Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

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1 Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013

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3 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1 Propriétés des réels Rappels sur les nombres réels Partie entière d un nombre réel Valeurs absolues Exercices Suites numériques limites de suites Définitions de suites, de limite de suite Propriétés Quelques exemples de suites Exercices Théorèmes de base sur la convergence Suite croissante et majorée Suites adjacentes Suites extraites Exercices Borne supérieure - Borne inférieure Maximum, Minimum Majorant, Minorant Borne supérieure - Borne inférieure Exercices Chapitre II. Fonctions réelles - Limites et continuité 15 1 Généralités sur les fonctions Limites de fonctions Définitions Propriétés Exercices Continuité Définitions et propriétés Prolongement par continuité Image d un intervalle par une fonction continue Exercices Chapitre III. Fonctions réelles - Dérivées 25 1 Dérivabilité Dérivée en un point Propriétés Dérivées d ordre supérieur Exercices

4 2 Fonctions réciproques Définition Dérivées des fonctions réciproques Fonctions réciproques des fonctions usuelles Exercices Extrema locaux et théorème de Rolle Points critiques et extrema locaux Théorème de Rolle et règle de L Hôpital Exercice Théorème des accroissements finis Théorème des accroissements finis Exercice On rappelle qu en utilisant les cours et les exemples traités en cours, les étudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront éventuellement donner des indications, sans toutefois corriger intégralement les exercices.

5 1 Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1. Propriétés des réels 1.1. Rappels sur les nombres réels Il existe des nombres (réels), qui ne sont pas rationnels. Par exemple un nombre dont le carré est 2 ; le périmètre d un cercle de rayon 1. R représente l ensemble des nombres réels ; intuitivement, on peut identifier R à une droite sans trou. Exemple 1.1. (i) Montrer que 2 est un irrationnel. (ii) Montrer que si a est un irrationnel, a est aussi un irrationnel. Exemple 1.2. Soient a et b deux rationnels positifs tels que a ou b soit irrationnel. Montrer que a + b est irrationnel. Remarque 1.1. La construction mathématique de R n est pas au programme de cette unité. On sait que (i) L ensemble des réels R est muni des opérations usuelles d addition et de multiplication. (ii) Il y a une relation d ordre dans R. Il est clair que (R, ) est totalement ordonné, c est-à-dire que : x x (refléxive) ; x y et y x = x = y (antisymétrique) ; x y, y z = x = y (transitive). On a les propriétés suivantes : Soit x, y, z et t des réels. Si x y et z t, alors x + z y + t. Si x y et z 0, alors xz yz et xz yz Partie entière d un nombre réel Proposition 1.1. (admis) (i) R est Archimédien, c est-à-dire que x R, n N; tel que n > x. (ii) Soit x R, alors il existe un unique k Z tel que k x < k + 1. Définition 1.1. L unique entier k de la proposition précédente est appelé la partie entière de x, qu on note E(x) ou [x]. E(x) est donc le plus grand entier x. Pour tout x R, on a E(x) x < E(x) + 1. Exemple 1.3. Calculer E( 1 x ) pour x 1. Pour x > 0, calculer E( x) en fonction de E(x).

6 2 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES 1.3. Valeurs absolues Soit x R, la Valeur absolue de x, qu on note x, est { x si x 0, x = x si x < 0. Propriétés. Soit x et y des réels. On a (i) x 0 ; et x = 0 SSI x = 0. (ii) xy = x y. (iii) x + y x + y (inégalité triangulaire). (iv) x y x y. Remarque 1.2. x et y étant des réels, on a (a) x 2 = x. (b) x y = x y (si y 0). (c) x y représente géométriquement, la distance entre deux points d abscisses respectifs x et y. Définition 1.2. Soit I une partie non vide de R. I est un intervalle si pour tout a, b I, avec a < b, [a, b] I. I est un intervalle ouvert si I est du type : ]a, b[ ou ]a, + [ ou ], a[ (a et b étant des réels avec a < b). Si I est un intervalle ouvert, alors pour tout x I, il existe un intervalle ouvert centré en x contenu dans I. Théorème 1.1. (admis) Tout intervalle ouvert contient une infinité de rationnels et une infinité d irrationnels. (Q est dense dans R.) Rappelons quelques formules : c a+b = c a c b et (c a ) b = c ab pour tout a, b R et c > 0 ; ln a b = b ln a, ln(ab) = ln a+ln b et ln a b = ln a ln b pour tout a > 0, b > Exercices On rappelle qu en utilisant les cours et les exemples traités en cours, les étudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront éventuellement donner des indications, sans toutefois corriger intégralement les exercices. Exercice I.1. Montrer que ln 3 ln 2 est irrationnel.

7 2. SUITES NUMÉRIQUES LIMITES DE SUITES 3 2. Suites numériques limites de suites 2.1. Définitions de suites, de limite de suite On rappelle les définitions concernants les suites réelles. Suite. Une suite réelle est une application u : N R. La suite u est notée (u n ) n 0 ou simplement (u n ). u n est appelé le terme général de la suite. Il arrive que la suite ne soit définie qu à partir d un certain entier n 0, on notera dans ce cas (u n ) n n0 ou (u n ). Suite majorée, minorée, bornée. Une suite (u n ) n n0 est majorée si M R, n n 0, u n M. Une suite (u n )) n n0 est minorée si m R, n n 0, u n m. Une suite (u n ) n n0 est bornée si elle est majorée et minorée c.à.d m, M, n n 0, m u n M ; ou M > 0, n n 0, u n M. Suite monotone. Une suite (u n ) n n0 est croissante (resp. strictement croissante) si n n 0, u n+1 u n (resp. u n+1 > u n ). Une suite (u n ) n n0 est décroissante (resp. strictement décroissante) si n n 0, u n+1 u n (resp. u n+1 < u n ). Une suite (u n ) n n0 est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante). Définition 2.1. (Définition de la limite lim u n = l) n + On rappelle la définition de la limite finie d une suite réelle vue en terminale : Soit (u n ) une suite réelle. Soit l un réel. On dit que u n tend vers l (ou que la suite (u n ) a pour limite l) quand n tend vers l infini, si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les u n à partir d un certain rang. Or tout intervalle ouvert contenant l contient un intervalle ouvert de la forme ]l ɛ, l + ɛ[, avec ɛ > 0, la définition est équivalente à la suivante : pour tout ɛ > 0, il existe un rang N N, tel que, pour tout n N, u n ]l ɛ, l + ɛ[. Ceci est la même chose que pour tout ɛ > 0, il existe un rang N N, tel que, pour tout n N, u n l < ɛ. On le note en abrégé : lim u n = l si ɛ > 0, N N, tel que n N, u n l < ɛ. n + Si u n tend vers l, on note Exemple 2.1. u n = 1 n 2. v n = 2n+2 2n+3. lim u n = l ou simplement lim u n = l. n +

