Imagerie par résonance magnétique

Transcription

1 1 XULC-2011 Imagerie par résonance magnétique I- Production de champs magnétiques intense et homogène. I-1) La densité de courant doit vérifier : S(j (M)) = j (S(M)) pour toute symétrie par rapport à un plan contenant l axe Oz,ce qui donne pour le plan (M, e r, e z ) : j r (M)e r + j θ (M)e θ + j z (M)e z = (j r (M)e r j θ (M)e θ + j z (M)e z ). On en déduit : j r (M) = j r (M); j z (M) = j z (M) ce qui donne j r (M) = 0; j z (M) = 0. La distribution de courant vérifie :j (M) = j θ (M)e θ I-2) Pour toute symétrie par rapport à un plan contenant l axe Oz on aura S (B (M)) = +B (S(M)) ; si on prend le plan (M, e r, e z ) on en déduit S (B (M)) = +B (M), B (M) appartient à ce plan donc B θ = 0 et B (M) = B r (M)e r + B z (M)e z. De plus il y a invariance par rotation d axe z, donc B (M) ne dépend pas de θ ce qui donne : B (M) = B r (r, z)e r + B z (r, z)e z I-3-a) Si la longueur L du solénoïde est très grande devant R 2, on peut assimiler ce solénoïde à un solénoïde infini. Il y a donc invariance de la distribution de courant par translation par rapport à z ce qui donne B (M) = B r (r)e r + B z (r)e z. De plus le plan (M, e r, e θ ) est un plan de symétrie de la distribution de courant, donc B r (r)e r = 0 ce qui donne: B (M) = B z (r)e z. Pour montrer que le champ est uniforme à l intérieur et à l extérieur du solénoïde, on applique le théorème d Ampère à une courbe rectangulaire, fermée et orientée. h r 1 r 2 z B. dl = h(b(r 1 ) B(r 2 )) = 0 puisqu il n y a aucun courant enlacé. On en déduit : B(r 1 ) = B(r 2 ). B (M) est uniforme en dehors de la distribution de courant. I-3-b) A l extérieur le dispositif est un solénoïde infini, donc B ext = 0. I-3-c) Pour R 1 r R 2 : on applique le théorème d Ampère à la même courbe que précédemment mais avec r 2 à l extérieur du solénoïde et r 1 = r à l intérieur de la distribution de courant : B. dl = hb(r) = μ o I enl. I enl = j (M). n M ds = j o h(r 2 r) ; ce qui donne B(r) = j o μ o (R 2 r). Pour r R 1 : on applique le théorème d Ampère à la même courbe que précédemment mais avec r 2 à l extérieur du solénoïde et r 1 = r à l intérieur du solénoïde : B. dl = hb(r) = μ o I enl avec I enl = j o h(r 2 R 1 ) ; ce qui donne B(r) = j o μ o (R 2 R 1 ).

2 2 Récapitulatif : R 1 r R 2 : B (r) = j o μ o (R 2 r)e z Pour r R 1 : B (r) = j o μ o (R 2 R 1 )e z B o = j o μ o (R 2 R 1 ) I-4) La puissance d un radiateur électrique ordinaire est d environ 2kW. Le dispositif magnétif dissipe par effet Joule une puissance non négligeable. I-5) Si on réalise l enroulement avec un fil, l enroulement est une hélice. La distribution de courant a une composante sur e z. Pour ce rapprocher le plus du modèle, il faut prendre le fil le plus fin possible. Si d est le diamètre du fil il faut d << R 1. I-6) Lorsque L et R 2 sont du même ordre de grandeur, on a toujours B (M) = B r (r, z)e r + B z (r, z)e z. De plus si M appartient à l axe des z, tout plan contenat Oz étant un plan d antisymétrie, B (M) appartient à l axe Oz et on a B (M) = B(z)e z. On a toujours B(z) = B( z) et le champ est plus intense au centre de la bobine ce qui donne le schéma suivant : Pour pallier à ce défaut il suffit de faire un bobinage plus important sur les bords du solénoïde : I-7) On calcule le flux du champ magnétique à travers un cylindre d axe Oz, de rayon r et de longueur dz. On a vu que B (M) = B r (r, z)e r + B z (r, z)e z. On a : B ds = z=cste B (r, z). ( e z )ds + z+dz=cste B (r, z + dz). (+e z )ds + r=cste B (r, z). (+e r )ds

