Modélisation de coiffures naturelles à partir des propriétés physiques du cheveu

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1 Modélisation de coiffures naturelles à partir des propriétés physiques du cheveu F Bertails, B Audoly, B Querleux, M-P Cani, F Leroy et J-L Lévêque EVASION, Laboratoire GAVI-IMAG/INIA, Grenoble Laboratoire de Modélisation en Mécanique, Univ Pierre et Marie Curie, Paris 6 L Oréal echerche, Paris FIG 1 Cheveux bouclés réels vs synthétiques De gauche à droite : configuration à l équilibre d un cheveu bouclé ; èche générée de anière procédurale à partir de ce cheveu ; èche réelle dont on s est inspiré pour la odélisation ; chevelure coplète coposée d une centaine de èches ; chevelure réelle dont on s est inspiré pour la odélisation ésué : Nous présentons une nouvelle approche physique perettant de siuler la fore d une chevelure naturelle à partir des propriétés physiques, structurelles et ethniques caractérisant les cheveux d une personne Pour cela, nous nous basons sur un odèle écanique connu pour les tiges élastiques - odèle de Kirchhoff - capable de prendre en copte la frisure naturelle d un cheveu, ainsi que la géoétrie elliptique de sa section La fore à l équilibre d un cheveu est calculée de anière stable et efficace par la iniisation de son énergie potentielle Cette technique, étendue à l échelle de la èche, nous peret de générer diverses configurations typiques telles que les boucles anglaises Coe le ontrent nos résultats, la éthode est capable de prédire la fore au naturel d une chevelure, quel que soit le type ethnique d origine, et à partir d un nobre réduit de paraètres De plus, elle offre à l utilisateur la possibilité de réaliser virtuelleent des opérations de coiffure classiques telles que le ouillage, la coupe et le séchage Mots-clés : Chevelure, siulation physique, coiffure virtuelle 1 Introduction et travaux antérieurs La chevelure est un éléent visuel très iportant d une personne huaine Elle reflète notaent l origine ethnique et influe bien souvent sur la perception que les autres ont de soi 1 Avec la ultiplication, ces dernières années, des personnages de synthèse dans les environneents virtuels, la synthèse de chevelures virtuelles est rapideent apparue coe un problèe iportant et difficile pour la odélisation réaliste de personnages Ainsi, beaucoup de travaux en inforatique graphique se sont réceent penchés sur le problèe de odélisation de coiffures virtuelles Cependant, aucun odèle existant n est capable de tenir copte préciséent des propriétés structurelles du cheveu pour en déduire sa fore, ni de prédire à l avance la fore que prendrait une chevelure donnée en poussant ou une fois ouillée Offrir de telles possibilités pourrait par exeple perettre le développeent d un salon de coiffure virtuel, destiné aux usagers pour l essayage de coupes virtuelles, ou êe à la foration des apprentis coiffeurs Le travail que nous présentons ici est, à notre connaissance, la preière avancée dans cette voie 1 Selon des études intitulées First Ipressions and Hair Ipressions, enées par M Lafrance, professeur en psychologie à l Université de Yale (http ://wwwphysiqueco/ca fre/sn/sn yale-study2asp)

2 11 Propriétés structurelles et écaniques du cheveu Une bonne copréhension des propriétés géoétriques et écaniques du cheveu est nécessaire à l élaboration d un odèle réaliste Un cheveu est un tube elliptique très fin et très léger, encastré dans le cuir chevelu, et qui se défore de anière anisotrope : un cheveu se courbe facileent et peut éventuelleent s enrouler autour de luiêe, ais il est pratiqueent inextensible et peu souis aux contraintes de cisailleent Le cheveu est égaleent un atériau élastique qui recouvre en général sa fore d origine après avoir été souis à une contrainte En outre, la fore naturelle des cheveux est très variable dans le onde, en fonction des individus et de leurs origines ethniques : le cheveu peut être naturelleent raide, ondulé, bouclé, frisé ou crépu, tandis que sa section, plus ou oins elliptique, a un diaètre oyen pouvant être copris entre 45 et 100 icrons Ces différences varient de anière relativeent continue entre les différents peuples de la planète, ais l on peut cependant distinguer trois grands types de cheveux dans le onde [AMB01] : les cheveux asiatiques, africains, et caucasiens FIG 2 Les trois grands types de cheveux dans