CORRECTIONS DU BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES
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- Jean-Marc Rémy Bibeau
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1 Espagne 6 Février 00 CORRECTIONS DU BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES ( points sont laissés au jugement du correcteur sur la clarté et la propreté et points sont distribués pour la rédaction de certains exercices) Activités numériques (1 points) Exercice I 1. Calculer 5 4 : 15 On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie. On a 5 4 : (0,5 pt changer la division en une multiplication) (0,5 pt simplification de la fraction) (0,5 pt calcul soustraction) (0,5 pt réduction résultat). On considère a) Calculer B ( le résultat sera donné en écriture décimale) (0,5 pt calcul ) 15 (0,5 pt calcul des puissances) (0,5 pt écriture décimale) b) Écrire B en écriture scientifique. L'écriture scientifique de B est 1,5 10 (0,5 pt) Page 1 sur 8
2 Espagne 6 Février 00 Exercice II A= B= Écrire A sous la forme a 3 où a est un nombre entiers.. Écrire B sous la forme c d 5 où c et d sont des nombres entiers (0,5 pt pour la mise en évidence des carrés ) (0,5 pt pour l'extraction des carrés) 6 3 (0,5 pt pour la réduction) (0,5 pt pour chaque développement) (0,5 pt) (0,5 pt) Exercice III 1. a) Calculer le PGCD de et de 1989 par la méthode de votre choix. J'utilise l'algorithme d'euclide pour trouver PGCD(4 590,1989) : (0,5 pt de rédaction) Étapes a b r a bq = r = 61 (0,5 pt pour les calculs = 153 de l'algorithme d'euclide) = 0 On a finalement PGCD(4 590,1989) = 153 (0,5 pt pour le résultat). Combien de paquets ce professeur pourra faire au maximum? Justifier la réponse. Je note P le nombre total de paquets. Tous les bonbons sont utilisés et équitablement répartis dans chaque paquet donc P est un diviseur commun du nombre de bonbons bleus (1 989)et du nombre de bonbons rouges (4 590). (0,5 pt pour montrer que P est un diviseur commun). On veut avoir le maximum de paquets donc P doit être le plus grand diviseur commun de et P est donc le PGCD de et (0,5 pt pour montrer que P est le PGCD).D'après 1 ), PGCD(4 590,1 989) = 153.(0,5 pt pour le résultat cf 1 )) Le gentil professeur pourra faire au maximum 153 paquets en répartissant équitablement les bonbons bleus et rouges. Combien de bonbons rouges et de bonbons bleus y aura-t-il dans chaque paquet? On a = et = donc chaque paquet sera composé de 13 bonbons bleus et de 30 bonbons rouges. (0,5 pt pour chaque calcul ) Exercice IV Soit D x x x = ( + 3) + ( + 3)( ). Page sur 8
3 Espagne 6 Février Développer et réduire D. (x+3)² + (x+3)(x-) 4x²+1x x² -4x +1x -6 18x² + 9x +3 (0,5 pt par développement) (0,5 pt pour la réduction même si développement faux). Factoriser D. (x+3)² + (x+3)(x-) (x+3)(x+3 + x -) (x+3)(9x+1) (0,5 pt pour trouver facteur commun) (0,5 pt écriture du calcul) (0,5 pt résultat) 3. Calculer D pour x = x² + 9x (-4)² + 9(- 4) (0,5 pt pour le résultat) 4. Résoudre l équation (x + 3)(9x + 1) = 0. Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul (0,5 pt rédaction). On a donc x+ 3 = 0 x = -3 ou 9x+1 = 0 9x = -1 x = 3 (0,5 pt) x = 9 (0,5 pt) Les solutions de l'équation sont 3 et 9 Exercice V 3 Résoudre l inéquation 4 x x 1 et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée. (hachurer la partie qui ne convient pas). 3-4x -x x +4x O 3 x 1 6 x (0,5 pt 6 (0,5 pt pour la droite graduée) pour la résolution et le résultat)). Page 3 sur 8
