Cinématique du solide indéfomable Cinématique du solide indéfomable 1 «Je te donne un bonbon, tu me donnes un bonbon, nous avons chacun un bonbon. Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.» Povebe améicain 1 Solide indéfomable 1.1 elation de base La distance de deux points quelconques d un solide indéfomable demeue invaiable quelque soit le temps. L hypothèse de l indéfomabilité du solide se taduit pa : Soient deux points et B d un solide indéfomable (S. On a uuu B = constante emaquons tout de suite que cette hypothèse ne s appliquea qu apès une étude de sa compatibilité avec les conditions éelles en appot avec ce solide : matéiaux, géométie, suface, actions mécaniques, type d étude, On ne poua pas, pa exemple, faie l hypothèse de solide indéfomable pou étudie le mouvement d un pneumatique su une oute accidentée! 1. epèe attaché au solide La notion de epèe est diectement déduite de l hypothèse du solide indéfomable. On peut donc «attache» un epèe à un solide indéfomable en considéant 4 points non coplanaies liés au solide dont l un est l oigine du epèe et les tois autes les extémités des vecteus de la base du epèe. z z 1 O 1 y 1 1.3 Position du solide x 1 Pou paaméte un solide, il faut fixe la position de 3 points liés au solide, c est-à-die 9 paamètes. De plus, les 3 points ont une distance constante taduite pa 3 équations de liaison des paamètes. x O y La position d un solide dépend de 6 paamètes indépendants. Un choix possible des paamètes pa appot à un epèe est pa exemple : la position du point O1 dans ; les tois angles d Eule. epéage du solide indéfomable 1 Longueu et disposition des dents de oues engenant l une su l aute. Quand la dent ONL cesse de tavaille su la dent PZ, la dent BG doit commence à tavaille su la dent coespondante de la oue. (Philippe de L HIE, Taité des épicycloïdes.l HIE (1640 1718. Définis pa la suite. Lycée auban, Best classe de PTSI 1
Cinématique du solide indéfomable.1 Coodonnées catésiennes (,, x x x pou mémoie 1 3. Coodonnées cylindiques ( ρθ,,x 3 x3 OM =ρ u + x e 3 3 M en pojection su le epèe catésien O x u x1 θ m ρ.3 Coodonnées sphéiques ( ρ, θϕ, x 3 OM =ρu ϕ M en pojection su le epèe catésien x1 =ρcosθsinϕ x =ρsinθsinϕ x3 =ρcosϕ x 1 O θ u ρ m x.4 ngles d Eule Une base othonomée se déduit d une aute base othonomée pa une otation de l espace définie pa 3 paamètes. On utilise féquemment les angles d Eule dont la définition est donnée ci-apès. Soit ( x 1, x, x 3 et ( y 1, y, y 3 deux bases othonomées de x 3 y3 θ y l espace vectoiel E 3. Soit u v un vecteu appatenant à l intesection des plans ( x1, x et ( y1, y. Les tois angles d Eule pemettent de paaméte une base pa appot à une aute. Ils sont définis pa x x 1 ψ ϕ u y 1 ( x, u 1 ( x3, y3 ( uy, ψ=, angle de pécession oienté pa x 3, θ=, angle de nutation oienté pa u, ϕ=, angle de otation pope oienté pa y 3. 1 v y 3 y x 3 ψ x u θ x 3 y 3 ϕ w x 1 ψ u θ ϕ w v u x ψ 1, x, x ( u, v, x θ ϕ 3 3 ( u, w, y3 ( y 1 ( y, y y 1, 3 Lycée auban, Best classe de PTSI
Cinématique du solide indéfomable La base ( uv,, x3 La base ( uwy,, 3 est appelée pemièe base intemédiaie ; est appelée deuxième base intemédiaie. La doite diigée pa u s appelle la doite des noeuds. On a u = x y x y 3 3 3 3 3.5 ngles de Cadan ou angles TL (oulis, tangage et lacet On note θ 1, θ et θ 3 les angles de Cadan pemettant le passage du x, x, x y, y, y pa l'intemédiaie des epèe 1 ( 1 3 deux epèes '' et '. au epèe ( 1 3 x 3 y z y 3 y = y Les angles sont définis su la figue ci-conte. θ 1 x On a le passage suivant : x x x y ( ( ( ( ( X, 1 ( Y, ( Z, 3 i θ θ θ i i i x 1 θ θ 3 x y 1 z'' x' y x 1 =x" θ 1 x 3 y"=y' θ x'' z'=y 3 θ 3 y' x θ 1 y'' z" θ z' x' θ 3 y 1 3 Déivation vectoielle 3.1 Définition Soit la base othonomée diecte B ( x, x, x = de l espace vectoiel E 3. 