Karl Weierstrass ( )
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- Michele Dumais
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1 Karl Weierstrass ( ) Mathématicien allemand, il est souvent cité comme le «père de l'analyse moderne». Il travailla sur les nombres irrationnels et les fonctions elliptiques. C'est lui qui le premier rendit public un exemple de fonction continue nulle part dérivable. Page 1 sur 33
2 I. Limite infinie à l infini Soit une fonction définie sur un intervalle, Définition On dit que a pour limite + quand tend vers + lorsque tout intervalle de la forme!";+ $ avec " R contient toutes les valeurs ' ( pour assez grand. On note lim ) + ' ( = + lorsque " R, 1 R, 1 ' ( > " Ecrire les définitions de lim ' ( = ) + puis lim ' ( = + et lim ' ( =. ) 6 ) 6 gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 2 sur 33
3 Exemples. lim ) + 7 = lim ' ( = ) 6 lim 2+3 = ) + lim 3 2 = ) 6 Pour tout : N lim ) + = = et lim ) 6 = = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 3 sur 33
4 II. Limite finie à l infini Définition On dit que la fonction a pour limite le nombre réel? quand tend vers + lorsque tout intervalle ouvert contenant? contient toutes les valeurs ' ( pour assez grand. On note lim ' ( =? ) + > 0, 1 R, 1 ' (? Ecrire la définition de lim ) 6 ' ( = L. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 4 sur 33
5 Exemples. lim ) 6 lim ) 6 1 = 2 H 1 = Pour tout : N lim ) + F ) G = lim ) = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 5 sur 33
6 Interprétation graphique On dit que la courbe représentative O de la fonction admet une asymptote horizontale d équation S =? lorsque lim ' ( =? ou lim ' ( =? ) +T ) 6T Cela signifie que si 1V ;' (W est un point de O et X' ;?( est un point de la droite d équation S =? alors la distance 1X tend vers 0 lorsque tend vers +. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 6 sur 33
7 III. Limite infinie en un nombre réel Z Soit une fonction définie sur un intervalle et [ Définition On dit que la fonction a pour limite + quand tend vers [ lorsque tout intervalle de la forme!";+ $ avec " R contient toutes les valeurs ' ( pour assez proche de [. On note lim ) \ ' ( = + lorsque " R, ] > 0, [ ] ' ( > " Ecrire la définition de lim ) \ ' ( =. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 7 sur 33
8 Exemples. lim ) ` )a` 1 = lim ) ` )b` 1 = lim ) F )af 1 1 = lim ) ` 1 7 = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 8 sur 33
9 Interprétation graphique On dit que la courbe représentative O de la fonction admet une asymptote verticale d équation = [ lorsque lim ' ( = lim' ( = ) \ ) \ gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 9 sur 33
10 IV. Opérations et limites Soit et d deux fonctions définies sur un intervalle, [ désigne un réel ou et?,? R Somme de fonctions. Si lim ) \ ' (??? + + et lim ) \ d ' ( alors lim ) \ $ ' (+d' (!? + + gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 10 sur 33
11 IV. Opérations et limites Soit et d deux fonctions définies sur un intervalle, [ désigne un réel ou et?,? R Somme de fonctions. Si lim ) \ ' (??? + + et lim ) \ d ' (? + + alors lim ) \ $ ' (+d' (!?+? + + FI gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 11 sur 33
12 Produit de fonctions. Si lim ) \ ' (?? 0 0 et lim ) \ d ' (? alors lim ) \ $ ' ( d' (! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 12 sur 33
13 Produit de fonctions. Si lim ) \ ' (?? 0 0 et lim ) \ d ' (? alors lim ) \ $ ' ( d' (!?? selon la règle des signes FI selon la règle des signes gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 13 sur 33
14 Quotient de fonctions avec d' ( 0 pour tout Si lim ) \ ' (?? 0? 0 et lim d ' (? ou 0 ) \ 0? alors lim ) \ lm')( n')( o gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 14 sur 33
15 Quotient de fonctions avec d' ( 0 pour tout Si lim ) \ ' (?? 0? 0 et lim d ' (? ou 0 ) \ alors lim ) \ lm')( n')( o?? p selon la règle des signes 0 0 FI? selon la règle des signes gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 15 sur 33
16 Exemples = lim ) lim ) +T 3 = lim ) + lim ) H )ah = = lim ) `q = et lim ) ` 1+ 1 = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 16 sur 33
17 Composition de fonctions Soit et d deux fonctions, [,r et s désignent des réels ou m ' ( n d$' (! = d ' ( Si lim ) \ ' ( = r et lim v w d 'x( = s alors lim ) \ dv ' (W = s Exemple Déterminer lim ) +T sin } 7 ) ~ gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 17 sur 33
