maths Cours de mathématiques Seconde F.Lagrave - Lycée Beaussier

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1 maths Seconde Cours de mathématiques F.Lagrave - Lycée Beaussier

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3 cours de mathématiques cours avec exercices

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5 T A B L E D E S M A T I È R E S 1 Généralités sur les fonctions Notion de fonction Généralisation : notion de fonction Ensemble de définition. Valeurs interdites Représentation graphique Au fil du temps QCM «bilan» Exercices et problèmes Exercices du livre Déclic 2 de Géométrie plane repérée Repère et coordonnées Exercices et problèmes Exercices du livre Déclic 2 de Équations et inéquations - épisode Équations du premier degré Équations-produits Inéquations du premier degré Géométrie vectorielle Translation Vecteurs du plan Vecteurs colinéaires Exercices et problèmes Fonctions affines et linéaires Définition et représentation graphique Sens de variation Signe de ax + b Équations de droites Méthode Paramètres d une série statistique Définitions et vocabulaire des statistiques Caractéristiques de position Caractéristiques de dispersion Représentation graphique d une série statistique Équations et inéquations - épisode Équations Inéquations Droites et Systèmes Droites dans un repère

6 2nde. Cours Système de deux équations à deux inconnues Probabilités Vocabulaire Probabilité Calculs de probabilités Étude qualitative de fonctions Variations d une fonction Extremums Quelques cas particuliers Fluctuation d échantillonnage Échantillonnage Intervalle de fluctuation Applications Fonctions usuelles La fonction carré La fonction inverse

7 1 C H A P I T R E Généralités sur les fonctions Johann Carl Friedrich Gauss (30 avril février 1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Doté d un grand génie, il a apporté de très importantes contributions à ces trois sciences. Surnommé «le prince des mathématiciens», il est considéré comme l un des plus grands mathématiciens de tous les temps. La qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l image de Gauss et l inscription Mathematicorum Principi («prince des mathématiciens» en latin). Gauss n ayant publié qu une partie infime de ses découvertes, la postérité découvrit la profondeur et l étendue de son œuvre uniquement lorsque son journal intime, publié en 1898, fut découvert et exploité. Considéré par beaucoup comme distant et austère, Gauss ne travailla jamais comme professeur de mathématiques, détestait enseigner et collabora rarement avec d autres mathématiciens. Malgré cela, plusieurs de ses étudiants devinrent de grands mathématiciens, notamment Richard Dedekind et Bernhard Riemann. Gauss était profondément pieux et conservateur. Il soutint la monarchie et s opposa à Napoléon qu il vit comme un semeur de révolution. (Source : Wikipédia)

8 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 1 Notion de fonction Exemple. Un banquier propose un livret d épargne qui rapporte 3% d intérêts par an. À la fin de l année chaque titulaire d un tel livret reçoit en plus des intérêts la somme de Calculer la somme disponible après un an si on place 100 en début d année. 2. Même question pour un placement de Le banquier a 150 clients possédant un tel livret. S il note x le montant placé en début d année par un client, exprimer le montant S(x) disponible après un an. Réponses : 1. La somme disponible après un an est : S = = La somme disponible après un an est : S = = 267, La somme disponible est : S(x) = x + 3 x + 10 = 1,03x La somme disponible après un an S(x) dépend de la valeur de x on dit que S est une fonction de x. Remarque. Dans un tableur, le banquier peut compléter une feuille de calculs comme ceci : Dans la cellule B3 on a écrit A3+0,03*A3+10 ; puis on a recopié cette formule vers le bas. Exemple. On a tracé ci-dessous un rectangle ABCD tel que AD = 3 cm et AB = 5 cm. M est un point du segment [BC]. N est le point de [BA] tel que BN = BM. D C M A N B 1. Calculer l aire délimitée par le pentagone ANMCD lorsque BM = 1 cm. 8

9 2. Même question lorsque BM = 2 cm. 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 3. On pose maintenant BM = x. Exprimer l aire A (x) de ANMCD en fonction de x. Réponses : 1. L aire de ANMCD est égale à l aire de ABCD moins l aire de BMN. Donc : A = = 14,5 cm 2 2. De même : A = = 13 cm 2 3. Si BM = x, l aire de BNM vaut x x 2. Donc : A (x) = 5 3 x x 2 = x2 L aire A (x) dépend de la valeur de x on dit que A est une fonction de x. Exemple. Sur la figure ci-dessous, on a tracé une courbe dans un repère. C A C J I x y M M B On note A, B et C les points de la courbe d abscisses respectives 2, 3 et 9 2. Lire l ordonnée de chacun des points A, B et C. On a : y A = 3, y B = 1 et y C = 2. De même, pour tout point M d abscisse x de la courbe, on peut lire son ordonnée y M. L ordonnée de M dépend de x. On dit que c est une fonction de x. 9

10 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 2 Généralisation : notion de fonction 2 1 Définition Définition 1 : Si à chaque valeur de x d un ensemble D on associe un autre nombre noté f(x) déterminé par une relation algébrique, géométrique,... on dit qu on définit une fonction numérique f. On dit que f est la fonction définie par f(x) =.... On note : f : x f(x) Quelques points de vocabulaire : pour chaque x de D, le nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f. L image d un nombre x est unique ; le nombre x est appelé un antécédent de f(x) par la fonction f. 2 2 Exemples Exemple. La fonction f est définie pour tous les x compris entre 5 et 7 par f(x) = x 2 2x 1. Cela signifie que si on se donne une valeur de x comprise entre 5 et 7, on peut calculer son image par la fonction f grâce à l expression donnée : on a : f( 3) = ( 3) 2 2 ( 3) 1 = = 14 ; on peut dire aussi que l image par f de 0 est 1 (car f(0) = = 1) ; on dit aussi 5 est un antécédent de 14 car f(5) = = 14. Attention! Soit f une fonction numérique définie sur un ensemble D : pour chaque x D, il n existe qu une seule image de x par f ; par contre un nombre y peut avoir plusieurs antécédents par la fonction f. Exemple. Soit f la fonction définie pour tous les nombres x par f(x) = (x + 1) Pour tout nombre x, il existe une seule image de x par f : c est le nombre qu on obtient en calculant (x + 1) Par contre on a : d une part f(2) = (2 + 1) = = 11 ; d autre part f( 4) = ( 4 + 1) = ( 3) = = 11 Ainsi 2 et 4 sont deux antécédents de 11. On peut remarquer aussi que certains nombres n ont pas d antécédent. En reprenant la fonction f, le nombre 0 n a pas d antécédent. En effet, (x + 1) 2 est toujours positif ou nul donc (x + 1) est toujours supérieur ou égal à 2 : il ne peut pas valoir Algorithmes Exemple. On souhaite écrire un algorithme décrivant la façon de calculer l image d un nombre par la fonction f : x 2x 7. Exemple. On souhaite déterminer si un nombre x est un antécédent d un nombre y par la fonction f définie par f(x) = 2x

