Chapitre 3 Étude de fonctions. Table des matières. Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Étude de fonctions Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-6 6 Sens de variation des fonctions u + k et λu I I I I I I I I-9

2 Chapitre 3 Étude de fonctions TABLE DES MATIÈRES page - II Cours II-1 1 Rappels II-1 1a Règles sur les inégalités II-1 1b Vocabulaire Comment désigner une fonction? II- 1c Sens de variation d une fonction II- 1d Fonctions usuelles II-3 Valeur absolue II-3 3 Fonction racine carrée II- Fonctions x x, x x et x x II-5 5 Sens de variation des fonctions u + k, λu, u et 1 u II-6

3 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-1 I Exercices Fonctions de références - Sens de variation 1 Les fonctions f 1, f, f 3 sont définies par f 1 (x) = x f (x) = 1, 5x f 3 (x) = 0, 5x + Sans calculatrice, indiquer, parmi les courbes représentatives C 1, C, C 3, C, ci-dessus la représentation graphique de chacune des fonctions Les fonctions f 1, f, f 3 sont définies par f 1 (x) = x f (x) = 1 f 3 (x) = x x Sans calculatrice, indiquer, parmi les courbes représentatives C 1, C, C 3, C, ci-dessus la représentation graphique de chacune des fonctions.. Vérifier ensuite à la calculatrice. 3. Dresser les tableaux de variations de chacune de ces fonctions. Comparer a et b sans utiliser la calculatrice. 1. a = 135 b = 170. a = 16 b = a = 3, 57 b = 3, 56. a = 3, 01 b = 3 Comparer 1 a et 1 b sans utiliser la calculatrice. 1. a = 3 b = 198. a = 6, 9 b = 7 3. a = 3, 58 b = 3, 56. a =, 99 b = 5

4 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I- 5 Peut-on dire que, pour tous réels a et b, si a < b alors a < b? Si la réponse est oui, le démontrer. Si la réponse est non, donner un contre-exemple Une fonction f est strictement croissante sur l intervalle [0 ; 6] Parmi les affirmations suivantes, indiquer lesquelles sont vraies ou fausses. a) f(1) < f() b) f(3) > f(1) c) f() > f() d) f(5) < f(). Une fonction f est strictement décroissante sur l intervalle [0 ; 6] Parmi les affirmations suivantes, indiquer lesquelles sont vraies ou fausses. a) f(3) > f() b) f() < f(1) c) f() < f() d) f(5) > f(1) 3. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles indiquent que la fonction f est croissante et lesquelles indiquent que la fonction f est décroissante? a) Pour tous réels a et b, si a > b alors f(a) < f(b). b) Pour tous réels a et b, si a < b alors f(a) < f(b). c) Pour tous réels a et b, si a > b alors f(a) > f(b). d) Pour tous réels a et b, si a < b alors f(a) > f(b). La fonction f est définie par f(x) = x 8 1. Démontrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Pour cela on considère deux nombres a et b dans l intervalle [0 ; + [, tels que a b, et il faut démontrer qu alors f(a) f(b).. Démontrer que la fonction f est décroissante sur ] ; 0]. La fonction g est définie par g(x) = 1 x sur IR {0} Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur ]0 ; + [. Pour cela on considère deux nombres a et b dans l intervalle ]0 ; + [, tels que a < b, et il faut démontrer qu alors g(a) > g(b).. Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur ] ; 0[. Voici un algorithme : Lire x Si x 0 alors v prend la valeur x. Si x < 0 alors v prend la valeur x. Afficher «La valeur absolue de» Afficher x Afficher «est» Afficher v Valeur absolue

5 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-3 1. Quand on donne à cet algorithme le nombre 5, que fait cet algorithme?. Même question pour les nombres : 3 ;,1 ; 0 ; 0, 08 ; 83, ; 7,35 3. Compléter ce tableau : x 5 3,1 0 0, 08 83, 7,35 v 10 Exécuter cet algorithme dans le repère ci-contre. Pour des valeurs de x allant de 5 à 5 de 1 en 1, faire Si x < 0 alors y prend la valeur x Si x 0 alors y prend la valeur x Placer le point de coordonnées (x ; y) Fin de la boucle pour Définition Si x est un nombre négatif, la valeur absolue de x est égale à x. Si x est un nombre positif, la valeur absolue de x est égale à x. La valeur absolue d un nombre x s écrit x. Dresser le tableau de variation de la fonction valeur absolue. 1 Écrire sans valeur absolue les nombres suivants : , 56 3, , 87 1, Pour deux nombres a et b, si on calcule a b, quelle information cela nous donne-t-il sur ces deux nombres? 1 La fonction f est définie sur [ 1 ; 5] par f(x) = x Compléter ce tableau. x 5, 5 3, 5 3, 5 1, 5 1 0, 5 0 0,5 1 x + 3 x + 3. Tracer la représentation graphique de la fonction f. 3. Résoudre l inéquation suivante en utilisant le tableau et la représentation graphique : x Écrire l algorithme permettant de compléter ce tableau.

