PHYIQUE Dépatement des Technologies Industielles (TIN) ÉLECTROMAGNÉTIME Pof. Andé Peenoud Edition janvie 3 Ande.Peenoud (at) heig-vd.ch HEIG-VD / APD
T A B L E D E M A T I E R E PAGE. INTRODUCTION.... LA MATIÈRE ET LE FORCE QUI LA RÉGIENT.... PLAN DU COUR.... ÉLECTROTATIQUE... 3. LE PREMIÈRE EXPÉRIENCE... 3. LA LOI DE COULOMB... 5.3 LE CHAMP ÉLECTRIQUE... 8.3. Eemples de calcul... 9.3.. Champ électique poduit pa une seule chage placée à l oigine... 9.3.. Champ électique poduit pa deu chages sépaées pa une distance a.....3..3 Champ électique su l ae d un anneau unifomément chagé....3. Le potentiel électique....3.. Calcul du tavail nécessaie pou déplace une chage dans un champ électique....3.. Eemple : Potentiel d une chage ponctuelle... 3.3..3 Équipotentielles de deu chages ponctuelles... 4.3..4 Énegie potentielle d un ensemble de chages... 5.3..5 Méthode de l image... 5.3..6 Ciculation du champ électique... 6.3..7 Notion de gadient... 7.3.3 Le flu du champ électique... 8.4 LE THÉORÈME DE GAU... 9.4. Applications du théoème de Gauss....4.. Champ électique poduit pa un baeau ectiligne infini unifomément chagé....4.. Champ électique poduit pa une plaque infinie unifomément chagée....4..3 Champ électique dans un condensateu plan... 3.5 LE CONDENATEUR... 4.5. Condensateu plan... 4.5. Condensateu clindique... 5.5.3 Condensateu sphéique... 6.5.4 Ligne bifilaie... 6.5.5 Combinaisons de condensateus... 7.5.6 Énegie stockée... 8.6 LE CHAMP ÉLECTRIQUE DAN LA MATIÈRE... 9.6. Matéiau conducteus... 9.6.. Blindage électostatique... 3.6.. Plaque conductice à l intéieu d un condensateu plan... 3.6. Matéiau diélectiques... 3.6.3 Le champ de déplacement électique... 36.6.4 Compotement du champ électique à l inteface de deu diélectiques... 38.6.5 Dipôle électique... 39.6.5. Énegie potentielle d un dipôle dans un champ électique constant... 39.6.5. Champ électique d un dipôle électique à gande distance... 4 3. LE COURANT ÉLECTRIQUE... 4 3. COURANT DE DÉCHARGE D UN CONDENATEUR EN FONCTION DU TEMP... 4 3. RÉITIVITÉ... 43 3.. Théoie micoscopique élémentaie... 43
PAGE 3.. Puissance dissipée pa effet Joule... 45 3..3 Vaiation de la ésistivité des métau en fonction de la tempéatue... 46 3.3 CONDUCTIVITÉ, DENITÉ DE COURANT ET ÉQUATION DE CONTINUITÉ... 48 3.3. Loi d Ohm sous fome locale... 48 3.3. L équation de continuité sous fome intégale... 49 3.3.3 L équation de continuité sous fome locale... 5 3.4 L ÉQUATION DE POION... 5 4. MAGNÉTOTATIQUE... 53 4. LE MAGNÉTIME NATUREL... 53 4. TROI EXPÉRIENCE CÉLÈBRE... 55 4.. Epéience d Oested... 55 4.. Epéience d Ampèe... 55 4..3 Epéience de la otation magnétique de Faada... 56 4.3 LE CHAMP MAGNÉTIQUE... 57 4.3. Fome des lignes de champ... 57 4.3. Foce su un élément de couant Loi de Laplace... 58 4.3.. Application de la loi de Laplace: le galvanomète à cade mobile... 59 4.3.3 Moment magnétique... 6 4.3.4 Loi de Biot et avat... 6 4.3.4. Champ B poduit pa un conducteu ectiligne infini... 63 4.3.4. Champ B su l ae d une spie... 65 4.3.4.3 Bobines de Helmholt... 66 4.4 FORCE ENTRE DEUX CONDUCTEUR PARALLÈLE DÉFINITION DE L AMPÈRE... 67 4.5 LE THÉORÈME D AMPÈRE... 68 4.5. Applications du théoème d Ampèe... 7 4.5.. Champ dans un solénoïde long... 7 4.5.. Champ dans un solénoïde cout... 7 4.5..3 Champ dans une bobine toique... 7 4.5. Foce de Loent... 7 4.5.. Mouvement d une paticule dans un champ magnétique unifome... 7 4.5.. Effet Hall... 74 4.6 LE THÉORÈME DE GAU MAGNÉTIQUE... 76 5. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE... 77 5. EXPÉRIENCE DE FARADAY... 77 5.. Applications de la loi de Faada-Len... 8 5... Bobine tounant dans un champ magnétique unifome... 8 5... Pincipe du moteu à couant continu... 8 5...3 Inductance d un solénoïde... 83 5...4 Inductance mutuelle de deu solénoïdes... 85 5...5 Énegie stockée dans une bobine... 86 5...6 Densité d énegie du champ B... 86 5. LOI DE FARADAY OU FORME INTÉGRALE... 87 5.3 LE CHAMP D INDUCTION MAGNÉTIQUE DAN LA MATIÈRE... 88 5.3. Peméabilité elative... 88
PAGE 5.3. Champ magnétique H et magnétisation... 89 5.3.. Intepétation de la magnétisation.... 9 5.3.3 Les cicuits magnétiques... 95 5.3.3. Loi d Ohm magnétique... 96 5.3.3. Eemple de calcul du flu dans un cicuit simple... 97 5.3.3.3 Eemple de calcul du champ dans l entefe d un aimant... 98 5.3.3.4 Foce électomécanique... 99 5.3.4 Tansfomateus... 5.3.5 Compotement du champ magnétique à l inteface de deu matéiau... 3 5.3.6 Champ à gande distance d un dipôle / moment magnétique... 4 5.4 RÉUMÉ DE QUELQUE FORMULE IMPORTANTE... 6 6. LE ÉQUATION DE MAXWELL... 7 6. FORME INTÉGRALE... 7 6. FORME LOCALE... 8 6.3 INTRODUCTION AUX ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE... 6.3. Ondes planes... 6.3. Densité d énegie d une onde plane EM... 4 6.3.3 Intensité d une onde plane EM... 5 INDEX... 6
INTRODUCTION Page. INTRODUCTION. LA MATIÈRE ET LE FORCE QUI LA RÉGIENT La matièe est composée de paticules qui se egoupent d une multitude de façons pou fome les diveses substances que nous connaissons. L étude de la natue des paticules et des foces qui les attient ou les epoussent occupe les phsiciens depuis la nuit des temps. On connaît actuellement 4 foces fondamentales : La foce de gavitation : deu paticules massives s attient popotionnellement au poduit de leus masses et invesement au caé de la distance qui les sépaent ; c est la loi de l attaction univeselle publiée la pemièe fois en 687 pa Isaac Newton. La gavitation est pépondéante à gande échelle ; elle end compte du mouvement des astes et pemet en paticulie de pédie les positions des planètes dans le sstème solaie. La foce électique : deu paticules chagées se epoussent ou s attient popotionnellement au poduit de leus chages électiques et invesement au caé de la distance qui les sépae ; cette loi a été énoncée ves 784 pa Chales de Coulomb su la base de mesues faites ente cops chagés (électisés) pa fottement. L attaction ou la épulsion s eplique pa la fait qu il eiste deu sotes de