TD Equilibage Compétences tavaillées : Détemine la fome de la matice d'inetie à pati de la géométie. Détemine tout ou patie du toseu cinétique d un solide pa appot à un aute. Détemine tout ou patie du toseu dynamique d un solide pa appot à un aute. Applique le PFD, la modélisation des liaisons et des effots étant donnée, ainsi que le séquencement des isolements. Conduie une étude dynamique pou détemine cetaines composantes d AM tansmissibles. I Equilibage d une oue de voitue L'équilibeuse étudiée pemet l'équilibage des oues démontées. On donne un extait du Cahie des Chages dans le tableau suivant. Objectif : on cheche à détemine la loi déteminant la position et la masse de chacune des masselottes, de manièe à pouvoi l implémente dans la patie commande. Fonction de sevice Citèe Niveau FS1 : équilibe une oue de Dimensions des oues Toute oue de voitue voitue pa ajout de Pécision de l équilibage Baloud inféieu à 5 N masselottes Nombe de masselottes 2 L équilibeuse est constituée d'un abe 1 guidé en otation pa deux palies à oulement en O et A. Ces palies en liaison élastique avec le bâti, dans une seule diection à l'aide de deux lames flexibles, pemettent l'enegistement des composantes hoizontales des ésultantes d'action mécanique dans les palies à oulement, pa l'intemédiaie de deux capteus couplés à un epéage de la position angulaie de l'abe 1. - 1 -
Le epèe R (O, x, y, z) ( y vetical ascendant). est lié au bâti Le epèe R 1 (O, x, y1, z1) est lié à l'abe 1. On pose θ = ( y, y 1 ) avec & = constante. L'abe 1 est entaîné en otation pa une couoie su une poulie fixée au cente d'inetie G 1 de l'abe 1. Le toseu d'action mécanique de la couoie su la poulie est de la fome: &' T y# T (couoie poulie) = % $ C m x G 1 L'abe 1 (avec la poulie), de masse m 1, a pou moment d'inetie I 1 pa appot à l'axe (O, x ) et est équilibé en otation. La oue 2, à équilibe, est fixée su 1. Le epèe R 2 (B, x, y2, z2) est lié à la oue 2 avec α = ( y 1, y 2 ), angle constant mais à pioi inconnu. La oue 2, de masse m 2, a pou cente d'inetie G 2 dont la position est donnée pa BG2 = h x + z2, h et ρ étant des inconnues. La matice d'inetie en B de la oue 2 dans la base (, y, z ) est de la & A $ fome : J B (2) = $ ' F $ % ' E On note T ( 1) = mécaniques de su 1. ' F B ' D ' X & Y O O O % ZO ' E # ' D C $ # R R 2 et T' ( 1) = ' & Y $ # A A % ZA R x 2 2 les toseus d'actions I.1 Conditions d équilibage de la oue Pa définition, une oue est équilibée si les composantes des actions mécaniques de liaison sont constantes dans le temps pou une otation unifome de la oue. Si ce n est pas le cas, cela isque d engende des vibations souces d une détéioation apide des palies. L objectif de cette pemièe patie est de détemine les conditions - 2 -
à especte su les caactéistiques géométiques et inetielles de la oue afin d ête équilibée. 1. Détemine les composantes X O, Y O, Z O, Y A et Z A des ésultantes d'actions mécaniques du bâti su l'abe 1 en fonction des données. 2. En déduie les paamètes géométiques et inetiels à annule afin d ête équilibé. I.2 Mesue des caactéistiques géométiques et inetielles d une oue On utilise deux capteus d'effots, en O et A, situés dans un plan hoizontal et couplés à un capteu angulaie de l'abe 1, pou mesue les composantes suivant z des ésultantes d'action mécanique Z O (θ) et Z A (θ) du bâti su l'abe 1. 