DLST Université Joseph Fourier. Travaux Dirigés

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1 UE PHY24 Année 2007/08 DLST Université Joseph Fourier Travaux Dirigés (F = facile, M = moyen, D = difficile) Charges dans la matière.(f) L aluminium est un métal trivalent ( 27 Al) de masse volumique " = 2,7 g cm. A quelle charge électrique correspondent les noyaux d aluminium contenus dans cm de ce métal? Même question pour les électrons libres. La charge d une sphère d aluminium de cm de volume, est limitée, en pratique, à 8 0 C environ ; dire à quelle fraction des électrons libres correspond cette charge maximum. Forces électrostatiques 2.(F) Deux charges électriques de même valeur q, sont fixées en A et B sur un axe x Ox aux abscisses x A = a et x B = + a. Entre A et B on place une charge q libre de se déplacer sur l axe. Quelle est la position d équilibre de q? Quelle est la force exercée sur q hors de sa position d équilibre? Discuter de la stabilité de l équilibre..(m) Un électroscope élémentaire est constitué de deux sphères identiques reliées chacune par un fil très fin non conducteur et sans masse, de l = 0 cm de longueur, à un point fixe M. Chaque sphère peut être considérée comme ponctuelle, et porte une charge électrique q de 0 7 C. Quelle est la masse m de chaque sphère, sachant qu à l équilibre l angle des fils avec la verticale est de 0?

2 4.(M) Calculer la force électrique s exerçant sur une charge électrique q située à l origine O d un axe x Ox, par une distribution linéaire de charges de densité linéaire uniforme, répartie entre les abscisses a > 0 et a + L. 5.(M) Un cercle de rayon R, centré en O dans le plan xoy, porte une densité linéaire uniforme de charges ponctuelle q située sur l axe suivant la valeur de z.. Quelle est la force exercée par cette distribution sur une charge z Oz orthogonal à ce plan, à la distance z de O? Discuter Champ électrostatique 6.(F) Calculer le champ électrique produit par un électron à une distance de 0 Angström. 7.(F) Calculer le champ électrique produit en un point situé à une distance h d un fil rectiligne infini, uniformément chargé de par unité de longueur. 8.(M) Un fil isolant est courbé suivant un cercle de rayon R = 50 cm et de centre O. Entre les extrémités du fil subsiste un espace de 2 mm assimilable à un élément infinitésimal de longueur. Une charge électrique de 9 0 C est répartie uniformément sur la longueur du fil. Calculer le champ électrique créé en O par ce fil. 9.(M) Un demi cercle de centre O et de rayon R porte une charge électrique uniformément répartie de densité linéaire. Calculer le champ électrique créé en O. 0.(D) Une demi sphère de centre O et de rayon R, porte une charge surfacique uniforme de densité. Calculer le champ électrique créé en O par cette distribution..(d) Un disque de rayon R est centré en O dans le plan [ xoy ]. Il porte une densité superficielle de charge uniforme. Calculer le champ électrique E ( z) résultant en tout point z > 0 de son axe Oz z. Que devient ( z) E lorsque R "? 2

3 Potentiel électrostatique et théorème de Gauss 2.(D) On considère dans un repère ( Oxyz ), une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme, répartie entre deux plans infinis parallèles au plan [ xoy ] et situés respectivement aux cotes z = a / 2 et z = + a / 2. En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ et le potentiel électriques en tout point ; on prendra le potentiel nul dans le plan [ xoy ]. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs..(m) Une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme, est répartie entre deux sphères concentriques de centre O et de rayons R et 2 R ( R < ) R 2. Calculer le champ et le potentiel électriques en tout point, à l aide du théorème de Gauss. On admettra que le potentiel est nul à l infini. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs en fonction de la distance à O. 4.(M) Au voisinage immédiat de la surface de la Terre supposée sphérique, on relève un champ électrique vertical et dirigé vers le bas, de module m 00 V. - A quelle densité uniforme de charge superficielle ce champ correspond-il? Quelle est la charge totale Q portée par la Terre, sachant que son rayon est R = 6,7 0 m? 6 - Lorsqu on s élève dans l atmosphère, le champ électrique conserve les mêmes direction et sens qu au sol, mais son module E varie en fonction de l altitude z (en mètres), comme : E = Eo exp 768 / ( z R) avec E o =.V m. Calculer la différence de potentiel entre un point d altitude z = 5 km et le sol. 5.(M) On admet que l atome d hydrogène puisse être assimilé à proton ponctuel, avec un électron non localisé dont la charge électrique e est répartie en volume selon une symétrie sphérique centrée sur le proton. Le potentiel créé par l atome à la distance r du proton est de la forme : V e r = $ 4 ) ( r % a & # ( r) exp ' " o