chages, positive et négative. Deu chages de même signe se epoussent et deu chages de signe contaie s attient. L idée que la matièe était faite de paticules chagées électiquement s imposa peu à peu au XIX e siècle gâce au pogès éalisés en chimie et en phsique. Les cops simples sont constitués d atomes tous semblables, eu-mêmes fomés d un noau chagé positivement et entoués d électons chagés négativement. La chage de l électon fut mesuée pou la pemièe fois pa J. J. Thomson en 897. L hpothèse d un noau positif placé au cente de l atome fut confimée epéimentalement pa Ruthefod en 9. La foce fote (ou foce nucléaie): elle a été postulée pou eplique la cohésion des noau d atomes qui sont composés de potons et de neutons. Une foce capable de vaince la épulsion électique des potons est en effet nécessaie à l échelle du noau afin que celui-ci n éclate pas. La pemièe modélisation théoique de l inteaction fote est l oeuve Yukawa et date de 935. La foce faible : elle a été intoduite pou ende compte des aonnements émis spontanément pa cetaines substances comme l uanium. Découvete en 895 pa Heni Becqueel, la adioactivité fut ensuite l objet des tavau de Maie et Piee Cuie. Les effets obsevés ne pouvaient s eplique pa les foces connues à cette époque. Dans les années 93, on compit le ôle cucial que jouait l inteaction faible dans les éactions nucléaies epliquant le fonctionnement du oleil. Il fallut de nombeuses epéiences au moen d accéléateus de paticules toujous plus puissants avant qu une classification des paticules (modèle standad, hpothèse des quaks, 964) et une théoie satisfaisante de l inteaction faible ne soient poposées. Au gandes énegies, les foces électiques et faibles pedent leu individualité. L unification de ces deu foces au niveau théoique date de la fin des années 96.
INTRODUCTION Page Dans le cusus des études d ingénieu, la connaissance patique des deu pemièes foces est incontounable. Taditionnellement, la gavitation fait patie du cous PHY et l électomagnétisme du cous PHY. L étude des deu autes foces fait patie de ce qu on appelle la phsique modene, c'est-à-die celle qui s est développée depuis le début du XX e siècle avec l avènement de la théoie de la elativité et de la mécanique quantique. Le lecteu aua emaqué que la foce magnétique n a pas encoe été mentionnée. Cependant, pou un ingénieu, il s agit d une foce tout aussi impotante que la foce électique. En effet, les foces magnétiques inteviennent dans une foule de dispositifs tels que moteus, actionneus, capteus. En éalité, les foces magnétiques appaaissent losque des chages électiques sont mises en mouvement. Un obsevateu immobile pa appot à un ensemble de chages immobiles ne peceva que des foces électiques (électostatiques). Comme l ont monté Loent et Einstein, les foces magnétiques qui viennent s ajoute sont une conséquence des mouvements elatifs des chages électiques les unes pa appot au autes. C est ce qui eplique que, du point de vue du phsicien, la foce magnétique ne soit plus considéée comme fondamentale, au même tite que les quate autes. En patique, il n est heueusement pas nécessaie d applique la théoie de la elativité chaque fois que l on veut concevoi un nouvel actionneu ou pefectionne un moteu. Il suffit en pincipe de connaîte les lois classiques de l induction et les popiétés des matéiau, c est-àdie les bases de l électomagnétisme.. PLAN DU COUR L ode des chapites eflète le développement histoique de l électomagnétisme, ce qui pésente l avantage didactique d alle du plus simple au plus compliqué. L ode généal est le suivant : Électostatique Couant électique Magnétostatique Induction Unification électomagnétique : les équations de Mawell. Les ondes électomagnétiques seont étudiées dans la deuième patie du cous PHY, qui est consacée au difféents tpes d ondes. Le cous est complété pa des séies d eecices. Lives Phsique, Électicité et magnétisme, Hallida, Resnick, Walke, Éd. Chenelièe / McGaw- Hill, 3. Phsique, Électicité et magnétisme, Douglas C. Giancoli, Éd. De Boeck Univesité. Phsique, Électicité et magnétisme, Hais Benson, Éd. du Renouveau Pédagogique, Montéal. Aide-mémoie de l électomagnétisme, Odile Picon, Patick Poulichet, Éd. Dunod, Pais,.
ÉLECTROTATIQUE Page 3. ÉLECTROTATIQUE. LE PREMIÈRE EXPÉRIENCE Le mot électicité vient du gec êlecton (λεκρον), qui signifie ambe. Les Gecs anciens avaient emaqué que l ambe fotté avec un tissu attiait la poussièe ou de petits objets. elon l histoie des ciences, c est Thalès de Milet (-65 à -547), savant et philosophe gec de l école ionienne (côte ouest de la Tuquie actuelle) qui se péoccupa le pemie des phénomènes électiques. Pendant des siècles, il semble que pesonne ne se soit intéessé vaiment à cette découvete, ca on ne voait pas ce qu on pouvait en faie patiquement. À la fin du XVII e siècle les epéiences epennent avec d autes matéiau. Le vee, l ébonite (caoutchouc duci) ont aussi la popiété de s électise pa fottement. Pou les métau, cela s avèe plus difficile. En evanche, si on touche un moceau de métal avec une baguette chagée, on lui communique dans son entie la popiété d attie des petits objets. Tout se passe comme si cette popiété mstéieuse s écoulait, telle un fluide, au taves du métal. Cette obsevation est fondamentale, puisque qu elle pemet de classe les matéiau ente conducteus et isolants. Enfin, on constate que les objets isolants électisés pa contact se epoussent. Ébonite _ Fotté avec une peau de chat _ a) Répulsion Vee +++++++++ + + + Fotté avec de la soie +++++ + b) Répulsion Fig.. - Les chages de même natue se epoussent Dans l epéience schématisée ci-dessus, on appoche une baguette chagée d une petite balle de sueau initialement neute. Apès s ête chagée pa contact, cette balle est epoussée pa la baguette. Résine fossile de couleu jaune ouge povenant de conifèes. Mentionnons aussi Aistote (-384 à -3), fondateu de l école d Athènes, qui s intéessa au poissons électiques et essaa d utilise leus déchages à des fins théapeutiques.
