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1 -. ~~_._ "'""-' --~~,~- ----_. '- ~ MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE REPUBLIQUE GABONAISE UNION - TRAVAIL - JUSTICE 1 ~ \ LYCEE Joseph AMBOUROUE-AVARO ~ Tél: FAX: BP: 23<i PORT-GENTlL Q BAC BLANC no 1 Avril 2009 Epreuve de MATHEMATIQUES Série: B Durée: 3h Coeff: 3 EXERCICE 1 ~oints).. 1,.. On considère le polynôme P(x) = 2x 3 + 3x 2-5x - 6., 1.1 Calculer P(-l). 0,1,( En déduire une factorisation de P(x) puis résoudre dans IR, l'équation P(x) = O. 01 J -f-() 1/ 2. En déduire la résolution dans IR de : 2.1 lm + ln(2x + 1) = In6 ; 2.2 2(lnx)2 + 3lnx- 5 = ~ ; lnx 2.3 Inx 2 + ln(2x + 3) ~ In(5x + 6); (),ll+0,..1- Olg-+Ol( O{lf +01(' 2.4 2lnx + 1 ~ ~. () 1 '1 () ( 1r +0 1 fj" lux EXERCICE 2 (4 points). Dans un sac il y a : trois boules rouges numérotées 1, 2, 3; quatre boules vertes numérotées 4, 5, 6, 7; deux boules blanches numérotées 8, 9. Toutes ces boules sont indiscernables au toucher. 1. On prend successivement trois boules du sac qu~ on pose côte à côte sur une table. () :r (1.1 Combien de résultats différents possibles peut-on avoir? ~((1.2 Quel est le nombre de possibilités où.les.troisboules portent descbiffres impairs? o(r1.3 Combien y a-t-il de possibilités. d'avoir trois boules de même couleur? 2. On prend simultanément trois boules du sac. t'rrr2.1combien y a-t-il de résultats différents possibles? ' 0\,2.2 Quel est le nombre de possibilités d'avoir une boule de chaque couleur? (JI (~3 Quel est le nombre de possibilités d'avoir une boule blanche? CÎI (2.4 Combien y a-t-il de possibilités d'avoir deux boules portant des chiffres pairs? LJAAIPOG - BAC BLANC Avril 2009-MAmSSérie B - Pagel 12

2 Soit g la fonction numérique définie sur JO; + a)[ par: g(x) = x lnx. '" Calculer les limites de g en 0 et en tj 1r+ (J, 'ct +-O/ 1 } 1.2 Etudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variation..~.? Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique Cl sur ]0.; + oo[ et que 1,31 < Cl <1, En déduire le signe de g(x).suivant les valeurs de x. (J 1)r PROBLEME (11 points) Partie B:. Etude d'une fon.ction et détermination de primitive On considère la fonction!définie sur]o ; + oo[ par: f(x) =x + l-lnx. x Soit (l;) la courbe représentativè defdans le plan muni d'un repère orthonormé (0; i,j) unité graphique 2cm. ~If +0,1,( Calculer la limite def en 0 puis en déduire une interprétation graphique du résultat obtenu. 1.2 Calculer lalimite def en ej ( l"'- / Montrer que la droite (D) d'équation y = x est asymptote à ("G). () 1/. 2.2 Etudier la position de ("G) par rapport à (D). (;), r +- tj 1, 2.3 Déterminer les coordonnées du point d'intersection de CG) et (D). CD 1( Calculerf'(x) puis montrer que f'(x) = g(~) (j 1f +- 0, 7J x 3.2 En déduire le sens de variation def puis dresser son tableau de variat!,gn Ecrire une équation de la tangente (T) au point d'abscisse 1. (J r ) Of J + o,(j 5. Construire (D), (T) et (l;). '~l'vvl d... := ~ 1?> c1(lf -t-("i1t i':j-, On considère la fonction h défmie sur]o ; + oo( par h(x) =: (l-.!.lnx)lnx. r- 2. ~. ~ Ç~~u.l_~r h'(x). ' 0 1 ) 6.2 En déduire la primitive defsur]o ; + oo[ qui prend la valeur ~e2 en e. 0 :;- ;- 1 LJAA/I'OG - BAC BLANC Avrü MATHSSérie B- Page. 212 '.

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4 ~X2+X -b )< ~ 0 p~ 02,X"2.-+ X'- 6'::0 etx '2--t X.- 6 =--0 ~ >X=-- ~ Q"U.; X ~ ~ ~ -_--'-L--+--~Cè>= -?" looj~3_90'---"-'o<jo