4 Avec a = 0, 5 A. Calculer le module E du champ électrique créé par l atome à la distance r et trouver sa valeur pour r = a. En appliquant le théorème de Gauss, vérifier que ce système de charges comporte bien une charge + e en son centre, et que sa charge totale est nulle. Déterminer la charge q ( r) contenue dans une sphère de rayon r, centrée sur le proton. En déduire la grandeur c ( r) dq( r) / dr = dont on tracera les variations en fonction de r. Forces électrostatiques dans les systèmes de conducteurs 6.(M) Un très petit disque métallique de masse m = 75 mg et de surface 2 s = 75 mm, est posé sur un sphère conductrice de rayon R = 50 cm. On élève progressivement le potentiel V de la sphère. Pour quelle valeur de V le disque commence-t-il à se soulever (on assimilera le disque à une calotte sphérique d épaisseur négligeable et de même rayon que le sphère)? 7.(M) Une sphère métallique pleine de centre O et de rayon R = 5 cm est portée au potentiel V = 50 kv. - Calculer la pression électrostatique à la surface de ce conducteur. - Calculer la résultante des forces s exerçant sur une calotte sphérique de rayon de base r = R sin. AN : = La sphère métallique est constituée de deux hémisphères accolés au niveau de son plan équatorial horizontal. L hémisphère inférieur est fixe, et le supérieur est libre de se déplacer. Pour quelle valeur du potentiel V, l hémisphère supérieur se détachera-t-il de l inférieur, sachant que la masse volumique du matériau de la sphère est µ = 2,7 g cm? 8.(M) Deux sphères conductrices de centres A et B, et de même rayon R, sont suspendues par des fils isolants longs et fins à un même point O ; on a OA = OB = a et R est supposé petit devant a. Chaque sphère a une masse m. Lorsque les sphères sont portées au même potentiel V, on observe un angle 2 entre OA et OB. Calculer ce potentiel V pour : = 0, R = 0,9 cm, a = 8 cm, m = 0, 5 g. 4

5 Condensateurs 9.(F) Un condensateur plan est constitué de 2 plans conducteurs parallèles infinis situé à une distance e l un de l autre. On considère l'un des plans au potentiel 0, l'autre au potentiel V. - Déterminer le potentiel et le champ électrique en tout point entre les plans. - Déterminer le potentiel et le champ électrique en tout point entre les plans, lorsque l on place une densité volumique de charges ρ constante entre les deux armatures du condensateur. 20.(M) On met en communication un condensateur sans charge de capacité C, et un générateur au potentiel V. Calculer l énergie reçue par le condensateur et l énergie fournie par le générateur. Trouver quelle est l énergie disparue et déterminer le rendement de l opération. On met, maintenant, le même condensateur en communication avec un générateur au potentiel V / 2, puis avec un deuxième générateur au potentiel V. Que devient le rendement de l opération? Quelle est la limite atteinte quand on utilise n générateurs intermédiaires, aux potentiels croissants V / n, 2 V / n,..., n V / n? 2.(F) Un condensateur ( C ) a une capacité C de 2 µ F. Une de ses armatures, A, est au sol, et on relie l autre, B, à une génératrice électrostatique au potentiel de - Calculer la charge et l énergie de ( C ). - ( C ) étant chargé sous l armature B d un condensateur ( ) 40 kv. 40 kv, on supprime la génératrice puis on relie B à C de 8 µ F dont l autre armature A est au sol. Calculer la nouvelle valeur du potentiel commun de B et B. Calculer les charges de ( C ) et ( C ) ainsi que leurs énergies. Quelle est l énergie perdue dans l opération? 22.(M) Un condensateur à air est formé de deux armatures cylindriques A et A 2, d axe commun vertical et de rayons R = 2 mm et R2 = 60 mm ; A est mobile et A 2 fixe. Pour un enfoncement donné de A dans A 2, la hauteur de la zone commune non perturbée par les effets de bord, est x. On note C la capacité qui correspond à la zone de hauteur x, et C celle qui correspond aux deux zones où se manifestent les effets de bord ; on admettra qu une variation de l enfoncement produit une variation égale de x, mais que C reste constante. L armature A, qui est solidaire d un fléau de balance dont les deux bras ont même longueur, est équilibrée par un contrepoids. Le fléau est horizontal lorsque A et A 2 sont au potentiel 5

