurs directeurs de ce plan. 5) Equation cartésienne d un plan : L espace est rapporté au repère( O; i, j,k). Tout plan de vecteur normal n( a;b;c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b et c sont des réels non tous nuls. Réciproquement, l ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) non égal à (0 ; 0 ; 0) est un plan de vecteur normal n( a;b;c). Exemple : 1) Déterminer l équation cartésienne du plan de vecteur normal n ( 2;1; 2) 2) a) Déterminer un vecteur normal au plan d équation 3 ++1=0. b) Le point 1 ;2 ;3 appartient-il à? 3) Soient 1 ;3 ;2, 0 ; 1 ; 1 et 9 ;2 ; 2. a) Démontrer que, et définissent un plan. b) Montrer que le vecteur 1 ;2 ; 3 est normal au plan. c) Déterminer une équation cartésienne du plan. 4) Soient 1 ;1 ;5, 3 ;1 ;1 et 2 ; 3 ; 1 a) Démontrer que les points, et définissent un plan. b) Démontrer que admet pour équation cartésienne =0. et passant par (1 ; 2 ; 3).

8 7 Equation cartésienne d une sphère : 1) Géométrique : Une sphère de centreωet de rayon R est l ensemble des points M de l espace tels queω M= R. (Une sphère est l ensemble des points de l espace équidistants d un point fixe donné) 2) Vectorielle : L ensemble de points de l espace tels que M M= 0 est la sphère de diamètre []. (Une sphère est l ensemble des points de l espace formant l angle droit de triangles rectangles à partir de deux points donnés) 3) Dans un repère orthonormé( O, i, j) : Une équation cartésienne de la sphère de centre Ω( α; β; γ) et de rayon R est donnée par ( x α ) + ( y β ) + ( z γ ) = R. Exemples : 1) Déterminer l équation cartésienne de la sphère de diamètre [] avec 1 ;3 ;2, 0 ; 1 ; 1. 2) Déterminer si les équations cartésiennes proposées sont des équations de sphères. En donner les caractéristiques. a) b) 2 2 x + y 2x+ 4y+ 3= x + y 5x 6y+ 20= 0. Démonstrations :

9 8 Intersections diverses : Voir polycop Pour tous ces cas, dans un repère, la recherche des intersections revient à résoudre des systèmes d équations linéaires entre des équations cartésiennes et/ou paramétriques. On peut être amené à déterminer les points d intersections de deux droites ; d une droite et d un plan ; de deux plans ; de trois plans ; d une sphère et d un plan : L intersection entre une sphère de centre S, de rayon R et le plan P : a) est vide ssi d (S, P) > R. b) est un point ssi d (S, P) = R. Le plan est tangent à la sphère en ce point. 2 c) est un cercle de centre le projeté orthogonal de S sur P et de rayon R d( S, P) 2 ssi d (S, P) < R. Exemple : Droite-droite : = 1+ Soient 2 ; 1 ; 5, 1 ; 3 ; 2, et (# la droite de représentation paramétrique =2 où R. = 3+ 1) Les droites et # sont-elles parallèles? Orthogonales? 2) Soit # la parallèle à # passant par 2 ;3;9. Donner une représentation paramétrique de (#. 3) Démontrer que les droites et (# ) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d intersection 4) et # sont-elles perpendiculaires? Exemple : plan-plan 1) Soient $ 2+ 3 =0 et $ =0. Démontrer que ($ et ($ sont sécants suivant une = '' ( droite # de représentation paramétrique & = '( où R. ( = 2) Soient 1 ;2; 8, 3 ;4;4 et 1 ;0;4 trois points de l espace. On admet que, et définissent un plan et que admet pour équation 4 2 = 0. a) Démontrer que les plans et (), d équation cartésienne , sont perpendiculaires. b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (#, intersection de et de (. c) Déterminer une équation cartésienne du plan parallèle à ( passant par. 3) Déterminer l intersection des trois plans ( 2 3 = 6, * 2+4 =48 et = 2?

10 Exemple : Droite-plan 1) Soit $ le plan d équation =0. Dans chaque cas étudier les positions relatives de (# et ($). Lorsqu ils sont sécants déterminer les coordonnées de leur intersection. a) # =,; où 2 ;1; 2 et 1 ;2; 1. b) # = où 2 ;1; 1 et 3 ;0; 2. c) # =,-;. où -1;2;2 et.2 ; 5 ; 3. 2) Soit le plan d équation cartésienne =0 et # la droite de représentation paramétrique = 1+ = 1 où R. = 7 5 Démontrer que # est contenue dans (. 3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite # passant par 2 ;3 ;5 perpendiculaire au plan d équation =0. 4) Déterminer une équation cartésienne du plan passant 3 ;1 ;1 perpendiculaire à la droite où 1 ;0 ;5 et 3 ; 3 ;8 Démonstrations :