11 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions 1 Entrées : 2 Saisir x; 3 début 4 Calculer le double de x; 5 Retirer 7; 6 Afficher le résultat; 7 fin Algorithme 1: Calcul d une image 1 Entrées : 2 Demander le nombre x; 3 Demander le nombre y; 4 début 5 Calculer le carré de x; 6 Multiplier par 2; 7 Retirer 5; 8 Nommer z ce dernier résultat; 9 si y = z alors 10 Afficher «Oui x est un antécédent de y» ; 11 fin 12 sinon 13 Afficher «Non x n est pas un antécédent de y» ; 14 fin 15 fin Algorithme 2: x est un antécédent de y? 3 Ensemble de définition. Valeurs interdites On a vu dans l exemple que la fonction f était définie pour tous les x compris entre 5 et 7. Cette expression «tous les x compris entre 5 et 7» est longue à écrire, aussi, les mathématiciens ont inventé une notation permettant de simplifier son écriture : tous les x compris entre 5 et 7 s écrit [ 5 ; 7] on parle de l intervalle fermé de bornes 5 et 7 ou plus simplement de l intervalle fermé 5, 7. De même, l ensemble de tous les nombres compris entre 0 et 1 s écrit [0 ; 1]. Attention : 0 et 1 appartiennent à l intervalle [0 ; 1] ; si on souhaite écrire l ensemble de tous les nombres strictement positifs et strictement inférieurs à 1, on écrit ]0 ; 1[ (crochets vers l extérieur). On dit que cet intervalle est ouvert. On peut aussi définir des intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés) comme par exemple [0 ; 1[ qui contient tous les nombres positifs ou nuls strictement inférieurs à 1. Voir la notion d intervalle ici : Ex 7 Le plus grand ensemble de nombres que nous utiliserons en classe de seconde est appelé ensemble des réels ; on le note R. Cet ensemble peut être partagé : on note R + l ensemble de tous les réels positifs (ou nuls) ; on note R l ensemble de tous les réels négatifs (ou nuls) ; on note R l ensemble de tous les réels non nuls (tous les réels sauf 0) ; on note R + l ensemble de tous les réels strictement positifs ; on note R l ensemble de tous les réels strictement négatifs. Enfin, en utilisant le symbole qui signifie infini 1, on peut donc écrire : R + = [0 ; + [; R = ] ; 0]; R + = ]0 ; + [; R = ] ; 0[; 1. Ce symbole a été inventé par Wallis mathématicien anglais du xvii e siècle. 11

12 Définition 2 : Ensemble de définition 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions Soit f une fonction numérique. L ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x) est appelé ensemble de définition de la fonction f. On le note généralement D f. Les valeurs pour lesquelles on ne peut pas calculer f(x) sont appelées valeurs interdites de la fonction f. à retenir! Soit f la fonction définie par f(x) = x+3 x 3. On ne peut calculer f(x) si x 3 = 0 : la division par 0 n existe pas. Ainsi x = 3 est une valeur interdite et l ensemble de définition de la fonction f est : D f =] ; 3[ ]3 ; + [= R \ {3}. Soit g la fonction définie par g(x) = x + 2. On ne peut pas calculer la racine carrée d un nombre strictement négatif. Donc pour pouvoir calculer g(x) il faut que x + 2 0, c est à dire que x 2. Donc l ensemble de définition de g est D g = [ 2 ; + [. Soit h la fonction définie par h(x) = 2x 2 3x + 1. Quelque soit la valeur de x on peut calculer 2x 2 3x + 1. Donc l ensemble de définition de h est D h = R. Remarque. Parfois, l énoncé restreint l ensemble de définition d une fonction. Dans l exemple 1.2.2, la fonction f n était définie, d après l énoncé, que sur [ 5 ; 7] : c est son ensemble de définition. Pourtant sans cette précision dans l énoncé, on aurait pu calculer f(x) pour n importe quelle valeur réelle de x. 4 Représentation graphique Dans cette partie, nous utiliserons un repère orthogonal du plan. Vous en avez déjà entendu parler depuis la cinquième 2, nous reviendrons un peu plus en détail sur le repérage au cours du chapitre 2 : géométrie plane repérée. On a vu dans l exemple 1.1 qu on peut définir une fonction à partir d un graphique : à chaque abscisse x, on associe le nombre f(x) qui est l ordonnée du point d abscisse x de la courbe. Réciproquement, si on a une fonction f définie sur D f, à chaque nombre x D f on associe un deuxième nombre f(x). Ainsi, chaque couple (x; f(x)) forme les coordonnées d un point M dans un repère. L ensemble de tous les points M lorsque x varie dans D f est appelé représentation graphique de la fonction f dans le repère. On la note généralement C f. C f J I x f (x) M 2. Du moins, je l espère! 12