8 4 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES De même, on rappelle la limite infinie d une suite réelle : On dit que u n tend vers + quand n tend vers l infini et on note lim u n = + n + ou simplement lim u n = + si tout intervalle ouvert de type ]A, + [ contient tous les u n à partir d un certain rang. Ceci se traduit aussi en si A > 0, N N, tel que n N, u n > A. On dit que u n tend vers quand n tend vers l infini et on note A < 0, N N, tel que n N, u n < A. lim u n = n + Définition 2.2. (Convergence) On dit que (u n ) est une suite convergente si elle admet une limite finie quand n tend vers l infini. Dans le cas contraire (c.à.d si elle n admet pas de limite ou elle admet une limite infinie), on dit qu elle est divergente Propriétés Proposition 2.1. Si (u n ) admet une limite quand n tend vers l infini, alors cette limite est unique. Proposition 2.2. Toute suite convergente est bornée. Proposition 2.3. On a les propriétés suivantes (l et l étant des réels). (i) Si (ii) Si (iii) Si (iv) Si lim u n = l, alors lim u n = l. n + n + lim u n = l et lim v n = l, alors n + n + lim (u n + v n ) = l + l et lim u nv n = ll n + n + lim u n = l et l 0, et n + lim u n = +, alors n + lim v n = l, alors n + lim n + 1 u n = 0. v n lim = l n + u n l Formes indéterminées. + ; 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 ; 0. Exemple n 2 + n 1 (a) Calculer lim n 3n 2 2n + 5. (b) Calculer lim n ( n 2 + n n 2 n).

9 2. SUITES NUMÉRIQUES LIMITES DE SUITES 5 Proposition 2.4. (i) Soit (u n ) et (v n ) deux suites telles que u n v n, n n 0, (n 0 étant un entier). Si ces deux suites sont convergentes, alors lim u n lim v n. n + n + Si lim u n = +, alors lim v n = +. n + n + (ii) (Principe d encadrement) Soit (u n ), (v n ) et (w n ) des suites telles que u n v n w n, n n 1 (n 1 étant un entier). Si les suites (u n ) et (w n ) sont convergentes et (v n ) est convergente et lim n + v n = l. Exemple 2.3. (a) Calculer lim n sin n n. (b) Calculer lim n u n où u n = n k=1 n n 2 + k Quelques exemples de suites lim u n = lim w n = l, alors n + n + (1) Suite géométrique réelle. C est une suite (u n ) n 0 définie par u n = a n, où a R. On a : Si a = 1, u n = 1 pour tout n 0. Si a < 1, lim n u n = 0. Si a > 1 ou a = 1, (u n ) diverge. (2) Somme géométrique. C est une suite (u n ) n 0 définie par u n = 1 + a + a a n, (a R). On a : Si a = 1, u n = n, donc (u n ) diverge. Si a 1, u n = 1 an+1 1 a donc si a < 1, lim u n = 1 n 1 a ; si a > 1 ou a = 1, (u n ) diverge. Exemple 2.4. On considère la suite définie par : x 0 = 1 et x n+1 = 2x n + 1. (a) Montrer que x n 1, pour tout n 0. (b) Montrer que si (x n ) converge, sa limite l vérifie : l = 2l + 1. (c) Montrer qu il existe k ]0, 1[ tel que x n l k x n 1 l? En déduire que x n l k n x 0 l et conclure. (3) Suite comparable à une suite géométrique. Théorème 2.1. Soit (u n ) une suite telle que u n 0 à partir d un certain rang. On suppose que ( u n+1 u n ) converge et on pose lim u n+1 = l (l R + ). n u n Si l < 1, alors (u n ) converge et lim u n = 0. n

10 6 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES Si l > 1, alors lim u n = +, donc (u n ) diverge. n Si l = 1, on ne peut rien dire. On a les mêmes résultats si on remplace dans l énoncé la suite ( u n+1 u n ) par la suite ( n u n ). 1 2 n Exemple 2.5. u n = 1 4 (3n 2). v n = an. n 3 (4) Approximation d un réel par des rationnels. Théorème 2.2. Soit α un réel et (u n ) la suite définie par u n = E(α10n ) 10 n, alors u n Q et lim n u n = α.

11 2. SUITES NUMÉRIQUES LIMITES DE SUITES Exercices On rappelle qu en utilisant les cours et les exemples traités en cours, les étudiants devraient savoir faire les exercices en TD. Les enseignants pourront éventuellement donner des indications, sans toutefois corriger intégralement les exercices. Exercice I.2. Calculer les limites des suites définies par : u n = n 2 + 4n + 1 n ; n u n = k=1 u n = ( 1)n n ; u n = cos n n ; u n = e n sin( 1 n ). 1 k(k + 1) (remarquer que 1 k(k+1) = 1 k 1 k+1 ) ; n 1 u n = k=1 n 2 + 2k ; u n 2 1 n = k=1 n 2 + 2k (pour les deux dernières suites, encadrer u n ). Exercice I.3. Etudier la convergence des suites définies par : u n = an b n a n + b n, a, b > 0 ; u n = n 2 n ; u 0 R, u n+1 = u n + k n, k R (exprimer u n en fonction de n). Exercice I.4. En utilisant le critère de comparaison avec les suites géométriques, étudier la convergence des suites définies par : 1 2 n u n = 1 4 (3n 2) ; u n = n! n n. (Indication : pour la seconde, on admettra que lim n (1+ 1 n )n existe et on minorera cette limite à l aide de la formule du binôme de Newton). Exercice I.5. Trouver sous la forme p q décimaux périodiques sont donnés par : 0, 99 9 ; 3, ; 3, des rationnels x dont les dévelopements Exercice I.6. Soit (u n ) une suite telle que lim nu n = 0 (resp. lim nu n = 1, n n lim n nu n = + ). Que peut-on dire de (u n )? Exercice I.7. Soit la suite donnée par u 0 = 0, u n+1 = un+2 3u n Montrer que la suite est bien définie. 2. Déterminer les solutions de l équation x = x+2 3x Montrer que pour l une des solutions l de l équation ci-dessus, il existe k ]0, 1[ tel que n 0, u n+1 l k u n l. 4. Démontrer que u n l k n u 0 l pour tout n 0. Conclure. Exercice I.8. En utilisant la même méthode, étudier la convergence des suites définies par : u 0 = 3, u n+1 = 4+3un 3+2u n, n 0.