6 nul. On porte A au potentiel V et on rééquilibre le système avec une masse m = 5 g sur le plateau de la balance. Quelle est la valeur de V? 2.(D) Un condensateur diédrique est constitué de deux armatures planes A et A 2 de longueur a et de largeur b situées à égale distance c d un point O et font chacune un angle α par rapport à la verticale. L armature A est portée au potentiel V 0 > 0 tandis que l armature A 2 est mise à la masse. - Déterminer le champ électrique et le potentiel en tout point M entre les armatures en fonction du potentiel V 0. - Déterminer la densité superficielle de charges portées par l une et l autre des armatures ainsi que la charge totale portée par chaque armature. - En déduire la capacité du condensateur diédrique. Energie potentielle électrostatique 24.(F) a) Trouver l expression de la densité d énergie potentielle électrique (énergie par unité de volume) en un point du vide où règne le champ électrique E. On effectuera ce calcul dans la zone supposée vide qui est située entre les armatures d un condensateur plan. b) Trois charges électriques ponctuelles de valeurs respectives + e, e et + e alignées sur une même droite, sont espacées de a. - Calculer la force électrique que chacune d elles subit de la part des autres, et déterminer l énergie potentielle électrique de ce système de charges. - On dispose, maintenant, d un alignement infini de charges ponctuelles alternativement positives et négatives, mais de même valeur absolue e et équidistantes entre elles. Calculer l énergie potentielle que possède l une de ces charges (du fait qu en son propre site, elle se trouve au potentiel créé à cet endroit par toutes les autres). AN : a = m. On admettra 0 0 que : n " i= i ( ) i + = Ln 2 6

7 25.(F) Soit un dipôle électrique de moment dipolaire p et de centre O qui crée en un point M éloigné, un champ électrique E. Exprimer p dans les coordonnées polaires (", ) avec ( p,om) = et OM =, puis montrer que E peut se mettre sous la forme : E [ ( p. u ). u p] = " " 4$ # o " 26.(M) Montrer que l énergie potentielle d un dipôle de moment dipolaire p, dans un champ électrique uniforme E, est : W = p. E On considère, maintenant, deux dipôles p et p 2, de centres respectifs O et O 2 tels que O O2 = u. En utilisant les résultats de l exercice précédent, trouver l expression de l énergie potentielle d interaction de cet ensemble. Préciser quelle est la nature de la force d interaction (attraction ou répulsion) entre ces dipôles, dans le cas où leur moments sont alignés et de même sens, puis alignés et de sens contraire, puis côte à côte parallèles et de même sens, et enfin côte à côte parallèles et de sens opposé (soit «antiparallèles»). 27.(F) Calculer en ev, l énergie potentielle d interaction entre deux molécules d eau, sachant que leurs moments dipolaires sont antiparallèles, distants de 0 0 m et de module égal à 6,2 0 0 C m. Quelle est la grandeur macroscopique de l eau qui est associée à cette énergie? 28.(F) Dans une molécule d eau, les deux ions hydrogène sont distants de d de l ion oxygène auquel ils sont liés, et forment, avec ce dernier comme sommet, un angle de 05. Le module du moment dipolaire de l eau valant 6,20 0 C m, calculer d en assimilant les ions + H à une charge ponctuelle + e, et l ion O à une charge ponctuelle 2e. Comment expliquer, qu en réalité, d = m? 0 0 7