A = {f L(E); f 2 = Id E }

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1 Espaces vectoriels 1. (ref. 5) Soit E, F des K-espaces vectoriels de dimensions finies, n = dim E, u L(E, F ), N = Ker(u). a) Soit G un sous espace vectoriel de E. Montrer dim u(g) = dim G dim N G. b) Soit H un sous espace vectoriel de F. Montrer dim u 1 (H) = n + dim H u(e) rang u. 2. (ref. 6) Soit p et q des projecteurs de E tels que p + q = Id E. Montrer que p q = q p = 0 et que E = p(e) q(e). 3. (ref. 8) Soit E un K-espace vectoriel, E et E deux sous espaces vectoriels propres de E. Montrer que E E E. On suppose K infini. Soit E 1,..., E n des sous espaces vectoriels propres de E. Montrer que E i E. 4. (ref. 10) E, F, G trois K-espaces vectoriels de dimensions finies. a) Soit u L(E, F ) et v L(F, G). Montrer que rang u+rang v dim F rang v u inf(rang v, rang u). b) Soit u, v L(E, F ). Montrer que rang v rang u rang(u + v) rang u + rang v. 5. (ref. 13) Soit u L(C n ) tel que u n = Id E. Soit E un sous espace vectoriel de C n stable par u, p un projecteur d image E. On pose q = 1 u k p u n k. Montrer que q est un projecteur et que C n = Ker(q) E. n (ref. 14) Soit E = {P C[X, Y ] P homogène de degré n}. Soit F le sous espace des polynômes divisibles par X 2 + Y 2, G le noyau du laplacien. Montrer que E = F G. 7. (ref. 21) Soit E = R 3 [X], a, b, c des réels deux à deux distincts. On considère les quatre formes linéaires P P (a), P P (b), P P (c), P quatrième à l aide des trois premières lorsque c = (a + b)/2. b a P (t) dt. Sont-elles linéairement indépendantes? Exprimer la 8. (ref. 26) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et (p i ) 1 i n une famille de projecteurs. Montrer que p i est un projecteur si et seulement si i, j, i j p i p j = (ref. 27) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et f L(E). Trouver une condition nécesaire et suffisante pour qu il existe g et h L(E) tels que f = g h et h g = (ref. 31) Soit E un K-espace vectoriel, u L(E). On suppose que les seuls sous espaces vectoriels stables par u sont {0} et E. Montrer que E est de dimension finie. 11. (ref. 32) Soit E un R-espace vectoriel (de dimension finie pour (c)) a) Trouver tous les f L(E) vérifiant f 2 = f b) Trouver tous les f L(E) vérifiant f 2 = Id E. c) Trouver tous les f L(E) vérifiant f 2 = Id E (on montrera que dim E est paire et qu il existe une base (e 1,..., e 2p ) telle que i [1, p], f(e i ) = e p+i, f(e p+i ) = e i ). 12. (ref. 36) Soit E, F, G trois K-espaces vectoriels. Soit u L(E, F ), v L(F, G) tels que dim(f/ Im u) < +, dim(g/ Im v) < +. Montrer que dim(g/ Im v u) < (ref. 41) Soit E et F des K espaces vectoriels de dimensions finies. a) Soit u L(E, F ), v L(F, E) tels que u v u = u et v u v = v. Montrer que E = Ker u Im v. b) u L(E, F ) étant donné, soit E 1 et F 1 des sous espaces tels que E = Ker u E 1 et F = Im u F 1. Montrer qu il existe un unique v tel que u v u = u et v u v = v avec Ker v = F 1 et Im v = E (ref. Centrale 91- ) Soit E un espace vectoriel sur R, p et q deux projecteurs de E tels que Im p Ker q et soit r = p + q pq. Montrer que r est un projecteur, trouver son image et son noyau. 15. (ref. Centrale 91- ) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. On pose Trouver l ensemble des points d accumulation de A. A = {f L(E); f 2 = Id E } 16. (ref. Centrale 93- ) a) Soient E un C espace vectoriel de dimension finie, (f n ) une suite d éléments de L(E), convergeant vers l élément f de L(E). Montrer que, si n N, rang(f n ) k nécessairement rang(f) k. 1