ÉLECTROTATIQUE Page 4 Vee +++++++++ Fotté avec de la soie + +++++ _ c) Attaction Ebonite _ Fotté avec une peau de chat + + + d) Attaction Fig.. - Les chages de natue contaie s attient Dans l epéience schématisée ci-dessus, losqu on appoche une baguette chagée d une petite balle de sueau chagée au moen de l aute baguette, on constate que la balle subit une attaction. On conclut de ces epéiences qu il eiste deu sotes d électicités. D abod nommées viteuse et ésineuse (Chales du Fa, 733), elles fuent ensuite appelées positive et négative pa Benjamin Fanklin 3, appellation que nous utilisons encoe aujoud hui. Fanklin démonta la natue électique la foude et le pouvoi des pointes d attie celle-ci. On lui doit l invention du paatonnee qui pemet de potége les maisons en pemettant à l électicité de s écoule ves la tee sans povoque ni incendie ni dégât. i au XVIII e siècle les phénomènes électiques paaissaient bien mstéieu, ils s epliquent de nos jous facilement gâce à note connaissance de la stuctue de la matièe. En fottant une baguette de vee avec un chiffon de soie, on aache des électons au atomes de vee, ce qui povoque un déséquilibe dans la épatition des chages : le nombe des potons étant supéieu à celui des électons, la baguette appaaît chagée positivement. Les électons aachés n ont pas dispau ; ils sont etenus pa la soie, qui elle est chagée négativement. Le même aisonnement peut ête fait pou l ébonite et la peau de chat : dans ce cas le fottement povoque un suplus d électons su l ébonite. Enfin, la bonne conduction des métau s eplique pa le fait que les électons péiphéiques sont elativement libes de se déplace d un atome à l aute dans la stuctue cistalline. Un lége déséquilibe dans la épatition des chages suffit à les mette en mouvement, tout comme une difféence de pession met en mouvement les paticules d un ga. 3 Benjamin Fanklin (Boston 76 Philadelphie 79). Phsicien et homme politique améicain, auteu avec T. Jeffeson de la Déclaation d Indépendance.
ÉLECTROTATIQUE Page 5. LA LOI DE COULOMB Il n est pas facile de mesue la foce ente deu cops électisés pa simple fottement. D une pat la foce est tès faible et d aute pat les cops ont tendance à se déchage. Les pemièes mesues fuent faites pa Coulomb 4 au moen d une balance de tosion, semblable à celle de Cavendish. Ce qu il a de emaquable, c est que la foce pésente la même dépendance en / que la loi de la gavitation univeselle, mais, dans le calcul, c est les chages qui inteviennent au lieu des masses. Coulomb publia la loi qui pote désomais son nom en 784. F q F q O Fig..3 Foces électiques ente deu chages considéées comme ponctuelles Pa convention : F foce eecée su la chage pa la chage Repèe O F foce eecée su la chage pa la chage Le sstème étant isolé, la loi de l action et de la éaction implique F F. Notons F le module de ces foces : F F F. Dans le sstème d unités intenational (I), la loi de Coulomb s écit : qq sous fome scalaie : F [N] (.s) 4 sous fome vectoielle : qq F [N] (.v) (avec ) 4 L unité de chage est le coulomb, C en abégé. C est la chage tanspotée pa un couant de ampèe pendant seconde. C = A s La constante vaut envion 9 9 N m /C. 4 4 Chales de Coulomb, Angoulême 736 Pais, 86.
ÉLECTROTATIQUE Page 6 On écit la constante sous cette fome pou des aisons histoiques qui seont epliquées dans la suite du cous. En intoduisant le facteu 4 dans la loi de Coulomb, on évite d avoi à l écie dans cetaines fomules et équations impotantes de l électomagnétisme. Il eiste d autes sstèmes d unités dans lesquels la constante de popotionnalité pend d autes valeus. Pa eemple, dans le sstème d unités électostatiques CG, on la pose égale à l unité, ce qui a pou conséquence de défini l unité de chage, puisque les unités de foce et de longueu sont déjà fiées. Apès l unification des théoies de l électicité et du magnétisme, il est appau péféable de pende comme unité fondamentale celle du couant électique, plutôt que celle de la chage. Les couants sont beaucoup plus faciles à mesue que les chages électiques isolées. Les ondes électomagnétiques se popageant dans le vide à la vitesse de la lumièe, c, nous veons qu il eiste une elation ente et c, que l on écit habituellement comme suit : c (.) Constante : Valeu eacte Unité Unité Valeu appochée Vitesse de la lumièe : Peméabilité du vide : c 99 79 458 m/s 3 8 7 4 N/A V s/(a m) Pemittivité du vide : c C /(N m ) A s/(v m) 8,854 - c 7 c 4 4 N m /C V m/(a s) 9 9 Table. Les constantes fondamentales de l électomagnétisme (L unité de potentiel électique, le volt, V, sea définie plus loin au.3..) Au cous du XIX e siècle, la théoie atomique de la matièe s imposa définitivement. Un atome est constitué d un noau chagé positivement entoué d électons chagés négativement. Le noau est fomé d un nombe vaiable de potons et de neutons. Poton Chage Masse e,6-9 C m,676-7 kg Neuton m n,6749-7 kg Électon e,6-9 C m 9,94-3 kg Table. Les paticules constitutives de l atome 5 p e 5 Voi pa eemple www.metas.ch pou les valeus actualisées avec toutes les décimales connues.
ÉLECTROTATIQUE Page 7 Un atome neute possède autant d électons que de potons. Ce nombe, le numéo atomique, est caactéistique d un élément donné. Eemples : l hdogène, le plus lége, Z = ; le fe, Z = 6 ; l uanium, l élément natuel le plus loud, Z = 9. C est la foce de Coulomb qui assue la cohésion de l atome. On peut s imagine l atome comme un sstème solaie en miniatue, le noau étant le oleil et les électons les planètes. Chaque électon possède une énegie cinétique et une énegie potentielle. L énegie qu il faut founi pou aache un électon à un atome est appelée énegie de liaison. Les caactéistiques chimiques d un élément dépendent de l aangement de ses électons péiphéiques. En mettant en commun les électons qui sont les moins liés à leu noau, les atomes peuvent fome des molécules dont les caactéistiques phsicochimiques sont en généal adicalement difféentes des éléments qui les constituent. Eemple : NaCl, le sel de cuisine composé d atomes de sodium, Na, un métal s enflammant spontanément à l ai libe et d atomes de chloe, Cl, fomant un ga toique (Cl ). La stuctue atomique de la matièe pemet de compende deu pincipes impotants : Dans un sstème phsique femé, la somme algébique des chages électiques este constante. En effet, en modifiant la épatition des électons et des potons, on ne change pas la somme des chages électiques. C est le pincipe de la consevation de la chage. Ce pincipe n a encoe jamais été mis en défaut, même en phsique des hautes énegies. Les chages électiques obsevées à l échelle macoscopique sont toutes des multiples enties de celle de la chage élémentaie 6. C est le pincipe de la quantification de la chage. Dans les chapites suivants, nous allons étudie les foces électostatiques qui se manifestent à note échelle ente cops chagés. Vu le tès gand nombe de chages élémentaies mises en jeu, la chage totale poua ête taitée comme une gandeu continue epimée en coulombs. i nécessaie, on peut toujous calcule le nombe de chages élémentaies qui inteviennent. Eemple : Combien a-t-il de chages élémentaies tanspotées en seconde pa un couant de A? Chage tanspotée : q =A s = C q 8 Nombe de chages : n 6,4 9 e,69 Ce nombe est gigantesque. Même dans les dispositifs micotechniques, tels que les accéléomètes, pa eemple, où les chages se mesuent en nano- ou picocoulombs, le nombe de chages élémentaies mises en jeu este tès gand. 6 elon la théoie des quaks, les potons et neutons sont constitués de 3 paticules (les quaks) aants des chages factionnaies. Cependant on n a pas encoe pu les obseve de manièe isolée.