13 5 Au fil du temps 2nde. Cours - Généralités sur les fonctions Le concept de fonction a mis des siècles à s établir en mathématiques. La notion intuitive comme relation entre deux objets est assez ancienne, mais il faut attendre le XV II e siècle pour qu elle soit formalisée. C est le français Pierre de Fermat ( ) qui met en place la notion fondamentale d équation d une courbe, associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s intéresse aux extrema de fonctions. Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, qu il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut trouvée qu en En 1673, l allemand Gottfried von Leibniz ( ), à la fois philosophe et mathématicien, utilise pour la première fois le mot «fonction» et introduit le vocabulaire. Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir découvert conjointement avec Newton le calcul infinitésimal, c est-à-dire dans l infiniment petit. En 1698, le suisse Jean Bernoulli ( ) reprit le terme et en donne une première définition. Il proposa alors la notation f(x). Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités. Euler, mathématicien formé par Bernoulli, adopte cette notation en 1734 et définit en 1748 une fonction d une variable comme combinaison d opérations à partir de cette variable et de nombres constants. Euler travailla essentiellement sur le calcul infinitésimal lui aussi et sur la théorie des graphes (utiliser pour les GPS) En fait, le lien entre l expression d une fonction et sa courbe représentative en permet une étude plus approfondie. Le concept de fonction et l étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique. Compte tenu du nombre incroyable d applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, l étude des fonctions est un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. 13

14 6 QCM «bilan» 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions Pour chacune des questions posées ci-après, il peut y avoir une ou plusieurs bonnes réponses. Questions 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 5x 1. Alors : Réponses 1 est un antécédent de 6 par f f( 1) = 6 6 est un antécédent de 1 par f 2. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x Alors : l image de 2 par f est 9 3. Soit f la fonction définie par f(x) = x x 2 +x 2. Quels sont les points qui appartiennent à C f courbe représentative de f? 4. M(4; 1) est un point de la courbe représentative C f d une fonction f. Alors : 5. L ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs à 4 mais supérieurs ou égaux à 5 est noté : 0 a deux antécédents par f l équation f(x) = 4 a deux solutions f(4) = 31 A(0; 1 2 ) B( 1; 1 2 ) C(2; 1 2 ) D(0; 0) f( 1) = 4 4 est un antécédent de 1 par f f(4) = 1 N( 1; 4) appartient aussi à C f ]4 ; 5] [ 5 ; 4[ ] 5 ; 4[ 6. Si x appartient à l intervalle ] 2 ; 3], alors : x = 0 7. Soit g la fonction définie par g(x) = 2x 3. Alors : Soit h la fonction définie par h(x) = x+3 x 2. Alors : 9. Au cours d une journée, on mesure la température à chaque heure «pile». On note T la fonction qui, à une heure «pile» associe la température correspondante. x peut être nul x peut être égal à 2 x peut être égal à 3 est une valeur interdite pour g D g = [ 3 2 ; + [ g( 3 2 ) = 0 x = 3 est valeur interdite pour h x = 2 est valeur interdite pour h h(5) = 2,67 T est définie sur [0 ; 24] T est déf. pour x entier entre 0 et 23 T n est pas une fonction 14

15 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 7 Exercices et problèmes 1 On considère un triangle équilatéral ABC et H le pied de la hauteur issue de A. 1. Calculer AH lorsque AB = 3. Même question avec AB = On pose maintenant x la longueur du côté [AB]. Exprimer en fonction de x la longueur AH. 3. Remplacer dans l expression trouvée à la question précédente x par 3 puis par 2 et calculer. 2 On considère P RC un triangle vérifiant P R = 5, RC = 4 et P RC = 30. On note O le milieu de [P R]. A est un point du segment [RC] et B est le point de [P C] tel que (AB) est parallèle à (RO). On note H l intersection entre (RP ) et la perpendiculaire à (RP ) passant par A. Si vous êtes en salle informatique (ou chez vous), vous pouvez faire la construction avec le logiciel GeoGebra 3 1. Dans cette question, on se place dans le cas où AR = 3 2. (a) Faire une figure. (b) Calculer AB puis AH. En déduire l aire du trapèze RABO. 2. Dans cette question on pose x = RA (qui n est plus nécessairement égal à 3 2!). (a) Exprimer AB puis AH en fonction de x. (b) En déduire l expression A (x) de l aire de RABO en fonction de x. 3. À quelle condition le trapèze RABO est-il un parallélogramme? Justifier. 4. À quelle condition les points H et O sont-ils confondus? Justifier. 3 Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 2 x Calculer les images de 3, de 5, de 2 et de Déterminer tous les antécédents de 1. 4 Reprendre les questions de l exercice précédent pour la fonction f : x x On donne f : x x + 3 2x 10 et g : x x + 2. Rappel Parfois, pour certaines valeurs de x, il n est pas possible de calculer l image de x par une fonction f. Dans ce cas on dit que ces valeurs de x sont des valeurs interdites pour la fonction. L ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x) est appelé l ensemble de définition de la fonction. On le note généralement D f. 1. Peut-on calculer l image de 3 par f? et par g? Expliquer. 2. Même question pour l image de 5 par f puis par g. 3. Résoudre l équation 2x 10 = 0. En déduire toutes les valeurs interdites de f, puis l ensemble de définition de f. 4. Résoudre l inéquation x En déduire l ensemble de définition de g. À savoir Pour déterminer l ensemble de définition d une fonction f, on regarde s il y a un quotient dans l expression de f(x) : les valeurs de x solutions de l équation «dénominateur = 0» sont alors des valeurs interdites pour f. on regarde s il y a des racines carrées dans l expression de f(x). L ensemble de définition de f est alors contenu dans l ensemble des solutions de l inéquation «expression sous la racine 0». l ensemble de définition peut aussi être restreint par des contraintes de l énoncé : si f(x) est la longueur d un segment, il faut que f(x) soit positif ou nul GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique téléchargeable gratuitement à l adresse 15

16 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 6 Résoudre l inéquation 3x + 2 5x 3 et représenter la solution sur un axe gradué. 7 Compléter le tableau ci-dessous : Notation de l intervalle Inégalité vérifiée par les éléments x de l intervalle Représentation graphique [a ; b] a x b [a ; b[ a < x < b a b [a; + [ a x ]a; + [ a x < a 8 Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : f : x 3x 2 5x + 2; g : x 3x + 2 2x 3 ; h : x 2x 5 (x 3)(2x + 5) ; m : x x n : x 3x + 2; p : s : x 2x + 1 x 2 4 ; q : x 2 4x 2 12x On donne ci-dessous l algorithme 3 qui calcule l image d un nombre par une fonction f. Déterminer cette fonction. 1 Entrées : Saisir x; 2 début 3 Calculer le double de x; 4 Retirer 7; 5 Élever le résultat au carré; 6 Ajouter 1; 7 fin 8 Résultat : Afficher «l image de x est» le résultat du dernier calcul; Algorithme 3: Calcul d une image 16