1 3 On considèe l application de classe C 1 de dans E 3 définie pa : t v ( t d La déivée du vecteu v ( t pa appot à t est le vecteu : v ( t 3. Fomule de la base mobile d v ( t B v = lim h 0 ( t + h v ( t h B tel que C est la elation FONDMENTLE de base de la cinématique.. Soit la base othonomée diecte B ( x, y, z = de l espace vectoiel E 3. 1 1 1 1 Lycée auban, Best classe de PTSI 3
Cinématique du solide indéfomable Soit la base othonomée diecte B ( x, y, z pa appot à la pemièe base. dx dy Calculons, et (,, dz = de l espace vectoiel E 3 dépendant du paamète t B = x y z othonomée impose dx dx x = 1 d où x = 0 posons alos B 1 dy dy y = 1 d où y = 0 posons alos B 1 dz dz z = 1 d où z = 0 posons alos B 1 de plus dz dy y z = 0 d où y + z = 0 soit ξ = α B 1 dz dx x z = 0 d où x + z = 0 soit δ = β B 1 dy dx x y = 0 d où x + y = 0 soit σ = γ ce qui conduit finalement aux tois elations : B dx dy dz =γy β z =ω x =αy γ z =ω y =βy α z =ω z = γ y +δz = σ x +αz = ξ x +βy dans lesquelles on a posé : ω=ω ( B / =α x +β y +γz. C est le vecteu taux otation de la base B pa appot à la base B 1. du ( t du ( t Calculons en fonction de Soit U( t = u1i + u j + u3k U( t = xx + yy + zz. du( t La déivée de ce vecteu dans la base B s écit : B du( t La déivée de ce vecteu dans la base B 1 s écit : B 1 On a : du ( t dx dy dz = x + y + z B B 1 Lycée auban, Best classe de PTSI 4
Cinématique du solide indéfomable et du ( t dx dy dz dx dy dz = x + y + z + x + y + z B 1 B 1 dx dy dz O, on a x + y + z = ω( B / B U( t 1 B 1 B 1 On en déduit la elation fondamentale de la déivée d un vecteu dans deux bases difféentes dont l une dépendant d un paamète pa appot à l aute. du ( t du ( t = +ω 1 B ( B / B U( t 4 Moments d un vecteu Si l outil mathématique «vecteu» est bien adapté à l étude mécanique du point, il existe un aute concept mathématique qui pemet une étude ationnel de la mécanique du solide indéfomable : il s agit du toseu. 4.1 Moment d un vecteu pa appot à un point Soit un vecteu v de l espace et une doite D diigée pa v. On appelle vecteu glissant le couple ( v,d. Soit un point de D. Le moment du vecteu glissant ( v,d à un point P de l espace est défini pa : emaques : M P (, v = P v ce moment est indépendant du point de D. pa appot si H est la pojection othogonale de P su D, on a facilement la M P, v nome du moment ( ( v = PH v = d v M P (, v = P v = ( PH + H v = PH v M P,, dans laquelle d est la distance de P à la doite D. 4. Changement de point Soit un vecteu glissant ( v,d, un point de D et deux points M et P de l espace. Calculons la elation ente les moments en M et en P. On a Et M( P v = P v M M v (, = M v,, o, d'apès la elation de Chasles, on peut écie, P v = PM v + M v, d'où l'on tie M P v (, = M( M, v + PM v P M(P,v d H v Lycée auban, Best classe de PTSI 5
Cinématique du solide indéfomable 4.3 Moment d un vecteu glissant pa appot à un axe Soit un doite D et un point de cette doite. Soit un axe de vecteu unitaie u, un point B de cet axe et le vecteu glissant ( v,d. Le moment de ce vecteu glissant pa appot à l axe, se calcule en pa M(, v = u. M( B, v emaquons que M, v = u. M B, v = u B v = u, B, v. ( ( ( ( 4.4 elation ente moment et champ équipojectif Tout champ équipojectif est un champ de moment et écipoquement. Soit un vecteu glissant ( v,d, et deux points et B de l espace. On a M v (, = M( B, v + B v uuu Si l on effectue le poduit scalaie pa le vecteu B, on touve M v (, B = M( B, v B + ( B, v, B, d'où l'on peut tie uuu uuu M v B = M B v B (, (, La écipoque est vaie. On ne la démontea pas dans ce cous. 5 Toseu 5.1 Définition d un toseu pa ses éléments de éduction en un point On appelle toseu, l ensemble des deux champs de vecteus : un champ unifome, appelé ésultante du toseu, un champ équipojectif M, appelé moment du toseu en un point. Ces deux champs se nomment les éléments de éduction du toseu en un point. On note le toseu T éduit au point. 