ÉLECTROTATIQUE Page 8.3 LE CHAMP ÉLECTRIQUE L intepétation de la loi de Coulomb soulève un poblème d ode métaphsique. On est en pésence de deu paticules qui ne se touchent pas, mais qui eecent néanmoins une foce l une su l aute. D ailleus, ce même poblème se enconte aussi en gavitation. Pou ende compte de ce gene d action à distance, on intoduit en phsique la notion de champ 7. Cela n eplique pas la natue pofonde du phénomène, mais, en attendant une théoie meilleue, cela s avèe d une gande utilité en patique. La paticule cée un champ pésent dans tout l espace ; la paticule inteagit avec ce champ, ce qui se taduit pa une foce qui s applique su elle. Losque plusieus paticules sont en pésence, chaque paticule essent l attaction ou la épulsion des autes. Les foces s additionnent vectoiellement. i l on pend un sstème de n paticules de chage q i, la ésultante agissant su une paticule de chage q s écit: F 4 n i q q i i 3 i (.3) Les vecteus i epèent les positions des chages q i et epèe la position de la chage q. En mettant la chage q en évidence, on définit le champ électique comme suit : E F q 4 n i q i i 3 i [N/C] [V/m] (.4) Le champ électique est epimé habituellement en volt pa mète. Epimé en unités de base: V = m N C - = m (kg m s - ) (A s) - - = m kg s -3 A Zone où se touvent les n chages O i q i q F Résultante de toutes les foces F En ce point le champ vaut E q Fig..4 Champ électique poduit pa un ensemble de chages Ainsi l action des n chages est ésumée en tout point de l espace pa un vecteu E qui dépend de la position. On pale d un champ de vecteus, ou plus simplement de champ. La foce qe s appelle foce de Coulomb. 7 Poposée la pemièe fois pa Faada.
ÉLECTROTATIQUE Page 9.3. Eemples de calcul.3.. Champ électique poduit pa une seule chage placée à l oigine La chage est désignée pa q et dans ce cas :. La foce F essentie pa une chage test q epéée pa vaut selon (.3) : qq F. 4 E F q 3 [V/m] (.5) q 4 Dans ce cas le champ E a la même diection que. On dit que le champ est adial. - Chage positive Chage négative Fig..5 Champ électique adial poduit pa une seule chage Pou epésente gaphiquement un champ électique, on peut dessine quelques vecteus. Les lignes qui sont constamment tangentes au vecteus E( ) sont appelées lignes de champ. En composantes, au point on a eplicitement : Pou la composante selon : E q (,, ) 4 E E E E 3 / q 4 3 / Chaque composante du champ E est une fonction des tois coodonnées,,.
ÉLECTROTATIQUE Page.3.. Champ électique poduit pa deu chages sépaées pa une distance a. Choisissons le epèe O comme schématisé ci-dessous : E E E q q O -a/ +a/ Fig..6 Champ électique poduit pa deu chages (Cas de deu chages positives) q E 4 a / q a / ( a / ) 3 / 4 ( a / ) 3 / Deu chages égales Deu chages de signes contaies Fig..7 Allue des lignes de champ Compléte le dessin en classe en choisissant les signes des chages et en indiquant avec des flèches la diection des lignes de champs. La smétie du champ électique eflète celle de la distibution de chages.
ÉLECTROTATIQUE Page.3..3 Champ électique su l ae d un anneau unifomément chagé oit Q la chage totale et a le aon de l anneau, supposé infiniment mince. Un élément d pote une chage d dq Q a Le champ électique poduit pa cet élément en point P situé à une distance du cente de l anneau vaut : dq de ( en module) 4 a de de de P Le champ de se décompose en : de pependiculaie à et de paallèle à. a d Vu la smétie aiale, la somme su le poutou de l anneau des composantes de pependiculaies à est nulle. Composante paallèle : de de cos / Fig..8 Anneau chagé de de a dq 3 / 4 a En faisant la somme de toutes les chages dq su le poutou de l anneau, il vient : Champ su l ae d un anneau E E Q 3 / 4 a [V/m] (.6) À gande distance l anneau est vu comme un point et le champ tend ves celui d une chage ponctuelle. Q Q lim 3 / 4 a 4
ÉLECTROTATIQUE Page.3. Le potentiel électique.3.. Calcul du tavail nécessaie pou déplace une chage dans un champ électique Considéons une paticule chagée dans un champ électique E. Cette paticule subit donc la foce de Coulomb F qe. i nous voulons déplace la paticule d un point A à un point B, il nous fauda founi un cetain tavail pou vaince cette foce. E F d q B A Fig..9 Pou effectue un petit déplacement d, le tavail à founi vaut dw F d La aison du signe moins et qu il faut s oppose à la foce due au champ qui tend à déplace la chage q dans l aute sens. Tavail pou alle de A à B W AB B A F d q B A E d [J] (.7) On peut monte que W AB ne dépend pas de la fome du chemin pou alle de A et B. On peut donc défini la difféence de potentiel ente B et A, ou tension comme étant le tavail founi pou déplace la chage de A à B divisé pa la chage. Tension = difféence de potentiel ente B et A U BA V B V A W q AB B E d A [V] (.8) L unité du potentiel électique 8 est le volt, V en abégé. Dimensionnellement : chage (diff. de potentiel) = tavail : C V = J Une chage positive libe de se déplace ia natuellement du potentiel haut ves le potentiel bas, tout comme une masse a tendance à tombe sous l effet de la gavité. 8 Alessando Volta, 745 87, phsicien italien, inventeu de la pile électique.