17 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 10 On donne ci-après l algorithme 4. 1 Entrées : Saisir x; 2 début 3 si x 0 alors 4 si x 1 alors 5 Calculer 1 x 1 ; 6 sinon 7 Calculer x 2 + 1; 8 Prendre l inverse du résultat précédent; 9 fin 10 sinon 11 Calculer 2x + 1; 12 Calculer l opposé du carré du résultat précédent; 13 fin 14 fin 15 Résultat : Afficher le résultat du dernier calcul; Algorithme 4: Par morceaux Appliquer cet algorithme aux nombres suivants : x = 3, x = 1, x = 0, x = 1 puis x = Compléter les phrases suivantes : si x ] ; 0[ alors f(x) = si x = 1 alors f(x) = si x 0 avec x 1 alors f(x) = 11 Pour chacune des figures ci-dessous, indiquer si la courbe tracée peut être la courbe représentative d une fonction (voir le rappel de la page suivante. Si c est le cas, donner l ensemble de définition de la fonction et les images des bornes de l ensemble de définition. J J J O I O I O I Figure 1 Figure 2 Figure 3 J J J O I O I O I Figure 4 Figure 5 Figure 6 17

18 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions Exemple : sur la figure 1, la courbe est la représentation graphique d une fonction f définie sur [ 2 ; 3]. Et graphiquement, on lit : f( 2) = 1 et f(3) = 3. Rappel Soit f une fonction. Pour chaque valeur x de l ensemble de définition, on peut calculer f(x). Si on appelle y le nombre f(x), on obtient alors un couple (x; y) qui peut être les coordonnées d un point M dans un repère. L ensemble des points M qui ont des coordonnées du type (x; y) où x D f et y = f(x) est appelé courbe représentative de la fonction f dans le repère. 12 Sur le graphique ci-contre, on a tracé la représentation graphique d une fonction f. Répondre aux questions ci-dessous en utilisant le graphique. 1. Déterminer D f. 2. Déterminer l image de 1 et de Résoudre f(x) = Déterminer f(0). 5. Déterminer la valeur minimale de f(x). Pour quelle valeur de x ce minimum est-il atteint? J O I 13 On considère la fonction f définie par : f : x x 2 6x + 2. La fonction g est définie par la représentation graphique ci-dessous : J y C g I x -1-2 Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; citer la réponse exacte. 1. L image de 1 par la fonction f est : a. 1 b. 0 c. 1 d L ensemble des antécédents de 7 par f est : { } { } a. 3 b. 2 c. 3. L ensemble de définition de la fonction g est : [ [ [ ] a. 1 ; 3 b. 1 ; 3 c. { 2 ; 3 } [ 4 ; 7 ] 4. L image de 0 par la fonction g vaut : a. 1 b. 1 c. 7 d. 0 d. d. { 1 ; 2 } ] 4 ; 7 ] 5. Quel point appartient à C g? a. ( 3 ; 1) b. ( 2 ; 0,5) c. ( 4 ; 1) d. (6 ; 2) 6. Quelle est la valeur maximale atteinte par g? a. 3 b. 4 c. 7 d

19 14 Soit la fonction f définie qui R tout réel x associe le réel f(x) = x 2 6 x 1. Calculer f( 2). 2. Calculer l image de 3. 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions quand il existe. 3. Pourquoi l image de 0 par f n existe-t-elle pas? En déduire l ensemble de définition de f. 15 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x 2 2x La fonction f admet-elle des valeurs interdites? En déduire sont ensemble de définition D f. 2. Déterminer l image par f des réels 0 ; 3 2 et Déterminer les éventuels antécédents de 3 par f. 4. Montrer que pour tout x R on a f(x) = (x 1) En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de 2 et de 4 par f. 16 On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on élève le résultat au carré, on retranche 16 et on divise le tout par le nombre de départ. Quelle est la fonction blop décrite par cet algorithme? Quelle est l image de 4? Que vaut blop(0)? 17 Soit la fonction g qui à tout réel x associe le réel g(x) = 2x 2 3 Décrire l algorithme correspondant à la fonction g. Déterminer l image de 3, puis celle de 1 par la fonction g. Déterminer les antécédents éventuels de 7, de 3 et de 4 par la fonction g. 18 Décrire la fonction associée à l algorithme cicontre : 1 VARIABLES 2 x EST_DU_TYPE NOMBRE 3 y EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 LIRE x 6 y PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5 7 AFFICHER y 8 FIN_ALGORITHME 19 Écrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n importe quel nombre réel y par la fonction f définie sur R par f(x) = 3x

20 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 20 On considère les trois fonctions f, g et h définissant l image du nombre x de la manière suivante : f(x) = 3x 2 ; g(x) = x 2 ; h(x) = 2 3x 1 x 1, Remplissez le tableau de valeurs ci-contre : 2. (a) Résoudre les trois équations suivantes : (E) : 3x 2 = 1 ; (F ) : x 2 2 = 2 ; (G) : 2 3x 1 = 1 f(x) g(x) h(x) (b) En vous servant de la question précédente, déterminer les ensembles ci-dessous : L ensemble des antécédents de 1 2 pour la fonction f ; L ensemble des antécédents de 2 pour la fonction g ; L ensemble des antécédents de 1 pour la fonction h. 3. (a) Quelle est l équation vérifiée par un nombre x qui a pour image lui même par la fonction f? Trouver ce nombre x. (b) Répondre à la même question avec la fonction g? 21 Dans le repère orthonormé (O, I, J) représenté ci-dessous, on considère la courbe représentative C de la fonction f : 1. Placer le point A( 2 ; 1). 2. On considère les points suivantes du plan : B( 2 ; 3) C(1 ; 1) D( 1,5 ; 5) E(0,25 ; 0,5) C y 5 4 (a) Placer ces points sur le repère. (b) Parmi ces points, lesquels appartiennent, de manière certaine, à la courbe C J 3. Placer le point F appartenant à la courbe C et ayant 1 pour abscisse. Donner ses coordonnées. 4. Combien de points de la courbe C ont pour ordonnée la valeur 1? Donner leurs coordonnées. I O x 20