4 Espagne 6 Février 00 Activités géométriques (1 points) Exercice I 1) Placer les points sur le repère (3 x 0,5 pt) ) a)calcul de AC : Dans le repère orthonormé (O,I,J), on a AC = AC = AC = AC = AC= x C x A y C y A (0,5 pt pour le résultat+ 0,5 pour la formule) b)calcul de BC :Dans le repère orthonormé (O,I,J), on a BC = la formule) BC = 3 3 BC = 4 5 BC = x C x B y C y B 5 16 (0,5 pt pour BC = 41 (0,5 pt pour le résultat) c) Nature du triangle ABC : Le triangle ABC est isocèle en C car BC = CA d'après la question ).(0,5 pt pour la réponse et à,5 pt pour la justification) Page 4 sur 8
5 Espagne 6 Février 00 3) a) Coordonnées du point K : Le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées x A x B y A y B K ( ; ) 3 K ( ; ). 5 5 On a finalement K ( ; ). (0,5 pt pour la formule + 0,5 pt pour le calcul de chaque coordonnées de K+ 0,5 pt pour le placement sur le repère) b) Droite (CK)? : (0,5 pt pour la rédaction «type démonstration») On sait que, dans le triangle ABC isocèle en C, K est le milieu de [AB].Or, dans un triangle isocèle, la droite qui passe par le sommet principal et le milieu du côté opposé est une médiane mais aussi une hauteur, une médiatrice, une bissectrice et l'axe de symétrie du triangle. (0,5 pt pour la propriété justificative) Donc la droite (CK) est une médiane, une hauteur, une médiatrice, une bissectrice et l'axe de symétrie du triangle ABC. (0,5 pt pour chaque bonne réponse sur le rôle de la droite (CK) avec un maximum de 0,5 pt au total) Exercice II 1. Construction du triangle ABC :. Démonstration ABC rectangle en B : Dans le triangle ABC, [BC] est le côté le plus long. On a BC² = 13² = 169 (0,5 pt) et AC² +AB² = 5² + 1² = = 169 (0,5 pt). On en déduit que BC² = AC² + AB². (0,5 pt) Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore (0,5 pt), le triangle ABC est rectangle en A (0,5 pt). Page 5 sur 8
6 Espagne 6 Février Calcul de l'angle ACB : Dans le triangle ABC rectangle en B (0,5 pt), on a tan AB AC AC = 1 5 =,4 (0,5 pt pour la formule et 0,5 pt pour le résultat) Grâce à la calculatrice, on obtient ACB 6,380 (0,5 pt). On en déduit que la mesure de l'angle ACB est de 6,4 arrondie au dixième de degré près (0,5 pt pour l'arrondi). Exercice III 1) a) Construction de la figure : (0,5 pour le segment + 0,5 pt pour le demi-cercle) b) Placer G : (0,5 pt) Montrons que EFG est rectangle en G: On sait que le point G appartient au cercle de diamètre [ EF ], Or si le plus grand côté d'un triangle est le diamètre du cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse. Donc le triangle EFG est rectangle en G. (0,5 pt pour la Propriété + 0,5 pt pour la conclusion et 0,5 pour la rédaction «type démonstration») c) Calcul de GF : On sait que le triangle EFG est rectangle en G (0,5 pt), donc d'après le théorème de Pythagore (0,5 pt), on a: EF =EG GF (0,5 pt) 10 =9 GF 100=81 GF =GF 19=GF 19=GF 4,358 GF (0,5 pt pour le résultat) La longueur GF est environ 4,4 cm. ( 0,5 pt pour l'arrondi) ) a) Placer les points M et P : (0,5 pt pour les deux points 0 pt si un de faux) b) Parallélisme de (FG) et (MP): Dans le triangle EFG, M [EG] et P [EF]. De plus, on a EM d'une part EG = 5,4 9 =0,6 EP et d'autre part (0,5 pt pour chaque rapport) EF =6,5 10 =0,65 EM On a donc EG EP (0,5 pt). D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (FG) et (MP) EF ne sont pas parallèles. (0,5 pt pour la conclusion) Page 6 sur 8 ( + 0,5 pt rédaction Théorème utilisé)