ÉLECTROTATIQUE Page 3.3.. Eemple : Potentiel d une chage ponctuelle E( ) q A F () B A q B Fig.. Chage q placée à l oigine Plaçons l oigine des coodonnées su la chage q et calculons la difféence de potentiel ente deu points situés su l ae. qq Une chage-test q située su l ae subit une foce selon : F ( ) 4 F ( ) q Champ électique selon : E( ) q 4 Difféence de potentiel ente B et A : B B B B q q q q V B VA E d E( ) d d 4 4 A 4 B A A A A Donc : V q A 4 A Cste V q B 4 B Cste Le potentiel est défini à une constante pès. Dans cet eemple, on peut la choisi égale à éo, ce qui coespond à un potentiel nul à l infini. En conclusion, le potentiel d une chage ponctuelle ne dépend que de la distance à cette chage. Potentiel à une distance d une chage q q V ( ) 4 [V] (.9a) Potentiel en d une chage q placée en q V ( ) [V] (.9b) 4
ÉLECTROTATIQUE Page 4 L eemple pécédent monte aussi que la difféence de potentiel ente deu points ne dépend que de leus positions et non du chemin pou alle de l un à l aute. On appelle sufaces équipotentielles le lieu des points aant le même potentiel électique. Pou une chage ponctuelle, les équipotentielles sont des sphèes..3..3 Équipotentielles de deu chages ponctuelles Dans le cas de deu chages, les sufaces équipotentielles sont plus compliquées, comme on peut le voi ci-dessous. Fig.. Équipotentielles et lignes de champ de deu chages de signes contaies Les coubes femées epésentent les intesections des équipotentielles avec un plan passant pa les deu chages. Ces coubes femées essemblent à des cecles. Compléte le dessin en classe en choisissant les signes des chages et en indiquant avec des flèches la diection des lignes de champs. Les lignes de champ patent d une chage et se teminent su l aute. Les équipotentielles coupent les lignes de champ à angle doit. Analogie avec une cate de géogaphie : Équipotentielle Coube de niveau Ligne de champ Ligne de plus gande pente Les coubes de niveau coupent les lignes de plus gande pente à angle doit. Mathématiquement une équipotentielle obéit à une équation de la fome V (,, ) Cste.
ÉLECTROTATIQUE Page 5.3..4 Énegie potentielle d un ensemble de chages Penons tout d abod deu chages ponctuelles q et q sépaées pa une distance. Pa définition, l énegie potentielle de ces deu chages est égale au tavail W qu il faut founi pou les appoche. Pa un calcul semblable à celui du.3.., on aboutit à : qq E pot W 4 Pou un ensemble de N chages, il faut somme les contibutions de toutes les paies de chages. E pot N i j i N q q i j 4 ij [J] (.9c).3..5 Méthode de l image Dans de nombeu cas, il est possible d eploite les sméties de la distibution de chages pou calcule le champ électique. Eemple : champ poduit pa une chage ponctuelle en face d une plaque conductice q q q _ Fig.. Méthode de l image q Une chage placée en face d une plaque conductice (pa eemple, une plaque métallique) va modifie la épatition de chage à la suface de celle-ci. C est le phénomène de chage pa influence. La nouvelle épatition se fait de telle sote que les lignes du champ électique aivent pependiculaiement. Ca la plaque est une équipotentielle. i l on plaçait une chage négative smétiquement de l aute côté de la plaque, on obtiendait des lignes de champ et des équipotentielles smétiques. On ne changeait pas la fome des lignes de champ si l on etiait la plaque. D où l idée de la méthode : pou calcule le champ dans le demi-espace où se touve la chage, on ajoute dans l aute demi-espace une chage smétique mais de signe opposé et on additionne les champs. Cette méthode est utilisée pa les électiciens pou calcule le champ électique sous les lignes à haute tension. La suface sol est assimilée une équipotentielle V =.
ÉLECTROTATIQUE Page 6.3..6 Ciculation du champ électique Dans les équations (.7) et (.8), l intégale B A d E s appelle ciculation du champ électique. Cette intégale ne dépend pas de la fome du chemin pou alle de A à B, mais uniquement des positions de A et de B. Fig..3 Ciculation du champ C C d E d E i on connaît l epession mathématique du champ E et les positions des points A et B, on peut calcule la ciculation en paamétant un chemin allant de A à B. En patique on choisit un chemin simple tel que doite ou ac de cecle puisque la ciculation ne dépend pas de la fome du chemin mais seulement de ses etémités. i l on choisit le temps comme paamète, le chemin est la tajectoie d une paticule qui iait de A à B. (Voi cous de mécanique.) ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t Point A : ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A t t t t Point B : ) ( ) ( ) ( ) ( B B B B t t t t dt dt d d dt t t t d d d d ) ( ) ( ) ( B A t t B A B A dt E E E d E d E d E d E En epimant chaque composante du champ électique E en fonction du temps t, pa eemple ) ( ), ( ), ( t t t E E, l intégale se amène à une intégale définie que l on sait en pincipe calcule. A B E d Repèe O chemin C chemin C
ÉLECTROTATIQUE Page 7 Pou un chemin allant de B à A, le signe de la ciculation change et on a : Il s ensuit que la ciculation su un contou femé est nulle. L intégale su une coube femée se note : B A E d A B E d C E d [V] (.) Attention : cette équation est valable en électostatique seulement..3..7 Notion de gadient Repenons l équation (.8) : V B V A W q AB B E d A Losque le chemin est ectiligne et paallèle à l ae, comme su la fig.., on a simplement : V B V A B B E d Pou un déplacement infinitésimal d, cela signifie que: A V ( d,, ) V (,, ) E A E d d Donc : E V ( d,, ) V (,, ) d V (,, ) V (,, ) V ou plus simplement est la déivée patielle pa appot à. Pou la calcule, on maintient et constants et on déive pa appot à. On peut faie le même aisonnement pou les coodonnées et. Finalement on écit de manièe condensée : V V E E E V gad V V E V On dit que le champ E déive d un potentiel. L opéateu noté gad ou est le gadient. Eecice : calcule le gadient de V q avec 4
ÉLECTROTATIQUE Page 8.3.3 Le flu du champ électique Avant de se lance dans le calcul du champ électique poduit pa objets chagés, tels que plaques, clindes, etc, c'est-à-die pa des distibutions continues de chages, il est utile de défini la notion de flu du champ électique. Cette appellation ésulte de l analogie avec un flu de matièe ou le débit d un fluide. Débit d un fluide = couant section Flu du champ électique m J E kg/s = kg/m /s m V m = V/m m Table. Analogie dans le cas où les lignes de couant (lignes de champ) sont pependiculaies à la suface. i la suface n est pas pependiculaie à E, il faut fait inteveni l angle ente celui-ci et la nomale à la suface : E cos. d E u 3 u u d u, u = vecteus tangents u 3 u u u3 d d u3 u 3 vecteu unité à d u 3 Fig..4 Élément de flu d E d cos E d Dans le cas généal d une suface coube, il faut découpe la suface en petits éléments d que l on peut considée comme plans, calcule le flu et additionne (intége). Mathématiquement on ésume cette opéation pa : Flu du champ électique E d [V m] (.) En tout point de la suface, l élément de suface noté d est un vecteu de longueu d pependiculaie à la suface. L intégale est double puisqu il s agit d une suface.