12 8 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES 3. Théorèmes de base sur la convergence Suite croissante et majorée On rappelle le résultat suivant déjà vu en terminal. Ce résultat est admis pour démontrer d autres résultats fondamentaux d Analyse. Convergence de suite croissante majorée (admis) : Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. (De même, toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.) Exemple 3.1. Montrer que toute suite monotone admet une limite (finie ou infinie). Exemple 3.2. Etudier la convergence des suites définies par : u 0 > 0, u n+1 = 1+u2 n 2u n, n 0. Exemple 3.3. Etudier la convergence de la suite (u n ) définie par u n = (1 + 1 n )n pour n Suites adjacentes Définition 3.1. Soit (u n ) n n0 et (v n ) n n0 deux suites. On dit qu elles sont adjacentes si (i) (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante. (ii) n n 0, u n v n. (iii) lim (v n u n ) = 0. n + Théorème 3.1. Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes, alors elles convergent et admettent la même limite. Exemple 3.4. On considère les deux suites : u n = ! n!, n N; v n = u n + 1 n!, n N. Montrer que (u n ) et (v n ) sont adjacentes. En déduire qu elles convergent vers une même limite. Montrer que cette limite est un élément de R\Q Suites extraites Définition 3.2. Soit (u n ) une suite. Une suite extraite (ou une sous-suite) de (u n ) est une suite de la forme (u φ(n) ), où φ : N N est une application strictement croissante. Théorème 3.2. Soit (u n ) une suite convergente de limite l quand n tend vers l infini, alors toute suite extraite est convergente et a la même limite.

13 3. THÉORÈMES DE BASE SUR LA CONVERGENCE. 9 Corollaire 3.1. Soit (u n ) une suite. Si (v n ) et (w n ) sont des suites extraites qui divergent ou qui n admettent pas la même limite, alors (u n ) diverge. Exemple 3.5. u n = ( 1) n Théorème 3.3. Soit (u n ) une suite. Si les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent et admettent la même limite l, alors la suite (u n ) converge et admet l comme limite. Exemple 3.6. Soit (u n ) une suite telle que les suites extraites (u 2n ), (u 2n+1 ) et (u 3n ) convergent. Montrer que (u n ) est convergente. Théorème 3.4. (Bolzano - Weierstrass) (preuve par dichotomie). De toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.

14 10 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES 3.4. Exercices Exercice I.9. Montrer que la suite (u n ) définie par u n = ( 1) n + 1, n 1, n est n pas convergente. Exercice I.10. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 3 et pour tout n N : u n = u n 1+2n 2 2 n Montrer que pour tout n N, u n Montrer que la suite (u n ) est décroissante. 3. Montrer que la suite (u n ) est convergente et calculer sa limite. Exercice I.11. On souhaite étudier la suite (u n ) dfinie par u 0 = 0 et n N, u n+1 = 3u n Établir que la suite (u n ) est croissante. 2. En déduire que la suite (u n ) converge, et déterminer sa limite. Exercice I.12. On donne la suite (u n ) définie par : u 1 = 2 et u n = 2 u n 1. En étudiant les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ), montrer que la suite (u n ) est convergente. Exercice I.13. Etudier la convergence des suites définies par : v 0 > 1, v n+1 = 1 1+v n, n 0 w 0 [0, 1], w n+1 = 1 w 2 n, n 0. Exercice I.14. On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : pour tout entier naturel strictement positif n, u n = n k=1 1 et v k 2 n = u n + 2 n 1. n 2 1. Montrer que la suite (v n ) est décroissante. 2. Montrer que les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. 3. Calculer u 4 et v 4. En déduire un encadrement de la limite commune l de (u n ) et (v n ). Exercice I.15. (1) Soient (v n ) n 1 et (w n ) n 1 les suites définies par : v n = k=2n k=1 ( 1) k+1 k = n et w n = v n + 1 2n + 1. Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) sont adjacentes. On notera l leur limite. Donner un rationnel r tel que 0 < l r <

15 3. THÉORÈMES DE BASE SUR LA CONVERGENCE. 11 (2) Soit (u n ) n 1 la suite définie par : u n = k=n k=1 ( 1) k+1 k = ( 1)n+1. n En remarquant que les suites (v n ) et (w n ) sont des suites extraites de la suite (u n ), montrer que (u n ) est convergente. Exercice I Soient a, b > 0. Montrer que ab a+b Montrer les inégalités suivantes (b a > 0) : a a + b 2 b et a ab b. 3. Soient u 0 et v 0 des réels strictement positifs avec u 0 < v 0. On définit deux suites (u n ) et (v n ) de la façon suivante : u n+1 = u n v n et v n+1 = u n + v n. 2 Montrer que (u n ) et (v n ) sont adjacentes. Exercice I.17. En justifiant la réponse, dire si les énoncés suivants, sont vrais ou faux. 1. Si une suite est croissante et minorée, alors elle converge. (vrai ou faux) 2. Si une suite est non majorée, alors elle tend vers +. (vrai ou faux) 3. Si une suite à termes positifs tend vers 0, alors elle est décroissante à partir d un certain rang. (vrai ou faux) 4. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d un certain rang. (vrai ou faux) 5. Si une suite d entiers converge, elle est stationnaire. (vrai ou faux) 6. Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elle est stationnaire. (vrai ou faux) 7. Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée. (vrai ou faux) 8. Si une suite n est pas majorée, elle est minorée. (vrai ou faux) 9. Il existe une suite (u n ) avec u n = v n w n (resp. u n = v n + w n ) convergente telle que l une au moins des suites (v n ) et (w n ) diverge. (vrai ou faux) 10. Il existe une suite (u n ) divergente telle que (u n+1 u n ) tend vers 0. (vrai ou faux)

16 12 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES 4. Borne supérieure - Borne inférieure 4.1. Maximum, Minimum Majorant, Minorant Définition 4.1. Soit A une partie de R et α un élément de A. On dit que α est un plus petit (resp. plus grand) élément de A si x A, α x (resp. x A, x α). Remarque 4.1. Si un plus petit (resp. plus grand) élément de A existe, il est unique ; on l appelle l élément minimum (resp. maximum) de A, on le note min(a) (resp. max(a)). Un ensemble peut ne pas avoir d élément minimum ou maximum. Par exemple A = ]0, 1[. Définition 4.2. Soit A une partie de R. Soit M R. On dit que M est un majorant de A si x A, x M. A est dite majorée si elle admet un majorant. Soit m R. On dit que m est un minorant de A si x A, m x. A est dite minorée si elle admet un minorant Borne supérieure - Borne inférieure Définition 4.3. Soit A une partie de R. Soit α R. (i) On dit que α est la borne supérieure de A si α est un majorant de A et α est le plus petit des majorants de A. Si la borne supérieure de A existe on la note sup(a) ou sup(x) ou sup x A (x) ou sup A. x A (ii) On dit que α est la borne inférieure de A si α est un minorant de A et α est le plus grand des minorants de A. Si la borne inférieure de A existe on la note inf(a) ou inf x A (x) ou inf (x) ou inf A. x A Caractérisation de la borne supérieure dans R : α = sup(a) SSI (i) x A, x α. (α est un majorant de A) (ii) α < α, x A, α < x. (Tous nombre plus petit que α n est pas un majorant de A) Le deuxième point est équivalente à (ii) ɛ > 0, x ɛ A, α ɛ < x ɛ. Exemple 4.1. Etudier le minimum, maximum, borne inférieure et borne supérieure de l ensemble A = { 1 n : n N }. Théorème 4.1. (Propriété de la borne sup) Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. (De même toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure).