4. Invaiants d un toseu T = M On appelle invaiants d un toseu, les quantités qui estent constantes quel que soit le point où on éduit le toseu. La ésultante est invaiante pou un toseu donné. L invaiant scalaie est : I = M( ( En effet, si B est un point de l'espace : M( B v = M(, v + B v que,. On en déduit, en multipliant pa M B ( = M( Lycée auban, Best classe de PTSI 6
Cinématique du solide indéfomable L invaiant vectoiel est : I = I 4.3 xe cental d un toseu On appelle axe cental d un toseu, l ensemble des points M pou lequel la ésultante et le moment en M sont colinéaies. Le coefficient de linéaité s appelle le pas du toseu. M M λ est appelé le pas du toseu. ( = λ Si est nul, tout point de l espace convient ; M appatient à l'axe cental de T Si est non nul, supposons connu les éléments de éduction du toseu au point. On a T = M( et donc M( M = M( + M c est-à-die M( M M( = M pou détemine le vecteu M, effectuons la division vectoielle qui est possible ca on a On en tie C'est l'équation vectoielle de l'axe cental. [ M( M M( ] = 0 M M = ( + λ On appellea moment cental, la valeu du champ de moment en un point de l axe cental. emaquons les popiétés de l axe cental : Le moment est invaiant pou tout point de l axe cental ; La nome du moment est minimum en tout point de l axe cental. La position du point H intesection du plan nomal à passant pa et l'axe cental est donnée pa M H = ( M( M H M(M 4.4 Opéations su les toseus 4.4.1 ddition de deux toseus Soit T 1 et T, deux toseus éduits au même point. On a Lycée auban, Best classe de PTSI 7
Cinématique du solide indéfomable 1 T1= et T = M ( 1 M On définit la somme des deux toseus T 1 et T, pa le toseu T tel que T = T 4.4. Multiplication d un toseu pa un éel Soit le toseu T éduit en : T = M( 4.4.3 Comoment de deux toseus 1 + M1 1 + T = ( + M ( ( et λ un éel. On définit le toseu λt λt = λ λm ( pa Soit T 1 et T, deux toseus éduits au même point. On a T = M 1 1 1 ( et T M = ( On définit le comoment (ou poduit «en coix» de ces toseus pa T1 T = 1 M 1 Le comoment ne dépend pas du point de éduction. 4.4.4 Déivation d'un toseu ( + M ( Considéons un toseu {T} dépendant d'un paamète t, et dont les éléments de éduction aux points espectifs et B sont : T = M ( et T = B M B =.. On sait que l'on peut écie : M( M( B + B ( Déivons cette denièe expession pa appot à t. On a : dm( dm( B db d dm( B dob do d = + + B = + + B, ou encoe dm( do dm( B dob d + = + + B. On pose alos pou un point M quelconque, dm ( ( M dom d m M = +.On véifie alos que : m( = m( B + B, qui est bien la elation fondamentale de changement de point d'un moment d'un toseu. On peut donc écie que la déivée dt d'un toseu T, notée vaut en d dt =. dm( do + Lycée auban, Best classe de PTSI 8