ÉLECTROTATIQUE Page 9.4 LE THÉORÈME DE GAU Commençons pa calcule le flu du champ électique poduit pa une chage ponctuelle q à taves une suface femée qui l entoue. Dans le cas où cette suface est une sphèe de aon centée su la chage, il vient (éq..5): phèe de aon q Champ E (adial) 3 4 q Élément de suface : d d (adial) Élément de flu : Flu total : q E d 4 d d q q q E d d 4 4 4 Fig..5 (Pou toute suface, la somme des éléments de suface donne son aie, ici Le flu ne dépend pas du aon de la sphèe. 4.) Nous allons eploite ce fait pou calcule le flu à taves une suface quelconque. uface quelconque phèe q potion potion potion j Fig..6a uface quelconque appochée pa m potions de sphèe de suface d j Plus m est gand, meilleue est l appoimation. Pou chaque potion, le flu est appoimativement égal à celui que cette potion intecepte su une sphèe entièement contenue dans. q En sommant toute ces contibutions, on aboutit aussi à E d E d. sphèe
ÉLECTROTATIQUE Page Dans le cas généal où n chages se touvent à l intéieu de la suface femée, il faut somme tous les flu patiels. i uface quelconque phèe q q i q n Fig..6b uface quelconque entouant n chages q i n i i n i E i d n qi i Le flu du champ électique à taves une suface femée est égal à / fois la somme des chages à l intéieu de cette suface. n i q i Théoème de Gauss 9 E d n i q i [V m] (.a) Une chage placée à l etéieu de la suface femée ne contibue pas au flu total. Le signe indique que l intégale pote su une suface femée qui entoue les chages. Dans le cas de distibutions continues de chages, la somme est emplacée pa une intégale. oit (,, ) la densité de chage en C/m 3 à l intéieu du volume V délimité pa la suface. Un élément de volume dv contient une chage dv E d V dv [V m] (.b) Voons maintenant quelques applications du théoème de Gauss. 9 Cal Fiedich Gauss, astonome, phsicien et mathématicien allemand (777 855) Ne pas confonde le volume V et le potentiel aussi désigné pa V.
ÉLECTROTATIQUE Page.4. Applications du théoème de Gauss.4.. Champ électique poduit pa un baeau ectiligne infini unifomément chagé oit la densité linéique de chage du baeau, mesuée en C/m. Pou de aisons de smétie le champ électique doit ête puement adial, c'est-à-die ête pependiculaie en tout point de l espace à l ae du baeau. on module ne dépend que de la distance à l ae du baeau. Considéons un clinde de aon et de longueu dont l ae de smétie coïncide avec l ae du baeau. E () 3 P Fig..7 Clinde entouant une section du baeau de longueu Appliquons le théoème de Gauss à ce clinde. La somme des chages entouées est simplement le poduit de la densité linéique pa la longueu du baeau, soit. Donc : n E d qi (a) i La suface se décompose en 3 sufaces, et 3. E d ca la nomale à la base du clinde est pependiculaie à E ; 3 E d idem ; u la suface latéale, E () est constant et paallèle à d. On peut donc écie : E( ) d E( ) d E( ) d E( ). (b) Finalement, en égalant les ésultats (a) et (b) : Champ électique à une distance d un baeau ectiligne infini unifomément chagé E ( ) E( ) [V/m] (.3)
ÉLECTROTATIQUE Page.4.. Champ électique poduit pa une plaque infinie unifomément chagée oit la densité sufacique de chage de la plaque, mesuée en C/m. Pou des aisons de smétie, le champ électique doit ête pependiculaie à la plaque. on module ne peut dépende que de la distance à la plaque. Considéons un clinde de aon et de hauteu dont l ae de smétie est pependiculaie à la plaque, comme schématisé cidessous. E () E( ) E( ) 3 Fig..8 Clinde pependiculaie à la plaque Appliquons le théoème de Gauss à ce clinde. La somme des chages entouées est simplement le poduit de la densité sufacique pa la section du clinde, soit. Donc : E d n i qi La suface se décompose en 3 sufaces, et 3. E d E( ) ca la nomale à est paallèle à E ; 3 E d E( ) E d E( ) ca la nomale à 3 est aussi paallèle à E ; ; (a) (b) (b) ca la nomale à la suface latéale du clinde est pependiculaie à E ; Champ électique poduit pa une E plaque infinie unifomément chagé [V/m] (.4) Finalement, en égalant les ésultats (a) et (b+b) : E( ) Ne dépend pas de la distance à la plaque!
ÉLECTROTATIQUE Page 3.4..3 Champ électique dans un condensateu plan En électostatique, on appelle condensateu tout dispositif fomé de deu cops conducteus potant des chages égales, mais de signes opposés. Q Q Fig..9 Condensateu plan fomé de deu plaques paallèles Q oit la suface d une plaque, la densité sufacique de chage vaut su la plaque inféieue et su la plaque supéieue. E E E E + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + E Fig.. En négligeant les effets de bods, le champ électique double ente les plaques et s annule à l etéieu. Champ électique dans un E [V/m] (.5) condensateu plan Le condensateu plan pemet de poduie un champ unifome (pou autant que les plaques soient gandes pa appot à la distance qui les sépae).
ÉLECTROTATIQUE Page 4.5 LE CONDENATEUR Chacun sait que les condensateus ont une impotance considéable en électotechnique et en électonique. Étudions maintenant leus popiétés d emmagasine des chages électiques en fonction de la difféence de potentiel ente leus amatues. Celles-ci dépendent natuellement de leus fomes géométiques. Commençons pa le cas le plus simple..5. Condensateu plan uface Chage Q d E + + + + + + + + + + Chage Q V A V B U BA V B V A Fig.. Condensateu plan (placé dans le vide) Q En négligeant les effets de bods, le champ électique vaut E (Voi pécédent.) D apès la définition (.8) de la tension, on a U E d d Pa convention, on mesue la tension ente le et le. Posons donc En epimant la chage en fonction de la tension, il vient : BA B A Q Qd U U BA. Chage électique du condensateu plan Q U [C] (.6) d On voit que la chage est popotionnelle à la tension ente les plaques. La constante de popotionnalité s appelle la capacité du condensateu. Elle se mesue en faad, abégé F. Définition de la capacité Q C [F] [C/V] (.7) U Capacité du condensateu plan (dans le vide) C [F] (.8) d Michael Faada 79 867, chimiste et phsicien anglais. Los de son appentissage de elieu, il pofite de lie les ouvages de chimie et d électicité qui lui tombent sous la main. Remaqué pa un membe de le Roal ociet, il en devint membe en 8, puis pofesseu en 833.