le onde De gauche à droite : cheveux asiatiques, cheveux caucasiens et cheveux africains Pour chaque catégorie est donnée une vue transversale d un cheveu (grossi environ 400 fois), une vue des cheveux en coupe, et l iplantation des cheveux sur le cuir chevelu (vues au icroscope c L Oréal) Contraireent aux cheveux asiatiques qui sont gros, réguliers, généraleent droits, de section ronde et iplantés perpendiculaireent sur le dessus de la tête, les cheveux africains sont irréguliers, crépus, de section elliptique, et poussent de anière quasient parallèle au cuir chevelu Les cheveux caucasiens représentent l interédiaire entre les deux catégories précédentes, et peuvent avoir une fore très variable allant de raide à très frisée (voir Figure 2) 12 Travaux précédents De nobreuses éthodes en inforatique graphique synthétisent la fore finale de la chevelure à partir de surfaces ou de volues paraétriques ; l utilisateur peut alors déforer anuelleent et de anière interactive la fore de la chevelure dans l espace en déplaçant des points de contrôle [KH00, YXYW00, KN02] Ces techniques garantissent à l utilisateur un bon niveau de contrôle sur la fore qu il crée ais exigent égaleent de sa part un iportant travail de odélisation pouvant parfois s avérer fastidieux D autre part, une fois le odèle de coiffure réalisé, il n est pas possible d effectuer autoatiqueent des opérations de coupe ou de ouillage physiqueent réalistes, car le odèle ne prend pas en copte les propriétés écaniques de la chevelure D autres approches utilisent des odèles pseudo-physiques afin d autoatiser et de rendre plus réaliste le processus de odélisation de coiffure [AUK92, HMT00, Yu01, CK05] Dans ces approches, cependant, la géoétrie fine des détails de la chevelure - tels que les boucles ou les ondulations - est ajoutée à la ain ou bien de anière procédurale [Yu01, CK05] éceent, les éthodes à base de reconstruction d iages ont ontré leur potentiel quant à leur capacité à capturer fidèleent la géoétrie d une chevelure réelle ainsi que les orientations des fibres [PBS04, WOQH05] Cependant, coe ces éthodes ne peuvent reproduire que la partie visible de la chevelure (quasi-surface), elles sont d une part incapables de capturer l enseble d une chevelure, d autre part les fores coportant des parties cachées, coe les boucles par exeple, posent des problèes à la reconstruction Un certain nobre de travaux ont été réalisés sur la siulation physique de fils, à partir de odèles Lagrangiens [N01, LMGC04], ou bien en utilisant le odèle de tige déforable de Cosserat régi par les équations de Kirchhoff [Pai02] Ce dernier odèle, bien connu par la counauté de odélisation écanique, a l avantage de tenir copte à la fois de la déforation en courbure et en torsion d une tige Pai a été le preier chercheur à présenter ce odèle à la counauté d inforatique graphique [Pai02] Dans ce travail, il propose de siu-

3 ler interactiveent un fil en résolvant les équations de Kirchhoff statiques de anière itérative Notre odèle de cheveu repose égaleent sur la description de Cosserat pour les tiges élastiques, ais contraireent à Pai, nous résolvons le problèe statique grâce à une iniisation d énergie potentielle Cette nouvelle forulation nous peret notaent de siuler une dizaine de cheveux en teps réel, de anière stable, en prenant en copte la section elliptique du cheveu ainsi que les forces de collision pouvant s exercer sur le odèle 13 Contributions Notre but est de générer de anière physiqueent réaliste des fores naturelles de chevelures, à partir des propriétés structurelles et physiques du cheveu réel d origine Nos contributions spécifiques sont les suivantes : 1 Une aélioration du odèle de Pai [Pai02] pour la siulation physique d un cheveu unique, grâce à une nouvelle forulation équivalente des équations de Kirchhoff dans le cas statique, basée sur une iniisation d énergie Cette nouvelle approche peret de prendre en copte de anière directe les forces extérieures conservatives, tout en augentant efficacité et robustesse 2 L extension du odèle au traiteent de cheveux bouclés et à section elliptique Cela est en effet essentiel si l on souhaite générer des chevelures caractéristiques de différents groupes ethniques, l ellipticité de la section et la frisure naturelle du cheveu jouant toutes les deux un rôle prédoinant dans la fore finale de la chevelure 3 Une