Cinématique du solide indéfomable 4.5 Toseus paticulies Oute le toseu nul dont les éléments de éduction sont nuls en tout point, on définit : 4.5.1 Couple C est un toseu de ésultante nulle pou lequel il existe un point où le moment est non nul. Ce moment est alos constant pou tout point de l espace. C = 0 M Les invaiants scalaie et vectoiel d un couple sont nuls. La somme de deux couples est un couple. 4.5. Glisseu C est un toseu de ésultante non nulle, qui admet un point M pou lequel le moment est nul. G = 0 Il admet alos une doite de points pou lesquels le moment est nul. Cette doite est diigée pa. Si est un point de cette doite, (, est un vecteu glissant. La doite de moment nul est l axe cental du toseu. Son pas est nul. Son invaiant scalaie est nul. 5 appels de cinématique du point (vu en physique 5.1 Définition La cinématique est l étude des mouvements indépendamment des causes de ces mouvements. 5. Paamétage Les deux paamètes de la cinématique du point sont la position et le temps. Le pemie est elatif au epèe utilisé pou l expime, le second est absolu en mécanique classique. Nous utiliseons toujous des epèes othonomés diects dans ce cous. Soit un epèe ( O, x, y, z de l espace. La position d un point M pa appot à ce epèe est donnée pa le vecteu OM tel que : OM = xx + yy + zz, (x,y,z sont les coodonnées catésiennes de M dans. La tajectoie est le lieu des positions du point M quand t décit. On peut expime la position de M en coodonnées cylindiques ou sphéiques pa exemple. 5.3 itesse d un point pa appot à un epèe La vitesse d un point M pa appot au epèe, est la déivée pa appot au temps du vecteu position défini dans. Lycée auban, Best classe de PTSI 9
Cinématique du solide indéfomable ( M / dm = Le vecteu vitesse est obtenu en déivant dans le epèe, mais ses composantes peuvent ête données dans tout aute epèe. Le vecteu vitesse est tangent à la tajectoie du point. Expessions : dx dρ e en coodonnées catésiennes : ( M / = x + y + z dy dz dθ dz + ρ e + e en coodonnées cylindiques : ( M / = ρ θ z emaque : on note souvent : da a& da& = et = a&& 5.4 Hodogaphe Soit un point quelconque de l espace, l hodogaphe du mouvement d un point M pa appot à un epèe est le lieu des points P tel que P = M / 5.5 ccéléation d un point pa appot à un epèe ( L accéléation d un point M pa appot au epèe, est la déivée seconde pa appot au temps du vecteu position défini dans. v a ( M / d M = On en déduit que l accéléation de M est la déivée dans de la vitesse de M. d x en coodonnées catésiennes : a( M / = x + y + z d y d z On déive le vecteu vitesse pa appot à, mais on peut expime l accéléation dans un aute epèe. L accéléation est tangente à l hodogaphe du mouvement du point. 5.6 Mouvements paticulies 5.6.1 - Mouvement ectiligne La tajectoie du point M est une doite. O x M On suppose que x est le vecteu unitaie de la doite du mouvement. On a alos OM = ( dx M x d x / = a( M / = x xx si x& est constant, l accéléation est nulle et le mouvement est ectiligne et unifome. si x& & est constant, le mouvement est ectiligne et unifomément vaié. Lycée auban, Best classe de PTSI 10
Cinématique du solide indéfomable 5.6. Mouvement ciculaie La tajectoie du point M est un cecle de ayon. En choisissant un epèe ( O x, y, z point O soit le cente du cecle situé dans le plan ( O, x, y, on a OM = cos sin dans laquelle θ est fonction du temps t. ( θx + θy La vitesse du point M pa appot à est alos donnée pa ( M / = θ& ( sin θx + cos θy L accéléation du point M pa appot à est donnée pa a ( M [( && & x (&& & / = θsinθ θ cos θ + θcos θ θ sinθ y ] Le poblème se taite d une manièe plus élégante en coodonnées polaies. 