ÉLECTROTATIQUE Page 5.5. Condensateu clindique Les amatues sont constituées de deu clindes métalliques coaiau. Chage Q R R E () Chage Q h Fig.. Condensateu clindique (placé dans le vide) Ici également, on peut néglige les effets de bods si la distance qui sépae les clindes est petite pa appot à la hauteu h. Dans une telle géométie, le champ électique est puement adial. (En tout point donné, le champ est pependiculaie à l ae.) D apès.3 : ( ) avec E Q pou R R h D apès la définition (.8) de la tension, on a U U R R Q Q Q E d d ln ln R ln h h h R R R Chage électique Champ électique adial h Q lnr / R U [C] (.9a) E ) lnr / R U ( [V/m] (.9b) Capacité du condensateu clindique (dans le vide) C h ln R / R [F] (.)
ÉLECTROTATIQUE Page 6.5.3 Condensateu sphéique Les amatues sont constituées de deu sphèes métalliques dont les centes coïncident. oit R le aon de la sphèe intéieue et R celui de la sphèe etéieue. oit Q la chage de la sphèe intéieue. Comme pou une chage ponctuelle, le champ électique est puement adial. Q E( ) pou R R 4 D apès la définition (.8) de la tension, on a U U Q Q E d Q d 4 4 4 R R R R R R Chage électique du condensateu sphéique 4 Q U R R [C] (.) Capacité du condensateu sphéique 4 C R R [F] (.) i l on éloigne la sphèe etéieue à l infini, on obtient : Capacité de la sphèe (de aon R) C 4R [F] (.3).5.4 Ligne bifilaie oit : longueu de la ligne ; a diamète des fils ; d distance ente les centes des fils ( d a ) On peut monte (cf eecice) que la capacité d une ligne fomée de deu conducteus paallèles est donnée appoimativement pa : Capacité de la ligne bifilaie (dans le vide) C d ln a [F] (.4) En patique, on donne la capacité linéique des câbles de tansmission en nanofaads pa kilomète ( nf/km = - F/m).
ÉLECTROTATIQUE Page 7.5.5 Combinaisons de condensateus Losqu on met des condensateus en séie, la chage de chacun d eu est égale. Q C Q Q C Q Q C 3 Q.. U U U 3 U Fig..3 Condensateus en séie U Q Q Q 3........ U U U Q. C C C3 C C C3 Calcul de la capacité équivalente... [F - ] (.5) C C C C 3 Q C Q Q C Q Losqu on met des condensateus en paallèle, la tension au bones de chacun d eu est égale. Chage totale : Q Q... CU CU C3U Q Q3... Q 3 C 3 Q 3 Q C C C... U 3 Capacité équivalente :.. U C C C C... (.6) 3 Fig..4 Condensateus en paallèle
ÉLECTROTATIQUE Page 8.5.6 Énegie stockée oit un condensateu de capacité C dont les amatues pésentent une difféence de potentiel u. Le condensateu pote donc une chage q Cu. q d E u dq q uface Fig..5 Condensateu plan elon l éq..8, pou amene une petite chage dq de l amatue négative à l amatue positive, il faut founi un tavail élémentaie : dw u dq L énegie stockée dans le condensateu s obtient en sommant (intégant) ces tavau élémentaies de éo à la tension finale U. W U dw U u dq U uc du C U u du CU En fonction de la chage finale Q CU : W Q C C Q C Énegie stockée dans un condensateu W Q CU [J] (.7) C Calculons encoe la densité d énegie contenue dans le champ électique. Dans le cas du condensateu plan, en négligeant les effets de bods, le champ est quasi unifome dans le volume d compis ente les plaques et nul à l etéieu. w W d CU d Ed d d Densité d énegie : E Densité d énegie du champ E (dans le vide) w E [J/m 3 ] (.8)
ÉLECTROTATIQUE Page 9.6 LE CHAMP ÉLECTRIQUE DAN LA MATIÈRE Que se passe-t-il si l on intoduit de la matièe dans un champ électique? Il nous faut distingue deu cas selon que les chages sont libes ou non de se déplace à l intéieu de la matièe, c est-à-die si le matéiau est un conducteu ou un isolant..6. Matéiau conducteus En électostatique, le champ électique à l intéieu d un conducteu est nul. En effet, s il eistait un tel champ, les chages libes de se déplace se mettaient en mouvement, ce qui contediait l hpothèse du cas statique. Dans un conducteu globalement chagé, les chages de même signe se epoussent et ont pa conséquent tendance à se place le plus loin possible les unes des autes. Elles se concentent pès de la suface du conducteu. + + + + + + + + + + Fig..6 Conducteu chagé ous l effet d un champ électique etéieu, la épatition se modifie de telle sote que la suface du métal soit une équipotentielle du champ. Au voisinage de la suface, les lignes du champ électique sont donc pependiculaies à la suface. Comme une ligne de champ pat d une chage positive et se temine su une chage négative, il doit donc appaaîte une chage supeficielle su le conducteu. Il a un déficit d électons dans les ones positives et un ecès d électons dans les ones négatives. Fig..7a Champ E dans le vide Fig..7b Autou d un conducteu (Compléte le dessin en classe)
ÉLECTROTATIQUE Page 3.6.. Blindage électostatique Une ligne de champ ne pouvant débute et se temine su une équipotentielle, il s ensuit que le champ électique est nul à l intéieu d une boîte métallique femée. En patique, ceci pemet de éalise un blindage électostatique afin d isole les dispositifs sensibles au influences électiques etéieues. + + + + + - - Fig..8a Boîte métallique vide + + + + + - + + - - Fig..8b Chages à l intéieu (Compléte les dessins en classe) En pésence de chages électiques à l intéieu du blindage, la densité supeficielle su les paois intenes du blindage s ajuste en conséquence. Le champ électique à l intéieu est indépendant du champ etéieu. En patique, les paois du blindage n ont pas besoin d ête en métal épais ; un gillage métallique suffit. C est ce qu on appelle une cage de Faada.
