2. Les exponentielles

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1 - 1 - Les eponentielles. Les eponentielles.1 Introduction et définitions Eemple 1 : On veut faire un élevage de souris. Pour cela on achète 1 souris grises, souris blanches et 1 souris brunes. Les souris grises se reproduisent à une vitesse telle que leur population double tous les 1 jours. Chez les souris blanches, la population double tous les 15 jours alors que chez les souris brunes il y a, chaque 1 jours, naissances et décès. Faire un tableau et tracer les trois courbes. nombre de souris nombre de jours

2 - - Les eponentielles Eemple : La valeur future C( n) d'un capital initial C placé à un tau d'intérêt périodique I pour une durée de n années est donnée par la formule : C( n) = C (1 + I) n Donner la représentation graphique de l'évolution d'un capital épargne de 1.- Fr. avec un tau d'intérêt 1,5%. n C

3 - 3 - Les eponentielles Définition : Une application EXPONENTIELLE DE BASE a ( notée E a ) est une application du type : E : y = a de R dans a avec ] ;1[ ] 1; [ a ( Remarque : e est un nombre dont la valeur est environ :,7188 Eercice 1 : Calculer à l'aide de la calculatrice : * a + * R R {1} ) a) 3 4 1,, 8 = b) 3, 8 31 = c) e 3 = d) 1, 73 6,7 = e) e 4, 5 = f) e 1 = Eercice : Représenter graphiquement les eponentielles suivantes : (choisir = -4, -3, -, -1,, 1,, 3, 4) a) E b) E, 5 c) E e d) E 3, 5 y

4 Propriétés : 1) Si a > 1 alors E a est CROISSANTE ) Si < a < 1 alors E a est DECROISSANTE 3) E a ( ) = 1 et E a( 1 ) = a 4) E a et E 1/ a sont SYMETRIQUES Les eponentielles Eercice 3 : Représenter graphiquement les eponentielles suivantes : (choisir = -4, -3, -, -1,, 1,, 3, 4) a) E 5 b) E, c) E, 5 d) E 4 y

5 . Résolutions d'équations à l'aide de graphiques Eemple : résoudre = Les eponentielles Solution :. Eercices 4 : Résoudre graphiquement a) 3 = 3 c) e = 5 b),5 = + 1 d) = 4

6 .3 Résolution algébrique d équations eponentielles simples Eemple : Résoudre l équation : Les eponentielles = 9 «En eprimer les deu membres avec la même base» Eercices 5 : Résoudre les équations suivantes : a) 16 = b) = 7 c) 5 = Eercices 6 : Résoudre les équations suivantes : 3+ 9 a) 11 = 11 b) 65 =

7 - 7 - Les eponentielles.4 Applications Croissance bactérienne On peut utiliser les fonctions eponentielles pour décrire la croissance de certaines populations. Par eemple, supposons qu on ait observé epérimentalement que le nombre de bactéries dans une culture double chaque jour. S il y a au départ 1 bactéries, nous obtenons le tableau suivant, où t est le temps en jours et f(t) le nombre de bactéries au temps t. t (temps en jours) f(t) (nombre de bactéries) On voit que : f ( t ) = 1 t Avec cette formule, nous pouvons prévoir le nombre de bactéries qu il y a à un temps quelconque t. Eercice 7 : a) Prévoir le nombre de bactéries après 1,5 jours. b) Prévoir le nombre de bactéries après une semaine. c) Prévoir le nombre de bactéries après un mois Eercice 8 : Donner la loi décrivant une croissance de population sachant qu au départ il y a 1 individus et que chaque jour la population triple. Représenter graphiquement la situation.

8 - 8 - Les eponentielles Certaines quantités physiques décroissent de manière eponentielle. L un des eemples les plus communs de décroissance eponentielle est la décomposition d une substance radioactive, ou isotope. Application : Décroissance radioactive L activité radioactive A(t) d un échantillon évolue dans le temps de la manière suivante : k t A( t) = A e avec : A : l activité initiale k : la constante qui dépend de la nature de l élément t : le temps en années. La demi-vie d un isotope est le temps nécessaire pour que la moitié d un échantillon donné se désintègre. La demi-vie est la principale caractéristique utilisée pour distinguer une substance radioactive d une autre. L isotope 1 Po du polonium a une demi-vie d environ 14 jours, c est-àdire qu étant donné une certaine quantité de 1 Po, la moitié se désintégrera en 14 jours. S il y a au départ milligrammes de 1 Po, le tableau suivant indique les quantités résiduelles après différents intervalles de temps. temps en jours mg résiduels 1 5,5 1,5 D autres substances radioactives ont des demi-vies beaucoup plus longues. En particulier, les réacteurs nucléaires produisent l isotope 39 Pu du plutonium, dont la demi-vie est d environ 4 ans. C est pour cette raison que le stockage des déchets radioactifs est un problème majeur de la société moderne. Eercice 9 : Un échantillon radioactif a une activité initiale de '8 des/sec. Sachant que la constante de cet échantillon vaut,6 : a) Calculer son activité après 1 an, ans, 1 ans, ans et 5 ans. b) Montrer, à l aide d un graphique, l évolution de l activité.