5.7 Changement de epèe, tel que le On suppose que le point M est epéé pa appot à deux epèes ( O, x, y, z et ( O', x', y', z' La elation ente la position dans et celle dans est donnée pa OM = OO'+ O' M (elation de Chasles La elation ente la vitesse dans et celle dans est donnée pa déivation de l expession pécédente dans dom doo' do' M = + Les deux pemies temes sont espectivement ( M / et ( O' / Pou calcule le toisième teme, on utilise la elation de déivation vectoielle, et l on obtient : d où / ( M ( M / ' ( O' / Ω( ' / O' M do' M est la vitesse absolue de M dans ; do' M = ' + Ω ( ' / O' M ( M / = ( O' / + Ω( ' / O' M + ( M / ' est la vitesse elative de M dans. + est la vitesse d entaînement de M dans le mouvement de pa appot à. On a alos la elation ( M / = ( M / ' + ( M, ' / qui se lit : la vitesse du point M pa appot au epèe est égale à la vitesse du point M pa appot à augmentée de la vitesse du point M supposé attaché à (point coïncident pa appot à. y O θ M. x Lycée auban, Best classe de PTSI 11
Cinématique du solide indéfomable La elation ente l accéléation dans et celle dans est donnée pa déivation de l expession pécédente dans : Si l on déive la elation su les vitesses, on obtient dω ( ( ( ' / do' M a M / = a O' / + O' M + Ω( ' / En tenant compte des elations de déivation vectoielle, on obtient : d + ( M / ' dω ( ( ( ' / a M / = a O' / + O' M + Ω( ' / ( M / ' + Ω( ' / ou encoe On pose habituellement ( M / ' [ O' M] + a( M / ' + Ω( ' / ( M / ' dω ( ( ( ( ' / a M / = a M / ' + a O' / + O' M + Ω( ' / Ω( ' / a : accéléation elative de M dans ; dω ( ( ( ' / a M, ' / = a O' / + O' M + Ω( ' / ( Ω( ' / O' M : accéléation d entaînement de M supposé fixe dans dans le mouvement de pa appot à ; Ω : accéléation complémentaie ou de Coiolis. ( ' / ( M / ' L utilisation de ces elations su l accéléation se évèle apidement délicate, et il vaut mieux calcule la vitesse et déive ensuite. 6 Cinématique du solide indéfomable 6.1 Champ des vitesses d un solide indéfomable 6.1.1 elation ente les vitesses des points d un solide ( O' M + Ω( ' / ( M / ' Soit le mouvement d un solide (S pa appot à un epèe. Soit et B deux points de (S. On a B = constante i.e. ( O B O = c En déivant pa appot au temps dans le epèe, il vient ou encoe 6.1. Toseu cinématique ( ( B, S / (, S / ( O OB = 0 ( ( B,S/ (,S/ B = 0 On caactéise donc le champ des vitesses des points d un solide pa son toseu cinématique appelé également le distibuteu des vitesses de (S. Si l on attache un epèe en au solide (S, en appliquant la elation de changement de point pou un point B du solide (S, on obtient : Lycée auban, Best classe de PTSI 1
Cinématique du solide indéfomable ( B, S / = (, S / + Ω( S / B On econnaît ici la ésultante du toseu cinématique qui est ici le vecteu otation du solide (S pa appot à. Ω ( S / ( S / = (, S Soit un epèe ( O x, y, z /, de l espace. On peut pojete ce toseu su le epèe. On obtient ( S / 6.1.3 Popiétés du toseu cinématique Elles découlent des popiétés des toseus. xe cental = Ω ( S / = (, S / px + qy + z = ux + vy + wz L axe cental du toseu est appelé xe Instantané de otation et de Glissement (IG. Il est colinéaie au vecteu otation à l instant t. Sufaces axoïdes C est l ensemble des positions de l IG dans au cous du temps. Toseus paticulies couple : un instant donné, le vecteu otation est nul et tous les points du solide ont même vitesse. Le solide est à cet instant en mouvement de tanslation. L IG n est pas défini dans ce cas. Glisseu : Si le vecteu otation est non nul et si l invaiant scalaie est nul, il existe des points du solide à vitesse nulle. Ces points sont su l axe cental du toseu qui est l axe instantané de otation (I du distibuteu. cet instant, le mouvement est une otation autou de l I. 6. oulement sans glissement 6..1 Définition Supposons qu il existe à l instant t un point I tel que : ( I, S / = 0. Le point I appatient alos à l axe cental du toseu cinématique du mouvement de (S pa appot à (I. Si M véifie également cette popiété, il est su cet I. cet instant, la suface axoïde liée à (S oule sans glisse su la suface axoïde liée à. 6.. Exemples cylinde de évolution su un plan C P (C/P Le cylinde de évolution C est en contact avec le plan P le long d une généatice. Si la condition de oulement sans glissement s applique en tout point du contact, cette généatice est alos l axe instantané de otation (C/P. Lycée auban, Best classe de PTSI 13
