Extension tridimensionnelle de la notion d angle définie dans le plan.

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1 2 THEREME DE GAUSS 2.1 Notion d angle solide Extension tidimensionnelle de la notion d angle définie dans le plan. L angle solide dω, délimité pa un cône de demi-angle α coupant un élément de suface élémentaie ds situé à une distance de son sommet, vaut : dω dω = ds 2 α ds dω : - est toujous positif - est indépendant de puisue ds 2 - s expime en stéadian (s) S Calcul d un angle solide Ω d ouvetue α : En coodonnées sphéiues, l élément de suface pependiculaie à e est : ds = 2 sinθ dθ dϕ n en déduit l expession de dω : dω = sinθ dθ dϕ α Ω Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 1/19

2 L angle solide Ω d ouvetue est défini pa : ϕ : 0 2π et θ : 0 α D où l expession de Ω : 2π α Ω = dϕ sinθ dθ = 2π (1 cosα) 0 0 θ Remaue : pou tout l espace, θ : 0 π donc dans ce cas : Ω = 4π. ϕ Suface inteceptée pa un angle solide n considèe une suface uelconue S et un angle solide inteceptant cette suface : S n α ds La suface inteceptée coespond à l élément de suface ds. Cette suface élémentaie a pou nomale n. n cheche à connaîte le lien ente la suface inteceptée pa l angle solide et la valeu de cet angle solide. n constuit ds, élément de suface pependiculaie à / Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 2/19

3 ds n ω ds α l angle ente n et / est ω. l angle solide vaut : d'où finalement : dω = ds' 2 dω = ds 2 cosω avec ds = ds cosω. n edémonte aisément ue ds = ds cosω en considéant des sufaces élémentaies de fome ectangulaie : n ds ω n ds Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 3/19

4 2.2 Théoème de Gauss Notion de Flux Flux du champ électiue à taves une suface uelconue n considèe une chage ponctuelle en et une suface élémentaie ds uelconue : Le flux élémentaie dφ de E à taves la suface ds est défini pa la elation : dφ = E.dS avec E () = donc dφ = soit dφ = = E.n ds 1 4π 2 4π 4π ds 2 n ds 2 cosω d où finalement : dφ = Conséuences : 4π Le flux de E ne dépend ue de l angle solide sous leuel est vue la suface, ds dω n ω E Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 4/19

5 Le flux de E est indépendant de la distance suface souce : ds augmente en 2 mais de E diminue en 1/ Flux total du champ électiue céé pa une chage ponctuelle à taves une suface uelconue femée n considèe une chage ponctuelle à l intéieu d une suface femée. n cheche à calcule le flux élémentaie de E à taves la suface vue sous l angle solide dω. L angle solide en uestion intecepte la suface femée en définissant 3 sufaces élémentaies ds 1, ds 2 et ds 3 ayant pou nomales espectives n 1, n 2 et n 3 (nomales sotantes). n3 n1 n2 2 /2 3 /3 1 /1 ds 2 ds 3 ds 1 Dans ce cas, le flux de E est la somme d un nombe impai (3) de flux élémentaies : dφ = dφ 1 + dφ 2 + dφ 3 Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 5/19

6 dφ = E ( 1 ).ds dφ = dφ = 4π ds E ( 2 ).ds 1 ds 2 1 n π [dω dω + dω] = 2 + E ( 3 ).ds 3 2 ds 3 2 n π dω 3 3 n 3 Le flux total de E à taves et dans toutes les diections s obtient en intégant l expession pécédente su les 4π stéadian : φ = E ( ).ds = 4π dω = 4π 0 4π dω = 4π 0 En vetu du théoème de supeposition, ce ésultat se généalise à un ensemble de n chages. Théoème de Gauss : Le flux du champ électiue à taves une suface femée oientée est égal, dans le vide, à la chage électiue Q int contenue dans le volume défini pa la suface divisée pa. φ = E ( ).ds = Q int où Q int epésente la chage totale contenue dans V : N Q int = i = 1 i ou Q int = V ρ( ) dv Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 6/19