21 2nde. exercices - Généralités sur les fonctions 22 Définition du petit Larousse : Un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiple) est un questionnaire proposant, pour chaque question posée, plusieurs réponses entre lesquelles il s agit de choisir la bonne. Pour chaque question, cocher la case associée à la réponse correcte : 1. Soit f une fonction vérifiant f(4) = 2, on dit : un antécédent de 4 est 2 2 est une solution de l équation f(x) = 2 4 a pour image 2 par la fonction f la courbe passe par le point de coordonnées (2 ; 4) 2. La courbe représentative de la fonction g passe par le point ( 1 ; 2), alors : l équation g(x) = 1, admet 2 comme solution. 1 est un antécédent de 2 par g. 2 a pour image 1 par g. 2 n a pas d image. 3. Soit h une fonction. L équation h(x) = 1 admet comme solutions 3, 1 5 et 2 alors : 3 est l unique antécédent du nombre 1 par la fonction h. l image du nombre 1 vaut 2. la courbe représentative passe par le point de coordonnées ( 2 ; 1 ). la fonction h vérifie h(3) = Soit j une fonction tel que le nombre 3 ait pour image 5 : j vérifie j( 5) = 3. 3 est un antécédent du nombre 5 par la fonction j. la courbe de j passe par le point de coordonnée ( 5 ; 3). l équation j(x) = 5 n admet aucune solution. 23 Dans le repère (O, I, J) ci-dessous est représentée la courbe représentative de la fonction f 3 2 J C f O I C f Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. Déterminer les images des nombres 1, 0, 2 par la fonction f : 3. Déterminer l ensemble des antécédents de 2 et 2 par cette fonction Donner, sous forme d intervalle, l ensemble des abscisses des points de C f possédant une ordonnée supérieure ou égale à 1,5. 21

22 Exercices du livre Déclic 2 de Lire un graphique 1 Exercices 1 et 2 page 14 ; QCM page 27 et exercices 38 à 41 page 31 Savoir faire 5 Lire «Savoir faire» et «Points méthode» pages 17 et 19 Notion d intervalle 2 Exercices 17 à 19 et 23 page 28 Notion de fonction 3 Exercices 27 à 30 page 29 Courbe représentative 4 Exercices 38 à 41 page 31 22

23 2 C H A P I T R E Géométrie plane repérée

24 2nde. Cours - Géométrie plane repérée Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l axe vertical des latitudes et l axe horizontal des longitudes. La position d un bateau par exemple est définie par ses coordonnées sur la cartes, c est-à -dire la longitude et la latitude. Lorsque l on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l aide des axes verticaux et horizontaux du plan. Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan. 1 Repère et coordonnées Définition 1 : Définir un repère du plan, c est choisir 3 points non alignés, dans un ordre précis : O, I, J. On note ce repère (O,I,J), et : le point O est l origine du repère ; la droite (OI) est l axe des abscisses et le point I donne l unité de cet axe ; la droite (OJ) est l axe des ordonnées et le point J donne l unité de cet axe. Remarques. J O I J O I J O I Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé L axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n est pas une obligation Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O,I,J) est dit orthogonal. Les axes du repères sont perpendiculaires. Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O, le repère (O; I; J) est dit orthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires et ont la même unité. Définition 2 : On considère un repère (O,I,J) du plan et un point M quelconque. En traçant la parallèle à (OJ) passant par M, on obtient sur l axe (OI) l abscisse x M du point M. En traçant la parallèle à (OI) passant par M, on obtient sur l axe (OJ) l ordonnée y M de M. Le couple de réels (x M ; y M ) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O,I,J). Exemple. M J O I Le point M a pour coordonnées (... ;... ) et le point A a pour coordonnées (... ;... ) A 24

25 1 1 Distance dans un repère orthonormé. 2nde. Cours - Géométrie plane repérée Exemple. 1. Calculer les distance AB, AC et BC en prenant comme unité le côté d un carreau du quadrillage. C 2. On choisit un repère orthonormé (A,I,J) d origine A tel que B(4 ; 2). (a) Placer le repère (A,I,J) sur la figure. (b) Comparer AB et x 2 B + y2 B. (c) Vérifier que l on a une relation analogue avec le point C. 3. Conjecturer une relation entre la distance BC et les coordonnées des points B et C. A B Propriété 1 : On considère un repère orthonormé (O,I,J) du plan et les points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). La distance entre les points A et B est : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 l unité de longueur étant celle commune aux deux axes. Preuve. On suppose que x B > x A et y B > y A. Les autres cas se traitent de même. On note C le point tel que x C = x B et y C = y A. Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d après le théorème de Pythagore : AB 2 = AC 2 + BC 2, ie : AB 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Comme AB est positif on a AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Attention! cette formule n est valable que si le repère est orthonormé! Exemple. A( 2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3) y B A J O I C x AB = (2,5 ( 2)) 2 + (3 0,5) 2 = 4, ,5 2 = 26,5 5,1 25