Cinématique du solide indéfomable cône de évolution su plan C Le cône de évolution C est en contact le long d une généatice avec le plan. Si la condition de oulement sans glissement s applique en tout point du contact, cette généatice est alos l axe instantané de otation du mouvement du cône su le plan. (C/P P 6..3 Cas de plusieus solides Si le solide 1 oule sans glisse su le solide, que le solide oule sans glisse su le solide 3 et que le solide 3 oule sans glisse su le solide 1 (non nécessaiement su des sufaces éelles le I 1, 3, 31 sont concouants (éventuellement à l infini. 6.3 Champ des accéléations d un solide À pati de la elation de moment du champ des vitesses d un solide, ( B, S / = (, S / + Ω( S / B et en déivant cette expession dans, on obtient, apès calculs : a dω( ' / = + B + Ω / ( B, S / a(, S / ( B ( S / Ω( S emaquons que le champ des accéléations d un solide n est pas équipojectif : ce n est pas le champ de moment d un toseu. 6.4 Composition des mouvements 6.4.1 Composition des vitesses Soit un epèe ( O, x, y, z de l espace, et soit un epèe ( O', x', y', z' Soit un point M de (S, on sait (voi 5 que On auait de même On en déduit / ( M, S / = ( M, S / ' + ( M, ' ( M, S / ' = ( M, S / + ( M, / ' ( M, ' / = ( M, / ' La elation pécédente se généalise à plusieus epèes, et l on peut écie / n n + n... M, S / = M, S / + M, ( M, S / n = ( M, S / n 1 + ( M, n 1 n ( M S / ( M, S / ( M, En additionnant membe à membe, 1 = / n 3 ( ( ( 1 0 0 / 1 lié au solide (S. Lycée auban, Best classe de PTSI 14
Cinématique du solide indéfomable On peut écie également ( M, S / = ( M, S / + ( M, n n 0 i 1 / i = 1 / ( M S / = ( M, S / + ( M,, n 0 0 n i n 0 n i 1 / i = 1 Pa identification, on obtient ( M, / = ( M, Si les epèes ont même oigine O, on a alos la elation su les otations On en déduit la elation tosoielle 6.4. Composition des accéléations Ω n 0 n i 1 / i = 1 ( / = Ω( n 0 n i 1 / i = 1 ( / = ( Pou mémoie, mais à n utilise qu en cas d extême ugence!!! Il est péféable de déive des calculs su les vitesses. dω( '/ am ( / = am ( / ' + ao ( '/ + OM ' +Ω( '/ Ω( '/ OM ' + Ω '/ M / ' 6.5 Mouvement plan su plan 6.5.1 Toseu cinématique On dit qu un solide S est animé pa appot à un solide S, d un mouvement plan su plan, si quelquesoit l instant considéé un plan P attaché au solide S est confondu géométiquement avec un plan P attaché au solide S. y y x Soit un epèe ( O x, y, z epèe ( O', x', y', z' i i i ( ( (, de l espace, et soit un lié au solide (S. b O O a α x ( S' / S = O' Ω On peut alos défini la position de dans pa OO = ax + by x ' α = (, x' Les paamètes a, b et α coespondent aux tois degés de libeté de la liaison plane. Le toseu cinématique du mouvement de S pa appot à S, s écit alos ( S' / S = ( O', S' / S α& z = ax & + by & Lycée auban, Best classe de PTSI 15