17 4. BORNE SUPÉRIEURE - BORNE INFÉRIEURE 13 Corollaire 4.1. Soit A une partie de R. Alors α = sup(a) si et seulement si α est un majorant de A et il existe une suite (u n ) dans A telle que u n converge vers α. α = inf(a) si et seulement si α est un minorant de A et il existe une suite (u n ) dans A telle que u n converge vers α. Exemple 4.2. Soit A = [ 1, 3[ Q. Etudier max(a), min(a), sup(a), inf(a). De même pour B = {3n : n N} et C = {1 1 n : n N }. Exemple 4.3. Etudier le minimum, maximum, borne inférieure et borne supérieure de l ensemble A = { 2n+( 1)n n+1 : n N}. Exemple 4.4. Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. Etablir les assertions suivantes : 1. Si A B, alors sup A sup B. 2. inf(a B) = min(inf A, inf B) 3. sup(a + B) sup A + sup B, où A + B = {a + b; a A, b B}.

18 14 CHAPITRE I. LES NOMBRES RÉELS ET LES SUITES NUMÉRIQUES 4.3. Exercices Exercice I.18. Donner une caractérisation de la borne inférieure. Exercice I.19. Etant donné un ensemble A R, écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes : est un majorant de A, 2. m est un minorant de A, 3. P n est pas un majorant de A, 4. A est majoré, 5. A n est pas minoré, 6. A est borné, 7. A n est pas borné. Exercice I.20. Déterminer (s ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0, 1] Q, ]0, 1[ Q, N, {( 1) n + 1n } : n N. Exercice I.21. On considère l ensemble des nombres rationnels de la forme n 1/n n+1/n où n décrit l ensemble des entiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majoré? Minoré? A-t-il un plus petit élément? Un plus grand élément? Justifier vos réponses. Exercice I.22. Soit A et B deux parties non vides et bornées de R. Etablir les assertions suivantes : 1. Si A B, alors sup A sup B et inf A inf B. 2. sup(a B) = max(sup A, sup B) et inf(a B) = min(inf A, inf B) 3. sup(a + B) sup A + sup B, où A + B = {a + b; a A, b B}. 4. sup( A) = inf A, où A = { a; a A}. 5. sup A + inf B sup(a + B), où A + B = {a + b; a A, b B}.

19 15 Chapitre II. Fonctions réelles - Limites et continuité 1. Généralités sur les fonctions Définition 1.1. Une Fonction de la variable réelle à valeurs réelles est une application f : U R, où U est une partie de R. En général, U est un intervalle ou une réunion d intervalles de R. On appelle U le domaine de définition de f et on le note D f. On appelle image de f notée Im(f) ou f(d f ), l ensemble {y x, y = f(x)} ou {f(x) x D f }. Définition 1.2. Fonctions monotones. Soit f : U R une fonction. f est croissante (resp. strictement croissante) sur U si x U, y U, (x y) (f(x) f(y)) (resp. x U, y U, (x > y) (f(x) > f(y))). f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur U si x U, y U, (x y) (f(x) f(y)) (resp. x U, y U, (x > y) (f(x) < f(y))). f est monotone (resp. strictement monotone) sur U si f est croissante sur U ou si f est décroissante sur U (resp. strictement croissante sur U ou strictement décroissante sur U). Définition 1.3. Fonctions majorées, minorées, bornées. Soit f : U R une fonction. f est majorée sur U si M R, x U, f(x) M. f est minorée sur U si m R, x U, f(x) m. f est bornée sur U si f est majorée et minorée ou M > 0 tel que x U, f(x) M. Définition 1.4. Fonctions paires, impaires. Soit f : I R une fonction, où I est un intervalle centré en 0 de R, on dit que f est paire (resp. impaire) si f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)) pour tout x I. Définition 1.5. Fonctions périodiques. Soit f : R R une fonction, on dit que f est périodique de période T (T étant un réel > 0) si x R, f(x + T ) = f(x). Définition 1.6. Opérations sur les fonctions. Soit f : U R et g : U R deux fonctions. La somme de f et g est la fonction f + g : U R définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x). La multiplication de la fonction f par un réel λ est la fonction λf : U R définie par (λf)(x) = λf(x). Le produit des fonctions f et g est la fonction fg : U R définie par (fg)(x) = f(x)g(x).

20 16 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES - LIMITES ET CONTINUITÉ Définition 1.7. La composée de deux fonctions : Soit f : I R, g : J R. On suppose que Im(f) J. Alors la composée de f et g est la focntion : I R, x g(f(x)). On la note g f. Donc g f(x) = g(f(x)). Graphes des fonctions Les graphes des fonctions E(x) ou [x] la partie entière, x. Exemple 1.1. Tracer le graphe de la fonction f définie sur R par f(x) = x 1 2 x + 1. Rappels des graphes des fonction e x, ln x, sin x, cos x. Exemple 1.2. Tracer le graphe de la fonction tan x = sin x cos x.

21 2. LIMITES DE FONCTIONS Limites de fonctions 2.1. Définitions Définition 2.1. Limite en un point fini. Soit a R, U un intervalle contenant a et f une fonction définie sur U\{a}. (i) Soit l un réel. On dit que f(x) tend vers l (ou f a pour limite l) quand x tend vers a et on note lim x a f(x) = l si f(x) est aussi proche que l on veut de l, pourvu que x soit suffisamment proche de a. Autrement dit, pour tout intervalle ouvert J contenant l, il existe un intervalle ouvert I (qui dépend de J) contenant a, tel que si x appartient à I U alors f(x) appartient à J. Ceci est équivalent à : pour tout intervalle ouvert J centré en l, il existe un intervalle ouvert I (qui dépend de J) centré en a tel que si x appartient à I U alors f(x) appartient à J. Ceci s écrit : ɛ > 0, δ ɛ > 0, x U, (0 < x a < δ ɛ ) ( f(x) l < ɛ). Exemple. lim x 2 = 1. x 1 (ii) On dit que f a pour limite + quand x tend vers a et on note lim x a f(x) = + si f(x) est aussi grand que l on veut, pourvu que x soit suffisamment proche de a. C.à.d que pour tout intervalle du type J =]A, + [ (A étant un réel qui peut être considéré > 0), il existe un intervalle I (qui dépend de J) centré en a, tel que si x appartient à I U alors f(x) appartient à J. Ceci s écrit : A > 0, α A > 0, x U, (0 < x a < α A ) (f(x) > A). (iii) On dit que f a pour limite quand x tend vers a et on note lim x a f(x) = si pour tout intervalle du type J =], A[ (A étant un réel qui peut être considéré < 0), il existe un intervalle I (qui dépend de J) centré en a, tel que si x appartient à I U alors f(x) appartient à J. Ceci s écrit : A < 0, α A > 0, x I, (0 < x a < α A ) (f(x) < A). Définition 2.2. Limite à gauche et à droite. Soit a R, I un intervalle ouvert contenant a et f une fonction définie, sur I\{a}. Soit l un réel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers a à gauche et on note lim f(x) = l si x a ɛ > 0, α ɛ > 0, x I, (a α ɛ < x < a) ( f(x) l < ɛ). Soit l un réel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers a à droite et on note lim x a + f(x) = l si ɛ > 0, α ɛ > 0, x I, (a < x < a + α ɛ ) ( f(x) l < ɛ).

