1 Cercle trigonométrique
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- Nicolas Ricard
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1 Trigonométrie Cours Objectifs du chapitre Savoir placer ou repèrer un point sur le cercle trigonomètrique. Connaitre les propriétés des fonctions sinus et cosinus. Rappels : Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors on a : côté adjacent cos( ABC ) = hypothénuse = AB BC, côté opposé sin( ABC ) = hypothénuse = AC BC. Dans cette configuration, on a forcément ABC 90. Qu en est-il pour des angles supérieurs à 90? Cercle trigonométrique., sens direct Dans tout ce paragraphe, on munit le plan d un repère orthonormé (O, I, J). Il existe deux sens de parcours sur un cercle. Par convention, on appelle sens direct le sens contraire des aiguilles d une montre. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre 0 et de rayon, orienté dans le sens direct.. Enroulement de la droite et longueur d un arc On va ensuite utiliser le cercle trigonométrique pour enrouler la droite réelle dessus : on place l origine de la droite des réels au point de coordonnées (;0) puis on enroule de telle sorte que les nombres positifs s enroulent dans le sens direct et les nombres négatifs dans le sens indirect. Le point I représente donc le réel 0. À chaque réel x est associé un point M sur le cercle tel que : ) Si x 0, l arc I M a pour longueur x en ayant parcouru le cercle trigonométrique dans le sens direct. ) Si x 0, l arc I M a pour longueur x en ayant parcouru le cercle trigonométrique dans le sens indirect.
2 Exercice Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux nombres 0 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 7. À chaque point de la droite des réels correspond un unique point sur le cercle, mais inversement, à tout point du cercle correspond une infinité de points sur la droite, tous distincts de k, où k est un nombre de tours. Soit x R et M le point du cercle trigonométrique associé à x. Alors ce point M est aussi associé à x + ; x + ; x mais aussi x ; x ; x 6... Démonstration. En effet, le périmètre du cercle trigonométrique est de donc ajouter un multiple de revient à refaire plusieurs tours entier du cercle trigonométrique dans le sens direct ou indirect et on retombe sur le même point. Remarques importantes!! ) Supposons donc qu un point M est associé à un réel x. Alors il est associé à tout nombre réel x de la forme x = x + k où k Z. ) On a donc x x = k. Ainsi, si x x est un multiple de, le point du cercle trigonométrique associé à x est le même que celui associé à x. Sinon ce n est pas le même point. Exercice Déterminer graphiquement puis par le calcul si les points associés aux réels suivants sont les mêmes : x = ; x = 5 ; x = ; x = ;
3 Cosinus et sinus d un nombre. Soit x R et M le point du cercle trigonométrique associé à x. ) Le cosinus de x, noté cos x est l abscisse du point M dans le repère (O, I, J). ) Le sinus de x, noté sin x est l ordonnée du point M dans le repère (O, I, J). cos x et sin x sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du point M. Exercice Déterminer les valeurs de : ) cos0 et sin0. ) cos et sin. ) cos et sin. ) cos et sin. 5) cos et sin.. s Pour tout x R, on a : ) cos x + sin x = ) cos x. ) sin x. ) cos(x + k) = cos x 5) sin(x + k) = sin x
4 Démonstration. ) En utilisant le théorème de Pythagore, on a bien que cos x + sin x =. ) et ) D après ce qui précéde, cos x et sin x donc cos x et sin x. ) et 5) Les réels sont associés au même point.. Tableau des lignes trigonométriques Il est bon d avoir en tête le cercle trigonométrique avec les valeurs particulières du cosinus et du sinus : On peut donc établir le tableau suivant : x 0 6 AOI cos x 0 sin x 0 0
5 Fonction cosinus et fonction sinus Voir activité GeoGebra. Le radian (Hors-programme) On peut alors définir une nouvelle unité de mesure : le radian. Soient B et C deux points du cercle tels que la longueur de l arc BC est x. On dit que l angle BOC mesure x radians. correspond à 80. Ensuite on utilise la proportionnalité pour passer des dégrés aux radians et vice-versa. Mesure en degrés Mesure en radians 6 5
1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
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