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9 .. MINISTERE DE L'EDUCATION NATIONALE INSPECTION DELEGUEE D'ACADEMIE DE L'OGOOUE MARITIME CRWIDELTAlLJAAILTB DE PORT GENTIL REPUBLIQUE GABONAISE <. UNION - TRAVAIL-JUSTICE Exercice 1 5pts BAC BLANC COMMmNAL MAI 2009 EPREUVE DE MATHEMATIQUES SERIE Al COEFFICIENT 4 DUREE3HEURES O nonne d E = x + - x + 1 et F =x - x ) Factoriser E 2 ) Résoudre dans IR l'équation F= 0, puis en déduire les solutions de l'inéquation F> )Onpose P(x)=-x 3 +-x 2 +ax+3 avec a E IR 2 a) Trouver a pour qué P(x) soit factorisable par x- 3 b) En déduire une factorisation complète de P(x) 4 ) a) Résoudre dans IR l'équation P(x) =0 b) en déduire les solutions des équations suivantes: * (ln x)' +-(lnx) +-lnx + 3 = * Inx + ln(x --x) =In(-x + 3) 2 2 Exercice Il 4pts Pour les questions 1 et 2, on donnera le résultat sous forme de fraction. Obiang a 17 chemises: 12 blanches et 5 vertes. Il range toujours 10 chemises (7 blanches et 3 vertes) du côté gauche de son armoire et 7 chemises (5 blanches et 2 vertes de l'autre côté). 1. Obiang devant partir en voyage pendant 3 jours, a besoin de 3 chemises. Pour cela, il choisit 3 chemises simultanément et au hasard du côté gauche de son armoire. Soit X le nombre de chemises blanches qu'il choisit. a. Déterminer la loi de probab~lité.de X _ f~.. " b. Calculer E (X)" E\'\... ~~ La., ûttt\..l~ 1r e, ~~ X. 2. Lorsqu'il ne voyage pas, pour déterminer la chemise qu'il portera dans la journée, Obiang utilise la méthode suivante: il choisit un côté de l'armoire au hasard, de façon équiprobable et il prend ensuite une chemise, toujours au hasard, sur le côté choisi. On considère les évènements suivants: G: «Obiang choisit le côté gauche de l'armoire» D: «Obiang choisit le côté droit de l'armoire» '.

10 B :«Obiang tire une chemise blanche» V : «Obiang tire une chemise verte» Problème Ilpts Partie A a) Calculer P (B) b) Calculer P (GIB) (probabilité conditionnelle de G sachant que B est réalisé, noté aussi Pa (G». 1 2x On considère f la fonction g définie sur un intervalle [-; + oo[ par g(x) =- -l-ln x. e e 1. a) Calculer g'(x), où g' désigne la fonction dérivée de g. Etudier son signe et en déduire le sens de variation de g. b) Calculer la limite de g lorsque x tend vers +00 (on pourra écrire g(x) = x[~ _! _lnx]). e x x 1 e c) Calculer g(-) et g(-) e 2 d) Dresser le tableau de variation de g. 2. a) Calculer g(e) et justifier que g(x) ~ 0 pour x ~ e. b) Montrer que l'équation g(x) =0 admet une unique solution a dans [! ;~ ]. Donner un e 2 encadrement de a d'amplitude c) En déduire le signe de g sur [!;a [ et sur ] a ; e [ e 3. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (o,i,]) (unités graphiques: 2 cm sur l'axe des abscisses, 4 cm sur l'axe des ordonnées). Partie B a) Tracer la courbe (r) de la fonction g. Placer les points d'abscisses a et e b) Résoudre graphiquement l'inéquation: g(x) ~O. On considèrelafonctionfdéfiniesur [!;+oo[ parf(x)=~-xlnx. Partie C e e 1) Calculer la limite de f lorsque x tend vers +00 2) vérifier quef'(x)=g(x) puis à l'aide de la partie A, dresser le tableau de variation def. 3) Justifier quefest positive ou nulle sur l'intervalle [!; +00 [ e On ne demande pas de représenter graphiquement la fonction! On considère la fonction h définie sur [-; + 00 [ par h(x) =- - x + - x ln x e ) Calculer h '(x). 2 ) En déduire les primitives def sur [!;+ 00 [ e '.

11 1--j 1 ~J(J\v:- ~V\O )C')+t ÎL-t.. + ~;i- -+ ) r- _ JL"-..\:- <) JC-+ \ lé).-- ')X-'L c-- - -:z:::- 7f-~? 0 ZL -<::() < :J () ~ ')0L~ ~X- ;::> F + -t ~ J 0-0<;.=. - 0() 10 [ u]1-- "L- (T ~[ L--~.=::-'''-=-' ;~ :;j 'full = ~:t-) -t {:)è"'- -+ Cv?C -t 3 ' a..j 'Y(IL) nt- ~"--0+ <n-c~~ t... X--.7 ~) 'PC?) =-- 0 rc~) =- 0 e.j.- 2-} + ~ +.?4.. -t.3 :::- 0 é) 3 a... -::.. L-"t - L - ~ 13 "J (, 1 ~ 35 - 'L - ~--=-' ~ ok ~1C ~ "Z r- )' K- +J2)( :z:: -z..- ~ 'JL'L~,Ç]L ~.-;z: ~.?L- -~ k?c:l) ~ CX--~ r:x:t-.f~ -:) -=- C'3._)L) ~c.l -+ ~X +0 YI' 'fti.) s-(, -x) (x--+j JL-t~ é) ~ 3- X- -=- () cn-cx'+ z. :: 0 ~-x ; )( -=- _ L.- ~)( =- -t (S\;L...x -::.. 3 é) R.x..- :::..- - L-- (;~ tx:-;;. -l <S'A-- R..x:.-;;::..3 (-:; CL- - ~ ~~ ~K 3 'C'.J - ~ ~) XC:: C Il"- X- =- 12: cf"<. )L:: Q. ~ '. -'L ~YL r,.,-:' c:::.jo +041 ~ ""'-L e i.x-.e:1""- c::. l " ~ S ~ il, iil(l ( ~~ S oc ~ ~ i -k i ~~ c:œd--- ï

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