Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée

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1 I. Rappels sur les symétries 1. Symétries axiales Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée Méd iatric e de Définition : Médiatrice d un segment On note I le milieu de. On appelle médiatrice du segment la droite perpendiculaire en I à Propriétés : Propriétés des points d une médiatrice La médiatrice du segment est l ensemble des points équidistants des extrémités et de ce segment : a. Si M est un point de la médiatrice de, alors M M b. Réciproquement, si M M, alors M est un point de la médiatrice de Définition : Symétrique d un point par rapport à une droite On considère un point n appartenant pas une droite D du plan. Dire que le point est le symétrique du point par rapport à la droite D signifie que la droite D est la médiatrice du segment. D Remarque : Si le point appartient à la droite D, les points et sont confondus.. Symétrie centrale Définition : Symétrie centrale On considère deux points et O distincts du plan. Dire que le point est le symétrique du point par au point O signifie que le point O est le milieu du segment. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 1

2 II. Rappels sur les configurations du plan 1. Droites remarquables dans un triangle a. Médiatrices Définition : Médiatrice d un triangle Une médiatrice d un triangle est la médiatrice de l un de ses côtés. Propriété : Point de concours des médiatrices d un triangle Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point O, appelé centre du cercle circonscrit au triangle. b. Médiane Définition : Médiane d un triangle Une médiane d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et par le milieu du côté opposé. Propriété : Point de concours des médianes d un triangle Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. c. Hauteur Définition : Hauteur d un triangle Une hauteur d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé. Propriété : Point de concours des hauteurs d un triangle Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. d. issectrices Définition : issectrice d un angle / issectrice d un triangle Une bissectrice d un angle partage un angle en deux angles adjacents de même mesure. Une bissectrice d un triangle est la bissectrice de l un de ses trois angles. Propriété : Point de concours des bissectrices d un triangle Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit dans le triangle. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd

3 . Triangles particuliers a. Triangle isocèle Définition : Triangle isocèle On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur. xe de sym étrie Propriétés : Propriétés des triangles isocèles Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure. Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base. Triangle isocèle en C b. Triangle équilatéral Définition : Triangle équilatéral On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les côtés ont la même longueur. xe de symétrie Propriétés : Propriétés des triangles équilatéraux Les angles d un triangle équilatéral ont la même mesure : 60 Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : Les médiatrices de ses côtés. Les droites remarquables dans un triangle équilatéral sont toutes confondues. xe de symétrie 60 xe de symétrie Triangle équilatéral : Médiane = Médiatrice = Hauteur = issectrice c. Triangle rectangle Définition : Triangle rectangle On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse. Hypoténuse Propriétés : Propriétés des triangles rectangles Dans un triangle rectangle, le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle. Tout triangle dont les sommets appartiennent à un cercle et dont l un des côtés est un diamètre de ce cercle est rectangle. Théorème de Pythagore : Si le triangle C est un triangle rectangle en, alors Réciproque du théorème de Pythagore : Si C C, alors le triangle C est rectangle en C C Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 3

4 3. Quadrilatères particuliers a. Parallélogramme Définition : Parallélogramme On appelle parallélogramme tout quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles deux à deux. Propriétés : Propriétés d un parallélogramme Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. Les côtés opposés d un parallélogramme sont deux à deux de la même longueur. Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Propriétés utiles pour démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont de la même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. b. Rectangle Définition : Rectangle On appelle rectangle tout quadrilatère ayant trois angles droits. Propriétés : Propriétés d un rectangle Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Un rectangle a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Propriétés utiles pour démontrer qu un parallélogramme est un rectangle Si les diagonales d un parallélogramme sont de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires (ou un angle droit), alors ce parallélogramme est un rectangle. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 4

5 c. Losange Définition : Losange On appelle losange tout quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Propriétés : Propriétés d un losange Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Un losange a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. Propriétés utiles pour démontrer qu un parallélogramme est un losange Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce parallélogramme est un losange. d. Carré Définition : Carré On appelle carré tout quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Propriétés : Propriétés d un carré Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires. Un carré a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Un carré a quatre axes de symétrie. Propriétés utiles pour démontrer qu un losange est un carré Si les diagonales d un losange sont de la même longueur, alors ce losange est un carré. Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires (ou un angle droit), alors ce losange est un carré. Propriétés utiles pour démontrer qu un rectangle est un carré Si les diagonales d un rectangle sont perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce rectangle est un carré. e. Cercles Définition : Cercle Le cercle de centre et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que M = R Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 5 R

