CALCUL TENSORIEL. 1 Algèbre tensorielle. 1.1 Composantes d un vecteur

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1 CALCUL TENSORIEL Algèbe tensoielle Nous considéons un espace vectoiel euclidien E, de dimension N, su le cops des éels R. Chaque élément x de cet espace sea appelé vecteu, et sea noté avec un tait dessous pou le difféencie des scalaies du cops R, pa exemple λ. Nous intoduisons ici de façon tès simplifiée la notion de tenseu euclidien. Dans un pemie temps, nous définissons les composantes covaiantes et contavaiantes d un vecteu x, élément de E. Ensuite, nous intoduisons la définition des tenseus euclidiens et de leus composantes. Enfin, les opéations classiques su les tenseus sont expliquées.. Composantes d un vecteu Nous considéons un vecteu quelconque x de E, et un ensemble de N vecteus de base a i. Il existe deux façons difféentes d expime les composantes de x dans cette base : On peut décompose x su ces vecteus pou obteni : N x = x i a i souvent noté x = x i a i () i= Dans cette équation, une sommation implicite est effectuée su les indices épétés en positions supéieue et inféieue dans un poduit. C est la convention de sommation dite d Einstein. On peut effectue le poduit scalaie de x avec ces vecteus pou obteni :

2 x i = x. a i (2) Le poduit scalaie ente deux vecteus x et y de E est ici noté x. y. C est un élément de R. Il povient du caactèe euclidien de l espace vectoiel E, et possède difféentes popiétés. Pa exemple, si x est non nul, alos x. x est stictement positif. Les scalaies x i et x i ainsi obtenus sont les composantes du vecteu x dans la base des a i. Elles peuvent ête eliées ente elles pa la elation : x i = x. a i = ( x j a j ). a i = g ij x j avec g ij = a i. a j (3) Les temes g ij ainsi définis foment une matice symétique de dimension NxN, qui caactéise la base des a i. En effet, g ii epésente le caé de la nome du vecteu a i, tandis que les temes non diagonaux donnent l angle ente les vecteus de base. Pa exemple, dans une base othonomée, les temes g ij foment la matice identité, et les composantes x i et x i d un vecteu x coïncident. Les composantes x i du vecteu x dans la base des a i sont dites contavaiantes. En effet, si les vecteus de base subissent une otation, alos les composantes de x dans la nouvelle base seont obtenues en appliquant la otation invese. Les composantes x i du vecteu x dans la base des a i sont dites covaiantes. En effet, si les vecteus de base subissent une otation, alos ces composantes seont modifiées en appliquant la même otation. Il est intéessant de défini ici l ensemble des N vecteus othogonaux aux a i. Ces vecteus sont en généal notés a i, et sont tels que : a i. a j = δ j i = { si i = j 0 sinon (4) On monte facilement que les vecteus a i foment une base de E. Le vecteu x peut donc ête décomposé su cette base. On constate que les composantes covaiantes x i de x pemettent de le décompose su cette base ( x = x i a i ), et que les composantes contavaiantes x i de x sont les poduits scalaies de x su cette base (x i = x. a i ). En définissant maintenant de façon analogue à pécédemment les temes g ij = a i. a j, qui foment aussi une matice 2

3 x 2 a 2 x 2 x a 2 a a x x Fig. Composantes d un vecteu symétique de dimension N xn, on peut écie les elations fondamentales suivantes : x E, x = x i a i = x i a i avec { x i = g ij x j x i = g ij x j (5).2 Composantes d un tenseu Les tenseus sont constuits su la base d une opéation appelée poduit tensoiel, et notée. Nous nous limiteons ici au cas d un seul espace vectoiel E, de sote que nous ne considéeons que le poduit tensoiel de E pa lui-même (éventuellement plusieus fois). Les popiétés du poduit tensoiel sont telles que E E (poduit tensoiel de E pa E) est lui-même un espace vectoiel. De plus, si les N vecteus a i foment une vase de E, alos les NxN vecteus a i a j foment une base d E E, qui est donc de dimension N 2. 3

