Lycée Jean Bart PCSI Année février Table des matières

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1 Lycée Jean Bart PCSI Année février 05 Table des matières A Développements limités et équivalents : points essentiels. Généralités. Le point de départ : Formule de Taylor 3. Développements limités et opérations usuelles 4. Formulaire des développements limités et équivalents usuels 3 B Applications des développements limités eemples) 5 5. Calcul de limite 5 6. Equation de tangente et position relative locale) 5 7. Recherche d un équivalent 5 Intermède : calculer un développement limité avec Maima 5

2 PCSI Année Développements limités, équivalents et applications 3 février 05 A Développements limités et équivalents : points essentiels. Généralités Définition. Soient f : I R une fonction définie sur un intervalle ouvert non-vide et à valeurs réelles, a un élément de I et n un entier naturel. La fonction f admet un développement limité à l ordre n en a s il eiste : n + ) scalaires a 0, a..., a n, une fonction ε : I R avec lim ε) = 0, [ a n tels que : I, f ) = a k a) k + a) n ε) Eemple de f : traité en classe au début du chapitre. Propriété unicité du DL). Si f admet un développement limité à l ordre n en a, alors celui-ci est unique.. Le point de départ : Formule de Taylor Le point-clef est évidemment la formule de Taylor-Young, qui fait le lien entre le développement limité d une fonction et ses dérivées successives. Théorème FORMULE DE TAYLOR-YOUNG) : si f C n I, R) et a I, alors f admet un DL à l ordre n en a, eplicitement : I, f) = f k) a) a) k + o a) n ) Réciproque fausse! La fonction f : R sin prolongée par continuité en posant f0) = admet un développement limité à l ordre en 0, mais n est pas de classe C en 0, car f 0) n eiste pas. La formule de Taylor-Young permet donc d obtenir les DL des fonctions dont on connaît bien les dérivées successives : eponentielle et / ) notamment. Propriété DL et parité) : si f C n I, R) est paire resp. impaire) alors la partie régulière du développement limité de f en 0 ne contient que des termes de degré pair resp. impair). Eemples d illustration : R, et : R, cos = )n n n)! + o n+) sin = )n n+ n + )! + o n+) 3. Développements limités et opérations usuelles Propriété DL et multiplication par un scalaire) : Soit λ un réel. Si f admet un développement limité à l ordre n, alors λf admet un développement limité à l ordre n obtenu multipliant la partie régulière par λ. Propriété DL et somme) : Si f et g admettent un développement limité au même ordre n, alors f + g admet un développement limité à l ordre n obtenu en ajoutant terme à terme les DL de f et g. Eemples d application : DL de ch et de sh une fois connus ceu de e et e. Propriété DL et produit) : Si f et g admettent un développement limité au même ordre n, alors la fonction fg admet un développement limité à l ordre n, dont la partie régulière est le produit des parties régulières des DL de f et de g, tronqué à l ordre n. Eemples d application : questions, 3, 5, 4, 5 de l eercice. Propriété DL et intégration) : Si f admet un développement limité à l ordre n en a, la primitive F de f s annulant en a admet un DL à l ordre n + en a obtenu en primitivant terme à terme la partie régulière du développement limité de f. Eemples d application : DL de ln+) à partir de celui de /+) ; DL de arctan) une fois connu celui de /+ ) ; eercice 3 ; eercice 8 ; eercice 30.