6 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I- 15 Résoudre les inéquations ci-dessous. On donnera chaque fois l ensemble des solutions. On pourra s inspirer de l exercice x 3. x Le but de cet exercice est découvrir l écart moyen, qui est une des façons de mesurer la dispersion dans une série statistique, et qui fait intervenir la valeur absolue. 1. Dans le 1 er tableau ci-dessous se trouve une série de notes d un élève, Cédric, en mathématiques. a) Calculer la moyenne x de la série de notes, écrire le résultat dans le tableau. b) Compléter la 3 e ligne du tableau. L écart moyen e m est la moyenne des écarts à la moyennes.. Compléter le e tableau ci-dessous. 3. Comparer les résultats des deux élèves (niveau d ensemble et régularité). Cédric x 1 x x 3 x x 5 Moyennes Notes x i x = Écarts x i x e m = David x 1 x x 3 x x 5 Moyennes Notes x i x = Écarts x i x e m = 17 Sans calculatrice, compléter : 9 = = Racine carrée 0, 0 = = =... Le but de cet exercice est de démontrer que la fonction racine carrée est strictement croissante (sur son ensemble de définition [0 ; + [) b a 1. Démontrer que pour tous réels a et b strictement positifs, b a = b + a 19. En déduire que pour tous réels a et b strictement positifs, si a < b alors a < b Sans calculatrice, et sans calculer, compléter par < ou > : , 83..., Lorsque x [ ; 36], à quel intervalle appartient x?. Même question lorsque : (a) x [0 ; 9] (b) x [36 ; 50] Résoudre dans [0 ; + [ les inéquations : (1) π , , x 5 () x < 7

7 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-5 Positions relatives de courbes Les fonctions f et g sont définies sur IR par : f(x) = x 3x + 5 et g(x) = x + 3. La fonction f est représentée graphiquement ci-contre. 1. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère ci-contre.. Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). Donner les solutions arrondies avec la précision permise par le graphique. 3. Résoudre algébriquement l équation f(x) = g(x). Donner les solutions exactes.. a) Étudier le signe de f(x) g(x) selon les valeurs de x. b) En déduire les positions relatives (audessus/en-dessous) des courbes C f et C g selon les cas C f Un nombre positif est-il inférieur ou supérieur à son carré? S il y a plusieurs cas possibles, indiquer ces cas. On ne demande pas de justifier.. Les fonctions f et g sont définies sur [0 ; + [ par : f(x) = x g(x) = x a) Faire afficher sur l écran de la calculatrice les courbes représentatives C f, C g des fonctions f et g. b) Indiquer les positions relatives (au-dessus/en-dessous) des deux courbes, sans justifier. 3. a) Étudier le signe de x x lorsque x est positif. b) Démontrer les réponses aux questions 1 et b. 1. Un nombre positif est-il inférieur ou supérieur à sa racine carrée? S il y a plusieurs cas possibles, indiquer ces cas.. Les fonctions f, g, sont définies comme dans l exercice et la fonction h est définie sur [0 ; + [ par : h(x) = x a) Faire afficher sur l écran de la calculatrice les courbes représentatives C g, C h des fonctions g et h. b) Indiquer les positions relatives des deux courbes, sans justifier. 3. Démontrer les réponses aux questions 1 et b. Indication : on pourra utiliser les inégalités obtenues dans l exercice 3.