4 Pa définition, un tenseu euclidien d ode n est un élément de l espace vectoiel issu du poduit tensoiel de E pa lui-même n fois, E... E. Un tenseu d ode est donc un élément de E, c est-à-die un vecteu. On peut alos défini ses composantes covaiantes et contavaiantes. Un tenseu d ode 2 est un élément de E E. On peut alos écie ses composantes sous la fome : T E E,T = T ij a i a j = T ij a i a j = T j i a i a j = T i j a i a j (6) L ode d un tenseu coespond donc au nombe d indices su ses composantes. Dans le cas d un tenseu d ode 2, T, on emaque que l on peut défini ses composantes covaiantes T ij, ses composantes contavaiantes T ij, et des composantes mixtes T j i. Il en est évidemment de même pou des tenseus d ode supéieu. Un tenseu d ode zéo est un scalaie invaiant pa changement de système de coodonnées. Un tenseu est dit symétique pa appot à deux indices covaiants ou deux indices contavaiants si ses composantes estent inchangées dans une pemutation des deux indices. Il sea dit antisymétique pa appot à ces indices si ses composantes changent de signe dans une pemutation. Les temes g ij, g ij, g j i = δ j i et g i j = δ i j foment les composantes d un tenseu symétique appelé tenseu métique ou tenseu fondamental, noté g, qui est d une gande impotance en calcul tensoiel. En effet, il pemet de calcule le poduit scalaie de deux vecteus quelconques. On peut d ailleus emaque que les composantes contavaiantes g ij sont obtenues en invesant la matice fomée pa les g ij, tandis que les composantes mixtes g j i foment la matice identité. Il existe enfin pou les tenseus un aute type de composantes, lagement utilisé en physique, dans les espaces euclidiens. Ces composantes sont d ailleus appelées composantes physiques. Ce sont les pojections du tenseu su les vecteus de base de l espace. Nous avons pa exemple pou un vecteu x les composantes physiques x I suivantes : x I = a i x. a i = x i gii = g ijx j gii (7) De même, pou un tenseu A d ode 2, les composantes physiques A IJ s obtiennent de la façon suivante : 4

5 A IJ = A : a i a j a i a j = A ij gii g jj = g ikg jl A kl gii g jj (8) Dans le cas d une base othogonale, les composantes de la métique foment une matice diagonale, ce qui pemet de simplifie les elations pécédentes. Dans un système othonomé, les composantes du tenseu métique coïncident toutes avec la matice identité. Il s en suit que tous les types de composantes d un tenseu sont identiques. Dans ce cas, les indices sont tous placés en bas en ne considéant que les composantes covaiantes des tenseus. En calcul maticiel, ceci est couamment utilisé. La convention de sommation d Einstein est alos étendue aux indices épétés en même position (et non en haut et en bas comme c est nomalement le cas)..3 Opéations su les tenseus La somme de deux tenseus du même ode est un tenseu également du même ode, dont les composantes sont la somme des composantes des tenseus ajoutés. Toutefois, il convient de somme les composantes de même type uniquement. De même, la soustaction de deux tenseus donne un tenseu dont les composantes sont obtenues pa soustaction. Le poduit de deux tenseus (poduit tensoiel) se fait en multipliant les composantes. Pa conte, dans ce cas, le tenseu obtenu a un ode égal à la somme des odes des tenseus multipliés. De plus, le poduit de composantes de types difféents peut ête éalisé. Notons enfin que l on ne peut pas écie n impote quel tenseu comme le poduit de deux tenseus d odes inféieus. Pou cette aison, la division des tenseus n est pas toujous possible. Si on pose l égalité ente un indice contavaiant et un indice covaiant des composantes d un même tenseu, le ésultat indique qu on doit faie une sommation su les indices égaux d apès la convention d Einstein. La somme ésultante est la composante d un tenseu d ode N 2 où N est l ode du tenseu initial. Le pocédé s appelle une contaction. Pa exemple, dans un tenseu X d ode 4, si on applique une contaction à ses composantes Xij kl en posant l = j, on obtient les composantes Yi k = Xi k XiN kn d un nouveau tenseu Y d ode 2. Pa un poduit tensoiel de deux tenseus suivi d une contaction, on obtient un nouveau tenseu appelé poduit contacté des tenseus donnés. Pa exemple, le poduit d un tenseu X d ode 4 et d un tenseu Y d ode 2 fou- 5

