( 13) 2. CORRECTION DU BREVET BLANC EPREUVE DE MATHEMATIQUES 20 mars 2009
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- Jeanne Prudhomme
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1 CORRECTION DU BREVET BLANC EPREUVE DE MATHEMATIQUES 0 mars 009 PREMIERE PARTIE : travaux numériques Exercice n Sur chaque ligne entourer la bonne réponse : Réponse A Réponse B ( ) Réponse C * 69 Réponse D ( ) Le nombre - est égal à ( ) Pour x x² - 4x + 5 est égal à.. +5 * - 4 4x² + 4x² - 4x² - x + *4x² - 4x + + ( x - )² a pour développement x + 0 lorsque x.. L aire, en cm², d un carré de côté ( + ) cm est.. - * + 4 * Exercice n. Calculer le PGCD de 8 et 0 en indiquant les calculs effectués PGCD (8 ; 0) 54.. Pour une kermesse, un comité des fêtes dispose de 8 billes jaunes et de 0 billes bleues. En utilisant toutes ces billes, il veut faire le plus grand nombre de lots identiques. a) Combien de lots identiques pourra-t-il faire? Il faut utiliser le PGCD de 8 et de 0. Il pourra faire 54 lots identiques. b) Quelle sera la composition de chacun de ces lots? 8 0 et 5. Donc dans chaque lot il y aura billes jaunes et 5 billes bleues. Exercice n Les résultats à l'épreuve du brevet de mathématiques d'une classe de troisième ont été notés dans le tableau suivant: Notes Effectifs 5 4
2 ECC Calculer l étendue de cette série : e L étendue est de 4 points. Calculer la moyenne des notes : Moyenne, Quelle est la médiane de ces notes? La moitié de l effectif total est 5. La 5e et la 6e notent sont égales à. Médiane. Le quart de l effectif est,5. la 8e note est 9. Q 9 Les trois quarts de l effectif sont,5. La e note est 5. Q 5. 6 élèves ont une note comprise entre 9 et 5. plus de la moitié de l effectif. Quel est le premier quartile? Quel est le troisième quartile? Est-il vrai que plus de 50% de l effectif total a obtenu une note comprise entre 9 et 5? Justifier. DEUXIEME PARTIE : travaux géométriques Exercice n Sur la figure ci-contre qui n est pas dessinée aux vraies dimensions on a : : - les points K, A, F, C sont alignés ; - les points G, A, E, B sont alignés ; - (EF) et (BC) sont parallèles ; - AB 5 cm et AC 6,5 cm; - AE cm et EF 4,8 cm.. Démontrer que BC 8 cm. Dans le triangle ABC, puisque les droites EF et BC sont parallèles alors on peut utiliser le AE EF théorème de Thalès :. AB BC On obtient alors : EF 8cm. On sait également : AK,6 cm et AG cm. Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. AK,6 0,4 AC 6,5 et AG 0,4. AB 5
3 AK AG AC AB alors d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites KG et BC sont parallèles. Puisque les points K, A, G et G, A, B sont alignés dans le même ordre et puisque Exercice n Le triangle HMS est rectangle en H et l angle MSˆH mesure. Calculer la valeur arrondie à 0, cm près de la longueur du segment HM. HM tan HSˆM SM HM Le triangle HMS étant rectangle en H, on a : tan 5, HM 5, tan HM,cm Exercice n L'unité graphique est le centimètre.. Tracer un segment [AB] tel que AB et placer le point H du segment [AB] tel que AH.Tracer un demi-cercle de diamètre [AB] et la perpendiculaire à la droite (AB) qui passe par H. Elle coupe le demi-cercle en C. Cette figure n est pas aux vraies dimensions.. Quelle est la nature du triangle ABC? Pourquoi? Puisque C appartient au cercle de diamètre [AB] alors le triangle ABC est rectangle en C.. Exprimer le cosinus de l angle CAˆ B dans le triangle ACH, en fonction de AC.
4 AH Dans le triangle ACH, rectangle en H, on a : cos CAˆ B AC AC 4. Exprimer le cosinus de l angle précédent dans le triangle ABC, en fonction de AC. AC AC Dans le triangle ABC, rectangle en C, on a : cos CAˆ B AB 5. En déduire alors que AC. On a donc : AC AC AC ² AC. On en déduit donc : AC AC AC 6. Calculer la mesure arrondie à près de l angle CAˆ B.. On a donc CAˆ B. cos CAˆ B TROISIEME PARTIE : problème Le propriétaire d un mur de 50 m de long y adosse une clôture pour obtenir un terrain fermé rectangulaire. Il veut en faire un enclos pour son cheval. Il dispose de 48 m de clôture et il l utilise totalement.. Dans un premier temps il décide de fabriquer un enclos en choisissant AB 6 m. Voir dessin ci-dessus. Montrer que l enclos est alors carré. Quelle est son aire? 4
5 Puisque AB 6 m alors CD 6 m. Puisque la longueur de la clôture est égale à 48 m alors, BC Deux côtés consécutifs du rectangle sont de même longueur donc on a un carré. Et son aire est égale à 6² 56 m².. Un de ses voisins prétend que de toute façon si on change la valeur de AB et bien l aire ne change pas. Montrer à l aide d un exemple qu il a tort. Il suffit de choisir AB 0. dans ce cas on a BC L aire de l enclos est donc égale à 80 m². Le voisin a donc tort.. On appelle x la longueur en m de [AB]. Expliquer pourquoi l aire du terrain clôturé est alors égale, en m², à x( 48 x ). Si l un des côtés mesure x alors le côté consécutif mesure : 48 x. Donc l aire est égale à x(48 x). 4. On considère la fonction f définie par : f : x x( 48 x). Calculer l image de 5. Est-il vrai que 4 est un antécédent de 60? Justifier la réponse. f (5) 5 ( 48 5) f (4) 4 ( 48 4 ) Puisque 60 est l image de 4 alors 4 est un antécédent de On cherche alors à avoir la plus grande aire possible pour l enclos. Pour cela on a construit la représentation graphique de la fonction f : x x( 48 x).on s est limité à x compris entre 0 et 4. 5
6 6
7 Placer sur la représentation graphique le point correspondant à la première question et l appeler P. 6. Lire sur la représentation graphique une autre valeur de x qui donne la même aire. Il est demandé d effectuer les tracés nécessaires à cette lecture en pointillés sur la représentation graphique donnée, puis de bien écrire sur la copie les résultats de cette lecture. L abscisse du point C correspond à une autre valeur de x pour laquelle l aire est égale à 56 cm².on lit donc x 8.. Vérifier la réponse précédente par le calcul en utilisant l expression algébrique qui a été donnée de la fonction f. f (8) 8 ( 48 8) C est bien vérifié. 8. Lire pour quelle valeur de x on a une aire maximale? Quelle est l aire maximale que l on lit sur la représentation graphique? Il est demandé d effectuer les tracés nécessaires à ces lectures en pointillés sur la représentation graphique donnée, puis de bien écrire sur la copie les résultats de ces lectures. Ce sont les coordonnées du point E qui sont nécessaires pour répondre à la question. On lit : x et 80 f () Calculer cette valeur maximale en utilisant l expression algébrique qui a été donnée de la fonction f. f () ( 48 ) L aire maximale est 88 m². 0. Un autre voisin lui dit que s il place sa clôture de 48 m en demi-cercle il aura une aire encore plus grande. Est-ce vrai? La clôture mesure 48 m. Ce serait la longueur du demi-cercle. 48 Le rayon du demi-cercle est donc : m. π 48 L aire du demi-disque est alors : π 6 m². π Ce voisin là a raison.
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