résolution de problèmes

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1 CHAPITRE 0 Matrices résolution de problèmes Problème Le terme m ij de la matrice M indique l avoir, en euros, de H j, dans la banque B i, au er janvier a) M b) Chaque somme m ij sur le compte au er janvier 0 est génératrice de m ij 0,0 d intérêts ; elle devient donc, au er janvier 0, m ij + m ij 0,0, c est-à-dire :,0 m ij Chaque terme de M est donc obtenu en multipliant le terme correspondant de M par, a) M + N b) Tableau représentant la situation des ménages le er janvier 0 : Problème a) N C , b) Numérotons les candidats comme suit : Candidat Estelle Jérémy Kader Killian Léa Mahé Numéro 4 6 N C est la matrice à six éléments dont le i-ième élément est le total sur 40 du candidat n i, calculé en faisant la somme des produits de chacune de ses trois notes par le coefficient correspondant : N C Problème N E (page 64) 00 6 N M a) et b) Dans chaque filière : la somme des coefficients est égale à 0 ; le score d un candidat, c est-à-dire son total de points, calculé en tenant compte des coefficients de la filière, est donc un total sur 00 Numérotons les candidats comme suit : Candidat Anouk Benjamin Corinne David Émilie Numéro 4 Le premier élément (respectivement le deuxième) de la i-ième ligne de la matrice N C est le score du i-ième candidat dans la filière «équilibrée» (respectivement dans la filière «mathématiques») 4 Le premier élément (respectivement le deuxième) de la i-ième ligne de la matrice N C est la moyenne sur 0 0 du i-ième candidat dans la filière «équilibrée» (respectivement dans la filière «mathématiques») Problème 4 x + y AV x + y ; donc (S) peut s écrire AV W De AV W on déduit que A (AV) A W, c est-à-dire (A A)V A W, soit I V A W, et donc V A W Inversement, si V A W, alors AV A(A W) (AA )W I W W D où la solution du système (S) : x y Solution de (S) : {( ; )} Chapitre 0 Matrices Nathan 0 Transmath Term ES-L

2 Problème 0 b F C P 6 8 et 0 représentent respectivement les montants (en euros) de la commande et des frais d envoi pour le premier client ; 6 et 8 représentent ces montants pour le deuxième client Donc f(x) 4 x x + 6 ; résultat qui confirme la positivité de a et c établie au a b) c Il existe toujours une fonction f telle que f passe par A, B et C En général f est une parabole, mais cette parabole dégénère en droite lorsque C se trouve sur la droite (AB) Nathan 0 Transmath Term ES-L Problème 6 a et a) y 4 C A O 4 x B Compte tenu de la situation de B (abscisse comprise entre les abscisses de A et C, et B au-dessous du segment [AC]), il semble qu il existe une parabole ayant l allure esquissée passant par les points A, B et C b) L allure de la parabole montre que a est positif (premier résultat rappelé au début de a ) ; par ailleurs, C qui est l ordonnée du point de la parabole d abscisse 0 est positif f() b (P) équivaut à : f(), c est-à-dire à (Q) f(4) M a) (a; b ; c) est solution du système (S) : a + b + c a + b + c équivaut à : 6a + 4b + c M a b c []; d où, en multipliant à gauche par M, et compte tenu de l associativité du produit de matrices et de M M I : a b c M [] inversement, en multipliant [] à gauche par M, on obtient [] 4 b) a b c Problème 7 Les productions x d électricité et y de fioul consomment : 0,x + 0,y d électricité, non disponible sur le marché ; 0,x + 0,0y de fioul, non disponible sur le marché La production d électricité restant disponible pour le marché est donc : x 0,x 0,y ; et la production de fioul restant disponible pour le marché : y 0,x 0,0y Les productions x d électricité et y de fioul pour satisfaire une demande de d électricité et de fioul doivent donc vérifier le système : x 0,x 0,y (S) y 0,x 0,0y ,x 0,y (S) s écrit : 0,x + 0,y 0000, c est-à-dire matriciellement : 0, 0, 0, 0, x y c est-à-dire : A x y A 0,74 0, 0, 0, 0,, d où : , x y A Solution (en arrondissant à l euro le plus près) : x 8, y b) x y A Solution (en arrondissant à l euro le plus près) : x 04, y De A et A on déduit : 8 A A , et donc : A , c est-à-dire : A Solution (à l euro près) : x 0874, y 867 Chapitre 0 Matrices