anière siple et directe de fournir à l utilisateur des outils classiques de coiffure tels que le ouillage, la coupe et le séchage En effet, grâce à notre odèle physique, ces opérations peuvent être effectuées de anière réaliste en odifiant un nobre réduit de paraètres (longueur des cheveux, rayon oyen ou odule de Young) Ce nouveau odèle peret d envisager, dans l avenir, la conception de prototypes pour des systèes virtuels de tests cosétiques et de coiffure Nous présentons tout d abord, en Section 2, le odèle de cheveu statique utilisé, puis expliquons le passage à l échelle de la chevelure en Section 3 Enfin, nous validons la éthode en Section 4, avant de conclure 2 Siulation d un cheveu statique Coe suggéré par Audoly et Poeau [AP07], nous nous inspirons des théories de Kirchhoff et de Cosserat sur les tiges déforables pour odéliser le coporteent écanique statique d un cheveu unique Ce odèle de cheveu unique servira ensuite de base à la construction d un odèle de èche, présenté en Section 3 21 Modèle de tige de Cosserat Nous représentons un cheveu coe une tige inextensible, non souise au cisailleent, et dont l un des bords est encastré dans le cuir chevelu, l autre étant libre Nous choisissons de prendre une tige à section elliptique, car c est la géoétrie qui est la plus fidèle à la géoétrie d un cheveu réel La fore de la section elliptique sera paraétrée par son excentricité 2 athéatique Nous verrons dans les équations écaniques que l excentricité a un effet non négligeable sur la fore du cheveu Dans cette partie, nous considérons que le cheveu est uniqueent souis au chap de la pesanteur La prise en copte d autres forces extérieures dans le odèle, et notaent des forces de contact, sera abordée en Section 31 Dans le odèle de tige de Cosserat [EC09], et sous les hypothèses plus restreintes de Kirchhoff dans lesquelles nous nous plaçons (tige élastique, inextensible et sans cisailleent), la configuration d une tige est donnée par deux éléents : une courbe paraétrée de l espace, appelée courbe oyenne, décrivant la géoétrie de l axe central de la tige On supposera dans la suite que est au oins de classe une base orthonorale!" # $% &' attachée en chaque point de la courbe oyenne En général, le vecteur $ est la tangente à la courbe en, et les vecteurs (! et définissent le plan de la section droite locale de la tige Dans notre cas, nous choisirons )! et coe les axes principaux de la section elliptique 2 L excentricité d une ellipse est définie coe le rapport de la distance du centre au foyer et la longueur du dei-grand axe Concrèteent, l excentricité est nulle pour un cercle, et à esure qu elle croît, l ellipse s aplatit

4 B - - Sous les hypothèses de Kirchhoff, une tige de Cosserat peut localeent se plier autour de chacun des axes *! et (phénoène de courbure), ou bien s enrouler autour d elle-êe (phénoène de torsion) Ceci est illustré par ) quantifie la rotation locale de la tige autour la Figure 3, à gauche La courbure atérielle +! (respectiveent + de! (respectiveent ), tandis que la torsion, caractérise la rotation locale de la tige autour de l axe tangent $ L évolution spatiale le long de la tige est donnée par les équations cinéatiques suivantes : / - 5 $ (21a) (21b) où 6 pour 1 +! ;:=<>+ C ED?;<@,A$ est le vecteur rotation instantanée de la tige, et 2 4 représente respectiveent!,, $ FIG 3 Siulation statique d un cheveu À gauche : une tige de Cosserat et un repère atériel ; la courbure FG (resp F H ) indique de cobien tourne la tige autour de IJG (resp IKH ), et la torsion L indique de cobien tourne la tige autour de M À droite : différentes configurations d une tige de Cosserat à l équilibre : a) tige souise à la gravité ; b) quelques repères atériels le long de la tige ; c) tige présentant une courbure naturelle non nulle ; d) tige enroulée sur elle-êe, ie avec une torsion naturelle non nulle ; e) : tige très bouclée, de section circulaire ; f) tige très bouclée, de section elliptique Une propriété bien connue et qui nous sera très utile pour déteriner la configuration finale d une tige de Cosserat est alors la suivante : si +3!, + configuration de la tige est une hélice [AP07] et, sont constantes le long de la tige de Cosserat (ie indépendantes de ), alors la 22 Configuration de la tige au repos Coe entionné précédeent, un cheveu peut être bouclé naturelleent Cette frisure naturelle et