6 nit un tenseu d ode 6. En effectuant une contaction d indice, on obtient un tenseu Z d ode 4 dont les composantes sont pa exemple Zkl im = X ij kl Y j m. L exemple le plus couant de poduit contacté est le poduit scalaie. En effet, le poduit tensoiel de deux vecteus x et y (d ode ) donne nomalement un tenseu d ode 2 x y, dont les composantes sont les poduits x i y j (covaiantes), x i y j (contavaiantes), x i y j et x i y j (mixtes). La contaction se fait en posant i = j su les composantes mixtes, de sote que l on etouve x. y = x i y i = x i y i. La notation du poduit scalaie (le point) est donc souvent utilisée pou indique qu il y a contaction su un indice. Pafois, on utilise un poduit doublement contacté de deux tenseus. Il y a alos sommation su deux indices, et l ode du tenseu final est diminué de 4. C est le cas pa exemple de l énegie de défomation élastique W (scalaie ou tenseu d ode 0), issue du poduit doublement contacté ente les tenseus de containtes σ (ode 2) et de défomations ɛ (ode 2). Dans ce cas, on indique cette double contaction pa un double point :, comme pa exemple losque l on écit W = σ : ɛ = σ ij ɛ ij. 2 Géométie difféentielle Nous nous plaçons ici dans un espace ponctuel (affine) euclidien E 0, dont l espace vectoiel associé E est de dimension N, muni d un epèe (R) d oigine O et d un système de coodonnées cuvilignes (x i ). Ce système de coodonnées est caactéisé pa N fonctions plusieus fois continûment difféentiables eliant les coodonnées cuvilignes x i d un point M à ses coodonnées X i dans le epèe (R). De plus, nous supposeons qu il existe autou du point M une elation bi-univoque ente les x i et les X i. Les coodonnées cuvilignes les plus utilisées en dimension 3 sont les coodonnées cylindiques (,θ,z) et les coodonnées sphéiques (,θ,φ). Dans un pemie temps, nous définissons le epèe natuel associé à un système de coodonnées cuvilignes. Ensuite, nous étudions la vaiation de ce epèe autou d un point donné, vaiation caactéisée pa les symboles de Chistoffel. Enfin, nous intoduisons les notions de difféentielle absolue d un tenseu et de déivée covaiante, qui sont à la base des opéateus utilisés en physique (gadient, divegence,... ). 6

7 2. Repèe natuel x 2 a 2 a x M Fig. 2 Repèe natuel en un point de l espace En un point M de coodonnées cuvilignes x i, on définit un epèe natuel de la façon suivante. L oigine du epèe est fixée en M, et les vecteus de base a i sont définis pa : d OM = a i dx i soit a i = OM (9) i Ce epèe natuel est donc tangent aux lignes de coodonnées (figue 2). L équation pécédente monte que les dx i sont les composantes contavaiantes de d OM (vecteu de E) dans le epèe natuel. Il est donc possible de défini le tenseu métique (souvent appelé métique ) de cet espace. Les composantes covaiantes de ce tenseu sont issues du epèe natuel (g ij = a i. a j ). Ce tenseu dépend du point M, oigine du epèe natuel, et donc de la position à laquelle on se touve dans l espace E 0. Supposons maintenant que l on définisse un nouveau système de coodonnées cuvilignes (y i ). Au point M, un nouveau epèe natuel sea constitué du point M et de vecteus de base b i. D apès la fomule de déivation des fonctions composées, on peut écie : { a i = OM i b j = OM y j = OM y j y j i = OM i i y j = yj b i j = A j i b j avec A j i = yj i = i y a j i = Bj i (0) a i avec Bj i = i y j Cette équation monte qu un changement de coodonnées cuvilignes est caactéisé pa un changement de epèe natuel. Les composantes d un tenseu changeont losque, en un point M fixé, on changea de système de coodonnées. Pou obteni les nouvelles composantes du tenseu, on utilisea les elations de changement de base su les vecteus de base. 7

8 Les composantes d un tenseu peuvent également change losque l on déplace le point M, tout en gadant le même système de coodonnées, puisque le epèe natuel change. On pale alos de champs de tenseus. 2.2 Opéateus difféentiels Nous avons vu que, en chaque point M de l espace E 0, on pouvait caactéise la métique de cet espace pa un tenseu de composantes covaiantes g ij. Ainsi, si l on se déplace de quantités dx i dans le epèe natuel des a i, l élément de longueu engendé ds est obtenu pa le poduit scalaie, dans E, du vecteu d x de composantes dx i avec lui-même. On obtient alos : ds 2 = d x.d x = g ij dx i dx j () Le poblème fondamental en géométie difféentielle éside dans le fait que le epèe natuel, et donc la métique, dépend du point M de l espace. Il s en suit que deux tenseus définis pa leus composantes pa appot à deux epèes difféents (ou en deux points distincts de l espace) ne pouont ête compaés que si l on connaît le lien ente ces deux epèes. L objectif des symboles de Chistoffel est de éalise le lien ente deux epèes natuels infiniment voisins a i et a i + d a i. Losque l on déplace l oigine M du epèe natuel d une quantité d x, les vecteus de base a i de ce epèe se modifient d une quantité d a i. En notant dans le epèe natuel initial dx i et dx i les composantes de d x (d x = dx i a i, dx i = d x. a i ) et dω j i et dω ij celles de d a i (d a i = dω j i a j, dω ij = d a i. a j ), les symboles de Chistoffel elient ces quantités sous la fome : { dωkj = Γ ikj dx i dωj k = Γ k ijdx i (2) Les fonctions Γ ikj et Γ k ij sont appelées symboles de Chistoffel espectivement de pemièe et de deuxième espèce. Il s agit de N 3 fonctions eliées ente elles sous la fome Γ ikj = g kl Γ l ij et Γ k ij = g kl Γ ilj et définies en fonction du tenseu métique pa : { Γikj = 2 ( g ik + g jk g ij ) j i k Γ k ij = g kl (3) Γ ilj 8

