Devoir de Mathématiques n 4 (2 heures)

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1 Premières S Jeudi 26 Février 2015 Devoir de Mathématiques n 4 (2 heures) L usage de la calculatrice est autorisé. L énoncé est à rendre avec la copie. Nom : Prénom :. Classe :. Exercice 1 : (5 points) Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, en justifiant. 1/ Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x 3 ( x + 1) et C sa courbe représentative dans un repère du plan. Affirmation 1 : La tangente T à la courbe C, au point A d abscisse 1, a pour équation réduite y = 3x / Soit f la fonction définie sur ] 1 ; 1[ par f(x) = x 2 x 2 1. Affirmation 2 : f est dérivable sur ] 1 ; 1[ et f (0) = 1. 3/ Dans un repère du plan, on considère la courbe C d équation y = x 3 2x 2 + x + 1 sur l intervalle [ 5 ; 5]. Affirmation 3 : la courbe C admet, sur l intervalle [ 5 ; 5], deux tangentes parallèles à l axe des abscisses. 4/ On lance un dé cubique parfaitement équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, trois fois de suite. On note A l événement : «le nombre obtenu lors d un lancer est supérieur ou égal à 5» et A son événement contraire. Affirmation 4 : La probabilité d obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 pour la première fois au troisième lancer est égale à /6

2 C 5/ L algorithme, ci-dessous, simule un unique lancer de dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décrit le procédé d attribution du gain ou de la perte, en euros, pour le joueur puis l affiche. Variables D et G sont des entiers Début de l algorithme D reçoit un nombre entier aléatoire entre 1 et 6 Si D 5 Alors G reçoit 3 Sinon G reçoit 2 Fin Si Afficher G Fin de l algorithme Affirmation 5 : ce jeu est équitable. Exercice 2 : (5 points) Les parties 1 et 2 sont liées mais peuvent être traitées séparément. Soit f la fonction définie sur ] ; 1[ ]1 ; + [ par f(x) = x2 3x+6 et E sa courbe représentative dans x 1 un repère orthonormal (O; i, j ). La courbe C est présentée en annexe page 5. Les points A(2 ;4), B(5 ;4), C( 1 ; 5) et D(0 ; 6) sont situés sur la courbe C. Partie 1 : Donner, par lecture graphique : 1/ le coefficient directeur de la tangente TA à la courbe C au point A. 2/ f(5) et f (5). 3/ l équation réduite de la tangente TC à la courbe C au point C. 2/6

3 (A x 1) A E, Partie 2 : 1/ Démontrer par le calcul que C ne coupe pas l axe des abscisses en résolvant l équation f(x) = 0 sur ] ; 1[ ]1 ; + [. 2/ a/ Démontrer quef (x) = x2 2x 3, pour tout réel E x de ] ; 1[ ]1 ; + [. (x 1) 2 A b/ Déterminer l équation réduite de la tangente TD à la courbe C au point D. 3/ a/ Démontrer que f (x) ( 3x 6) = 4x2 x 1 ]1 ; + [. pour tout réel x de ] ; 1[ b/ Etudier la position relative de C et TD sur ] ; 1[ ]1 ; + [. Exercice 3 : (5 points) Après avoir versé une mise de 2 euros, un joueur choisit un numéro compris entre 1 et 6. Il lance ensuite deux dés cubiques parfaitement équilibrés et compte combien de fois son numéro est sorti. Le joueur gagne 13 euros si son numéro sort sur chaque dé, 5 euros s il n apparaît que sur un seul dé et rien sinon. Dans tous les cas, il perd sa mise. On désigne par X la variable aléatoire donnant le gain algébrique (gain mise) du joueur à l issue d un lancer des deux dés. On note A l événement : «le numéro donné par le dé est le numéro choisi par le joueur» et A l événement contraire de A. 1/ Présenter la situation par un arbre pondéré. 2/ a/ Déterminer la loi de probabilité de X. b/ Montrer que l espérance mathématique E(X) vaut 0,25 euros et calculer la valeur arrondie de l écart type σ(x) à A10-2 près. E A c/ Interpréter concrètement E(X) et donner le gain algébrique moyen d une personne jouant 15 fois à ce jeu. 3/ D après la valeur de E(X) trouvée à la question 2/b/, ce jeu n est pas équitable. Calculer à combien il faut fixer la mise, notée a, pour qu il le devienne. 3/6

4 Exercice 4 : (5 points) Une balle, symbolisée par le point M, roule le long du toit [AB] d une maison, tombe et touche le sol en C. Cette situation est présentée en annexe 1 page 6. On admet que la courbe décrite par la balle lors de sa chute entre les points B et C est un arc de parabole P représentant une fonction f définie sur [0 ; 2] par f(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels et a est non nul. Dans le repère orthonormal (O; I, J), on a AA( 2 ; 4)EA, B(0 ; 3) et C(2 ; 0). 1/ En utilisant le fait que le point B soit sur l arc de parabole P calculer c. 2/ La trajectoire de la balle se poursuit en B sans changement brutal de direction ; donc, le coefficient directeur de la tangente à la courbe P au point B est égal au coefficient directeur de la droite (AB). a/ Calculer f (0) à l aide du coefficient directeur de la droite (AB). b/ Déterminer f (x) en fonction de la variable x et des constantes réelles a et b puis, en remplaçant x par 0, calculer b. 3 / En utilisant le fait que le point C soit sur l arc de parabole P calculer a. 4/ On admet, grâce aux questions précédentes, quef(x) = 1 2 x2 1 x + 3, pour tout réel x de l intervalle 2 [0 ; 2]. a/ Déterminer f (x) pour tout x de l intervalle [0 ; 2]. b/ Compléter, sur l annexe 2 de la page 6, les tableaux de valeurs de f (x) et de f(x). c/ Représenter l arc de parabole P sur l annexe 1 de la page 6, à l aide des deux tableaux de valeurs précédents. On laissera les éventuels tracés de tangentes visibles. 4/6

5 Annexe pour l exercice 2 C T B j i T C T A 5/6

6 Annexe 1 pour l exercice 4 Annexe 2 pour l exercice 4 x f (x) x 0 0,5 1 1,5 2 f(x) Rendre l énoncé avec la copie. 6/6