3 PCSI Année Développements limités, équivalents et applications 3 février 05 3 Propriété DL et dérivation) : Si f admet un développement limité à l ordre n en a, alors f admet un DL à l ordre n en a obtenu en dérivant terme à terme la partie régulière du développement limité de f. Eemples d application : DL de / cos une fois connu celui de tan ; eercice 4. Propriété DL et composition) : Si f admet en 0 un développement limité à l ordre n, et si u admet en 0 un DL à l ordre n et tend vers 0 quand tend vers 0, alors la fonction f u admet un développement limité à l ordre n, dont la partie régulière est obtenue en remplaçant dans le DL de f les par la partie régulière du DL de u, et en tronquant à l ordre n. Eemples d application : DL de e 3, de e sin ; questions, 4, 4, 6,... de l eercice ; eercice 3. Les Fondamentau e = ch) = sh ) = 4. Formulaire des développements limités et équivalents usuels k + o n ) = n n! + o n ) k + o n+) = + k)! n n)! + o n+) k+ + o n+) = + 3 k + )! n+ n + )! + o n+) cos ) = ) k k + o n+) = k)! n )n n)! + o n+) sin ) = ) k k+ + o n+) = 3 k + )! n+ )n n + )! + o n+) = k + o n ) = n + o n ) ln + ) = ) k+ k + o n ) = k n )n+ n + o n ) k= + ) α n = + k= k i=0 α i) k Conséquences des Fondamentau + o n ) = + α + α α ) α α ) α ) α 6 α ) α n + ) + n + o n ) n! tan ) = o 0) par quotient à partir des DL de sin et de cos) th ) = o 0) par quotient à partir des DL de sh et de ch) [ n arctan ) = ) k k+ k + + o n+) = )n n+ n + + o n+) primitivation du DL de / + )) arcsin ) = o 0) DL de ) /, puis primitivation) arccos ) = π o 0) utilisation de l identité : arccos ) = π arcsin ))

4 4 PCSI Année Développements limités, équivalents et applications 3 février 05 Eemples de cas particuliers fréquents e = ) k k + o n ) = )n n n! + o n ) changement de variable dans le DL de e ) + = o 3) cas particulier du DL de + ) α avec α = /) Eemples de développements asymptotiques DL au voisinage de + ) e = sin ) k + o n ) ) = ) k k + )! k+ + o n+ ln + ) ) = ) k+ k k + o n k= + ) α n = + k= k i=0 α i) k = n! n + o n + o n = ) )n +o n + )! n+ n+ = + ) )n+ n n + o n = + α α α ) α α ) α ) α α ) α n + ) n! n + o n Quelques équivalents usuels e n sh sin ln + ) tan th arctan arcsin arccos π n cos n + n ch n + n + n) α α + n + + n. Formules obtenues à l aide du changement de variable.. Etrêmement utiles dans les problèmes faisant intervenir les suites et les séries. C est ce qui justifie l écriture de ces équivalents avec /n n tendant vers + ) plutôt qu avec un tendant vers 0. Mais évidemment, toutes ces formules peuvent être adaptées à la seconde situation, c est-à-dire par eemple : e 0 ou encore sin 0, etc...

5 PCSI Année Développements limités, équivalents et applications 3 février 05 5 B Applications des développements limités eemples) + Calculer lim Calcul de limite Le développement limité à l ordre en 0 de + est : + = + + o) d où : 0, + = + ϵ) + avec ϵ qui tend vers 0 en 0. D où : lim = 0 6. Equation de tangente et position relative locale) L équation de la tangente peut être obtenue par la partie affine du DL d une fonction, et la position relative LOCALE de la courbe par rapport à la tangente est donnée par le premier terme du DL suivant cette partie affine. Par eemple : R, e = o ). L équation de la tangente à la courbe représentative de ep au point d abscisse 0 est y = +. Au voisinage de 0, la courbe est située au-dessus de la tangente, puisque 7. Recherche d un équivalent Deu fonctions ou suites) sont équivalentes lorsque leur quotient a pour limite. On obtient des équivalents à l aide des DL de la façon suivante : >, ln + ) = + o) d où ln + ) 0 ; >, sin) = + o) d où sin) 0 d où sin n n. Intermède : calculer un développement limité avec Maima est toujours positif. Si vous voulez vous entraîner sur les DL, ou vérifier que vos calculs sont justes après une interro ou un DS, vous pouvez utiliser Maima pour calculer un développement limité. La commande Maima permettant d obtenir un DL s appelle assez logiquement taylor. Plus précisément, l instruction : taylorf),,a,n) permet d obtenir le développement limité de la fonction f en a à l ordre N. Plus eplicitement, voici quelques eemples d utilisation :