26 1 2 Milieu d un segment 2nde. Cours - Géométrie plane repérée Au vidéo-projecteur, sur GeoGebra, créer 4 curseurs a, b, c et d prenant des valeurs entières comprises entre 5 et 5. Créer les points A(a ; b), B(c ; d) puis le milieu du segment [AB]. 1. En utilisant les curseurs et en observant les coordonnées des points A, B et C dans la fenêtre «algèbre», compléter le tableau de valeurs suivant : A (4 ; 2) ( 3 ; 1) (0 ; 5) (1 ; 3) (3 ; 0) ( 5 ; 4) (2 ; 2) (1 ; 1) B (2 ; 0) ( 5 ; 1) (1 ; 3) (3 ; 1) ( 4 ; 2) (0 ; 0) ( 2 ; 2) ( 3 ; 5) C 2. Conjecturer des relations entre les coordonnées du milieu du segment et celles de ses extrémités. 3. Définition 3 : Si x et y sont deux nombres réels, la moyenne arithmétique de x et y est le réel x + y. 2 Énoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres. Propriété 2 : On considère dans le plan muni d un repère (O,I,J) les ( points A(x A ; y A ) et ) B(x B ; y B ). xa + x B y A + y B Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ; 2 2 Preuve. On se place dans un repère orthonormé du plan. 1 er cas : x A = x B ou y A = y B. Prenons par exemple y A = y B avec x B > x A. M est le milieu de [AB] donc M [AB] et MA = MB. On a donc clairement y M = y A (= y B ) et donc MA = x M x A et MB = x B x M. En résolvant MA = MB on obtient 2x M = x A + x B d où le résultat. y A = y B J O I A x A M B x B 2 e cas : x A x B et y A y B. Soit C le point du plan de coordonnées (x B ; y A ). Le repère étant orthonormé, le triangle ABC est rectangle en C. On note respectivement P et Q les milieux de [AC] et ( [CB]. En appli- xa + x B quant le 1 er cas on obtient P ( ) y B + y A Q x B ;. 2 ) ; y A et 2 En utilisant deux fois la propriété de la droite des milieux, on obtient que (MP ) est parallèle à (BC) et que (MQ) est parallèle à (AC) et donc les coordonnées de M sont (x P ; y Q ). y B y A J O I A x A M P B Q C x B 26

27 Exemples. 2nde. Cours - Géométrie plane repérée A( 1,5 ; 1,5) et B(3 ; 1,5) y A( 2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3) y B A M B M J A J C O I x O I x M(0,75 ; 1,5) M(0,25 ; 1,75) 1 3 Quelques algorithmes... Exemple. L algorithme 5 permet de déterminer si un point M est sur la médiatrice d un segment [AB] lorsqu on connaît les coordonnées de ces trois points dans un repère orthonormé. 1 Entrées : Demander les coordonnées (x A ; y A ) de A; 2 Demander les coordonnées (x B ; y B ) de B; 3 Demander les coordonnées (x ; y) de M; 4 début 5 Calculer c 1 = (x x A ) 2 + (y y A ) 2 ; 6 Calculer c 2 = (x x B ) 2 + (y y B ) 2 ; 7 si c 1 = c 2 alors 8 Afficher «Oui, M appartient à la médiatrice de [AB]» 9 fin 10 sinon 11 Afficher «Non, M n est pas sur la médiatrice de [AB]» 12 fin 13 fin Algorithme 5: Un point appartient-il à la médiatrice d un segment? Exemple. Écrire l algorithme permettant de déterminer la nature d un triangle connaissant les coordonnées des trois sommets dans un repère orthonormé. 27

28 2 Exercices et problèmes 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 2 1 Repérage - Longueurs et orthogonalité 1 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A(3 ; 2) et B( 1 ; 6). Montrer que ABI est un triangle rectangle. Qu en est-il du triangle ABJ? Justifier. 2 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A( 2 ; 2), B(1 ; 1), C( 2 ; 2) et Ω( 1 ; 0) (Ω est une lettre majuscule de l alphabet grec qui se lit «omega»). Montrer que Ω est le centre du cercle circonscrit à ABC. On se place dans un repère orthonormal (O,I,J). 3 Déterminer la nature du triangle ABC dans les cas suivants : 1. A ( 1 ; 2 ), B ( 0 ; ) et C ( 3 ; 2 2 ) ; 2. A (3 ; 4), B ( 3 ; 2) et C ( 3 3 ; ) ; 3. A ( 23 ) ( ) ( ) 1 7 ; 5, B 3 ; 8 et C 3 ; 6. 4 On considère les points A(4 ; 3), B( 1 ; 4) et C(3 ; 2). 1. Calculer les coordonnées de milieu K de [BC]. 2. Calculer KA et KB. 3. Quelle est la nature de ABC? 5 Déterminer la nature du quadrilatère ABCD dans les cas suivants : 1. A ( 1 ; 1), B (2 ; 1), C ( 3 ; ) et D ( 0 ; ) ; 2. A ( 6 ; 1), B (3 ; 5), C (9 ; 4) et D (0 ; 10) ; 3. A (1 ; 2), B ( ; 3 ), C ( ; 1 ) et D ( ; 0 ). 6 On appelle C le cercle de centre Ω( 1 ; 2) et de rayon r = Parmi les points suivants, déterminer ceux qui appartiennent à C : A(4 ; 1), B( 1 ; 4), C(2 ; 1), D(0 ; 5) et E( 2 ; 3). 2. Démontrer que Ω est le milieu de [CD]. 3. Calculer une valeur de l angle ÊCD, arrondie à 0,1 près. 7 On considère les points A( 5 ; 9), B( 6 ; 1), C(6 ; 7) et H( 2 ; 3). 1. Démontrer que AHB et AHC sont rectangles. 2. Que peut-on en déduire pour H? 3. Calculer l aire de ABC. 8 On considère les points A( 5 ; 1), B(11 ; 3), C( 1 ; 5) et D(7 ; 5). 1. Démontrer que ABC et ABD sont rectangles. 2. On appelle E le point d intersection de (BC) et (AD) et F celui de (AC) et (BD). Démontrer que (AB) et (EF ) sont perpendiculaires. 28