7 Remaues : Cas paticulie où la chage est à l extéieu de. Dans ce cas, le flux de E à taves vue sous l angle solide dω est la somme d un nombe pai de flux élémentaies : n2 n1 2 /2 ds 1 1 /1 ds 2 dφ = dφ 1 + dφ 2 dφ = E ( 1 ).ds dφ = dφ = dφ = 0 4π ds E ( 2 ).ds 2 1 ds 2 2 n π [ dω + dω] 2 2 n 2 Le théoème de Gauss fait le lien ente le flux du champ électiue E et les souces de champ : il ne peut y avoi de flux du champ E à taves une suface femée ue si la Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 7/19

8 somme des chages contenues dans le volume défini pa est non nulle. Le théoème de Gauss constitue une des uate éuations de Maxwell (cf. chapite Relations Locales) 2.3 Exemples d application du théoème de Gauss Le théoème de Gauss founit une méthode tès utile pou calcule le champ E losue celui-ci possède des popiétés de symétie paticulièes. Il convient évidemment d utilise une suface de Gauss possédant les mêmes popiétés de symétie ue le champ et/ou la distibution de chages Chage ponctuelle n va (e)calcule l expession du champ ayonné pa une chage ponctuelle. n considèe une chage ponctuelle placée en. Le poblème a une symétie sphéiue ; on sait pa ailleus ue le champ E est adial : E ( ) = E(). e La suface de Gauss à considée est une sphèe centée su et de ayon. Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 8/19

9 n E ( ) ds En chaue point M de : - le champ est pependiculaie à, E // n - le champ a même nome E() Le théoème de Gauss impliue : φ = E ( ).ds = Q int avec E ( ).ds = E() ds = 4π 2 E() et Q int = d où : E() = 4π 2 M sous fome vectoielle : E ( ) = E(). e = 4π 2 e E (M) e eθ eϕ Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 9/19

10 2.3.2 Distibution linéiue ectiligne n considèe un fil ectiligne infini chagé avec la densité linéiue λ. Le poblème a une symétie cylindiue; on sait ( ) ue le champ E est pependiculaie au fil : E ( ) = E(). e n1 1 2 E (M) E (M ) L n2 n3 3 La suface de Gauss à considée doit avoi les syméties du poblème. n choisit donc un cylinde femé (de ayon et de longueu L) constitué des 3 sufaces 1, 2 et 3. φ = E ( ).ds = Q int Calculons le pemie membe de l égalité : φ = 1 E ( ).ds E ( ).ds E ( ).ds 3 = 0 ca = 0 ca E ( ) ds 1 E ( ) ds 3 Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 10/19

11 En chaue point M de 2 : - le champ est pependiculaie à 2, E // n 2 - le champ a même nome E() Donc, on aive à : φ = E ( ).ds 2 = E() 2 2 ds = 2π L E() Pa ailleus, le second membe de l égalité est déduit de la chage totale contenue dans le cylinde défini pa : Q int = λ L d où l expession de la nome du champ ayonné pa un fil infini : E() = λ 2π ez eϕ u sous fome vectoielle : E () = λ 2π = = λ 2π e M e E (M) n en déduit l expession du potentiel à pati de la elation E = gad V avec V gad V = e + 1 V ϕ e ϕ + V z e z Dans le cas pésent, E () n a de composantes ue selon e, cela signifie ue le potentiel ne dépend pas de ϕ et de z. Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 11/19

12 Le gadient de V se ésume donc à : V gad V = e d où l expession du champ électostatiue : E() = V et du potentiel : V() = E() d = λ 2π ln + C te 4 3 E() V() 2 E(), V() Distibution sufaciue n considèe un plan infini chagé avec la densité sufaciue σ. Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 12/19

13 Analyse des syméties La distibution de chage est invaiante pa tanslation de tout vecteu paallèle au plan. La distibution est invaiante pa symétie mioi selon le plan contenant les chages. La distibution est invaiante pa symétie mioi selon tout plan pependiculaie au plan contenant les chages. La distibution est invaiante pa otation autou de tout axe pependiculaie au plan. Le poblème a une symétie cylindiue z Le champ E est pependiculaie au plan chagé E (z>0) E (z<0) σ E est diigé ves le haut pou le demi-espace z>0 et diigé ves le bas pou le demi-espace z<0. E (,ϕ,z) = E(z) ez E (z) = E (-z) Choix de la suface de Gauss : n choisit un cylinde de ayon pependiculaie au plan constitué des 3 sufaces 1, 2 et 3. Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 13/19