Cinématique du solide indéfomable écipoquement, si un toseu cinématique d un mouvement de S pa appot à S a cette fome, à tout instant t, le mouvement peut ête considéé comme plan su plan. 6.5. Cente Instantané de otation (CI L axe cental du glisseu est dans la diection z. Il coupe les plans P et P en un point I. Comme en tout point de cet axe cental, on a I, S / S' = ( 0 Il existe donc, à tout instant, un point de S dont la vitesse pa appot à S est nulle. C est donc, qu à tout instant, le mouvement de S pa appot à S est une otation de cente I. Le point I est le CI du mouvement de S pa appot à S. Les sufaces axoïdes sont des cylindes, non nécessaiement de évolution, d axe z. En appliquant la elation de changement de point, on peut écie ( M, S' / S = ( I, S' / S + Ω( S' / S IM Mais ( I, S / S' = 0 donc ( M, S' / S = Ω( S' / S IM Pou tout point M de S, le vecteu vitesse ( M, S' / S est pependiculaie à IM. 6.5.3 Base et oulante d un mouvement plan su plan Le point I CI du mouvement de S pa appot à S est mobile dans les plans P et P. La tajectoie de I dans le plan P est appelée la base du mouvement de S dans S. La tajectoie de I dans le plan P est appelée la oulante du mouvement de S pa appot à S. Ces coubes sont les coubes intesection des sufaces axoïdes du mouvement avec les plans P et P. La base et la oulante d un mouvement plan su plan sont tangentes au CI, et oulent sans glisse l une su l aute. En effet, on a : ( I S' / S = ( I, S' / ( I, S / 0, 0 0 =, donc ( I, S' / 0 = ( I, S / 0 O, ( I, S' / est tangente à sa tajectoie dans P, c est-à-die la oulante et, ( I, S / 0 0 est tangente à sa tajectoie dans P, c est-à-die la base. Donc, comme I est le point de contact de la base et de la oulante, ces coubes admettent la même tangente en ce point. Et comme ( I, S' / S = 0, ces coubes oulent sans glisse l une su l aute. 6.5.4 Théoème des tois plans glissants On suppose que les plans P 3 attaché au solide 3, P attaché au solide et P 1 attaché au solide 1 sont constamment confondus géométiquement. En considéant les plans deux à deux, on note les CI des mouvements plan su plan coespondants : I 1, I 3, et I 31. On a toujous ou encoe Ω ( M, 3 /1 ( M,3 / + ( M, /1 = et en faisant inteveni les CI, ( 3 /1 I M = Ω( 3 / I M + Ω( / I M Ω 31 3 1 ( 3 /1 I M = Ω( 3 / ( I I + I M + Ω( / ( I I + I M 31 3 31 31 1 1 1 31 31 Lycée auban, Best classe de PTSI 16
Cinématique du solide indéfomable soit enfin ( Ω ( 3 /1 Ω( 3 / Ω( /1 I31M = Ω( 3 / I3I31 + Ω( / 1 I1I 31 le pemie teme étant nul pa composition des mouvements, en expimant les vecteus otations, il vient : α& & 3 z I3I 31 + α1z I1I 31 = comme z est pependiculaie à tout vecteu de du plan, la seule solution possible est : α& & 3 I 3I 31 + α1i1i 31 = Le point I 31 est donc le baycente des points I 3 et I 1, affectés espectivement des coefficients α& 3 et α& 1. En paticulie, les tois points I 31,I 3,I 1 sont alignés. 6.6 Contacts ente solides 6.6.1 Contact ponctuel 0 0 P S 1 I n 1 S Soient deux solides en contact en I. Le plan tangent commun aux deux solides en I est noté P. Le vecteu unitaie n 1 est pependiculaie à P en I et diigé du solide 1 ves le solide. On définit en I le toseu cinématique du mouvement de pa appot à 1 ( /1 Ω = I ( /1 ( I, /1 Si la vitesse de I attaché à pa appot à 1 n est plus dans le plan P, on a : - pete de contact et le poblème ne se pose plus, - pénétation de dans 1, qui n est plus un solide indéfomable. S il y a maintien du contact au cous du temps, ( I, /1 taduit pa ( I, /1 n1 = 0 Le vecteu ( I,/1 est appelé vitesse de glissement de pa appot à 1 en I. Le vecteu otation Ω ( /1 peut ête pojeté su n 1 ( /1 ( /1 Ω appatient au plan P. Cette condition se et su le plan P. On écit ( /1 = Ω ( /1 n + Ω ( /1 P 1 ΩP caactéise le pivotement de pa appot à 1 ; Ω caactéise le oulement de pa appot à 1. 6.6. utes types de contact Lycée auban, Best classe de PTSI 17