ÉLECTROTATIQUE Page 3.6.. Plaque conductice à l intéieu d un condensateu plan U 3 E + + + + + + + + + + + + + + d / _ a + + + + + + + + + + + + + + _ d / d Fig..9 Plaque conductice dans un condensateu plan (on néglige les effets de bods) oit a l épaisseu de la plaque et d la distance ente les deu amatues du condensateu. Appliquons le théoème de Gauss au clinde dessiné ci-dessus et délimité pa les sufaces,, et 3. Le flu du champ électique est nul à taves ces tois sufaces. En effet : su le champ est nul à l etéieu du condensateu ; su le flu est nul ca le champ est paallèle à ; su 3 le champ est nul dans la plaque conductice. La somme des chages électiques à l intéieu du clinde est donc nulle. On en conclut que la densité supeficielle de chage su la plaque est égale, mais de signe opposé à celle se touvant su l amatue supéieue du condensateu. Le même aisonnement peut ête fait pou la patie inféieue. Calculons la capacité C du condensateu avec la plaque. Elle est égale celle de deu condensateu plans en séie d épaisseu d / ( d a) /. oit la suface d une amatue. En vetu de (.8) et (.5) : C ( d / ) ( d / ) d d a C d a [F] (.9)
ÉLECTROTATIQUE Page 3.6. Matéiau diélectiques Dans un diélectique (isolant), les électons ne sont pas libes de se mouvoi d un bout à l aute du matéiau, mais estent attachés au atomes ou au molécules. ous l effet d un champ électique etene, ces molécules vont avoi tendance à se défome et/ou s oiente de manièe à affaibli le champ appliqué. E _ E + F _ d + couple : M F d F Fig..3a Molécule non polaie En pésence d un champ électique les centes de gavité des chages positives et négatives se sépaent. Fig..3b Molécule polaie Un dipôle pemanent a tendance à s oiente en pésence d un champ électique. ous l effet d un champ électique, une molécule non polaie acquiet un dipôle induit. La sépaation des chages est limitée pa les foces élastiques de appel. Au delà d une cetaine limite, il a uptue : c est le phénomène de claquage. Pou un champ plus faible, l écatement des chages est popotionnel à l intensité du champ. Le «degé d alignement» des molécules polaies dépend aussi de l intensité du champ jusqu à la satuation. L agitation themique tend à détuie l alignement, donc dans ce cas, le champ électique total va aussi dépende de la tempéatue. Dans un champ E unifome, un dipôle subit un couple (voi fig. ci-dessus) : M d F d qe qd E Le poduit de la chage pa le vecteu distance, oienté du moins au plus est appelé : Moment dipolaie électique Couple subi dans un champ E M p qd [Cm] (.3a) p E [Nm] (.3b) Appelée igidité diélectique (Voi table 4.)
ÉLECTROTATIQUE Page 33 i l on met une plaque isolante à l intéieu d un condensateu plan, la matièe se polaise, ce qui se taduit globalement pa l appaition de chages supeficielles. U 3 E + + + + + + + + + + + + + + d / _ E a + + + + + + + + + _ d / d P P Fig..3 Plaque isolante dans un condensateu plan (on néglige les effets de bods) Notations : E champ électique dans le vide, ente les amatues et la plaque isolante, en module E / ; E champ électique dans la plaque isolante ; densité de chage supeficielle su l amatue positive, en C/m ; P densité de chage supeficielle su la plaque isolante. En face de l amatue négative, on a P et en face de l amatue positive, on a P. Appliquons le théoème de Gauss au clinde dessiné ci-dessus et délimité pa les sufaces,, et 3. oit A est l aie de la suface, qui est aussi égale à l aie de la suface 3 ; su le flu est nul ca le champ est nul à l etéieu du condensateu ; su le flu est nul ca le champ est paallèle à. su 3 le flu vaut E A; Le flu total vaut / fois la somme des chages à intéieu du clinde, soit : E A A A P E P P E E [V/m] (.3) Le pemie teme est le champ en l absence de diélectique (voi éq..5), noté ici E. Le second teme epésente la contibution des dipôles qui tend à s oppose au champ appliqué.
ÉLECTROTATIQUE Page 34 L équation (.3) contient des gandeus qui ne sont pas aisée à mesue diectement. En evanche la mesue de la capacité est plus facile. Q Capacité du condensateu vide, pa définition : C U E d Capacité du condensateu de la fig..3: C Q U Ed / Ea Ed / Capacité d un condensateu complètement empli, d et a d : Q C U Ed Rappot des capacités : C C Ed E E E d [-] (.3) Ainsi le appot des capacités est dans le appot invese des champs électiques. C est un nombe sans dimension, appelé constante diélectique, et qui est caactéistique du matéiau. La constante diélectique est pa définition égale au appot ente la capacité d un condensateu plan complètement empli de diélectique et celle d un condensateu vide. Capacité d un condensateu plan empli de diélectique Le poduit C [F] (.33) d s appelle pemittivité du matéiau. Dans le vide. Revenons à l équation (.3). Pou intepéte le teme P /, calculons la polaisation, définie comme le moment dipolaie pa unité de volume. Globalement le moment dipolaie total de la plaque vaut : (chage)(distance) P a a En module : P P a Module de la polaisation P [C/m ] (.34) Ce moment est diigé ves le bas dans la fig..3, comme le champ électique. On peut donc écie le vecteu polaisation : E P P E Comme il eiste un lien de cause à effet ente le champ électique et la polaisation, il est légitime de s intéesse à leu appot. Déf. : On appelle susceptibilité électique le appot ente la polaisation divisée pa et le champ électique à l intéieu du diélectique. P usceptibilité électique P / e [-] (.35) E
ÉLECTROTATIQUE Page 35 Avec cette définition (.3) s écit : P E E E E que l on peut mette sous la fome : E E E où l on a utilisé (.3). Ainsi : e e [-] (.36) e La susceptibilité et la «constante» diélectique ne sont en éalité pas vaiment constantes! elles dépendent en généal de la tempéatue et du champ électique. Pou les ga, elles dépendent aussi de la pession. Pou les matéiau hgoscopiques, tels que le papie, elles dépendent aussi de l humidité. Rigidité en kv/cm Utilisation e vide ai sec ( atm),59 3 ai sec ( atm),55 CO ( atm),9 8 papie paaffiné à huile minéale,4 8 à tansfomateus poléthlène (PE),5 à 3 isolation pou câbles ébonite,8 PVC 3,8 à isolation simple Poleste (mla) 3, 75 condensateus papie 3,5 4 mica 4 à 7 5 condensateus vee 3,7 à à 4 vee pe 4,5 3 pocelaine 7 à 6 isolateus gemanium 6 eau distillée 8 5 à Titanate de stontium 33 Titanate de baum 76 Table. Constante diélectique de quelques matéiau (à tempéatue ambiante et pou des champs tès inféieus à la igidité diélectique)
ÉLECTROTATIQUE Page 36.6.3 Le champ de déplacement électique Dans la section pécédente, on a vu que le champ électique diminuait en pénétant dans un matéiau diélectique. Plus pécisément, la composante nomale du champ électique à l inteface obéit à l équation (voi.3) : E E Cette équation suggèe l intoduction d un nouveau champ dont la composante nomale est continue losque le champ tavese une inteface avec un aute diélectique. Définissons : Champ de déplacement électique D E [C/m ] (.37) Dans le vide, on a : D E Dans le matéiau, on a : D E A l inteface 3 : continuité de la composante nomale de D Au moen de (.35) et (.36), epimons D en faisant inteveni eplicitement la polaisation : D E e E E ee E P D E P [C/m ] (.38) Calculons le flu de D au taves du clinde dessiné ci-dessous et délimité pa les sufaces,, et 3. oit A est l aie de la suface, qui est aussi égale à l aie de la suface 3 ; U 3 D, E + + + + + + + + + + + + + + d / _ D, E a + + + + + + + + + _ d / Fig..3 Diélectique dans un condensateu plan d clinde D d D d D d 3 D d D A DA Le flu de D est nul puisque les composantes nomales de D sont égales : D D. 3 On taite ici le cas du diélectique non chagé, donc pas de chage supeficielle «libe».