8 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-6 5 Les fonctions f et g sont définies sur ]0 ; + [ par : f(x) = x + 1 et g(x) = 1 x. 1. Faire afficher sur l écran de la calculatrice les courbes représentatives C f, C g des fonctions f et g.. a) Déterminer graphiquement les positions relatives des courbes C f et C g selon les cas. Arrondir au dixième près. b) Déterminer algébriquement les positions relatives des courbes C f et C g selon les cas. Sens de variation des fonctions u + k, λu, u et 1 u. 6 Sens de variation des fonctions u + k et λu Une fonction u définie sur l intervalle [ 3 ; 5] est représentée graphiquement ci-dessous dans figures identiques, page suivante. En voici un tableau de valeurs. x u(x) 1, 7 1, 6 1, 1, 1 0, 7 0, 0, 1,1 1,9 1. a) La fonction f 1 est définie par f 1 (x) = u(x) + 3 autrement dit la fonction f 1 est la fonction u + 3. Compléter son tableau de valeurs plus bas. Sur la figure 1, tracer la représentation graphique de la fonction f 1 c est à dire de la fonction u + 3. b) Mêmes consignes qu en a) pour f qui est la fonction u 3. Utiliser la figure. c) Une fonction u est définie sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé. Comparer le sens de variation de la fonction u et celui de la fonction u + k c est à dire la fonction f définie par f(x) = u(x) + k.. a) La fonction g 1 est définie par g 1 (x) = u(x) autrement dit la fonction g 1 est la fonction u. Compléter son tableau de valeurs plus bas. Sur la figure 3, tracer la représentation graphique de la fonction g 1 c est à dire de la fonction u. b) Mêmes consignes qu en a) pour g qui est la fonction u. Utiliser la figure. c) Une fonction u est définie sur un intervalle I et λ (lambda) est un nombre réel fixé. Comparer le sens de variation de la fonction u et celui de la fonction λu c est à dire la fonction g définie par g(x) = λu(x). x f 1 (x) x f (x) x g 1 (x) x g (x)

9 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-7 Fig. 1 (u et u + 3) Fig. (u et u 3) Fig. 3 (u et u) Fig. (u et u)

10 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-8 7 Dans chacun des cas suivants, dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle indiqué f définie sur [0 ; + [ par f(x) = x + 5. f définie sur IR par f(x) = x 3 3. f définie sur IR par f(x) = x + 7. f définie sur ]0 ; + [ par f(x) = 1 x 6 Dans chacun des cas suivants, dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle indiqué f définie sur IR par f(x) = x. f définie sur ]0 ; + [ par f(x) = 7 x 3. f définie sur [0 ; + [ par f(x) = 3 x. f définie sur IR par f(x) = 5 x La fonction u est définie par u(x) = (x 3) et la fonction f est définie par f(x) = (x 3) Sans justifier dresser le tableau de variation de la fonction u.. Dresser le tableau de variation de la fonction f. Justifier. 1. La fonction f est définie par f(x) = 3x 6. a) Déterminer son ensemble de définition. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet ensemble.. Mêmes consignes (a) et (b) pour la fonction f définie par f(x) = x La fonction f est définie par f(x) = 1 x + 5. a) Déterminer son ensemble de définition. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet ensemble. 1. Mêmes consignes (a) et (b) pour la fonction f définie par f(x) = 3x 5. Dans chacun des cas suivants, déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle indiqué. 1. f définie sur [0 ; + [ par f(x) = x + 3. f définie sur IR par f(x) = 5x 3. f définie sur [3 ; + [ par f(x) = x 3 1. f définie sur ] ; 3, 5[ par f(x) = x f définie sur IR par f(x) = x +

11 Chapitre 3 Étude de fonctions I EXERCICES page I-9 33 La fonction f est définie sur [1 ; + [ par f(x) = 6x 7 x Démontrer que pour tout réel x de l intervalle [1 ; + [, f(x) = 3 x 1.. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [1 ; + [.

12 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II-1 II Cours 1 Rappels 1a Règles sur les inégalités. Un premier principe de base Règle 1 Pour tous réels a, b, c, a < b a b < 0 Remarques La règle 1 est vraie aussi avec les signes >,,. La règle 1 signifie que pour justifier une inégalité a < b, on peut aussi étudier le signe de l expression b a. Opérations sur les inégalités Règle On ne change pas le sens d une inégalité lorsque on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres d une inégalité ; on multiplie ou on divise les deux membres d une inégalité par le même nombre strictement positif. Autrement dit, on a les propriétés suivantes, qui sont aussi vraies avec les signes >,,. Pour tous réels a, b, c : a < b a + c < b + c a < b a c < b c Pour tous réels a et b, et pour tout réel c strictement positif : a < b ac < bc Règle 3 a < b a c < b c On change le sens d une inégalité lorsqu on multiplie ou on divise les deux membres d une inégalité par le même nombre strictement négatif. Autrement dit, on a les propriétés suivantes, qui sont aussi vraies avec les signes > et < ; avec les signes et ; avec les signes,. Pour tous réels a et b et pour tout réel c strictement négatif : a < b ac > bc a < b a c > b c Addition membre à membre Règle Pour tous réels a, b, c, d { a < b c < d = a + c < c + d