14 1 n1 E (z>0) 2 n2 σ φ = E ( ).ds = Q int Calculons le pemie membe de l égalité : φ = 1 3 E ( ).ds 1 + n3 E (z<0) 2 E ( ).ds 2 + = 0 ca E ( ) ds 2 En chaue point M de 1 et 3 : 3 - le champ est pependiculaie à 1 et 3, - E (z>0) // n 1 et dans le même sens, - E (z<0) // n 3 et dans le même sens, - le champ a même nome E(z). Le flux de E à taves vaut donc : φ = E(z) π E(z) π 2 = E(z) 2 π 2 E ( ).ds 3 Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 14/19

15 Pa ailleus, le second membe de l égalité est déduit de la chage totale contenue dans le cylinde : Q int = σ π2 d où l expession de la nome du champ : E(z) = σ 2 Celle-ci est constante mais il faut teni compte du fait ue E change de sens uand z change de signe, d où : E( σ z ) = E(,ϕ,z) = 2 z Sous fome vectoielle : E (,ϕ,z) = σ 2 z z e z z e z E (z>0) eϕ e σ ϕ e z eϕ Le champ E n ayant de composante ue selon e z, on en déduit l expession e E (z<0) du potentiel : E(z) = V z V(z) = E(z) dz Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 15/19

16 avec : z < 0 E(z) = σ 2 z < 0 E(z) = + σ 2 V(z) = + σ z 2 + C te V(z) = σ z 2 + C te σ 2 E(z) V(z) z σ 2 Remaues : il y a une discontinuité de la compsante nomale du champ électiue E au niveau de la suface ( E = σ/ε0) Le choix délibéé d utilise au lieu de ρ en coodonnées cylindiues est justifié pou évite la confusion avec la densité de chage ρ( ). Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 16/19

17 2.3.4 Distibution volumiue à symétie sphéiue n considèe une sphèe de ayon R chagée avec la densité volumiue ρ unifome. La distibution est invaiante pa otation autou du cente. Tout plan passant pa le cente de la sphèe est plan de symétie (mioi). ρ La distibution pésente une symétie sphéiue. Le champ E est paallèle à l intesection des miois Le champ E est adial coodonnées sphéiues E ρ Calcul du champ à l intéieu de la sphèe < R La suface de Gauss est une suface sphéiue de ayon et centée su En chaue point de la suface, le champ E () est pependiculaie φ = E ( ).ds = Q int Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 17/19

18 Le pemie teme s écit : E int( ).ds Le deuxième vaut : = E int ( ) ds = 4π 2 E int () d où Q int = ρ 4 3 π 3 E int () = ρ 3 et E int() = ρ 3 e Calcul du champ à l extéieu de la sphèe, > R La suface de Gauss est une suface sphéiue de ayon et centée su Le pemie teme de l égalité de Gauss s écit : E ext( ).ds = E ext ( ) ds = 4π 2 E ext () Le deuxième vaut : d où Q int = ρ 4 3 π R3 E ext () = ρ 3 R 3 2 = Q 4π 1 2 À l extéieu de la sphèe, tout se passe comme si on avait une chage ponctuelle centée su. Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 18/19

19 Calcul du potentiel n utilise la elation E = gad V V ext () = E ext () d = ρ 3 R 3 + K 1 avec V ext ( ) = 0 K 1 = 0 V int () = E int () d = ρ K 2 La constante K 2 est déduite de la condition de continuité du potentiel ui impose : V ext (R) = V int (R) = ρ R2 3 Ce ui pemet d en déduie la valeu du potentiel à l intéieu de la sphèe : V int () = ρ R V() E() V() E() R Cous LP Chapite 2 Théoème de Gauss 19/19