intrinsèque est prise en copte dans notre odèle par les courbures naturelles, notées +3N! et +EN, et la torsion naturelle, notée,en Ces paraètres décrivent en fait l état de repos du systèe, lorsqu aucune force extérieure n est appliquée Dans le cas des cheveux, il paraît raisonnable de supposer que les courbures et torsion naturelles sont à peu près constantes le long du cheveu ; en effet, la frisure naturelle d un cheveu est prédéterinée par sa racine, et on peut donc penser qu elle reste inchangée durant toute la phase de croissance du cheveu Précisons cependant que cette hypothèse n est en rien une restriction du odèle Notons égaleent que dans ce cas, la configuration de la tige au repos est une hélice d après la propriété énoncée précédeent 23 Énergie potentielle Nous cherchons les configurations à l équilibre d un cheveu souis au chap gravitationnel, connaissant ses caractéristiques physiques (angle d encastreent, longueur, rayon, excentricité de sa section elliptique, courbures et torsion naturelles) Une solution consisterait à résoudre les équations de Kirchhoff Cette approche, suivie par Pai [Pai02], ène à un systèe d équations différentielles ordinaires non linéaires avec des conditions aux liites aux deux extréités (un bord encastré, l autre libre) Ce type d équations ne peut se résoudre que de anière itérative et la non unicité de la solution peut soulever des difficultés nuériques Pour éviter ces dernières, nous proposons une forulation des équations de Kirchhoff physiqueent équivalente, fondée sur une iniisation d énergie, qui s avère plus facile à résoudre et plus fiable

5 c N C! N < w Les configurations d équilibre d un systèe physique peuvent être obtenues par la recherche des inia de son énergie potentielle L énergie potentielle d une tige de longueur, souise au chap de pesanteur, s écrit : OEP'QSUT où OEX est l énergie élastique interne de la tige et OEV l énergie potentielle de pesanteur En supposant que le atériau constituant le cheveu obéit à la loi de Hooke, l énergie potentielle élastique interne du cheveu s écrit : OEX Y[Z %\^] &+! =_^+ N! <`\^] C OWV &+ OEX =_^+ N <badc C (22),J =_e, N fw (23) où est le odule de Young (ou odule d élasticité) du cheveu, son odule de cisailleent \ a 3,! (respectiveent ) le oent d inertie de la section de la tige par rapport à l axe ] ]! (respectiveent, par rapport à l axe ), et le oent d inertie axial de la tige Ces oents d inertie dépendent des rayons principaux de la section du cheveu, et donc du paraètre excentricité L énergie potentielle de pesanteur du cheveu OEV peut s écrire ainsi : YlZ OWV fo (24) hg*ikj Nn où est la asse voluique du cheveu, l aire de sa section (supposée constante le long du cheveu), la valeur du chap g gravitationnel et la cote de i l éléent fo à l abscisse curviligne j D après l équation (23), l énergie potentielle élastique O X d un cheveu est iniale (et égale à zero) lorsque les courbures et torsion +3!, +,, de la tige sont égales à leur valeur spontanée + N!, + N,, N Cette tendance du cheveu à recouvrer sa fore naturelle hélicoïdale est contrebalancée par l effet de la gravité, représenté par O V, qui consiste à tirer le cheveu vers le bas L énergie potentielle totale du cheveu O P'QSUT est donc iniale lorsqu il y a équilibre entre ces deux effets antagonistes 24 ésolution nuérique que l on prendra de longueur égale fw par souci de siplifi-, on suppose que les courbures + et la torsion, sont constantes Soit!, + et torsions, Coe le repère initial tu W est iposé par l encastreent dans le cuir chevelu, le vecteur qar définit une configuration unique pour la tige En effet, la La tige est tout d abord subdivisée en p orceaux cation qsr Sur chaque (petit) orceau de tige le vecteur de taille D;p coposé des p courbures + courbe &' et le repère atériel tv & peuvent se déduire de anière unique le long de la tige à partir des + and,, en utilisant les équations pour une hélice sur chaque orceau Nous cherchons tout d abord à trouver le vecteur q r qui iniise l énergie OPQUT de la tige, puis à calculer la configuration spatiale correspondante de la tige Voici l algorithe que nous utilisons pour ce faire : 1 L énergie du cheveu OKP'QSUT et le vecteur q r sont initialisés à des valeurs arbitraires ; 2 Tant que l énergie O P'QSUT continue à décroître, on itère : Calcul de l énergie élastique O X par l équation (23) ; Calcul