Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Devoir commun de mathématiques pour les secondes générales et technologiques.

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1 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire evoir commun de mathématiques pour les secondes générales et technologiques. La calculatrice graphique est autorisée et aucun autre document. Toutes les réponses seront justifiées et rédigées. Le sujet comporte pages recto-verso ( feuilles) et à rendre avec votre copie. Nom et Prénom : Classe : Seconde. Note : /0 Exercice 1 (6 points) ans le plan muni d un repère orthonormal O i; j ;, on considère les points : A ;1, B; et ;7 C. 1 ) Placer les points A, B et C sur la figure ci-dessous, puis la compléter au fur et à mesure de l exercice. ) Calculer les longueurs AB et BC. 3 ) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier votre réponse. ) éterminer par le calcul les coordonnées du point tel que ABC soit un parallélogramme. Quelle est la nature précise du quadrilatère ABC? ) Soit le point E 6; 3. émontrer que le point A est le milieu du segment [BE]. 6 ) Montrer que les droites (OE) et (BC) sont parallèles. Mr Adouani & Mme Le uff - 1 -

2 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Exercice ( points) On considère la droite d équation y x. 1 ) Tracer la droite dans le repère ci-dessous. ) On considère le point A (107 ; 18). Ce point A appartient-il à la droite? Justifier votre réponse. 3 ) On considère les points E(1 ; 1) et F(3 ; 0). éterminer, par le calcul, une équation de la droite (EF). ) éterminer par le calcul, les coordonnées des points d intersection de la droite avec les axes. Exercice 3 (3 points) On a relevé la masse en grammes de 16 poires à la récolte. Les résultats sont consignés dans le tableau cidessous ) Calculer la masse médiane, ainsi que les quartiles de cette série, en expliquant votre démarche (le détail des calculs figurera sur votre copie). ) Tracer le diagramme à moustaches de cette série. 3 ) Compléter les phrases suivantes : 7% des poires récoltées pèsent plus de.g. Mr Adouani & Mme Le uff - -

3 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Exercice (7 points) Les parties A, B, C et sont indépendantes, elles peuvent donc être traitées séparément Une entreprise produit et vends des téléviseurs à écran géant. Elle peut en produire jusqu à 0 par semaine. Le coût de production hebdomadaire en euros pour x téléviseurs est donné par la fonction C définie sur 0 ; 0 par C ( x) 100x 00x Chaque téléviseur est vendu euros. Partie A (1 point) La dernière semaine d octobre, l entreprise a produit 9 téléviseurs. 1 ) Quel est le coût de cette production? ) Quelle est le montant de la recette de la vente de ces 9 télévisions? 3 ) Quel bénéfice réalise l entreprise lors de la vente de ces 9 télévisions? ans la suite de l exercice, on note f (x) le montant en euros du «bénéfice» réalisé en une semaine pour une quantité de x téléviseurs produits et vendus, ce «bénéfice» pouvant être négatif si le montant de la recette est inférieur au coût de production. On admet que ( x) 100x 600x Partie B (, points) f, 0;0 x. 1 ) émontrer que pour tout 0;0 x : f ( x) 100( x 13)² 3600 ) Etudier les variations de f sur [0 ; 13] et sur [13 ; 0] (une démonstration est attendue). 3 ) resser le tableau de variations de f sur0 ;0. ) En déduire le bénéfice maximal que peut réaliser l entreprise. Partie C ( points) 1 ) Vérifier que la forme factorisée de f est f ( x) (19 x)(100x 700). ) Résoudre, à l aide d un tableau de signes, l inéquation produit ( 19 x )(100x 700) 0. 3 ) En déduire dans quelle intervalle doit se situer le nombre de téléviseurs à produire pour que l entreprise réalise un bénéfice. Mr Adouani & Mme Le uff - 3 -

4 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Partie (1, points) On a représenté ci-dessous la fonction f sur l intervalle [0 ; 0]. 1 ) Retrouver graphiquement la réponse à la question C 3 ), en rédigeant soigneusement votre réponse. ) Retrouver graphiquement la réponse à la question B ), en rédigeant soigneusement votre réponse. Mr Adouani & Mme Le uff - -

5 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Mr Adouani & Mme Le uff - - Correction du devoir commun secondes générales. Exercice 1 : (6 points : vecteurs, milieux et distances) 1 ) (/0,) ) (/1) AB BC 3 ) (/0,) ABC est un triangle isocèle en B. ) (/1,)ABC est un parallélogramme ssi C AB. eux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées : Comme 1 AB AB et y x C 7 alors 7 y x 7 y x 3 0 y x onc (0 ; 3). ) (/1) Le milieu de [BE] a pour coordonnées : 3) ( ; 6 ; 8 ;1. onc A ( ;1) est bien le milieu du segment [BE]. 6 ) /(1,) OE 3 6 OE et 7 BC BC Comme ) ( alors OE col BC, donc les droites (OE) et (BC) sont parallèles.