2 b) Soit A dans M n C), et A le commutant de A. Montrer que A est de dimension n. c) Montrer que ce dernier résultat reste vrai dans M n R). 17. (ref. ENS91- ) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n et k {0, 1,.., n}. Que peut-on dire d un endomorphisme u de E tel que tout sous-espace de dimension k soit stable par u? 18. (ref. GOX91- ) Soit n dans N. Le vecteur x de R n est dit positif lorsque toutes ses coordonnées sont positives, ce qui se note x 0. Soit A dans M(n, R), A symétrique.on suppose que tous les mineurs principaux de A sont strictement positifs. Montrer que, pour tout x de R n, (x 0 et Ax 0) x = (ref. Mines93- ) Soit ϕ l application de R 3 [X] dans R 3 [X] qui au polynôme P associe le reste la divition euclidienne de (X 4 1)P (X) par X 4 X. Montrer que ϕ est linéaire et déterminer ses noyaux, image et éléments propres. Matrices 20. (ref. 6) Soit K un corps fini à q éléments. Montrer que GL K (n) = (q n 1)(q n q)... (q n q n 1 ). 21. (ref. 9) Soit G = { 1 x z 0 1 y M R (3)}. Montrer que G est un groupe de GL R (3). Quel est son centre? (ref. 15) Calculer les inverses des matrices suivantes n 1 2n n n (ref. 16) Soit A M K (m, n) telle que rang(a) = r. Montrer qu il existe B M K (m, r) et C M K (r, n) telle que A = BC. Exemple d une telle décomposition pour (ref. 17) Soit A M K (n). Calculer det(com(a)) et com(com(a)) 25. (ref. 23) Soit M M K (n) de rang 1. Trouver une relation entre M 2 et M. Déterminer les M M 3 (R) tels que M 2 = (ref. 24) Soit A 1,..., A n M C (n) nilpotentes, commutant deux à deux. Montrer que A i = (ref. 27) Soit : M p (R) M p (R) linéaire telle que A, B, (AB) = (A)B + A (B). Soit T tel que 2 (T ) = 0. Montrer que n, n (T n ) = n! (T ) n. Soit A, T M p (R) et Q = AT T A. On suppose que A et Q commutent. Montrer que lim Q n 1/n = (ref. 28) Soit A, B M K (n). Etudier l équation M + tr(m)a = B. 29. (ref. 32) Montrer que SL 2 (Z) est une groupe multiplicatif. ( Soit ) M( SL) 2 (Z). Montrer qu en multipliant 1 x 1 0 M par un produit convenable de matrices de la forme et on peut faire apparaître un y 1 dans la première colonne. En déduire un système de générateurs minimal de SL 2 (Z). 30. (ref. 33) Soit A M R (n), k le déterminant formé par les k premières lignes et les k premières colonnes. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes (i) k, k 0 (ii) A = LU où L est triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et U triangulaire supérieure inversible. 2

3 31. (ref. 36) Soit A M C (n), C(A) = {M MA = AM}. On suppose que A 2 = I. Montrer que dim C(A) a la même parité que n. n 32. (ref. 38) Soit A M n (RR) symétrique telle que i, j, a i,j > 0 et σ S n, a iσ(i) = a. Montrer que A est de rang (ref. 40) Soit A M n (R)( à coefficients ) positifs telle que pour toute permutation P des vecteurs de base, on ne puisse avoir A = P 1 A1 A 2 P. Soit X R n \ {0}, à coefficients positifs. Montrer que (I + A) n 1 0 A 3 est à coefficients strictement positifs. 34. (ref. Centrale 91- ) Soit n N et soit A et B dans M n (R) telle que I n + BA GL n (R). a) Montrer que I n + AB est dans GL n (R) et que son inverse commute avec A. b) Vérifier que (I n + AB) 1 = I n A(I n + BA) 1 B. 35. (ref. Centrale 91- ) A 1,..., A p sont des matrices carrées de M n (R) vérifiant: t A i A j = 0 pour tous i j et A A p inversible. Montrer que la somme des rangs des A j est n. 36. (ref. ENS93- ) -L.- Si K est de caractéristique nulle et si A est une matrice de trace nulle dans M n (K), montrer qu il existe B et C dans M n (K) telles que A = BC CB. 37. (ref. GOX92- ) Soit H un hyperplan de M n (R). Montrer que H contient au moins une matrice inversible. 38. (ref. GOX92- ) Inverser la matrice A = (α ij ) définie par α ij = a si i j et α ii = (ref. GOXP 93- ) Soit A M nr (R), B M rn (R), et M = I n AB. On suppose, de plus, que A est de rang r. Montrer que M est de rang au moins n r, valeur minimale atteinte si, et seulement si BA = I r. (Indication: étudier: M + BAAB). 40. (ref. Mines91- ) Soit A et B dans M n (C). On note com(a) la matrice des cofacteurs de A. Montrer que com(ab) = com(a)com(b), puis que, si A et B sont semblables, com(a) et com(b) le sont aussi. 41. (ref. Mines91- ) Trouver toutes les matrices A de M n (R) telles que, pour toute matrice réelle (n, n), on ait det(a + X) = det(a) + det(x) 42. (ref. Mines93- ) Soit f une application non constante de M n (C) dans C telle que, pour tout couple (A, B) de matrices, on ait f(ab) = f(a)f(b). Montrer que f(a) = 0 A non inversible. 43. (ref. POX92- ) Soit ϕ une application de M n (C) dans C telle que: Montrer que ϕ = det. (A, B) (M 2 (C)) 2 ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (( )) λ 0 λ C ϕ = λ (ref. POX91- ) Soit A M n (R) telle que A 3 = A + I. Montrer que det A > 0. Déterminants a a 45. (ref. 4) Calculer a a n 46. (ref. 6) Soit a 1,..., a n K. Calculer V (a 1,..., a n ) = det(a j 1 i ) 1 i,j n. En déduire le calcul de 1 a 1... a k 1 1 a k a n 1 1 a 2... a k 1 2 a k a n i=1