29 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 9 On considère les points A(2 ; 1), B(8 ; 2) et C( 4 ; 5). On appelle d 1 la médiatrice de [AB] et d 2 la médiatrice de [AC]. 1. Le point E(7 ; 6) appartient-il à d 1? et le point F (4 ; 4)? 2. Soit M un point de coordonnées (x ; y). On suppose que M d 1. (a) Écrire une égalité vérifiée par x et y. (b) Simplifier cette égalité. 3. Reprendre la question précédente avec M d 2. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABC. 10 Soit ABCD un carré. On appelle E le point tel que ADBE soit un parallélogramme et F le symétrique de A par rapport à C. 1. Faire une figure. 2. On choisit comme unité de longueur le côté du carré et on se place dans le repère (A,B,D). (a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. (b) Démontrer que le triangle EDF est isocèle rectangle. 11 Soit ABCD un carré de côté 5. Soit a un réel de l intervalle [0 ; 5]. On appelle P le point de [AB] tel que AP = a, R le point de [AD] tel que DR = a et Q le point tel que AP QR soit un rectangle. On veut démontrer que les droites (P R) et (CQ) sont perpendiculaires. 1. Faire une figure 2. On se place dans le repère orthonormal d origine A, d axe des abscisses (AB) et d axe des ordonnées (AD). (a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure. (b) Soit S le point tel que CQP S soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de S. (c) Démontrer que P RS est un triangle rectangle. (d) Conclure. 12 Que fait l algorithme ci-dessous? Compléter les pointillés. 1 Variables 2 x A est un réel ; y A est un réel; 3 x B est un réel ; y B est un réel; 4 x C est un réel ; y C est un réel; 5 c est un réel ; h est un réel; 6 début 7 Lire : x A ; Lire : y A ; Lire : x B ; Lire : y B ; 8 Lire : x C ; Lire : y C ; 9 c (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (x C x A ) 2 + (y C y A ) 2 ; 10 h (x C x B ) 2 + (y C y B ) 2 ; 11 si h = c alors 12 Afficher : ; 13 sinon 14 Afficher : ; 15 fin 16 fin Algorithme 6: Dans un repère orthonormé 13 Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et vérifie si, dans un repère orthonormal, le triangle formé est isocèle. 29

30 2 2 Repérage - Coordonnées et milieux 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 14 Dans un repère, on donne A(2 ; 4), B( 4 ; 5) et I( 1 ; 1 2 ). Montrer que A est le symétrique de B par rapport à I. 15 On considère la figure ci-contre : D A Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure F 1. dans le repère (C,B,D) ; G E 2. dans le repère (E,H,I) ; 3. dans le repère (H,I,G). C H J I B 16 On se place dans un repère (O,I,J). On considère les points A(2; 1), B( 1 ; 3), C(1 ; 3) et D( 1 ; 4). 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure (a) dans le repère (B,C,D) ; (b) dans le repère (B,D,C). 3. Placer le point K de coordonnées (2 ; 1) dans le repère (O,I,J). Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère (I,K,J). 17 Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le symétrique de A par rapport à B, F le point tel que BDEF soit un parallélogramme et G le centre de gravité de AEC. 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure (a) dans le repère (A,B,D) ; (b) dans le repère (C,D,B). 18 Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points suivants : ( ) 1 1. E de coordonnées 2 ; 1 dans (A,B,D) ; 2 2. F de coordonnées (1 ; 1) dans (A,B,C) ; 3. G de coordonnées (2 ; 1) dans (B,A,C) ; 4. H de coordonnées ( 12 ) ; 1 dans (D,C,B). Dans les exercices suivants, on se place dans un repère (O,I,J). 19 Calculer les coordonnées du milieu K de [AB] dans les cas suivants : 1. A(2 ( ; 3) et) B( 1 ; 4) ; 2. A(2 ; 3) et B(2 ; 7) ; 1 3. A 2 ; 3 et B ( 52 ) ( ) 3 ; 3 ; 4. A 4 ; 2 et B ( 23 ) 5 ;

31 20 Déterminer si ABCD est un parallélogramme dans les cas suivants : 1. A( 1 ; 2), B(3 ; 0), C(0 ; 1) et D( 4 ; 1) ; 2. A(2 ; 5), B( 1 ; 4), C( 2 ; 3) et D( 5 ; 3) ; 2nde. exercices - Géométrie plane repérée 21 On considère les points A(3 ; 4), B( 1 ; 1), C( 5 ; 2), D(1 ; 6) et E(2 ; 1). 1. Faire une figure. 2. Démontrer que (BE) et (CD) sont parallèles. 22 On considère les points A(4 ; 2), B(2 ; 4), C( 1 ; 5) et D( 2 ; 0). On veut démontrer que ABCD est un trapèze. 1. Faire une figure. 2. Soit E le milieu de [AD]. Démontrer que ABCE est un parallélogramme. 3. Conclure quant à la nature de ABCD. 23 On considère les points A(2 ; 3) et B( 1 ; 1). Soit C le symétrique de A par rapport à B. 1. Préciser les positions relatives de A, B et C. 2. On pose C(x C ; y C ). Déterminer deux équations vérifiées par x C et y C. 3. Calculer les coordonnées de C. 24 On considère les points A( 1 ; 3), B(2 ; 2) et C(4 ; 1). 1. Déterminer les coordonnées du milieu de [AC]. 2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. 25 On considère les points A( 4 ; 3), B(2 ; 1) et C(0 ; 3). 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. 3. Soit E le milieu de [CD]. Déterminer les coordonnées de E. 4. Soit F le symétrique de A par rapport à E. Déterminer les coordonnées de F. 5. Démontrer que ADF C est un parallélogramme. 6. Démontrer que C est le milieu de [BF ]. 26 Soit ABCD un parallélogramme et I le milieu de [CD]. On appelle E le symétrique de I par rapport à C, G le symétrique de I par rapport à B et F le point tel que BICF soit un parallélogramme. 1. Faire une figure. 2. En se plaçant dans le repère (A,B,D), démontrer que F est le milieu de [EG]. 31

32 Exercices du livre Déclic 2 de Coordonnées dans le plan 1 Exercices 20 et 21 page 230 ; QCM page 229 et exercices 15 à 17 page 230 Savoir faire 5 Lire «Savoir faire» et «Points méthode» pages 221 et 223 Utiliser des coordonnées pour le calcul de distances 2 Exercices 22 à 26 page 231 et 35 page 232 Utiliser les coordonnées du milieu d un segment 3 Exercices 37 à 38 page 232 et 43 page 233 Étudier les configurations du plan 4 Exercices 44 à 45 page