22 18 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES - LIMITES ET CONTINUITÉ Proposition 2.1. Une fonction f admet une limite en a si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en a et lim f(x) = lim f(x). x a x a + Exercices. Ecrire la définition de lim f(x) = + et lim f(x) =. x a x a + Définition 2.3. Limite en +. Soit I =]x 0, + [, x 0 étant un réel et f une fonction définie sur I. Soit l un réel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers + et on note lim x + f(x) = l si ɛ > 0, A ɛ > 0, x I, (x > A ɛ ) ( f(x) l < ɛ). On dit que f a pour limite + quand x tend vers + et on note lim x + f(x) = + si A > 0, B A > 0, x I, (x > B A ) (f(x) > A). Exemple 2.1. lim x + 1 x 2 = 0, et lim x + ln x = +. Définition 2.4. Limite en. Soit I =], a[, a étant un réel et f une fonction définie sur I. Soit l un réel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers et on note lim x f(x) = l si ɛ > 0, A ɛ < 0, x I, (x < A ɛ ) ( f(x) l < ɛ). On dit que f a pour limite + quand x tend vers et on note lim x f(x) = + si A > 0, B A < 0, x I, (x < B A ) (f(x) > A). Exercices. Ecrire la définition de lim x + f(x) = et lim x f(x) = Propriétés Proposition 2.2. (Unicité de la limite) Si f admet une limite (finie ou infinie) en un point (fini ou infini), alors cette limite est unique. Proposition 2.3. (Opérations sur les limites) Soient a R := R {, + }, l, l R et f, g des fonctions réelles. (Somme, produit) Si lim f(x) = l et lim g(x) = l, alors x a x a lim (f + g)(x) = l + x a l et lim(fg)(x) = ll x a Si lim f(x) = l, avec l > 0 et lim g(x) = +, alors lim(fg)(x) = +. x a x a x a (Quotient) Si lim f(x) = l et lim g(x) = l, l f(x) 0, alors lim x a x a x a g(x) = l l. Si lim f(x) = ±, alors lim x a f(x) = 0. (Composée) Si lim f(x) = l et lim g(x) = l, alors lim g f(x) = l. x a x l x a x a 1

23 2. LIMITES DE FONCTIONS 19 Formes indéterminées. + ; 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 ; 0. Exemple 2.2. Calculer les limites x lim 2 2x+3 x 0 2x 3 +x 5, lim x + ( x 2 x + 1 x), lim x ( x 2 x x). lim x 2x2 +x 2 3x 2 +2x+2, lim x + sin 1 x, lim x ( x 2 x + 1 x), Proposition 2.4. (Passage à la limite dans des inégalités) Soient a R et l, l R. Soient f et g deux fonctions telles que f g au voisinage de a. Si lim f(x) = l et lim g(x) = l, alors l l. x a x a Si lim f(x) = +, alors lim g(x) = +. x a x a Si lim g(x) =, alors lim f(x) =. x a x a Proposition 2.5. (Principe d encadrement) Soit l et a deux éléments de R. Soit f, g et h des fonctions telles que f g h au voisinage de a et lim f(x) = lim h(x) = l, alors lim g(x) = l. x a x a x a Exemple 2.3. lim x 0 sin x x = 1. Exemple 2.4. Calculer la limite lim x 0 1 cos x x 2. Exemple 2.5. lim x 0 x sin 1 x ; lim x 0(e x 1) cos 1 x. Exemple 2.6. Calculer la limite lim x 0 + xe( 1 x ), où E(a) est la partie entière de a. Théorème 2.1. Soit a R, I un intervalle contenant a et f une fonction définie sur I\{a}. Alors lim f(x) = l existe SSI pour toute suite (u n ) I\{a} telle que x a lim n u n = a, on a lim n f(u n ) = l. Exemple 2.7. sin 1 x n a pas de limite en 0.

24 20 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES - LIMITES ET CONTINUITÉ 2.3. Exercices Exercice II Montrer que pour tout 0 < ε < 1 et pour x R, on a : x 1 < ε 4 = x2 + x 2 < ε. 2. En déduire (en utilisant la définition d une limite) : lim x 1 (x2 + x 1) et lim(x 2 + x 2) cos x. x 1 Exercice II.2. Calculer lorsqu elles existent les limites suivantes a) lim x 0 x x x sin 2 x d) lim x π 1 + cos x x x b) lim x x e) lim x 2 x 2 4 x 2 3 x + 2 c) lim x x 1 + x 2 f) lim x + ( x + 5 x 3) x g) lim x x 2 1 x + x + x x 2 h) lim (x ln(chx)) i) lim. x + x + x + 1 Exercice II.3. Calculer les limites suivantes : 1 sin 2x a) lim x sin x b) lim x 0 + x 0 sin 3x x sin x c) lim x 0 1 cos x e) lim x 0 x tan x cos 2 x 1 sin x 1 2 sin 2x d) lim x 0 x 3 f) lim x 0 tan x sin x sin 3 ( x 2 ) Exercice II.4. Calculer les limites suivantes : a) lim x 0 + xe( 1 x ) ; b) lim x + xe( 1 x ) ; c) lim x 0 + xe( 1 x ).

25 3. CONTINUITÉ Continuité 3.1. Définitions et propriétés Définition 3.1. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit a I. On dit que f est continue en a si lim x a f(x) = f(a). On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Si f n est pas continue en un point a de I, on dit qu elle est discontinue en a. Proposition 3.1. Soit f : I R une fonction continue en un point a I, I étant un intervalle ouvert de R, telle que f(a) 0, alors il existe un intervalle ouvert V contenant a tel que f(x) 0, x V. Proposition 3.2. (Somme, produit, inverse) Soit f : I R et g : I R deux fonctions continues en un point a d un intervalle I. Alors, (i) les fonctions f + g, fg sont continues en a ; (ii) si g(a) 0, 1 g est continue en a. Proposition 3.3. (Composée) Soit I un intervalle et a I. Soit f : I R et g : J R deux fonctions telles que f(i) J. Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g f est continue en a. Exemple 3.1. Soit a, b deux nombres réels. On consière la fonction f définie sur R par sin 2 x si x < 0; x f(x) = ax + b si 0 x 2; 2a sin( π x) si x > 2. 4 Déterminer les valeurs de a et b telles que f soit continue sur R Prolongement par continuité Soit a R, I un intervalle contenant a, et f : I\{a} R une fonction. On dit que f admet un prolongement par continuité en a si lim x a f(x) est finie. On suppose que lim x a f(x) = l (l R). Soit la fonction f définie par { f(x) si x I\{a} f(x) = l si x = a Alors, f est continue en a. La fonction f est appelée le prolongement par continuité de f en a. Exemple 3.2. f(x) = x sin 1 x pour x 0.