6 III. Repères et coordonnées du plan 1. Repères du plan Définitions : Repères du plan Un repère du plan est un triplet Le point O s appelle l origine, la droite s appelle l axe des ordonnées. O;I;J de trois points non alignés. OI s appelle l axe des abscisses et la droite OJ Si les axes sont perpendiculaires en O, alors on dit que le repère O;I;Jest orthogonal. Si les axes sont perpendiculaires en O et si OI = OJ, alors on dit que le repère O;I;J est orthonormé. repère quelconque repère orthogonal repère orthonormé. Coordonnées d un point du plan Théorème : Coordonnées d un point dans un repère On se place dans le plan rapporté au repère O;I;J. Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels x y appelé coordonnées de M On dit que x est l abscisse de M et M y M son ordonnée. M ; M Exemple : On considère le plan muni du repère orthonormé O;I;Jci-dessous que vous reproduirez sur votre feuille. 1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points, et C. Placer les points D ;0 et 7 E ;3 Remarque : Dans le repère O;I;J, le point O a pour coordonnées 0;0. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 6

7 3. Coordonnées du milieu d un segment et distance entre deux points Propriété : Coordonnées d un milieu On se place dans le plan muni du repère O;I;J. Soient et deux points du plan de coordonnées respectives I est le milieu de si et seulement si I x ; y avec I I x xi y yi x y et x y ; x y ; Propriété : Distance entre deux points On se place dans le plan muni d un repère orthonormé O;I;J. Soient et deux points du plan de coordonnées respectives x y et x y ; ; On a alors : Distance entre et = x x y y Exemple : 1. Reproduire sur votre feuille le repère ci-contre. Placer dans ce repère les points ; 3 et 3;4. 3. Calculer les coordonnées du milieu K de et le placer sur le dessin. 4. Calculer la distance. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 7

8 Exercices sur les configurations du plan Exercice 1 Cercle circonscrit On se place dans un repère orthonormé O;I;J (unité graphique : 1 cm) 1. a. Placer les points, et C de coordonnées respectives 4; 1 ; 4; et ; b. Conjecturer la nature du triangle C. c. Démontrez-le.. Déterminer le périmètre du triangle C. 3. Déterminer l aire du triangle C. 4. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle C.. Exercice Triangle équilatéral Dans un repère orthonormé Démontrer que le triangle O est équilatéral. Exercice 3 Cercle et médiatrice O;I;J on considère les points 4; 3 et 1;3 3 On se place dans un repère orthonormé O;I;J (unité graphique : 1 cm) 1. a. Placer les points, et C de coordonnées respectives 1; ; ; 1 et 3;1 Construire le cercle C de centre O passant par. b. Calculer le rayon de C. c. En déduire que appartient à C.. Montrer que la droite Exercice 4 Nature d un quadrilatère OC est la médiatrice du segment On se place dans un repère orthonormé (O; I ; J ) ( unité graphique : 1 cm ) 1. Placer les points 3; 4 ; 3; ; C7; et D1; 8 Conjecturer la nature du quadrilatère CD.. a. Déterminer les coordonnées du point E, milieu dec. b. Montrer que E est le milieu de D. c. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère CD? 3. Calculer C et D (donner la valeur exacte) et en déduire la nature du quadrilatère CD. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 8

9 Exercice 5 Pied d une hauteur On se place dans un repère orthonormé O;I;J (unité graphique : 1 cm) 1. a. Placer les points, et C de coordonnées respectives 4; ; 6; 4 ; 0; b. Conjecturer la nature du triangle C. Démontrez cette conjecture.. a. Construire le point H, pied de la hauteur du triangle C issue de. b. Calculer les coordonnées de H. c. En déduire H (donner la valeur exacte).. Exercice 6 Nature d un quadrilatère bis On se place dans un repère orthonormé O;I;J (unité graphique : 1 cm) 1. a. Placer les points 3;1 ; 1; 3et C; b. Conjecturer la nature du quadrilatère OC.. a. Démontrer que les segments. et OCse coupent en leur milieu. b. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OC? c. Calculer les longueurs O et C. d. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OC? e. Calculer la longueur C. f. En déduire la nature du quadrilatère OC. Exercice 7 Intersection d un cercle avec l axe des ordonnées On se place dans un repère orthonormé O;I;J (unité graphique : 1 cm) 1. a. Construire le cercle C de centre 3; passant par 5; 1 b. Calculer le rayon de C.. On considère un point M0; y a. quelle droite particulière appartient ce point M? b. Exprimer M en fonction de y. 3. En déduire les coordonnées des points d intersection de C avec l axe des ordonnées.. Chapitre I Configurations du plan et géométrie repérée nd 9

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