33 3 C H A P I T R E Équations et inéquations - épisode 1

34 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 1 Équations du premier degré Définition 1 : équation à une inconnue Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l équation. Une solution de cette équation est une valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Résoudre une équation, c est en trouver toutes les solutions et écrire l ensemble des solutions. Exemple. 3x 7 = 5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3x 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =, donc) est 5. 4 est une solution de l équation 3x 7 = 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 4 dans l équation, l égalité est vérifiée : = 12 7 = 5 2 n est pas une solution de l équation 3 x 7 = 5 car, lorsque je remplace x par 2, l égalité n est pas vérifiée : = 6 7 = 1 5!! Remarque. Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition : Propriété 1 : Règles de manipulation des égalités Règle 1 : On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l équation. Règle 2 : On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l équation par un même nombre non nul. Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s y ramenant). Ce sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s écrire sous la forme ax = b, avec a 0. Cette équation a alors une unique solution, qui est b a. Exemple. Résoudre l équation : 3x 5 = 7 En utilisant la règle 1, 3x = on peut ajouter 5 aux deux membres de l équation En utilisant la règle 2, 3x = 12 3x 3 = 12 3 on peut diviser par 3 chaque membre de l équation L unique solution est : x = 4 l ensemble des solutions est S = {4} 2 Équations-produits Définition 2 : équation-produit Une équation-produit est une équation qui s écrit sous la forme (ax + b) (cx + d) = 0 (il peut y avoir plus de deux facteurs) Remarque. Cette équation (ax + b) (cx + d) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l inconnue x apparaîtrait avec une puissance

35 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 Prenons par exemple l équation (x + 1) (3x 6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l équation 3x 2 3x 6 = 0. Mais nous ne savons pas encore, résoudre l équation sous cette forme développée. Propriété 2 : rappel Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que «A B = 0» équivaut à dire que «A = 0 ou B = 0». Ainsi, (ax + b) (cx + d) = 0 si et seulement si ax + b = 0 ou cx + d = 0. On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré!! Exemple. Résolvons l équation (3x 7) (2x + 5) = 0 (3x 7) (2x + 5) = 0 3x 7 = 0 ou 2x + 5 = 0 3x = 7 ou 2x = 5 x = 7 3 ou x = 5 2 S = { 5 } 2 ; Inéquations du premier degré Définition 3 : équation à une inconnue Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l inconnue pour laquelle l inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c est en trouver toutes les solutions et écrire l ensemble des solutions. Exemple. 3x 7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est 3x 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5. 6 est une solution de l inéquation 3x 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 6 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : = 18 7 = 11 et 11 > 5 10 est une autre solution de l inéquation 3x 7 > 5 car, lorsque je remplace l inconnue x par 10 dans l inéquation, l inégalité est vérifiée : = 30 7 = 23 et 23 > 5 2 n est pas une solution de l inéquation 3 x 7 > 5 car, lorsque je remplace x par 2, l inégalité n est pas vérifiée : = 6 7 = 1 et 1 5!! Remarque. Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition : Propriété 3 : Règles de manipulation des inégalités Règle 1 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l inéquation. Règle 2 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l inéquation par un même nombre strictement positif. Règle 3 : On ne change pas l ensemble des solutions d une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l inégalité. 35

36 Exemple. 2nde. Cours - Équations et inéquations - épisode 1 Résoudre l inéquation : 3x 5 > 7 En utilisant la règle 1, 3x > on peut ajouter 5 aux deux membres de l inéquation En utilisant la règle 2, 3x > 12 3x 3 > 12 3 on peut diviser par 3 chaque membre de l inéquation Les solutions vérifient : x > 4 l ensemble des solutions est S = ]4 ; + [ On peut représenter l ensemble des solutions sur un axe, en hachurant la partie de la droite graduée constituée des nombres qui ne sont pas solutions : 4 S = ]4 ; + [ Attention au sens du crochet! Le crochet n est pas tourné vers les solutions, car 4 n est pas solution de l inéquation 3x 7 >

37 4 C H A P I T R E Géométrie vectorielle

38 2nde. Cours - Géométrie vectorielle 1 Translation 1 1 Translation et vecteur associé Définition 1 : translation Un point C est l image d un point D par la translation qui transforme A en B lorsque le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. On dit alors que C est l image du point D par la translation de vecteur AB. Exemple. Translation de vecteur AB transformant D en C : Remarques. a. On remarque que : 1 (AB) et (DC) sont parallèles (même direction), 2 AB et DC sont de même longueur, 3 AB et DC vont dans le même sens. b. Les vecteurs seront souvent notés u, v, w... c. Le vecteur u n est pas fixe, on peut le dessiner n importe où sur une feuille : A D u u B C u u u u 1 2 Vecteurs et parallélogramme Définition 2 : Égalité de vecteurs Deux vecteurs AB et DC sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). On note alors AB = DC et les trois conditions sont vérifiées. Exemple. Aucun des vecteurs ci-contre ne sont égaux 2 à 2. t Remarques. a. On note AB la norme de AB et AB = AB b. AB = 0 si et seulement si A = B c. Si on fixe un point O, alors pour tout vecteur u, il existe un unique point M vérifiant u = OM. j ı u v w 38

39 2 Vecteurs du plan 2nde. Cours - Géométrie vectorielle 2 1 Coordonnées d un vecteur Définition 3 : Coordonnées du vecteur u Soit (O, I, J) un repère du plan et u un vecteur. Soit M le point tel que OM = u : par la translation de vecteur u, le point O se transforme en M On appelle coordonnées du vecteur u les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). On note M (x ; y) et ( ) x u. y Soit O, I, J trois points non alignés du plan. On pose OI = ı et OJ = j. On parle alors de repère (O, ı, j ). Exemple. Dans le repère (O, ı, j ) de la figure ci-contre on a M (1 ; 2) et ( ) 1 u 2 Propriété 1 : dans le plan muni d un repère Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs ( ) coordonnées sont égales. x u = ( ) { x x = x v y y = y y y 4 3 M u 2 J 1 j I ı x Opérations sur les vecteurs Définition 4 : Opposé d un vecteur Quels que soient les points A et B, le vecteur BA est appelé vecteur opposé au vecteur AB. Remarque. Si v = AB, alors v = AB = BA. Propriété 2 : dans le plan muni d un repère Deux vecteurs ( ) x u et ( ) x v y y sont opposés si, { x = x et seulement si, y = y Exemple. ( ) 1 u et ( ) j 1 u 4 4 ı u u A B AB = v v 39