9 Considéons maintenant un vecteu quelconque u défini pa ses composantes contavaiantes u i dans le epèe natuel des a i au point M. Losque l on va se déplace d un quantité infinitésimale su le système de coodonnées cuvilignes, les composantes de u vont ête modifiées d une quantité du i, mais comme le epèe natuel change également, un teme (souvent appelé convectif ) va veni s ajoute à cette vaiation pou obteni : d u = du j a j + u j d a j (4) Le denie teme de cette équation est appelé convectif. Il est dû à la vaiation du epèe natuel au cous du déplacement dans l espace. Il est illusté su la figue 3, où un vecteu u est simplement tanspoté dans le système de coodonnées. On n a donc pas de vaiation de ses coodonnées dans le epèe initial (du i = 0), mais ses nouvelles composantes (dans le nouveau epèe natuel) sont tout de même modifiées. a 2 +da 2 u+du a 2 u a +da a M Fig. 3 Tanspot d un vecteu en coodonnées cuvilignes En utilisant les définitions pécédentes, les composantes contavaiantes du vecteu d u peuvent ête écites sous la fome : d u = ( u k ) a k avec u k = du k + u j dω k j (5) On donne à u k le nom de difféentielle absolue de u k. Il s agit des composantes contavaiantes du tenseu d u, ce qui n est pas le cas pou les temes du k. Pa abus de langage, on dit souvent que d u est la difféentielle absolue de u. En intoduisant maintenant les déivées patielles pa appot aux coodonnées cuvilignes x i, on peut écie : u k = u k,idx i avec u k,i = uk i + Γk iju j (6) 9

10 Les temes u k,i sont les composantes mixte d un tenseu appelé déivée covaiante de u. Si u avait été donné pa ses composantes covaiantes u k, alos le même aisonnement nous auait conduit à défini la déivée covaiante de u pa appot à ses composantes covaiantes. On peut ésume ces ésultats pa les fomules suivantes : u k,i = uk + Γ k iju j i u k,i = u k Γ j i ki u j (7) La notion difféentielle absolue et de déivée covaiante pemet de défini les pincipaux opéateus difféentiels intevenant en physique : Le gadient d un tenseu est à son tou un tenseu, dont les composantes sont les déivées covaiantes des composantes du tenseu de dépat. Le gadient d un tenseu d ode N est donc un tenseu d ode N +. Si f est un scalaie (tenseu d ode 0, invaiant pa changement de epèe), le gadient de f est un tenseu d ode (un vecteu) dont les composantes covaiantes sont définies pa f,i = f. Si u est un vecteu i (tenseu d ode ), le gadient de u est un tenseu d ode 2, dont les composantes covaiantes et mixtes sont : u i,j = u i j Γk iju k et u i,j = ui + j Γi jku k (8) Le gadient est lagement pésent dans les disciplines scientifiques. Il set pa exemple à défini les défomations en mécanique, et les foces motices en themique (gadient themique) et en chimie minéale (gadients de potentiels chimiques ou d activité). La divegence d un tenseu est à son tou un tenseu, dont les composantes sont obtenues pa contaction de sa déivée covaiante (son gadient) pa appot à son denie indice contavaiant. La divegence d un tenseu d ode N est donc un tenseu d ode N. La divegence d un vecteu u est donc le scalaie u i,i, tandis que celle d un tenseu A d ode 2 est un vecteu dont les composantes contavaiantes sont A ij,j. La divegence est lagement pésente dans les équations d équilibe en mécanique, ainsi que dans les équations de consevation en themique et en tansfet de masse. Elle est pincipalement appliqué su des tenseus d ode et 2. Le otationel appliqué su un vecteu u (tenseu d ode ) est un tenseu d ode 2 dont les composantes covaiantes sont u i,j u j,i. Du 0