3 EXERCICES Entraînement (page 80) 7 I 8 A A B 0 AB 0 0 De tête ka kb ki k k k Généralités sur les matrices S { ; } Non, car il n existe pas de réel y tel que y t A 0 0 t A 6 t A t A,, 0 8 t A t A 0, t A x 4 y x x y Seule la matrice du est telle que t A A, autrement dit symétrique t A A équivaut à : x, y et z t A A 4 A A 4 6 x ; y ; z 0 7 x 0 ; y ; z ; t Addition, multiplication par un réel 8 4 A + B, 7, A + B, A 0, ; A B 8 7 0,,, ; A B,8,8 4,6 0 0,6 08 A 0 8, ,8 C A + 0 B 4 + C (A +B) D,A,B D,(A B), ,6 0,8 0 7,, 7, 0, 6 0 A B ; A + B (A + B) , 6,,, 0, Nathan 0 Transmath Term ES-L Chapitre 0 Matrices

4 Nathan 0 Transmath Term ES-L 4 A B ; A + B (A + B) 0 0 B,8A 0,6,8 0,, ; 0 0 C A x ; y 4 ; z ; t ,, 0, 0,, 0 7 b) (a b c) a( 0 0) + b(0 0) + c(0 0 ) a) S b) S S + S a) Les prix unitaires chez chaque fournisseur sont arrondis au centième 8, 6, 74,66 P 0,68 06,4 47,6 ; P,0 P 4 7 M 0 7 0,7 4, 40 M 0,7 4 M n n + ( ) n n + ( ) n n + ( ) n n + ( ) n ( ) n ( ) n n + ( ) n ( ) n ( ) n a) M 0 4 ; ; M M 7 ; M b) Pour tout entier naturel n : n + n+ n ; ( ) n + ( ) n+ 0 ; d où, pour k ou, n + k( ) n + n+ + k( ) n+ n ; on en déduit : M n + M n+ n n n n 0 0 n 0 0 n A u n A Pour tout entier naturel n : ( ) n ( ) n+ ( ) n ; pour k ou, ( n + k( ) n ) ( n+ + k( ) n+ ) k( ) n ; on en déduit : M n M n+ ( )n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n ( )n B v n B 0,6 4 X 0 4 X , 0, 44 X 4 L opposé d un réel est égal au produit de ce réel par ( ) ; on en déduit que : A ( )A Produit de deux matrices 46 A B 6 6 ; B A 47 A B ; le produit B A n est pas possible 48 A B 4 A B B A I ; B A 6 0 A B ; B A 6 6 Le produit de deux matrices n est pas commutatif Le produit de deux matrices non nulles peut être une matrice nulle 6 8 (AB) (A)B A(B) 4 0,7,7 A 6 A B ; A C ; 0 0 A(B + C) A B + A C 0 4 A B A(B + C) A C ; ; A C a) R On déduit de R I que : R 4 R R I R R ; R R R I R R ; R 6 (R ) I I a) R On déduit de R I que : R 4 R ; R R ; R 6 I 4 Chapitre 0 Matrices