4 47. (ref. 8) Calculer D n = det(a ij ) 1 i,j n avec a ii = a, a i,i+1 = 1, a i,i 1 = 1, a ij = 0 dans les autres cas. Déterminer lim D n (ref. 11) Calculer det( ). a i + b j 49. (ref. 12) Calculer det(a ij ) avec a ii = c i, a ij = a si j > i, a ij = b si j < i (on pourra ajouter x à chaque coefficient et déterminer le degré du polynôme en x obtenu). 50. (ref. 15) A = (a ij ) telle que i, a ii = x i, et i j a ij = a. Calculer det A. 51. (ref. 16) Calculer det(c j n+i 1 ) 1 i,j p. a 1 a 2... a n a 52. (ref. 20) Soit A = n a 1... a n 1 M C (n) et Ω = (ω (i 1)(j 1) ) avec ω = exp(2iπ/n). Calculer a 2 a 3... a 1 det ΩM et en déduire det M. 53. (ref. 21) A, B, C, D M K (n) telles que C et D commutent et D inversible. Montrer que A B C D = ( ) ( ) det(ad BC). Que dire si D non inversible? Soit n = 2 ; A = D = ; C = B = Comparer A B C D et det(ad BC) n n n (ref. 22) Calculer le déterminant (n 1) n n n 1 1 cos(a o )... cos(na o ) 55. (ref. 24) Factoriser le déterminant D n+1 = cos(a n )... cos(na n ) 56. (ref. 26) Soit A = {M M R (n) i, j, m ij 1} et ϕ : A R, ϕ(m) = det M. a) Montrer que sup ϕ est un entier multiple de 2 n 1 (on pourra montrer que si i, j, a ij { 1, 1}, A alors det M est divisible par 2 n 1. b) Montrer que sup ϕ n n/2 (utiliser det M c j, si les c j sont les vecteurs colonnes de M). A 57. (ref. 27) α 1 <... < α n et β 1 <... < β n des réels. Montrer que det(e αiβj ) (ref. 28) Calculer com A où A = (a i a j + δ i jx). 59. (ref. 31) Calculer det A où a ij = ( 1) max(i,j), 1 i, j n 1 n 2 n... (n + 1) n 2 n 3 n... (n + 2) n 60. (ref. Centrale 91- ) Calculer (n + 1) n (n + 2) n... (2n + 1) n 61. (ref. Centrale 91- ) Soit M M n (R) et Φ M l application A t MAM de M n (R) dans M n (R). Démontrer que Φ M est un endomorphisme de M n (R) laissant stable l ensemble S (resp. A) des matrices symétriques (resp. antisymétriques). Calculer det Φ M. 62. (ref. GOX92- ) Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et g GL(E). On considère l endomorphisme ϕ de L(E) défini par a gag 1. Déterminer det ϕ et tr ϕ. 63. (ref. GOX92- ) Calculer le déterminant de la matrice (a ij ) 1 i,j n+1 où a ij = C j 1 i+j 2. 4

5 64. (ref. Mines93- ) Soit A M n (R) et L A : M n (R) M n (R), M AM. Déterminer le déterminant de L A.. Systèmes linéaires 65. (ref. 1) Etudier les systèmes ax + by + z = 1 a) x + aby + z = b x + by + az = 1 (m 2)x + 2y z = m + 2 d) 2x + my + 2z = m mx + 2(m + 1)y + (m + 1)z = 2m 3 m 2 /2 m/ (ref. 2) Etudier le système x 1 + x 2 = 2a 1, x 2 + x 3 = 2a 2,..., x n + x 1 = 2a n. Interprétation géométrique? ax + by + cz = d b z c y = u 67. (ref. 3) Etudier le système c x a (inconnues x,y,z). Interprétation géométrique. z = v a y b x = w 68. (ref. 7) Discuter le système (λ i a)x + (λ 2 i a 2 )y + (λ 3 i a 3 )z = 1, i = 1,..., (ref. Mines93- ) On considère l équation complexe t 3 t + 1 = 0 de racines α, β, γ. Résoudre le système x + y + z = 0 αx + βy + γz = 0 α 2 x + β 2 y + γ 2 z = 0 5