9 - 9 - Les eponentielles La croissance du capital La valeur future C(n) d'un capital initial C placé à un tau d'intérêt périodique I pour une durée de n périodes est donnée par la formule : C( n) = C (1 + I) n Cette équation met en relation quatre symboles : ( ) C n : la valeur du capital futur en Fr. C I n : la valeur du capital initial en Fr. : le tau d intérêt annuel donné en %, eprimé en valeur décimale. : la durée du placement en années. La connaissance de trois de ces symboles nous permet de trouver le quatrième. Remarques : Une année bancaire se compose de 1 mois de 3 jours. Une année bancaire a donc 36 jours. 3 ans devient dans la formule :... 3 ans et 6 mois devient dans la formule :... 5 ans, 8 mois et jours devient dans la formule :... % devient dans la formule :... 3,5% devient dans la formule :... 5 ¼ % devient dans la formule :... Eemple 1 : (Le calcul de la valeur future) Un placement de 1' Fr. à 1 % par année pendant une période de 5 ans. Nous obtenons directement de l'équation que : Eemple : (Le calcul de la valeur actuelle) Pour connaître par eemple la valeur actuelle d'une somme de 1 61,51 Fr. payable dans cinq ans, sachant que le tau annuel est de 1%, il suffit de calculer:

10 - 1 - Les eponentielles Eemple 3 : (Le calcul du tau) Pour connaître par eemple le tau capitalisé annuellement auquel il faut placer un montant de 1 Fr. pour épargner 61,51 Fr. en 5 ans nous calculons: Eercice 1: Représenter graphiquement l évolution de la valeur future C(n) d'un capital initial C = 5 Fr placé à un tau d'intérêt périodique I = 3,9% en fonction de la durée n en années. C( n) = C (1 + I) n

11 Les eponentielles Eercice 11 : 1) On place 1' Fr. sur un compte épargne de 4,5 % par année pendant une période de 4 ans. Donner l état du compte futur. ) On veut connaître la valeur actuelle d'une somme de 3 Fr. payable dans si ans sachant que le tau annuel est de 5 %. 3) Donner le tau capitalisé annuellement auquel il faut placer un montant de 3 Fr. pour obtenir un bénéfice de 8 Fr. en 4 ans et 6 mois. Eercice 1 : 1) On place 6 Fr. à 3,5 % pendant 8 ans 6 mois et jours. Quelle sera la valeur du capital à la fin du placement? ) Quelle somme faut-il placer à 1,5 % pendant 7 ans et 5 mois pour obtenir un capital de 1'45.- Fr.? 3) On place 835 Fr. à 3,5 % pendant 5 ans, 3 mois et jours. Calculer ce que rapportera cette somme. 4) Une personne emprunte la somme de 8 5 Fr. et rembourse un montant de 1'35.- Fr. 15 mois plus tard. A quel tau a-t-elle emprunté cette somme? 5) A quel tau faut-il placer un capital pour qu'il double en 15 ans?

12 - 1 - Les eponentielles SOLUTIONS E 1 : a) 9,5 b) 9, c),86 d) 3, e),11 f),718 E & 3 : Tableau des valeurs : 3,5 e,5 5,,5 4-3,15,3,5 8, ,16 -,5,8,135 4,4 5 16,63-1,5,86,368, 5 4, ,5,718,5 5,, ,5 7,389,5 5,4, ,875,9,15 15,8,16 64 E 4 : a) 3 b) 1 1 1,6 c) 1,3 d) 1 1, 9 1, E 5 : a) 6 = ; b) 7 E 6 : a) = 13 ; b) pas de sol. 19 = ; c) 1 = 3 E 7 : a) 88 bactéries ; b) 18' bactéries ; 1 c) 1,77 1 bactéries E 8 : f ( t ) = 1 3 t E 9 : t A(t) ,67 E 11 : 1) ; ) 387,9 ; 3) 5,4 % E 1 : 1) 853,3 ; ) 196,35 ; 3) ; 4) 34,8 % ; 5) 4,7 %