13 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II- 1b Vocabulaire Comment désigner une fonction? Exemple : la fonction f est définie par : f(x) = x + 3x 1. Pour désigner cette fonction on dit «la fonction f définie par f(x) = x + 3x 1» ; on ne dit pas «la fonction x + 3x 1». Une fois qu une fonction a été définie comme ci-dessus, on peut par la suite la désigner par «la fonction f», mais pas par «la fonction f(x)». Certaines fonctions ont des noms, comme la fonction carré. La fonction carré est définie par f(x) = x, mais ont peut l appeler «la fonction carré». De même, il existe la fonction inverse, la fonction racine carrée. En terminale, on étudie la fonction logarithme, la fonction exponentielle etc. 1c Pour désigner une fonction on utilise l expression «la fonction f définie par f(x) =» ou «la fonction f». Certaines fonctions peuvent être désignées par leur nom, comme la fonction carré, la fonction inverse, etc. Sens de variation d une fonction Fonction croissante Ci-dessous, voici une première façon de retenir ce qu est une fonction croissante. Définition 1 Dire qu une fonction est croissante sur un intervalle signifie que pour tous nombres de cet intervalle, deux nombres et leurs images sont rangés dans le même ordre. Pour les démonstrations, on a besoin des deux définitions ci-dessous, qui sont plus précises. Définition Dire qu une fonction est croissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de l intervalle I, si a b alors f(a) f(b). Définition 3 Dire qu une fonction est strictement croissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de l intervalle I, si a < b alors f(a) < f(b). Remarque pour les définitions et 3 : la définition est vraie avec le signe au lieu du signe la définition 3 est vraie avec le signe > au lieu du signe < Fonction décroissante De même que pour une fonction croissante, voici trois définitions. Définition Dire qu une fonction est décroissante sur un intervalle signifie que pour tous nombres de cet intervalle, deux nombres et leurs images sont rangés dans l ordre contraire. Définition 5 Dire qu une fonction est décroissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de l intervalle I, si a b alors f(a) f(b). Définition 6 Dire qu une fonction est strictement décroissante sur un intervalle I signifie que pour tous nombres a et b de l intervalle I, si a < b alors f(a) > f(b). Remarque pour les définitions 5 et 6 : la définition 5 est vraie avec et au lieu de et la définition 6 est vraie avec > et < au lieu de < et >.

14 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II-3 1d Fonctions usuelles Les fonctions usuelles des classes de 3 e et de de à connaître sont : les fonctions affines (et linéaires) ; la fonction carré ; la fonction inverse. Il faut connaître leurs représentations graphiques, et leurs tableaux de variation. Exemples de démonstrations Exemple 1 (correction de la première question de l exercice sur fiche n o 7 ) La fonction carré est définie par f(x) = x. Démontrer que la fonction carré est croissante sur [0 ; + [. Soient deux nombres a et b dans l intervalle [0 ; + [, tels que a b. Démontrons qu alors f(a) f(b), c est à dire a b. f(b) f(a) = b a = (b a)(b + a) Or : a b donc b a 0 D autre part, { puisque a et b sont dans l intervalle [0 ; + [, a 0 on a donc et par conséquent a + b 0 b 0 Ainsi b a et b + a sont positifs, par suite b a 0 de sorte que b a, donc a b. Exemple (correction de la première question de l exercice sur fiche n o 8 ) La fonction inverse est définie par f(x) = 1. Démontrer que la fonction inverse est strictement x décroissante sur ]0 ; + [. Soient deux nombres a et b dans l intervalle ]0 ; + [, tels que a < b. Démontrons qu alors f(a) > f(b), c est à dire 1 a > 1 b. f(b) f(a) = 1 b 1 a = a ab b ab = a b ab Or : a < b donc a b < 0 D autre part, puisque a et b sont dans l intervalle ]0 ; + [, a et b sont strictement positifs et leur produit ab est strictement positif. Ainsi a b est strictement négatif et ab est strictement positif, par suite a b est strictement négatif, ab de sorte que 1 b 1 a < 0, par conséquent 1 b < 1 a, donc 1 a > 1 b. Valeur absolue Définition Si x est un nombre négatif, la valeur absolue de x est égale à x. Si x est un nombre positif, la valeur absolue de x est égale à x. La valeur absolue d un nombre x s écrit x. Exemples : 6 = 6 = 0, 0 = 0, , 6 par conséquent 3 7 est positif, donc 3 7 = 3 7.