5 7 NAN a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d (a + b + c + d) (a + b + c + d)n 8 A I ; A A; A 4 I ; A A Pour tout n de N : A 4n+ A ; A 4n+ I ; A 4n+ A; A 4(n+) I b) Pour a : A N, l égalité NA A devient N N ; d où l on déduit que N N N c) N 4 N N N N ; N N 4 N N 4 N ; N 6 N N 4 N N On conjecture que, pour tout n de *, N n n N 60 Pour tout n de : q 0 0 u n qu n u n+ 6 Pour tout n de : r 0 u n u n + r u n+ 6 A 0 0 B A + I ; A a) B A + AI + I A + I A + A + I B B B (A + A + I )(A + I ) A + A + A + I NB : les matrices A et I commutant, on aurait pu appliquer directement les «identités remarquables» b) On retrouve ces résultats en calculant B par B B, puis B par B B 6 P B (4 70) est la matrice des prix de revient d un téléviseur premier prix (4 ) et d un téléviseur haute technologie (70 ) B C 0 est la matrice indiquant les nombres 40 d unités de bureau d étude (0), de main-d œuvre () et de composants électroniques (40), nécessaires pour la fabrication des téléviseurs commandés La matrice P B C est la matrice à un seul élément calculable de deux façons : (P B) C, c est-à-dire : (4 70) 0 0 (0); il est clair que 0 est le prix de revient (en euros) de la commande P (B C), c est-à-dire : (40 0 ) 0 (0); on retrouve le prix de 40 revient de la commande, calculé d une autre façon 64 t (A B) t ; t B t A 6 a) a 0 0 b a 0 0 b aa 0 0 bb b) a b c a b c aa bb cc Conjecture : pour tout n de *, le produit de deux matrices diagonales d ordre n est une matrice diagonale 66 la l(i A) (li )A ; donc la matrice M li l l l convient 67 NB : pour tout n de *, p n + q n p 0 ; q a) Éventualités pour une suite de deux lancers (n ) : PP, PF, FP, FF D où p ; q b) Éventualités pour une suite de trois lancers (n ) : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF D où p 4 ; q 4 c) (p q )A (0 ) 0 (p q )A 0 4 (p q ) ; 4 (p q ) Inverse d une matrice 68 AB I, donc B est l inverse de A 6 AB I, donc B est l inverse de A 70 Le terme (AB) de la matrice AB étant égal à 0, AB I, donc B n est pas l inverse de A (En fait, A n est pas inversible) Dans les exercices 7 à 7, on pose A a c b d ; l égalité AA I équivaut alors à la résolution de deux systèmes de deux équations à deux inconnues : a et b pour l un, c et d pour l autre 7 b a + b 0 7 a b a 0 c d 0 c a + b c + d 0 7 a + b 0 c + d d 0 c + d A 0 0 A A Nathan 0 Transmath Term ES-L Chapitre 0 Matrices

6 Nathan 0 Transmath Term ES-L 74 a + 4b a + b 0 7 a b 0 c 0 d c + 4d 0 c + d A 4 0 A Dans le produit de A par une matrice carrée d ordre quelconque B, le terme (AB) est nul, d où AB I, donc A n admet pas d inverse 77 A A A A 7 8 A a b 0 D où : A c 0 a b 0 8 A t A c 84 A I ; A A A 4 A A A A A I ; de A A I on déduit que A A A B B A 4 I, d où : B B I Donc ta A 8 A 0 0 ; A On vérifie que A 4 A A I, d où l on déduit que A A B B A 4 I, d où : B B 86 A ; A I A A I, d où : A A 87 A 0 0 ; A est la matrice nulle d ordre (I A)(I + A + A ) I A I Or I A ; on déduit alors du résultat de la question que : (I A) I + A + A Si AB AC, alors A (AB) A (AC), d où (A A)B (A A)C, c est-à-dire I B I C, et donc B C Si BA CA, alors (BA)A (CA)A, d où B(AA ) C(AA ), c est-à-dire BI CI, et donc B C 8 A A a) B A (I + A) A A + A A + A A b) B I A B B A I + A A I c) D où : B est inversible et B I A Matrices et systèmes linéaires 0 b) (S) s écrit matriciellement : A x y c) x y A A 0 7 Solution : x 0 ; y 7 (S) s écrit matriciellement : A x y z A z A 8 x y Solution : x ; y 8 ; z 7 A a) x y A Solution : x ; y b) x 4 ; y c) x ; y x 0 7 ; y x ; y 7 ; z x 7 ; y 48 7 ; z Chapitre 0 Matrices