6 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Exercice : ( points : roites du plan) 1 ) (/1) ) (/1) Comme les coordonnées de A vérifient l équation de la droite alors le point A est sur la droite ) (/1) Le coefficient directeur de la droite (EF) est donné par donc (EF) a une équation de la forme y x b. Comme E(1 ; 1) est sur la droite (EF) alors ses coordonnées vérifient l équation de la droite : b 1 b 1 b b onc (EF) : y 1 x 3 ) (/1) Avec l axe des abscisses : y 0 x 0 x onc ( ;0) 3 b Avec l axe des ordonnées : x 0 y 0 y onc ( 0;) Exercice 3 : (3 points : statistiques) 1 ) (/1,) Il y a 16 valeurs (effectif pair) donc la masse médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la 8 ème valeur est 101 et la 9 ème valeur est 10 donc la médiane est 101,. Le premier quartile est la ème valeur : 93. Mr Adouani & Mme Le uff - 6 -

7 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire Le troisième quartile est la 1 ème valeur : 107. ) (/1) 3 ) (/0,) 7% des poires récoltées pèsent plus de 93 grammes. Exercice : (7 points : fonctions) Partie A (1 point : interprétation) 1 ) (/0,) Le coût de cette production est C(9) euros. ) (/0,) Le montant de la recette de la vente de ces 9 télévisions est euros 3 ) (/0,) Le bénéfice réalisé par l entreprise lors de la vente de ces 9 télévisions est euros. Partie B (, points : fonctions du second degré) 1 ) (/0,) Pour tout x 0;0 : 100( x 13)² ( x² 6x 13²) x² 600x x² 600x f ( x) ) (/1,) Soient a, b [0;13] tels que a b : a b a 13 b 13 a 13 b a b 13 car on applique la fonction carré à deux nombres négatifs 100a b f ( a) f ( b) car on a multiplié par un nombre négatif Mr Adouani & Mme Le uff - 7 -

8 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire f conserve l ordre sur [ 0;13] donc f est strictement croissante sur cet intervalle. Soient [ 13;0] tels que a b : a b a 13 b 13 a 13 b a b 13 car on applique la fonction carré à deux nombres positifs 100a b f ( a) f ( b) car on a multiplié par un nombre négatif f renverse l ordre sur [ 13;0] donc f est strictement décroissante sur cet intervalle. 3 ) (/0,) x Variations de f ) (/0.) L entreprise peut réaliser un bénéfice maximal de 3600 euros pour 13 téléviseurs produits. 1 ) (/0,) Pour tout x 0;0 : Partie C ( points : calcul littéral et inéquations) ( 19 x)(100x 700) 1900x x² 700x 100x² 600x f ( x). ) (/1) Tableau de signes : x x + + Signe de a = x Signe de a = 100 Signe de a = 100 f(x) x 0 x x x Mr Adouani & Mme Le uff - 8 -

9 Lycée agricole Saint Germain en Laye Année scolaire ( 19 x )(100x 700) 0 a pour solutions]7 ; 19 [. 3 ) (/0,) Le nombre de téléviseurs à produire pour que l entreprise réalise un bénéfice est de 8 à 18 (on acceptera aussi 7 à 19) téléviseurs. Partie (1, points : lectures graphiques) 1 ) (/1) Le nombre de téléviseurs à produire pour que l entreprise réalise un bénéfice est de 8 à 18 (on acceptera aussi 7 à 19) téléviseurs : On lit les abscisses de points de la courbe dont l ordonnée est strictement positive, le nombre de téléviseurs produits étant entier. ) (/0,) On lit les coordonnées du point le plus haut de la courbe : L entreprise peut réaliser un bénéfice maximal de 3600 euros pour 13 téléviseurs produits. Mr Adouani & Mme Le uff - 9 -