11 fait de la symétie des symboles de Chistoffel de seconde espèce su les indices covaiants, les composantes covaiantes du otationel d un vecteu s écivent simplement u i u j. Le otationel d un vecteu est j i un tenseu anti-symétie. Il est pésent dans les équations de Maxwell en électomagnétisme. Il peut ête écit sous la fome : Rot( u ) = 0 R 3 R 2 R 3 0 R R 2 R 0 (9) où R, R 2 et R 3 sont les composantes d un vecteu otation R, pafois appelé vecteu dual. Le laplacien d un tenseu, souvent noté, est la divegence du gadient. Cet opéateu conseve donc l ode du tenseu. Appliqué su une fonction scalaie f, on obtient le scalaie (f) = (g ij f,i ),i = g ij f,ji. Appliqué su un vecteu u, on obtient un tenseu d ode dont les composantes covaiantes sont g kj u i,jk. Le laplacien est lagement utilisé dans les équations d équilibe ou de bilan, losque le compotement du matéiau est linéaie. 3 Opéateus difféentiels 3. Coodonnées catésiennes Dans un système de coodonnées catésiennes, l espace est muni d un epèe othonomé fixe. Donc, tous les types de composantes coïncident. Nous noteons ici x, y et z les tois diections de l espace. Ceci nous pemet de défini : le gadient d un scalaie f : le gadient d un vecteu u : gad(f) = gad( u ) = u x u y u z f f y f u x y u y y u z y u x u y u z (20) (2)

12 la divegence d un vecteu u : div( u ) = u x + u y y + u z la divegence d un tenseu A du second ode : div(a) = A xx A yx A zx + Axy y + A yy y + A zy y + A xz + A yz + Azz le vecteu otation associé au otationel d un vecteu u : R x = uz u y y le laplacien d un scalaie f : R y = ux R z = u y uz ux y (22) (23) (24) le laplacien d un vecteu u : (f) = 2 f f y f 2 (25) 2 u x ( 2 u ) = 2 u y 2 2 u z u x y u y y u z y u x u y u z 2 (26) 3.2 Coodonnées cylindiques a 3 e 3 e O M a 2 z a e 2 θ Fig. 4 Système de coodonnées cylindiques 2

13 Le système de coodonnées cylindiques est un système paticulie de coodonnées cuvilignes défini de la façon suivante (figue 4). Soit un espace vectoiel E de dimension 3 su le cops des éels, muni d un système de coodonnées othonomées (x i ) dans un epèe ( e i ). Soit u un vecteu de E joignant les points O et M. Le système de coodonnées cylindiques (,θ,z) est généé pa un epèe natuel ( a i ) tel que, au voisinage du point M : d u = dx e + dx 2 e 2 + dx 3 e 3 = d a + dθ a 2 + dz a 3 (27) avec la elation suivante ente les coodonnées : x = cos θ x 2 = sin θ x 3 = z (28) Les vecteus a i ont donc comme composantes dans le epèe othonomé : a = cos θ sin θ 0, a 2 = sin θ cos θ 0, a 3 = 0 0 (29) ce qui donne pou la métique : g ij = , g ij = Les composantes physiques d un vecteu u sont donc :, (30) u = u = u u θ = u 2 = u 2 (3) u z = u 3 = u 3 tandis que celles d un tenseu du second ode A seont : A = A = A A θ = A 2 = A 2 A z = A 3 = A 3 A θ = A 2 = A 2 A θθ = A 22 = 2 A 22 A 2 θz = A 23 = A 23 A z = A 3 = A 3 A zθ = A 32 = A 32 A zz = A 33 = A 33 (32) 3

14 Les symboles de Chistoffel de pemièe espèce sont obtenus à l aide de leu définition et de la métique définie pécédemment sous la fome : Γ ij = Γ i2j = 0 0 Γ i3j = et Γ ij = et Γ 2 ij = et Γ 3 ij = (33) (34) (35) L ensemble de ces équations pemet de etouve l expession des opéateus physiques en coodonnées cylindiques. On touve pa exemple les composantes physiques suivantes : le gadient d un scalaie f : le gadient d un vecteu u : gad( u ) = la divegence d un vecteu u : gad(f) = u u θ u z f f ( u ( u θ u z θ f θ u u θ θ) + u u θ ) θ u z (36) (37) div( u ) = u + u + u θ θ + u z la divegence d un tenseu A du second ode symétique : div( A ) = A + A θ θ A θ + A θθ θ A z + A zθ θ + A z + A θz + Azz + A A θθ + A θ+a θ + Az (38) (39) 4