18 V. Comparaison de fonctions Soit, d et h des fonctions définies sur un intervalle, [ désigne un réel ou et? R Propriété : Si pour voisin de [, ' ( d' ( et lim ) \ d ' ( = + alors lim ) \ ' ( = + Si pour voisin de [, ' ( d' ( et lim ) \ ' ( = alors lim ) \ d ' ( = gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 18 sur 33
19 Théorème des gendarmes Si pour voisin de [, d' ( ' ( h' ( et lim d ' ( = lim h ' ( =? ) \ ) \ alors lim ' ( =? ) \ Exemple : 1. Déterminer lim sin 2 ) + 2. Déterminer lim ) ` 7 sin F ) ~ gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 19 sur 33
20 VI. Continuité d une fonction Soit une fonction définie sur un intervalle et [. Définition : La fonction est continue en Z lorsque a une limite en [ égale à '[( : lim ) \ ' ( = '[( La fonction est continue sur l intervalle lorsque est continue en tout point de. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 20 sur 33
21 Interprétation graphique : La continuité de sur un intervalle se traduit par le fait que la courbe représentative de sur peut être tracée sans lever le crayon gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 21 sur 33
22 Exemples : Les fonctions racine carrée et valeur absolue sont continues sur $0;+ $ gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 22 sur 33
23 La fonction partie entière n est pas continue sur R gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 23 sur 33
24 Soit une fonction continue sur un intervalle et soit [ et r Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Pour tout nombre réel compris entre '[( et 'r(, il existe au moins un nombre réel s compris entre [ et r tel que 's( =. (On admet que ce théorème reste vrai lorsqu au moins l une des bornes de l intervalle est infinie) gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 24 sur 33
25 VII. Calcul de dérivées Rappel définition Soit définie sur, [ et [+h pour h proche de 0. On dit que est dérivable en Z lorsque la limite de m'\+ (6m'\( est finie quand h tend vers 0, cette limite est appelée nombre dérivé de en Z et noté 'Z(. On dit que est dérivable sur lorsque est dérivable en tout point de. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 25 sur 33
26 Rappel interprétation graphique : Soit C m la courbe de. Soit " C m tel que "V[;'[(W c Si est dérivable en [ alors 'Z( est le coefficient directeur de la tangente à C m au point ". L équation de la tangente à C m au point " est ˆ = p 'Z(' Z(+ 'Z( 'Z( Š Z gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 26 sur 33
27 Rappel sur les variations d une fonction Si, pour tout nombre de, on a p ' ( > alors est strictement croissante sur. Si, pour tout nombre de, on a p ' ( < alors est strictement décroissante sur. Si, pour tout nombre de, on a ' ( = alors est constante sur. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 27 sur 33
28 Rappel dérivées des fonctions usuelles Fonctions ' ( Dérivées ' ( Ensemble de dérivabilité [ un nombre réel constant. 0 R [ +r [ R 7 2 R = où : N 0;1Ž : =6F R 1 1 7! ;0$!0;+ $ gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 28 sur !0;+ $
29 Rappel des règles de dérivation et désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle. ' + ( = + ' ( = + ' ( = ~ = 1 = 7 gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 29 sur 33
30 Remarque : On admet qu une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Propriété (admise) Soit une fonction dérivable sur un intervalle où ' ( > 0 pour tout. La fonction ' ( notée est dérivable sur et V W p = Exemple : Etudier la dérivabilité de la fonction ' ( = 4 3. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 30 sur 33
31 Propriété (admise) Soit une fonction dérivable sur un intervalle et : Z Si : 1 ou : 1 et ' ( 0 pour tout alors la fonction V ' (W = est dérivable sur et ' ( p = 6š Exemple : Etudier la dérivabilité de la fonction d' ( = '4 3 (. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 31 sur 33
32 Propriétés : Ÿ ' ( œ ž = š La fonction sinus est dérivable sur R et pour tout nombre réel, Ÿ ' ( = Ÿ' (. Propriété : La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout nombre réel, Ÿ ' ( = Ÿ ' (. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 32 sur 33
33 Propriété (admise) : Soit est une fonction dérivable sur un intervalle, soit [ et r deux nombres réels avec [ 0 La fonction d d' ( = '[ +r( est dérivable sur tout intervalle tel que pour tout, [ +r et on a pour tout p ' ( = V 'Z + (W = Z 'Z + ( Exemples : Calculer les dérivées de h' ( = F )+7 et d' ( = sin'3 +4( gaelle.buffet@ac-montpellier.fr Page 33 sur 33
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