forel de la configuration (, t ) de la tige, chaque orceau de la tige étant une hélice Calcul de l énergie potentielle de pesanteur O V, qui requiert l intégration des équations cinéatiques (21b), afin de déteriner la fonction En effet, &'Sx yz avec la condition W, où xoy est le kw vecteur du repère du onde (constant) orienté verticaleent En utilisant l équation (21a), on en déduit l expression suivante pour O V : OWV {g*ij Y[Z _^' } qui peut être évalué de anière précise en pratique Miniisation de OEPQ}T $% &' ~Sx y zfw' 3 Le odule de cisailleent de la tige s exprie en fonction du odule d Young et du coefficient de Poisson par : ƒ H ~G ˆŠ!, +

6 Ž < < O Ž! 3 Connaissant le vecteur q*r qui iniise O PQ}T, on calcule la configuration finale o SŒtu ŒSk[ E de la tige, en utilisant les équations pour les hélices La Figure 3 ontre quelques configurations de cheveux à l équilibre, obtenues par notre algorithe de iniisation d énergie earquons que lorsque l on augente l excentricité de la section de la tige, tout en aintenant un rayon oyen constant, la régularité des boucles augente le long de la tige Finaleent, notre éthode est assez rapide pour traiter une dizaine de cheveux en teps réel, et une centaine en quelques secondes, chaque cheveu étant discrétisé en 15 orceaux Ces perforances satisfaisantes nous perettent d envisager ce odèle pour la génération de coiffures naturelles coplètes via une interface interactive 3 Modélisation d une coiffure coplète De êe que Choe et al [CK05], nous représentons une chevelure coplète coe un enseble de èches, dans lequel la fore de chaque èche est gouvernée par un cheveu directeur, et l apparence visuelle donnée par le tracer d un enseble de cheveux individuels à l intérieur du volue de la èche à l étape du rendu La fore du cheveu directeur est déterinée par l algorithe de siulation statique d un cheveu unique présenté en section précédente, tandis que la fore des cheveux rendus est générée à partir de celle du cheveu directeur, par un processus stochastique siilaire à celui utilisé dans [CK05] 31 Collisions Afin de créer des coiffures réalistes, il est nécessaire de tenir copte des interactions se produisant entre les èches de cheveux, la tête et le corps du personnage, ainsi qu au sein de la chevelure Il est en particulier indispensable de traiter les collisions entre èches si l on veut que les coiffures générées aient un volue adéquat FIG 4 À gauche : collision entre un cheveu bouclé et une sphère À droite : coparaison entre une chevelure coplète sans collisions (a), et une chevelure pour laquelle l enseble des collisions (entre èches, et entre les èches et la tête), est correcteent pris en copte (b) earquer en particulier la différence de volue entre les deux coiffures Pour les collisions, nous représentons chaque èche de anière siplifiée par un squelette, coposé d un nobre réduit de points d échantillonnage du cheveu directeur (en pratique, ce nobre est pris égal au nobre de orceaux coposant le cheveu directeur), ainsi que d une série d épaisseurs le long de la èche, calculées en fonction de plusieurs facteurs tels que le nobre de cheveux coposant la èche et le niveau de frisure de la èche Le corps du personnage est approché par un enseble de sphères qui servent à la fois pour la détection des collisions, et pour la réponse Lorsqu une collision se produit entre une èche et une sphère du corps, nous appliquons au point de contact du squelette une force de pénalité élastique, notée ) L avantage est qu une telle force dérive d une énergie potentielle, et donc pour tenir copte de sa contribution dans la siulation, il suffit d ajouter son énergie correspondante O dans l équation (22) Pour trouver la fore finale du cheveu directeur de la èche en collision, le problèe revient alors sipleent à iniiser la nouvelle énergie O3PQUT définie ainsi : O P'QSUT En pratique, on évalue O en fonction de la distance d interpénétration entre la èche et le corps : O O V où est un paraètre de raideur choisi arbitraireent Coe illustré sur la Figure 4 (à gauche), cette éthode, bien que très siple, siule parfaiteent les contacts entre un cheveu directeur et une sphère O X o K,