26 22 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES - LIMITES ET CONTINUITÉ 3.3. Image d un intervalle par une fonction continue Théorème 3.1. Soit f : [a, b] R une fonction continue ([a, b] étant un intervalle fermé borné). Alors, f est bornée et atteint dans [a, b] sa borne supérieure et inférieure. C est-à-dire qu il existe deux réels m et M tel que (i) m f(x) M pour tout x [a, b] ; (ii) il existe c 1 [a, b], c 2 [a, b] tels que f(c 1 ) = m et f(c 2 ) = M. Théorème 3.2. (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit f : [a, b] R une fonction continue et α un réel compris entre f(a) et f(b). Alors, il existe c [a, b] tel que f(c) = α. Corollaire 3.1. Soit f : [a, b] R une fonction continue. Si f(a)f(b) < 0, alors il existe c ]a, b[ tel que f(c) = 0. Exemple 3.3. Soit P un polynôme à coefficients réels de degré impair. Montrer que P admet au moins une racine réelle. Corollaire 3.2. Soit I un intervalle et f : I R une fonction. Si f est continue sur I, alors f(i) est un intervalle. Corollaire 3.3. Soit f : [a, b] R une fonction continue. Alors f([a, b]) est un segment (c.à.d un intervalle fermé borné). Exemple 3.4. Montrer que la fonction f(x) = x 8 + 3x s annule deux fois sur [ 2, 2]. Exemple 3.5. Montrer que la fonction f(x) = e x sin x + cos x s annule une infinité de fois sur R.

27 3. CONTINUITÉ Exercices Exercice II.5. Déterminer les domaines de définition et de continuité des fonctions suivantes : 2+3 x f(x) = 5 2 x ; g(x) = x 2 2 x 5; h(x) = ln (4 x + 3) ; j(x) = 1 1 x 2. 1 x 2 Exercice II.6. Etudier la continuité sur R des fonctions suivantes : 1. f 1 (x) = x 2 cos 1 x si x 0, et f 1(0) = 0 ; 2. f 2 (x) = sin x sin 1 x si x 0, et f 2(0) = 0 ; 3. f 3 (x) = xe(x) ; 4. f 4 (x) = E(x) sin(πx). Exercice II.7. Soit f : R R continue en 0 telle que Montrer que f est constante. x R, f(x) = f(2x). Exercice II.8. Soient f et g continues sur [0, 1] telles que x [0, 1] f(x) < g(x). Montrer qu il existe m > 0 tel que x [0, 1], f(x) + m < g(x). Exercice II.9. Soit f(x) = x 5 3x 1, g(x) = x2 x Montrer que f(x) = 0 admet une solution sur [1, 2]. 2. Montrer que g(x) = 0 admet une solution sur [0, 1]. 3. Montrer que f(x) = g(x) admet une solution sur ]0, 2]. Exercice II.10. Soit f : x R f(x) = cos x 1 + x 2. Montrer que f est majorée sur R, minorée sur R. Déterminer sup f(x). x R Exercice II.11. Soit f : R + R continue admettant une limite finie en +. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses bornes? Exercice II.12. Soit f : R R une fonction continue telle que lim f(x) = x et lim f(x) = +. Montrer que f s annule au moins une fois sur R. Appliquer x + ceci aux polynômes de degré impair. Exercice II.13. Soit f : [a, b] R continue sur [a, b]. Montrer que si p et q sont deux réels strictement positifs, alors : 1. Il existe c [a, b] tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c). 2. Si f est monotone, il existe c ]a, b[ tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c).

28 24 CHAPITRE II. FONCTIONS RÉELLES - LIMITES ET CONTINUITÉ Exercices supplémentaires Exercice II.14. En utilisant la définition d une limite, montrer que : a) lim(2x + 1) = 5 ; x 2 c) lim (3x + 2) sin x 2 3 e) lim x e 1 x ( 1 3x + 2 ) b) lim(x 2 1) = 0. x 1 1 = 0 ; d) lim = 0. x + x = 2 ; f) lim x ex2 = +. (Indication : Pour les deux dernières limites, utiliser les croissances comparées) Exercice II.15. (a) Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de limite en +. (b) Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +. Exercice II Soit la fonction réelle définie par f(x) = 1 si x Q et f(x) = 0 sinon. Montrer que f n admet pas de limite en tout point de R. 2. Soit la fonction réelle définie par f(x) = x si x Q et f(x) = 1 x sinon. En quels points de R f est elle continue? Exercice II.17. Soit f la fonction réelle à valeurs réelles, définie par x si x < 1 f(x) = x 2 si 1 x 4 8 x si x > 4 1. Tracer le graphe de f. 2. f est elle continue? 3. Montrer que f définit une bijection de R sur R et déterminer f 1.

29 25 Chapitre III. Fonctions réelles - Dérivées 1. Dérivabilité 1.1. Dérivée en un point Définition 1.1. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle ouvert I. f(x) f(x 0 ) (i) Soit x 0 I, on dit que f est dérivable en x 0 si lim est finie. x x 0 x x 0 Dans ce cas, ce réel est appelé la dérivée de f en x 0, qu on note f (x 0 ) ou df dx (x 0). (ii) On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. Dans ce cas, on appelle dérivée de f la fonction qui à tout point x de I associe f (x), cette fonction est notée f ou df dx. Exemple 1.1. f(x) = x 2. f(x) = sin x. Interprétation géométrique. Soit C le graphe de f et M 0 et M deux points de C de coordonnées (x 0, f(x 0 )) et (x, f(x)) respectivement. La droite (M 0 M) a pour pente f(x) f(x 0) x x 0. Alors, f est dérivable en x 0 et la dérivée de f en x 0 est l (l R) ssi quand x tend vers x 0 la droite (M 0 M) a pour position limite la droite passant par M 0 et de pente l. Cette droite est appelée la tangente à C en M 0. Si f est dérivable en x 0, l équation de la tangente à C en M 0 est y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Autres écritures de la dérivée. f(x 0 + h) f(x 0 ) (i) f est dérivable en x 0 SSI lim est finie. h 0 h (ii) f est dérivable en x 0 s il existe l R et une fonction ɛ tels que f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )l + (x x 0 )ɛ(x), pour tout x appartenant à un voisinage de x 0, où ɛ(x) est une fonction qui vérifie lim ɛ(x) = 0. x x 0 Proposition 1.1. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un point de I. Si f est dérivable en x 0, alors f est continue en x 0. La réciproque est fausse. Dérivée à gauche et à droite Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I et x 0 un point de I. On dit que f est dérivable à gauche (resp. à droite) en x 0 si f est définie à gauche (resp. à droite) de x 0 et lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 (resp. lim x x + 0 cas ce réel est noté f g(x 0 ) (resp. f d (x 0)). f(x) f(x 0 ) ) est finie. Dans ce x x 0