7 Espagne 6 Février 00 Problème (1 points): Première partie : 1.Calcul de l'aire du triangle ACD : BC AB Aire du triangle AC = L'aire du triangle ACD est de 54 cm². 1 9 = 108 = 54. (Formule :0,5 pt ; calcul :0,5 pt).calcul de AC: Le triangle ABC est rectangle en B (0,5 pt). Alors, d après le théorème de Pythagore (0,5 pt), On a AB² + BC² = AC² (0,5 pt) 9² + 1² = AC² = AC² (0,5 pt) 5 = AC² 5 = AC 15 = AC. (0,5 pt) La longueur du segment [AC] est de 15 cm exactement. 3.Calcul de l'angle BCA : ABC est un triangle rectangle en B. (0,5 pt) cos BC 1 BC = = 0,8. (0,5 pt pour la formule + 0,5 pt pour le résultat) AC 15 Grâce à la calculatrice, on obtient BCA 36,869. (0,5 pt pour le résultat même déjà arrondi) L'angle BCA mesure donc 36,9 au dixième de degré près ( 0,5 pt pour l'arrondi) Deuxième partie : 1. (EF) et (AC) parallèles? Les droites (AE) et (CF) sont sécantes en D. De plus DF = DC CF = 9 3 = 6. DE 1 3 D une part = = (simplification par 3) (0,5 pt) DA 8 DF 9 3 D autre part = = (simplification par 4) (0,5 pt) DC 6 DE On en déduit que D DF ( 0,5 pt ; 0 si égalité de valeurs approchées ). DC De plus, les points D, E, A et D, F, C sont alignés dans le même ordre. (0,5 pt) Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès (0,5 pt), les droites (AC) et (EF) sont parallèles. (0,5 pt pour la conclusion). Calcul de l'aire de EFD en fonction de x: FD ED 9 x 8 Aire du triangle EF = = 9 x 4 = 9 4 x 4 = 36 4x (0,5 pt pour la formule) (0,5 pt les calculs) (0,5 pt pour le résultat) L'aire du triangle EFD est donc 36 4x cm². 3. Calcul de x : L aire de EFD est égale à 4 cm². Ce qui revient à résoudre l équation suivante : 36 4x = 4 (0,5 pt) 36 4 = 4x 1 = 4x 1 4 = x (0,5 pt) x = 3 (0,5 pt pour le résultat) Page sur 8
8 Espagne 6 Février 00 La solution de l équation est 3. C est-à-dire, si x = 3, l aire du triangle EDF est de 4 cm². (+0,5 de Rédaction) 4. Aire de ACFE : Aire du quadrilatère ACFE = Aire du triangle ACD Aire du triangle EDF = 54 (36 4x) (0,5 pt) = x (0,5 pt) = x (0,5 pt) L'aire du quadrilatère ACFE est de 18+4x cm². 5. Résolution de l'inéquation : x 38 4x (0,5 pt) 4x 0 0 x 4 x 5 Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 5 (et inférieurs à 9 puisque x est inférieur à 9). (0,5 pt) + 0,5 pt si arrêt à 9 (0,5 pt) Interprétation (0,5 pt) : Les solutions de l équation x 38 sont les valeurs de x pour lesquelles l aire du quadrilatère ACFE est supérieure à 38 cm². Donc, pour CF mesurant de 5 à 9 cm, l aire de ACFE est supérieure à 38 cm². x Troisième partie : c) Calcul de l'échelle : 9 cm sur la figure représentent m = 00 cm en réalité. On veut connaître ce que représente 1cm sur le schéma. On fait un tableau de proportionnalité Taille réelle (en cm) Taille schéma (en cm) 00 9 y 1 On fait le produit en croix pour trouver y. On a y = L échelle est donc (0, 5 pt pour le résultat) = 300 d) Calcul de l'aire du terrain : Calcul de la vraie longueur du terrain : = 3600 cm = 36 m (0,5 pt pour la longueur) De plus on a : Aire du rectangle = Longueur largeur = 36 = 9 (0,5 pt pour l'aire) L aire du terrain est donc 9 m². Page 8 sur 8
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