Repérage et introduction aux vecteurs
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- Vincent Nolet
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1 Chapitre 1 Repérage et introduction aux vecteurs 1.1 Repères dans le plan Généralités Rappel. Un repère dont les deux axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur est dit orthonormé. Exemple. 1
2 CHAPITRE 1. REPÉRAGE ET INTRODUCTION AUX VECTEURS Remarque. Il existe cependant des repères non orthonormés, appelés repères quelconques. Exemple. Vocabulaire. Si (O; I; J) est un repère quelconque, alors : le point O est appelé l'origine du repère ; la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses ; la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. Remarque. Les axes sont gradués dans le sens qui va de O vers I, et dans le sens qui va de O vers J. Les unités de longueur sont les longueurs OI et OJ Coordonnées d'un point On se place dans un plan repéré par (O; I; J), un repère quelconque, et on y considère un point A, comme représenté ci-contre : Sur la gure, (AK) est parallèle à (OJ) et (AH) est parallèle à (OI). Ainsi, l'abscisse de A est x A = OK et son ordonnée est y A = OH. Le couple (x A ; y A ) est appelé couple des coordonnées de A. On notera A(x A ; y A ). On aura toujours, dans le repère (O; I; J) : O(0; 0), I(1; 0) et J(0; 1).
3 1.1. REPÈRES DANS LE PLAN 3 Théorème. Soit (O; I; J) un repère quelconque. Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points placés dans le plan muni de ce repère. Si M est le milieu du segment [AB], alors les coordonnées de M sont : x M = x A + x B et y M = y A + y B Exemple. Considérons, dans un plan repéré, les points A( ; 6) et B(4; 0). Notons M(x M ; y M ) le milieu du segment [AB]. Alors : x M = x A+x B = +4 = = 1 y M = y A+y B = 6+0 = 6 = 3 Les coordonnées de M sont alors : M(1; 3). On l'observe sur le schéma ci-dessous :
4 4 CHAPITRE 1. REPÉRAGE ET INTRODUCTION AUX VECTEURS 1. Repères orthonormés et calculs de distance Dénition. Un repère (O; I; J) est dit orthonormé si : (OI) (OJ) (axes orthogonaux) ; OI = OJ = 1 (unités de longueur égales). Théorème. Soit (O; I; J) un repère orthonormé. Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points du plan muni de ce repère, alors la distance entre A et B se calcule comme suit : AB = (x B x A ) + (y B y A ) Démonstration. On va démontrer le résultat dans le cas suivant (les autres cas se traitent de la même manière) : Soit C le point de coordonnées (x B ; y A ) comme représenté ci-dessus. On suppose que x B x A et que y B y A (autres cas traités facilement avec la même méthode). Comme on s'est placé dans un repère orthonormé, ABC est un triangle rectangle en C. On applique alors le théorème de Pythagore à ce triangle, on a donc : AB = AC + BC. Or : AC = x B x A et BC = y B y A. En remplaçant dans l'identité de Pythagore ci-dessus, on obtient : AB = (x B x A ) + (y B y A ). Comme AB 0 en tant que distance, on a nalement : AB = (x B x A ) + (y B y A ).
5 1.3. TRANSLATION ET VECTEURS 5 Exemple. Soient A(7; 1) et B(; 3) dans le plan repéré. Alors : AB = (7 ) + ( 1 3) AB = 5 + ( 4) AB = Translation et vecteurs Translations Dénition. Soient A et B deux points du plan. À tout point C du plan on associe l'unique point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit que D est l'image de C par la translation qui à A associe B. Dénition. Dire que B est l'image de A par la translation qui transforme C en D revient à dire que ABDC est un parallélogramme. Cette translation est appelée translation de vecteur AB.
6 6 CHAPITRE 1. REPÉRAGE ET INTRODUCTION AUX VECTEURS 1.3. Notion de vecteur La notation AB se lit vecteur A B. On représente un vecteur par une èche ; on dit que A est l'origine du vecteur, et B son extrémité. Le vecteur AB a : Une direction (la droite (AB)) ; Un sens (celui qui va de A vers B) ; Une longueur (également appelée norme) : AB. Remarque. Si A et B sont confondus, AB se note AA, et on dit que AA est le vecteur nul, noté 0. Le vecteur nul n'a pas de direction Égalité de deux vecteurs L'égalité de deux vecteurs AB et CD se dénit en disant qu'ils ont même direction, c'est-à-dire que (AB) et (CD) sont parallèles, et qu'ils ont même sens et même longueur. Une autre façon de voir les choses : Lorsque A, B, C et D ne sont pas alignés, on a : AB = CD ABDC est un parallélogramme Notation. De la même façon que l'on peut nommer une droite d = (AB), on peut aussi désigner un vecteur par une lettre, par exemple : u = AB. Dans ce cas, si AB = CD, on a aussi : u = CD Coordonnées d'un vecteur dans un repère Dénition. Dans le plan muni du repère (O; I; J), les coordonnées du vecteur u sont celles du point M tel que u = OM. Le vecteur nul a pour coordonnées (0; 0). Notation. On pourra noter u (x; y) ou u x y, avec une préférence pour la seconde notation. L'égalité de deux vecteurs u et v se traduit par l'égalité de leurs coordonnées. En eet, si u (x; y) et v (x ; y ) sont égaux, alors x = x et y = y. Réciproquement, si x = x et y = y, alors u = v. Théorème. Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points du plan, alors les coordonnées de AB sont : (x B x A ; y B y A ).
7 1.3. TRANSLATION ET VECTEURS 7 Exemple. Soient A(; 3) et B(7; ) deux points du plan repéré. x B x A = 7 = 5 Alors : y B y A = 3 = 5 On en tire alors les coordonnées du vecteur : AB(5; 5) Opposé d'un vecteur Dénition. On dit que deux vecteurs sont opposés lorsque : ils ont la même direction ; ils ont la même longueur ; leurs sens sont opposés. L'opposé de u se note u, et l'opposé de AB se note AB ou BA. Les coordonnées de l'opposé de u (x; y) sont : u ( x; y). Exemple. Si u (; 3), alors u ( ; 3).
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