30 26 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES - DÉRIVÉES Proposition 1.2. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I et x 0 un point de I. Alors f est dérivable en x 0 si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite, et f g(x 0 ) = f d (x 0) Propriétés Proposition 1.3. (Dérivée d une somme, d un produit par un réel et d un produit) Soit f et g deux fonctions dérivables en un point x 0 et λ R. Alors, les fonctions f + g, λf et fg sont dérivables en x 0 et on a : (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). Proposition 1.4. (Dérivée de l inverse d une fonction) Soit f une fonction dérivable en un point x 0. On suppose que f(x 0 ) 0. Alors, la fonction 1 f est dérivable en x 0 et ( 1 f ) (x 0 ) = f (x 0 ) (f(x 0 )) 2. Corollaire 1.1. Soit f et g deux fonctions dérivables en un point x 0. On suppose que g(x 0 ) 0. Alors, la fonction f g est dérivable en x 0 et ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2. Proposition 1.5. (Dérivée de la composée de deux fonctions) Soit f : I R et g : J R deux fonctions telles que f(i) J. On suppose que f est dérivable en un point x 0 I et que g est dérivable en f(x 0 ). Alors, g f est dérivable en x 0 et (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Dérivées des fonctions usuelles (x α ) = αx α 1, α R, (e x ) = e x (ln x ) = 1 x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) = 1 cos 2 x, (chx) = shx = ex e x, (shx) = chx = ex + e x. 2 2 Définition 1.2. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I et la fonction dérivée x f (x) est continue sur I. Exemple 1.2. f(x) = e 1 x 2 pour x 0 et f(0) = 0. Exemple 1.3. f(x) = x 3 sin 1 x pour x 0 et f(0) = 0.

31 1. DÉRIVABILITÉ Dérivées d ordre supérieur Définition 1.3. Soit f : I R une fonction définie sur un intervalle I. (i) On suppose que f est dérivable sur I et soit f : I R sa fonction dérivée. Si la fonction f est dérivable sur I, on notera sa fonction dérivée f ou f (2), qu on appellera la dérivée seconde de f, etc. Ces dérivées successives (si elles existent) se notent f, f, f (3),, f (n),... ou df dx, d2 f,..., dn f dx 2 dx, La fonction n f (n) est appelée dérivée n ième de f. (ii) On dit que f est n fois dérivable sur I si elle admet une dérivée n ième sur I. (iii) On dit que f est de classe C n sur I si f admet une dérivée n ième sur I et si cette dérivée n ième est continue sur I. (iv) On dit que f est de classe C sur I si f est indéfiniment dérivable sur I (f est de classe C n sur I pour tout entier n). Formule de Leibniz. Soit f et g deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I (n étant un entier 1). Alors, la fonction fg est n fois dérivable sur I et on a n (fg) (n) = Cnf k (k) g (n k), avec la convention f (0) = f. k=0 Exemple 1.4. Calculer les fonctions dérivées d ordre n des fonctions f(x) = sin 2 x et g(x) = x 2 e x.

32 28 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES - DÉRIVÉES 1.4. Exercices Exercice III.1. Calculer, lorsqu elles existent, les dérivées des fonctions : x 1 + x 2 sin 2 x, x exp(1/x) + 1 exp(1/x) 1, x log( 1 + sin(x) 1 sin(x) ), x (x(x 2))1/3, ( ) x sin e x ln(x + 1), x (2x + 3) cos(5x+2). Exercice III.2. Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes : (a) f 1 (x) = x 2 cos 1 x si x 0, f 1(0) = 0; (b) f 2 (x) = sin x sin 1 x si x 0, f 2(0) = 0; (c) f 3 (x) = x x 2 2x + 1 x 1 si x 1, f 3 (1) = 1. Exercice III.3. Etudier la dérivabilité sur R des applications suivantes : f : x x x, g : x x 1 + x, h : x x. Exercice III.4. Prolonger par continuité en 0 et étudier la dérivabilité de f(x) = x ln x et g(x) = ex 1 x. Exercice III.5. Déterminer a, b R de manière à ce que la fonction f définie sur R + par : f(x) = x, si 0 x 1 et f(x) = ax 2 + bx + 1, sinon soit dérivable sur R +. Exercice III.6. Soit f : R R définie par f(x) = x 2 cos 1. Montrer que f est x prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n est pas continue en 0. Exercice III.7. Soit f : R R une fonction dérivable sur R et f la dérivée de f. Montrer que : 1. f est paire si et seulement si f est impaire. 2. f est impaire si et seulement si f est paire et f(0) = 0. Exercice III.8. Soient f : [0, 1] R une fonction dérivable sur [0, 1], telle que f(0) = f(1). On considère la fonction g définie par : { f(2x), si x [0, 1 g(x) = 2 ] f(2x 1), si x [ 1 2, 1] Montrer que g est continue sur [0, 1]. A quelle condition g est dérivable sur [0, 1]?

33 1. DÉRIVABILITÉ 29 Exercice III.9. Calculer la fonction dérivée d ordre n des fonctions f, g, h définies par : f(x) = sin x ; g(x) = sin 2 x ; h(x) = sin 3 x + cos 3 x. Exercice III.10. Calculer les dérivées successives des fonctions : x x 2 e x ; x x 2 (1 + x) n ; x x2 + 1 (x + 1) 2 ; x x n 1 ln x. Exercice III Soient a < b deux réels et f(x) = (x a) n (x b) n. Calculer f (n) et en déduire n (Cn) k 2. k=0 2. Montrer que f (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à [a, b].

34 30 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES - DÉRIVÉES 2. Fonctions réciproques 2.1. Définition Définition 2.1. Soit f : E F (E et F étant des parties de R) une fonction. Injection : f est injective si x E, x E, (f(x) = f(x )) (x = x ). Surjection : f est surjective si f(e) = F, c.à.d y F, x E; tel que y = f(x). (Attention à l importance de l ordre des quantificateurs!) Bijection : f est bijective si f est à la fois injective et surjective. Ceci revient à dire que pour tout élément y de F il existe un unique élément x de E tel que y = f(x). Définition 2.2. Soit f : I J. On dit que f admet une fonction réciproque s il existe g : J I telle que f g = Id J et g f = Id I. On dit alors que g est la fonction réciproque de f et on note g = f 1. Proposition 2.1. Soit f une fonction définie sur I, soit J = f(i). Alors f admet une réciproque si et seulement si f est bijective. Théorème 2.1. Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(i). Dans ce cas la fonction réciproque f 1 de f est l application de J dans I qui à un élément y de J associe l unique élément x de I vérifiant y = f(x). Exemple ) f(x) = ax + b (a 0). f : R R. 2) f(x) = x 2. Remarque 2.1. Soit G (resp. G ) le graphe de f (resp. de f 1 ) dans un repère normé, alors les deux graphes sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice. Proposition 2.2. Soit f : E F et g : F G deux fonctions réelles. Si g f est injective (resp. surjective), alors f est injective (resp. g est surjective). Proposition 2.3. Soit f : E F et g : F G deux fonctions réelles. Alors, Si f et g sont injectives (resp. surjectives), g f est injective (resp. surjective). Théorème 2.2. (Continuité des Fonctions réciproques) Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors, f établit une bijection de I sur l intervalle J = f(i) et l application réciproque notée f 1 de J dans I est continue et admet la même monotonie que f Dérivées des fonctions réciproques Théorème 2.3. Soit f : I J, continue, bijective. (Alors f 1 est continue sur J). Soit a I, alors b = f(a) J. Si f est dérivable en a et f (a) 0, alors f 1 est dérivable en b et (f 1 ) (b) = 1 f (a).