7 6 x 4 ; y 0 ; z 4 ; t 7 Mise en équation : x + y 0 0x + 60y 7 60 d où la traduction sous forme matricielle 0 A 0 x 8 ; y 8 D 00 ; F 00 ; S 400 ; B 0 R ; R + + Écriture matricielle : R R 8 A0 R ; R ; P est donc le pays le plus pauvre a) Au bout d un an, les six revenus moyens ont été multipliés par,0 ; donc A,0 A 0 b) A,0 A (,0) A 0 A 0 4,0 6,7 A 0,, B 0 0 B 4,8,70 0,8 0,, 6,8 4 0,,0,6,6 ; A 0 7, 6,4 0,6 0 ; B 4,,8 0,4,,,4 6,4,76,,4 60,7,66 0,7 ; Pour tout n, la première colonne de A n est : (,0)n (,0) n ; donc la première colonne de B n est : (,0)n 8 (,0) n L élément (,0) n 8 mesure la différence, dans le pays P, entre le revenu moyen, au bout de n années, du tiers «pauvre», et le revenu moyen initial du tiers «intermédiaire» ; l élément (,0) n a la même signification, dans le pays P La suite u n (,0) n 8 se comporte comme la suite géométrique (,0) n : elle est croissante et a pour limite +, avec u 0 De même, la suite v n (,0) n est croissante et a pour limite +, avec v 0 0 La solution du problème (P) est la plus petite valeur n 0 de n pour laquelle u n > 0 et v n > 0, c est-à-dire (,0) n > On trouve n 0 8 Pour la logique 00 Faux (contre-exemple : b a) Faux (contre-exemple : a b 0) 0 Faux (contre-exemple : a 0 et b ) 0 Vrai : a 0 ab ab 0 Vrai En effet a b a b I implique ab, ab 0 et a b 0 ; or ce système équivaut au système : ab, b 0 et a 0, qui est impossible 04 Contre-exemple : A 0, B 0 ; AB, mais BA 0 B A Si A 0 0 0, alors, B M, la deuxième ligne de AB est (0 0), elle est donc différente de la deuxième ligne (0 ) de I, et donc AB I EXERCICES Accompagnement personnalisé (page 8) Soutien 06 A B 7 7 Non, car B a deux colonnes et A trois lignes 07 A B A B 0 A B 4 4 Approfondissement 0 a) Si M est de la forme M am 0 + bi, alors, compte tenu de AM 0 M 0 A : A M A (am 0 + bi ) aam 0 + bai am 0 A + bi A (am 0 + bi ) A M A Nathan 0 Transmath Term ES-L Chapitre 0 Matrices 7

8 b) Supposons M a b c d telle que AM MA AM MA équivaut à a + c b + d a c b d a b a b c d c d, ce qui équivaut à : b c, a b + d et a c + d, ce qui équivaut à : b c et a c + d c + d c M est donc de la forme : M c d, c est-à-dire : c c M c 0 + d 0 0 d c 0 + d 0 0 cm 0 + di Posons A a b c d ; t A A équivaut à : b d a b c d, c est-à-dire c b a c Les matrices A carrées d ordre telles que t A A sont donc les matrices de la forme : A a b b d a b b d a b d Chacun des trois éléments de la deuxième ligne de A B est de la forme 0 a + 0 b + 0 c, donc nul : la deuxième ligne de A B est donc nulle La deuxième ligne de A B est donc différente de la deuxième ligne de I qui est (0 0) Donc, quelle que soit la matrice B carrée d ordre, A B I ; la matrice A n admet pas d inverse Solution de AX B : X X 0 En effet : A(X 0 ) (AX 0 ) B Solution de AX B : X X 0 En effet : A( X 0 ) A ( )X 0 ( )(AX 0 ) ( )B B EXERCICES Le jour du BAC (page 0) 4 b) x 4 ; y ; z 7 a) Faux b) Faux c) Faux a) Vrai b) Vrai c) Vrai a) Faux b) Vrai c) Vrai 4 a) Vrai b) Vrai c) Vrai a) Vrai b) Faux c) Vrai 6 Vrai Faux (contre-exemple : si A I, alors A B B A) Faux L écriture matricielle correcte est : 4 x y 4 Faux Les deux éléments de la diagonale doivent être non nuls 7 b) x ; y ; z n + p + v 8 Mise en équation : n + p 8,8, p + v 0 d où la traduction sous forme matricielle demandée A ; n,4 ; p 0, ; v 0,4 4 Nathan 0 Transmath Term ES-L 8 Chapitre 0 Matrices