15 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II- 5 5, 3 par conséquent 5 est négatif, donc 5 = ( 5) = + 5. Remarque : au collège la valeur absolue d un nombre était appelée sa «distance à zéro». Fonction valeur absolue L objectif indiqué dans le programme est : connaître les variations de cette fonction et sa représentation graphique. Tableau de variation Représentation graphique x 0 + x 0 Remarque : la fonction valeur absolue vient s ajouter aux fonctions usuelles à connaître. Valeur absolue avec les calculatrices et les logiciels Valeur absolue avec la TI 8 : math entrer on voit alors : abs( compléter, fermer la parenthèse, entrer. Valeur absolue avec une calculatrice CASIO : MENU, choisir RUN MATH, EXE Touche F (MATH), puis F3 (Abs) compléter alors entre les barres verticales, puis EXE. Dans la plupart des logiciels : ABS( ) 3 Fonction racine carrée Définition (rappel) Soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a. Propriétés Pour tous nombres a et b positifs, ab = a b et a b = a b Remarques : la fonction racine carrée vient s ajouter aux fonctions usuelles à connaître ; objectif du programme : connaître les variations de cette fonction et sa représentation graphique. Ensemble de définition L ensemble de définition de la fonction racine carrée est [0 ; + [. Tableau de variation x 0 + x 0 Représentation graphique 6 8 Sens de variation de la fonction racine carrée. Propriété

16 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II-5 La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + [ Le programme indique qu il faut : savoir démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + [ Démonstration Soient deux nombres a et b dans l intervalle [0 ; + [, tels que a b. Démontrons qu alors a b. b a = ( b a) ( b + a) b + a = Or : a b donc b a 0 b a b + a = b a b + a D autre part b + a est positif parce que a et b sont positifs. b a Donc est positif, autrement dit b a 0, par conséquent b a, de sorte que b + a a b. Fonctions x x, x x et x x Objectif du programme : savoir justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x x, x x et x x. Propriété pour tout réel x ] ; 0[, x < x pour tout réel x [0 ; 1], pour tout réel x ]1 ; + [, x x x x < x < x Démonstration Comparons x et x selon les valeurs de x. Pour cela, étudions le signe de x x. Pour tout réel x, on a : x x = x(x 1) par conséquent le signe de x x selon les valeurs de x est donné par le tableau ci-dessous. x Signe de x x Cela prouve que : pour tout réel x ] ; 0[ et pour tout réel x ]0 ; + [ : x x > 0 donc x > x donc x < x pour tout réel x [0 ; 1], x x 0 donc x x Comparons maintenant x et x pour tout réel x [0 ; 1] Nous venons de démontrer que pour tout réel x [0 ; 1], x x. Puisque x et x sont positifs sur [0 ; 1] on peut prendre les racines carrées de x et de x, et comme la fonction racine carrée est croissante : si x x alors x x or x est positif, donc : x = x Donc, pour tout réel x [0 ; 1], x x.

17 Chapitre 3 Étude de fonctions II COURS page II-6 Comparons maintenant x et x pour tout réel x ]1 ; + [ Nous avons aussi démontré plus haut que pour tout réel x ]1 ; + [, x < x On procède comme ci-dessus : x < x donc x < x or x x = x, donc, pour tout réel x ]1 ; + [, x < x. 5 Sens de variation des fonctions u + k, λu, u et 1 u. Propriétés Une fonction u est définie sur un intervalle I, et k est un nombre réel fixé. Les fonctions u et u + k ont le même sens de variation sur l intervalle I. Une fonction u est définie sur un intervalle I, et λ est un nombre réel fixé. Si λ > 0, alors les fonctions u et λu ont le même sens de variation sur l intervalle I. Si λ < 0, alors les fonctions u et λu ont des sens de variation contraires sur l intervalle I. Une fonction u est définie sur un intervalle I, telle que pour tout réel x de l intervalle I, u(x) 0. Les fonctions u et u ont le même sens de variation sur l intervalle I. Une fonction u est définie sur un intervalle I, telle que pour tout réel x de l intervalle I, u(x) 0 et u(x) garde le même signe. Les fonctions u et 1 u ont des sens de variation contraires sur l intervalle I. Exemple 1 La fonction f est définie sur [1 ; 5] par f(x) = x. J appelle u la fonction inverse, c est à dire la fonction définie par u(x) = 1 x. On sait que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [, donc la fonction u est décroissante sur [1 ; 5]. Pour tout réel x, on a : x = ( ) 1 donc f = u. x Or les fonctions u et u ont des sens de variation contraires sur l intervalle [1 ; 5]. Donc la fonction f est croissante sur [1 ; 5]. Exemple La fonction f est définie sur [0 ; ] par f(x) = x + 9. J appelle u la fonction définie par u(x) = x + 9. On sait que la fonction u est une fonction affine de coefficient directeur négatif donc la fonction u est décroissante sur [0 ; ]. Or les fonctions u et u ont le même sens de variation sur l intervalle [0 ; ]. Donc la fonction f est décroissante sur [0 ; ].