3 3 B ds = z=cste B z (r, z) ds + z+dz=cste B z (r, z + dz) ds + Or r R 1 donc B z (r, z)~b z (0, z) + r ( B z r ) 0,z ~B z(0, z) = B o r=cste De même B z (r, z + dz)~b z (0, z + dz) + r ( B z r ) 0,z+dz ~B z(0, z + dz) = B o B r (r, z) étant pratiquement indépendant de entre z et z + dz, on a On a donc B ds = 2πrdzB r (r, z) Comme B est un vecteur à flux conservatif, on a : B. n ds = 0. r=cste B r (r, z)ds. B r (r, z)ds~ 2πrdzB r (r, z) On en déduit qu au voisinage de l axe, B r (r, z) = 0 d où au voisinage de l axe : B (M)~B o e z II-Utilisation de supraconducteurs II-1) Dans un réf galiléen, l électron n est soumis qu à la force électrique (le poids de l électron est négligeable devant la force électrique). On applique la loi de la quantité de mouvement : dv = ee II-2) L expression du vecteur densité de courant pour des électrons de vitesse v, de densité dv volumique n et de charge e est j = nev. En se servant de la question II-1) on a = v ee soit = ee v d après l énoncé ce qui donne : m e ( ne) = ee ( ne) soit : j = ne2 E. II-3) L équation de Maxwell-Faraday est : rot (B ) = μ o j ce qui donne en dérivant par rapport au temps : [rot j (B )] = μ o = μ ne 2 o E. On prend le rotationnel de cette expression : rot ( [rot ne (B )]) = μ 2 o rot E ; or d après l équation de Maxwell-Faraday : rot E = B. On obtient : rot ( [rot (B )]) = μ one 2 Les variables d espace et de temps sont des variables indépendantes. On peut écrire : [rot (rot (B )) + μ one 2 II-4) α = 5, m. B ] = 0 avec α = μ o ne 2. II-5) On a rot (rot (B )) + 1 B = 0 ce qui donne gra d (div(b )) B + 1 B = 0. Or α 2 α 2 divb = 0. Le champ magnétique vérifie l équation : B 1 α 2 B = 0. On admet que dans le milieu supraconducteur, B (M) = B(x)e z. L équation projeté sur la direction e z est : B(x) 1 B(x) = 0 soit d2 B(x) 1 α 2 dx 2 α2 B(x) = 0. La solution de cette équation est : B(x) = Aexp ( x α ) + A exp (+ x α ) On suppose que le champ magnétique reste borné donc A = 0. B(x = 0) = B o ce qui donne A = B o. On a dans le milieu supraconducteur : B (x) = B o exp ( x α ) e z. L effet Meissner est B.

4 4 bien expliqué. Il n y a quasiment aucun champ dans le milieu supraconducteur, α étant de l ordre de 0,01 µm. II-6) D après l équation de Maxwell-Ampère : rot B = μ o j ce qui donne rot B = B(x) x e y = B o α exp ( x α ) e y = μ o j soit : j = B o αμ o exp ( x α ) e y. III-Moments magnétiques III-1) L énergie d interaction d un dipôle magnétique dans un champ uniforme est : U = μ. B o = μ z B o Application numérique : 2, J < U < 2, J III-2) L expression du couple exercé par le champ magnétique B o sur le dipôle magnétique μ est = μ B o III-3) On applique le théorème du moment cinétique au proton : ds =, ce qui donne ds = = μ B o 1 γ Si on projette sur la direction e z on trouve : dμ z dμ = μ B o dμ = γμ B oe z. = 0 ; la composante μ z est une constante. Si on projette dans le plan xoy, on a : dμ x = γb oμ y (1) et dμ y = γb oμ x (2). On pose Z = μ x + iμ y. Z(t) vérifie l équation différentielle, obtenue en sommant (1) + i(2) : dz(t) = iγb o Z(t) soit Z(t) = Z o exp ( iγb o t) ; comme les axes x et y sont arbitraires, on choisit x tel que μ x (t = 0) = μ ox et μ y (t = 0) = 0 ce qui donne Z(t) = μ ox exp ( iγb o t). On en déduit : μ x (t) = μ ox sin (γb o t) et μ y (t) = μ ox cos(γb o t) Récapitulatif : μ x (t) = μ ox sin (γb o t) μ y (t) = μ ox cos(γb o t) μ z = μ oz On a bien un mouvement de précession de vitesse angulaire ω o = γb o e z Pour B o = 1,5 Ton a ω o = 3, rd. s 1 III-4) Un proton dans un champ magnétique B o subit la force de Lorentz : F = e(v B o ). dv On applique la loi de la quantité de mouvement : m p = F = e(v B o ). Comme la vitesse est initialement perpendiculaire au champ magnétique, on en déduit que v z = 0 et que le mouvement est plan. Dans la question précédente, on avait l équation : dμ = γμ B oe z et une vitesse angulaire ω o = γb o e z. Dans cette question on a dv = e m p v B o, ; on peut en déduire tout de suite que la vitesse angulaire est ω c = eb o m p e z.