35 2. FONCTIONS RÉCIPROQUES Fonctions réciproques des fonctions usuelles (a) Fonction exponentielle. f(x) = ln x : ]0, + [ R, strictement croissante, f 1 = exp. (f 1 ) (y) = e y. On a y = ln x x = e y et e y est stricetement croissante sur R. (b) Fonction arcsinus. f(x) = sin x, monotone sur [ π 2, π 2 ]. On note f 1 = arcsin définie sur [ 1, 1] d image [ π 2, π 2 ]. f (x) = cos x 0 sur ] π 2, π 2 [, donc arcsin est dérivable sur ] 1, 1[ et arcsin (x) = 1. 1 x 2 (c) Fonction arccosinus. f(x) = cos x, monotone sur [0, π]. On note f 1 = arccos, définie sur [ 1, 1] d image [0, π], dérivable sur ] 1, 1[ et arccos (x) = 1. 1 x 2 (d) Fonction arctangente. f(x) = tan x, bijective de ] π 2, π 2 [ sur R strictement croissante. On note f 1 = arctan : R ] π 2, π 2 [, dérivable sur R et arctan (x) = 1. 1+x 2 (e) Fonction racine nième. Soit n un entier 1. La fonction x x n est définie et continue sur R. Si n est pair, elle est strictement croissante sur [0, + [ ; donc bijective de [0, + [ sur [0, + [, elle admet une fonction réciproque appelée racine n-ıème et notée x n x, définie et continue sur [0, + [, dérivable sur ]0, + [ avec ( n x) = 1 n x 1 n 1. si n est impair (n 1), elle est strictement croissante sur R. Elle admet donc une fonction réciproque appelée racine n-ıème et notée x n x, définie et continue sur R, dérivable sur R, avec ( n x) = 1 n x 1 n 1. (f) Fonction sinus hyperbolique. f(x) = shx. f (x) = chx > 0 sur R, f est strictement croissante sur R, donc bijective de R sur R. f admet une fonction réciproque que l on note f 1 = argsh : R R. Elle est dérivable sur R. Si x = shy, alors argsh (x) = 1 f (y) = 1 chy, donc argsh (x) = 1. x 2 +1 Pour x R, on peut aussi montrer que argsh(x) = ln(x + x 2 + 1). (g) Fonction cosinus hyperbolique. f(x) = chx. f (x) = shx est positive sur [0, + [ et négative sur ], 0]. Donc f est strictement croissantesur [0, + [, et bijective de [0, + [ sur [1, + [. On note f 1 = argch la fonction réciproque. Elle est définie sur [1, + [ d image [0, + [. Elle dérivalbe sur ]1, + [ et on a argch (x) = 1. x 2 1 Pour x 1, on a argch(x) = ln(x + x 2 1). (h) Fonction tangente hyperbolique. f(x) = th x = shx chx = ex e x e x +e x, bijective de R sur ] 1, 1[ strictement croissante. On note f 1 = argth, dérivable sur ] 1, 1[ et argth (x) = 1 1 x 2. Pour x ] 1, 1[, argth x = 1 2 ln 1+x 1 x. Exemple 2.2. Tracer la courbe représentative de la fonction x f(x) = arcsin(cos x). Exemple 2.3. Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = ln(arccos 1 x ).

36 32 CHAPITRE III. FONCTIONS RÉELLES - DÉRIVÉES 2.4. Exercices Exercice III.12. Ecrire sous forme d expression algébrique sin(arccos x), cos(arcsin x), cos(arctan x), sin(arctan x). Exercice III.13. Vérifier arcsin x + arccos x = π 2, arctan x + arctan 1 x = sign(x)π 2. Exercice III.14. Soient les fonctions f : x arcsin(sin x) et g : x arctan 1. Simplifier les expressions de f(x) et g(x). 2. Construire les graphes de f et g. 1 cos x 1 + cos x. Exercice III.15. Tracer les courbes représentatives des fonctions x f(x) = sin(arcsin x), x f(x) = arcsin(cos x), x f(x) = arctan( 1 x ). Exercice III.16. Résoudre les équations suivantes : 1. arctan(2x) + arctan x = π arcsin(2x) arcsin(x 3) = arcsin(x). 3. arctan(x) + arctan( 3x) = 7π 12.

37 3. EXTREMA LOCAUX ET THÉORÈME DE ROLLE Extrema locaux et théorème de Rolle 3.1. Points critiques et extrema locaux Définition 3.1. Point critique : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. On dit que x 0 est un point critique de f si f (x 0 ) = 0. minimum ou maximum local : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. On dit que x 0 est un point minimum (resp. maximum) local s il exite δ > 0 tel que f(x 0 ) soit le mimimum (resp. maximum) de f sur ]x 0 δ, x 0 + δ[. extremum local : minimum ou maximum local. Théorème 3.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x 0 I et il exite δ > 0 tel que ]x 0 δ, x 0 + δ[ I. Si f admet un extremum en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Remarque 3.1. Pour déterminer le maximum et le minimum d un fonction continue sur un intervalle [a, b] (fermé et borné), on détermine les points critiques et on compare les valeurs en ces points avec les valeurs f(a), f(b). Exemple 3.1. Soit P (x) = (x 2 + x 2) 3. Calculer P (x). Sans calculer P, montrer que P a au moins deux racines dans l intervalle ] 2, 1[. Déterminer min P (x). x [ 2,1] 3.2. Théorème de Rolle et règle de L Hôpital Théorème 3.2. (Théorème de Rolle) Soit a < b des réels et f : [a, b] R une fonction. On suppose que : f est continue sur [a, b], f est dérivable sur ]a, b[, f(a) = f(b). Alors c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Interprétation géométrique. Soit C le graphe de f. Sous les hypothèses du théorème, il existe un réel c ]a, b[ tel que la tangente à C au point (c, f(c)) est horizontale. Corollaire 3.1. (Règle de L Hôpital) Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I et soit x 0 un point de I. On suppose que f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, et pour tout x I\{x 0 }, g(x) 0 et g (x) 0. f (x) f(x) Si lim x x 0 g = l, (l R), alors lim (x) x x 0 g(x) = l. Remarque 3.2. La règle de l Hôpital est valable aussi pour x 0 = ± et les formes indéterminées 0 0,. Exemple 3.2. Calculer lim x 0 arcsin x x x 3.