Parie I. 1. a) Soi / πz. On a alors : Corrigé du problème S n () + ic n () = 1 + n Si πz, S n () + ic n () = n + 1. b) Ainsi, si / πz : = 1 e ik 1 ein + ei = 1 sin(n/) + 1 e i ei(n+1)/ sin(/) S n () = 1 sin(n/) + cos(n + 1)/ sin(/) sin(n + 1/) sin(/) + sin(/) = sin(/) = sin(n + 1/) sin(/) Si πz, S n () = n + 1. sin(n + 1/) c) La foncion es coninue sur ], π] e se prolonge par coninuié en par sin(/) (n + 1/) (avec un développemen ié immédia). La foncion S n () es donc coninue sur [, π], e : sin(n + 1/) π d = S n ()d = π n sin(/) + cos(k)d = π. a) e b). La foncion f : 1 sin(/) 1 es de classe C sur ], π]. Au voisinage de : f() 4 La foncion f se prolonge donc par coninuié en avec f() =. De plus, pour ], π] : f () = cos(/) 4 sin (/) + 1 qui es équivalen au voisinage de à 1/4. La foncion f se prolonge en une foncion de classe C 1 sur [, π]. La foncion f es donc bornée sur [, π]. 3. a) La foncion f éan de classe C 1 sur [, π], on uilise une inégraion par paries pour obenir : f() sin(n + 1 )d = n + 1 f () cos(n + 1 )d b) Ainsi : f() sin(n + 1 )d 1 π n + 1 sup f () [,π]
c) E donc : f() sin(n + 1 n + )d = 4. La foncion f es de classe C sur ], π/]. Pour ou ], π/] : (f ) () = cos ( an ) On obien immédiaemen que cee dérivée rese négaive sur ], π/]. La foncion f es donc décroissane sur ce inervalle de 1 à /π. De plus f adem un prolongemen par coninuié en avec f () = 1. b) On a : L éude des variaions de f perme d écrire : / sin d = sin u du u π π sin d π 5. a) L égalié sin d = 1 cos + 1 cos d valable pour > s obien par une inégraion par paries en prenan 1 cos comme primiive de sin. b) La foncion 1 cos es coninue sur R +, e majorée en module sur [1, + [ par. Cee foncion es donc sommable sur R +. De plus =. Ainsi : + 6. a) Un changemen de variable éviden donne : e comme + + sin d eise sin(n + 1/) (n+1)π/ d = sin d eise, il vien : sin d = (n+1)π/ n + sin d = 1 cos sin u u du n + sin(n + 1/) d b) On écri : sin d = sin(n + 1/)f()d + sin(n + 1/) d sin(/)
e on uilise les quesions 1.c) e 3.c) pour obenir : sin d = π 7. a) b) La foncion sin m es coninue sur R. De plus, pour ou X > : si m >, X mx X + sin m mx d = sin + d = sin d si m <, la foncion sin m éan impaire, on obien si m =, il vien A() =. sin d = π sin m d = π Parie II. cos a cos b 1. a) e b) La foncion es coninue sur R +. Au voisinage de, on a : cos a cos b b a En posan k() = c = b a, la foncion k es coninue sur R +.. a) La foncion k es coninue sur R + e pour 1, k(). Ceci enraîne la convergence de l inégrale I(a, b). b) On a vu (I. 7) que, pour m : sin m d = 1 m 1 cos(m) d donc Donc : a sin(a) + d + b sin(b) + cos(a) cos(b) d = I(a, b) = π ( b a ), a, b I(a, ) = a π, I(, b) = b π 3. a) b) En éinan les cas riviau où l un des deu réels α ou β es nul, il vien : sin(α) sin(β) = 1 ( (α β) cos cos 3 ) (α + β)
ce qui donne J(α, β) = 1 ( α β I, α + β ). 4. a) Les cas = e = 1 son riviau. Limions-nous à ], 1[. La foncion g es de classe C sur R +. Au voisinage de +, on a : g (y) 3 πy y 3 ( 1)y 6 3 Ceci jusifie la coninuié de g sur R +. b) La foncion y g (y) sin(y) es coninue sur R + es majorée sur [1, + [ par y 4. Elle es πy donc sommable sur R +. c) f es impaire, puisque la foncion sinus l es. d) Il vien : f () = (sin(y) sin(y) sin(y) sin(y)) dy πy = (J(, ) J(1, )) π = 1 ( I( π, + ) I(1, 1 + ) ) En uilisan les valeurs de I(a, b) rouvées en II. b), il vien : (1 ) si < f () = (1 ) si 1 si > 1 5. Si ], 1[, f es dérivable sur [, [ ], 1[ ]1, + [ e : { 1 f () = si < si < < 1 si > 1 Les dérivées ne se raccorden pas, donc B = R + \{, 1}. Si = ou si = 1, f () =, donc B = R +. 6. a) La foncion y sin(y) sin y y cos(y) es coninue sur R +. De plus : ( ) sin(y) sin y cos(y) = 1 (sin(( + )y) sin(( )y) [sin((1 + )y) + sin((1 )y)]) π y πy On reprend les noaions de la quesion I.6.b) e on obien : sin(y) sin y y ce qui donne l eience cherchée. cos(y)dy = 1 (A( + ) + A( ) (A(1 + ) + A(1 ))) π 4
b) c) d) On a, pour ], 1[ : 1 = f () si < = f () si < < 1 L(, ) = = f () si > 1 1/ si = 1 / si = 1 On obien le même ype de résula pour = e = 1. Parie III. 1. g es une foncion π périodique, paire.. b) La foncion g es coninue sur R, π périodique e C 1 par morceau. Le héorème de Dirichle s applique e on rouve : a (g) = 3, e k 1 a k(g) = k π e pour ou [, ] g() = 1 3 π + la convergence de cee série éan normale sur [, ]. cos k k 3. Si 1, F (, ) = (1 ) = f () si < 1, e si 1, F (, ) = (1 ) = f () si 1. c) On a : f () = 1 + cos(k( + )) cos(k( )) π k Corrigé de l eercice 1. a) On cherche une soluion développable en série enière de l équaion (E1). En supposan son rayon de convergence non nul e en dérivan erme à erme, on obien, pour p : b) Donc si a, a p, p 1 e : p(p + 1)a p+1 + (p + 1)a p+1 a p = a p+1 a p = 1 (p + 1)(p + 1) qui end vers lorsque p end vers l infini. Le rayon de convergence de la série enière es donc infini. c) d) On obien pour ou p 1, a p = p (p)! e f() = + p= () p { ch( ) si (p)! = cos( ) si 5
. En posan y() = z()f(), l équaion (E1) devien : f()z () + (4f () + f())z () = b) Sur un inervalle I où rien ne s annule, en séparan les variables, on obien : z () = C f () si I R +, on résoud z () = C ch ( ), soi : e si I R, on résoud z () = z() = C h( ) + K y() = C sh( ) + K ch( ) C cos ( ), soi : z() = C an( ) + K e y() = C sin( ) + K cos( ) On s aperçoi que, dans les deu cas, la foncion y obenue es définie e de classe C sur R + (resp. R ). Le héorème de Cauchy linéaire nous perme de conclure que l ensemble des soluions de (E1) sur R + (resp. R ) es un espace vecoriel de dimension de base (sh, ch ) (resp. (sin, cos ). E qu en es-il des soluions sur R? 6