5 5 Pour B o = 1,5 Ton a ω c = 1, rd. s 1. Les deux vitesses angulaires sont du même ordre de grandeur. IV-Résonance magnétique IV-1) On a vu à la question III-3 que le mouvement du moment magnétique dans un champ magnétique extérieur s exprimait : dμ = γμ B. Comme l aimantation est proportionnelle au moment magnétique, on en déduit que le vecteur M vérifie : dm = γm B. Or B = B o + B 1 (t), ce qui donne dm = γm (B o + B 1 (t)) D où l équation demandée : dm = (ω o + ω 1 (t)) M avec ω o = γb o et ω 1 (t) = γb 1 (t) IV-2-a) Le référentiel R est en rotation par rapport au référentiel R avec une vitesse angulaire ω. On en déduit : ( de x ) R = ω e x. IV-2-b) On a M (t) = M x e x + M y e y + M z e z. ) = dm x R ) = dm x R Ce qui donne : e x + dm y e x + dm y e y + dm z e z. e y + dm z e z + M x ( de x ) + M y ( de y ) + M R z ( de z ) R R ) R = (dm ) R + M x( ω e x ) + M y ( ω e x ) + M z ( ω e x ) = ) R ω M. On a vu que ) R = (ω o + ω 1 (t)) M. Donc : ) R = (ω o + ω 1 (t) ω ) M. IV-3) Dans R le mouvement de l aimantation est donnée par : ) R = (ω o + ω 1 (t) ω ) M. Si ω o ω ω 1 (t), on peut écrire : ) ~(ω o ω ) M. M décrit un mouvement de R précession autour de l axe des z à la vitesse angulaire (ω o ω ). Initialement l aimantation est égale à M o = CB /T avec B = B o + B 1 (t = 0), comme B o B 1 (t = 0), on a au temps t = 0 une faible composante de l aimantation dans le plan xoy par rapport à la composante suivant Oz. Dans le mouvement de précession, la composante suivant Oz reste constante ainsi que la norme de la composante dans le plan xoy. On peut donc supposer que les composantes de l aimantation perpendiculaires à Oz sont petites pour tout t > 0 sauf si ω est très proche de ω o. IV-4) A la résonance, ω = ω o. Le mouvement de M est défini par ) R = ω 1 (t) M avec ω 1 (t) = γb 1 (t). Dans le référentiel R, B 1 (t) = B 1 u x et ω 1 (t) = γb 1 u x. On a un

6 6 mouvement de précession de M, mais par rapport à l axe OX dans R. La composante M z étant bien plus importante que les autres composantes, on a pour M un mouvement de rotation de l aimantation autour de l axe OX. Dans le référentiel R, le mouvement de M est la composée d un mouvement de rotation rapide autour de Oz à la vitesse angulaire ω o et d un mouvement de rotation plus lent autour de OX à la vitesse angulaire ω 1. IV-5) La vitesse angulaire dans R est ω 1. τ vaut un quart de période soit τ = Comme γ = μ S = μ4π h on a τ = h 8μB 1 = 2, s. Pour t > τ dans le référentiel R, π = π. 2ω 1 2γB 1 ) R = 0. L aimantation est un vecteur constant dans R. M tournant dans le sens antitrigonométrique, après un quart de tour M est suivant u Y. IV-6) D après les équations données, on en déduit : M X (t) = M Xo exp ( t T 2 )~0 ; M Y (t) = M Yo exp ( t T 2 ) ; M Z (t) = (M Zo M o ) exp ( t ) + M T o 1 Ce qui donne compte-tenu des résultats précédents les allures de graphes suivant :.

7 7