Géométrie dans l espace

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1 Géomére dns l espe I Poson relve de droes e de plns 1 Poson relve de de plns P1 e P son onfonds P1 e P son sremen prllèles P1 e P son séns selon ne droe Poson relve d ne droe e d n pln D1 es onene dns P D1 es sremen prllèle à P D1 e P son séns en I 3 Poson relve de de droes D1 e D son onfondes D1 e D son sremen prllèles D1 e D son sénes en I Les droes D1 e D son oplnres II Orhogonlé 1 Orhogonlé de de droes

2 Défnon De droes de l espe son orhogonles lorsqe lers prllèles respeves pssn pr n pon qelonqe de l espe son perpendlres Ne ps onfondre perpendlres e orhogonles : - De droes perpendlres son oplnres e sénes - De droes orhogonles ne son ps néessremen oplnres Propréé S de droes son prllèles lors oe droe orhogonle à l ne es orhogonle à l re Orhogonlé d ne droe e d n pln Défnon Une droe es orhogonle à n pln lorsq elle es orhogonle à oe droe d pln Propréés Por q ne droe so orhogonle à n pln l sff q elle so orhogonle à droes sénes d pln S de droes son prllèles lors o pln orhogonl à l ne es orhogonl à l re S de droes son orhogonles même pln lors ls son prllèles S de plns son prllèles lors oe droe pln orhogonl à l n es orhogonl à l re S de plns son orhogon à ne même droe lors ls son prllèles III Géomére veorelle dns l espe 1 Veer de l espe Défnon Un veer de l espe es défn pr ne dreon dns l espe, n sens e ne longer (norme) Propréés Les veers dns l espe sven les mêmes règles de onsron qe dns le pln : somme de veers, mlplon pr n réel, relon de Chsles, olnéré Pln de l espe So n pon de l espe, e v de veers non olnéres de l espe L ensemle des pons M els qe M v es n pln pssn pr e drgé pr le ople (,v )

3 3 Veers oplnres So, v e w ros veers de l espe On d qe, v e w son oplnres s l ese de réels e els qe w v Qre pons,, C e D son oplnres s e selemen s les veers, oplnres C e D son So n veer de l espe e,, e k ros veers de l espe non oplnres lors l ese n rple de réels, e els qe k son les oordonnées d veer dns l se e, (,, k ) IV Repérge dns l espe 1 Repères de l espe So, e k Le qdrple (O, ros veers de l espe non oplnres e O n pon de l espe, k ) es n repère de l espe On d qe le repère (O,, k ) es n repère orhonormé s de à de e s 1, e k son ros veers orhogon So M n pon de l espe, l ese n nqe rple ( ) el qe OM k es l ssse de M, es l ordonnée de M e es l oe de M Colnéré, mle e dsne De veers e v son olnéres s l ese n réel k el qe v k

4 So ) ( e ) ( de pons de l espe Les oordonnées d veer son Le mle d segmen [] por oordonnées ) ( Dns le pln rpporé à n repère orhonormé, ) ( ) ( ) ( V Représenons prmérqes 1 Représenons prmérqes d ne droe L espe es mn d n repère (O,, k ) So ne droe D pssn pr n pon ) ( e n por veer dreer le veer M ( ) ppren à D s e selemen s l ese n réel el qe : ve réel, es ppelé représenon prmérqe de D Représenons prmérqes d n pln L espe es mn d n repère (O,, k ) So n pln P pssn pr n pon ) ( e n por veers dreers le veer e le veer v non olnére à M ( ) ppren à P s e selemen s l ese n réel e n réel els qe : ve e de réels, es ppelé représenon prmérqe de P

5 VI Prod slre dns l espe 1 Prod slre de de veers Dfférenes défnons d prod slre So e v ( e C Le prod slre de Por ller v de veers de l espe So, e C les pons de l espe el qe son des représenns de e de v ) pr v es le réel v défn pr v = C dns l espe, l sff de ller C dns le pln e C v So e v ( e C Propréés v de veers de l espe So, e C les pons de l espe el qe son des représenns de = C os(, C) e de v ) e C v So, v e w ros veers de l espe So n réel v = v ( v + w ) = v + w ( ) v e v = ( v ) son orhogon s e selemen s v = 0 Prod slre e norme en repère orhonormé So e v de veers de l espe plés dns n orhonormé lors v = + + VII Eqons résennes dns l espe 1 veer norml à n pln Un veer n dns P non nl es orhogonl à n pln P lorsq l es orhogonl à o veer n n représenn Orhogonlé de de plns De plns son orhogon lorsqe lers veers norm son orhogon

6 3 Eqon résenne d n pln Propréé So n pon de l espe e n pln P pssn pr e de veer norml n n veer non nl L ensemle des pons M els qe M n 0 es n Propréé Dns n repère orhonormé, oe éqon de l forme d = 0 ve, e non os nls es n l éqon résenne d n pln de veer norml n 4 Eqons résennes d ne droe Propréé S les rples (,, ) e (,, ) ne son ps proporonnels lors l ensemle des pons M ( ) de l espe d 0 els qe es ne droe d 0 d 0 es le ssème d éqons résennes de l droe d 0