Cinématique du solide indéfomable contact linéique : Si la vitesse de glissement est nulle en tout point d une doite de contact, cette doite est pa définition, l I du mouvement d un solide pa appot à l aute. contact sufacique : Dans le cas d un contact sufacique, il n est pas possible qu il y ait oulement sans glissement en tout point de la suface. La vitesse de glissement dépend de la distance du point de contact considéé à l IG du mouvement d un solide pa appot à l aute. 7 Méthode généale d étude des systèmes de solides Détemination des goupes cinématiquement liés 1 éalisation du gaphe des liaisons Tacé du schéma cinématique Etabli les epèes et paaméte les goupes cinématiquement liés 3 4 Caactéise les liaisons 5 Détemine les cycles 6 emaques Écie et ésoude les équations d évolution 4 étape : On attibue à chaque solide un epèe de éféence. Ce epèe doit teni compte des points paticulies du solide. Les oientations des vecteus unitaies doivent ête déteminés avec soin. On installe un paamétage des longueus et des angles qui doit ende compte de manièe biunivoque de la configuation du mécanisme. Il est nécessaie d établi à ce stade, des schémas de passage d un epèe à l aute faisant appaaîte les angles. étape 5 : Établi pou chaque liaison le toseu cinématique associé, elativement au paamétage effectué. Ce toseu doit ête en un point où sa fome est la plus simple possible. Chaque liaison intoduit n c inconnues cinématiques indépendantes. 7 étape 6 : Elle pemet d écie l équation tosoielle ( 1 / + ( / 3 +... + ( 3 / k + ( k /1 = 0 qui donne au maximum 6 équations scalaies. Si b est le nombe de boucles cinématiques indépendantes du système, on a 6b équations scalaies pou un poblème spatial et 3b équations scalaies pou un poblème plan. étape 7 : Pou le calcul effectif, il faut choisi les points les plus simples, en généal les centes des liaisons et teni compte des équations complémentaies. Des poduits scalaies convenables pemettent souvent d élimine les inconnues indésiables et d obteni diectement les équations chechées. Lycée auban, Best classe de PTSI 18
Cinématique du solide indéfomable 8 Mouvements épicycloïdaux 8.1 Définitions satellite (s : c est un solide dont l I est mobile pa appot au bâti ; pote-satellite (ps : c est le solide pou lequel l I du satellite pa appot à lui est fixe ; planétaie (p : c est un solide qui oule sans glisse su le satellite. pote-satellite planétaie planétaie 8. Méthode généale de ésolution Il faut, en pemie lieu, especte la méthode généale pécédente de paamétage et de mise en équations. On cheche ensuite le satellite, ce qui pemet de détemine le pote-satellite. En se plaçant alos su le pote-satellite, on peut taduie facilement les équations de non glissement, comme dans les systèmes à axes fixes. Il convient toutefois de bien faie attention aux oientations, sutout dans le cas des cônes. Ces équations étant simplifiées, on evient au bâti pa la elation : ( i / ps = ( i / 0 (0 / ps + Dans les mouvements épicycloïdaux, il manque bien souvent des elations. Elles sont fixées pa les conditions extéieues de fonctionnement du mécanisme. 8.3 Fomule de Willis Cette fomule s obtient en écivant les conditions de oulement sans glissement aux contacts ente les oues dentées. Elle s écit ωs/ ps ωs/0 ωps/0 = = ω ω ω e / ps e / ps ps /0 ( 1 n satellite caactéistiques menantes caactéistiques menées Contact extéieu Contact intéieu n étant le nombe de contact extéieu et les caactéistiques des oues dentées étant le ayon, le diamète ou le nombe de dents. Le saviez-vous? Les axes instantanés de otation et de glissement ont été intoduits pa Michel CHSLES (1793 1880. Lycée auban, Best classe de PTSI 19