15 les composantes du vecteu otation associé au otationel d un vecteu u : le laplacien d un scalaie f : R = R θ = u u z θ R z = u θ u θ uz u θ + u θ (40) (f) = 2 f + 2 f 2 2 θ + 2 f 2 + f 2 (4) 3.3 Coodonnées sphéiques a e 3 θ e O φ M a 3 a 2 e 2 Fig. 5 Système de coodonnées sphéiques Le système de coodonnées sphéiques est un système paticulie de coodonnées cuvilignes défini de la façon suivante (figue 5). Soit un espace vectoiel E de dimension 3 su le cops des éels, muni d un système de coodonnées othonomées (x i ) dans un epèe ( e i ). Soit u un vecteu de E joignant les points O et M. Le système de coodonnées sphéiques (,θ,φ) est généé pa un epèe natuel ( a i ) tel que, au voisinage du point M : d u = dx e + dx 2 e 2 + dx 3 e 3 = d a + dθ a 2 + dφ a 3 (42) avec des coodonnées liées ente elles sous la fome : x = sin θ cos φ x 2 = sin θ sin φ x 3 = cos θ (43) Les vecteus a i ont donc comme composantes : 5

16 a = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ, a 2 = cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ, a 3 = sin θ sin φ sin θ sin φ 0 (44) ce qui donne pou la métique : g ij = sin 2 θ 0 0, g ij = sin 2 θ, (45) Les composantes physiques d un vecteu u sont donc : u = u = u u θ = u 2 = u 2 (46) u φ = u 3 = sin sin θ θu3 tandis que celles d un tenseu du second ode A seont : A = A A θ = A 2 A φ = A 3 sin θ A θ = A 2 A θθ = A 22 2 A θφ = A 23 2 sin θ A φ = A 3 sin θ A φθ = A 32 2 sin θ A φφ = A 33 2 sin 2 θ (47) ou : A = A A θ = A 2 A φ = sin θa 3 A θ = A 2 A θθ = 2 A 22 A θφ = 2 sin θa 23 A φ = sin θa 3 A φθ = 2 sin θa 32 A φφ = 2 sin 2 θa 33 (48) Les symboles de Chistoffel de pemièe espèce sont obtenus à l aide de leu définition et de la métique définie pécédemment : Γ ij = Γ i2j = sin 2 θ sin(2θ) 2 et Γ ij = et Γ 2 ij = sin 2 θ sin(2θ) (49) (50)

17 Γ i3j = 0 0 sin 2 θ sin(2θ) 2 sin 2 θ 2 sin(2θ) 2 0 et Γ 3 ij = 0 0 cos θ 0 0 sin θ cos θ 0 sin θ (5) Ces équations pemettent de etouve les opéateus difféentiels classiques en coodonnées sphéiques. On touve pa exemple les composantes physiques des tenseus suivants : le gadient d un scalaie f : le gadient d un vecteu u : gad( u ) = u u θ u φ gad(f) = u θ u θ θ u φ θ la divegence d un vecteu u : f f θ sin θ f φ u θ u sin θ u θ + u u φ φ cos θ u sin θ φ sin θ φ u φ + u sin θ φ + cos θ sin θ u θ (52) (53) div( u ) = u + 2u + u θ θ + u φ sin θ φ + cos θ sin θ u θ (54) la divegence d un tenseu A symétique d ode 2 : div( A ) = A + A θ + A φ θ sin θ φ A θ + A θθ + A θφ θ sin θ φ A φ + A φθ + A φφ θ sin θ φ + 2A A θθ A φφ + 3A θ + cos θ + 3A φ + cos θ A sin θ θ (A sin θ θθ A φφ ) + 2 cos θ sin θ A θφ le vecteu otation associé au otationel d un vecteu u : R = u φ u θ + cos θ u θ sin θ φ sin θ φ R θ = sin θ R φ = u θ u u φ φ + u θ u θ u φ (55) (56) 7

18 le laplacien d un scalaie f : (f) = 2 f + 2 f 2 2 θ + 2 f 2 2 sin 2 θ φ + 2 f 2 + cos θ f 2 sin θ θ (57) 8