3. Détemine, en fonction de Z (), Z (π/2), Z A () et Z A (π/2), les coodonnées ρ et α du cente d'inetie G 2 de la oue 2, ainsi que les poduits d'inetie E et F. On donne: m 2 = 18 kg a = 46 mm b = 8 mm & = 6 ad/s Les capteus founissent les coubes ci-conte et les valeus ci-dessous: θ en degés 3 6 9 12 15 18 21 24 27 3 33 Z O (θ) en N 44,5 18, -12,86-4,29-56,92-58,29-44,5-18, 12,86 4,29 56,92 58,29 Z A (θ) en N -1,53 -,28 1,4 17,68 2,57 17,96 1,53,28-1,4-17,68-2,57-17,96 4. En déduie les valeus numéiques de ρ, α, E et F. I.3 Equilibage de la oue La oue sea équilibée avec deux masselottes 3 et 4, assimilables à des points matéiels M 3 et M 4 de masse m 3 et m 4, situées de pat et d'aute de la jante, de telle sote que: BM 3 = u 3 et BM 4 = c x + u 4 avec i = ( z 2, u i ) étant le ayon de la jante et c son épaisseu. 5. Ecie les conditions d'équilibage de la oue 2. Véifiez que le poblème admet bien une solution. 6. Détemine les masses m 3 et m 4 des masselottes ainsi que leu position β 3 et β 4 su la jante en fonction des caactéistiques de la oue. On donne: = 19 mm c = 18 mm 7. En déduie les valeus numéiques de m 3, m 4, β 3 et β 4. - 3 -
II ROTOR DE TURBINE Pou éponde aux besoins spécifiques du maché de l aviation égionale, Snecma (goupe Safan) popose depuis 23 le moteu SaM146, développé en coopéation avec le motoiste usse NPO Satun, au sein d une filiale commune PoweJet. Il pemet d équipe toute une famille d avions cout couie (6-1 places) avec un même moteu. Fonction de sevice Citèe Niveau Encombement donné FS1 : Tansmette la Duée de vie 5 h puissance du moteu Vitesse de otation 12 t/min Masse en otation 15 kg Objectif : Nous nous intéessons ici au désalignement maximal admissible ente l axe de otation du oto et son axe pincipal d inetie, de manièe à véifie le citèe de duée de vie. On note 1 le oto de la tubine, sa masse m et son cente de gavité G. Il toune autou d'un axe fixe hoizontal Gz et epose su deux palies et ' équipés de coussinets en bonze (montés seés dans les palies) distants de 2L. On modélise l'action des coussinets su l'abe du oto pa deux glisseus F et F ' passant pa A et A' et pependiculaies à l'axe Gz (fottement négligé et existence d'un jeu fonctionnel ente abe et coussinets). À cause des impefections de fabication, l'axe de évolution Gz du oto fait un angle ε avec l'axe Gz (ε constant et tès petit). y 1 z z A (1) G A' ε F y () (') x α L x 1 L x x 1 Soient les epèes suivants: - R (G x y z ) galiléen, avec Gx vetical descendant, lié aux palies - R 1 (G x 1 y 1 z 1 ) lié au oto 1 tel que (x,x 1 ) = α - R (G x y z ) système d'axes pincipaux du oto avec (z,z) = ε Les moments pincipaux d'inetie du oto en G sont notés A, A et C dans le epèe R. - 4 -
1 - Le oto est-il équilibé statiquement, dynamiquement? Justifie. 2 - Le oto est lancé initialement à la vitesse ω pa appot à Gz et les seules foces agissant su lui sont la pesanteu et les actions des coussinets. Détemine l'évolution de la vitesse angulaie & (t) au cous du temps. 3 - On suppose ω = Cte. Détemine le moment cinétique (G,1/) et le moment dynamique (G,1/) du oto en fonction de ε en pojection dans le epèe R (Teni compte du fait que ε est tès petit). 4 - Détemine les coodonnées de F et F' dans le epèe R 1. Monte que F peut se mette sous la fome F x + F 1 x 1, F et F 1 étant des constantes à calcule. 5 - On suppose A > C. On désie étudie la position du point de contact ente l'abe et les coussinets. Monte en epésentant F dans R puis dans R 1 qu'il existe deux égimes: - pou ω < ω, le contact se fait en tous les points de la ciconféence de l'abe; pa conte, le contact ne se fait que su un domaine limité du coussinet. - pou ω > ω, le contact se fait en tous les points du coussinet; pa conte, une patie seulement de la ciconféence de l'abe ente en contact avec le coussinet. Calcule ω, en fonction de A, C, ε, L, m et g. Quel est le égime péféable? 6 - A.N.: m = 15 kg; A = 135 kg m²; C = 6 kg m²; L =,6 m; ω = 12 t/mn Quelle valeu maximale (en degés) peut-on tolée pou ε pou este dans le égime péféable? - 5 -