7 Pour traiter les collisions entre èches de anière efficace, nous nous soes inspirés de l algorithe des couches ultiples d enveloppes développé par Lee et Ko [LK01] Le principe repose sur l hypothèse suivante : les cheveux plantés haut sur le crâne doivent toujours recouvrir les cheveux plantés plus bas L idée consiste alors à créer une série d enveloppes autour de la tête, en pelures d oignon, et à détecter la collision de chaque cheveu avec l enveloppe correspondant à l altitude du cheveu (plus un cheveu est haut, plus on le teste avec une enveloppe grande) Cette éthode n est autre que l extension de l algorithe de détection de collisions entre les cheveux et la tête Bien sûr, elle ne arche que lorsque la tête reste statique et orientée verticaleent, ce qui est notre cas La Figure 4 (à droite, b)) ontre qu une chevelure coplète présente un volue satisfaisant, grâce à cette approche 32 Outils d édition de coiffure Cette partie décrit les outils de coiffure virtuelle dont dispose l utilisateur pour créer des coiffures Par rapport aux approches précédentes, notre éthode présente le grand avantage de siplifier la gestion des opérations classiques de coiffure telles que la coupe, le ouillage ou le séchage, grâce au odèle physique sous-jacent 321 Effet de l eau sur les cheveux Si l on veut siuler une chevelure ouillée pour des applications de coupe et de coiffure virtuelle, il est nécessaire de connaître les phénoènes physiques qui se produisent lorsque les cheveux sont en contact avec l eau Le cheveu est en effet peréable à l eau, et peut absorber jusqu à 40% de son propre poids en eau Cette absorption d eau cause, entre autres, un changeent iportant des propriétés écaniques et géoétriques du cheveu : son diaètre augente de 13% environ, sa longueur de 1%, et son odule d élasticité décroît d un facteur 5 [BW05], rendant le cheveu beaucoup plus déforable Enfin, une chevelure ouillée est beaucoup oins voluineuse qu à sec, à cause de la nature cohésive de l eau Ward et al ont proposé un odèle de chevelure tenant copte de ces propriétés [WGL04] Mais, coe leur odèle physique est très siple (chaînes asses-ressorts), et donc n est pas paraétré par des quantités physiques adéquates, il leur faut contrôler de ultiples structures pour arriver à appliquer sur la chevelure les changeents physiques correspondant au passage à l état ouillé Au contraire, grâce à notre approche basée sur un systèe écanique réaliste, ouiller une chevelure revient sipleent du point de vue de la siulation à odifier quelques paraètres physiques, et à changer les forces de collisions entre èches L aspect visuel des èches est égaleent odifié pour un rendu plausible Concrèteent, notre algorithe de ouillage est le suivant : Le odule d élasticité des cheveux directeurs est divisé par 5, leur rayon augenté de 13% et leur longueur de 1% En pratique, c est principaleent le odule d élasticité qui a un fort ipact sur la fore de la èche Nous diinuons le rayon de chaque èche d environ 40% (d après nous, cela correspond de anière satisfaisante à la réalité) La distance d interpénétration dans le calcul des énergies de collision (voir Section 31) est réduite d autant Au niveau du rendu visuel, la couleur des cheveux fonce d environ 20 % et la diffusion de la luière par les fibres est réduite (d après les données expérientales rapportées dans [BW05]) Pour le séchage, nous considérons pour l instant qu il s agit du processus inverse du ouillage, bien que ce ne soit pas tout à fait le cas dans la réalité [BW05] Dans notre interface, un seul bouton intégrant l enseble de ces odifications peret à l utilisateur de changer directeent l état de la chevelure (ouillé ou sec) FIG 5 Mouillage (b), sélection par l utilisateur des èches pour la coupe (c), coupe finale (d) et séchage (e) d une chevelure naturelleent bouclée (a) Noter la différence de fore des èches entre l état ouillé et l état sec (a-b ou d-e), causée en particulier par le changeent du odule d élasticité entre les deux états On observe égaleent, à sec, que les èches (sur la frange notaent) ont changé de fore du fait de la coupe : les boucles ont reonté, coe dans la réalité

8 T _ T 322 Coupe de cheveux Nous considérons, pour siplifier, que la coupe de cheveux consiste à enlever la atière de la chevelure qui est située en-dessous d un plan horizontal Au lieu de calculer exacteent l intersection entre le plan de coupe et chaque èche pour en déduire la longueur finale de la èche après la coupe, nous faisons l approxiation suivante : la longueur finale d une èche coupée peut être approchée par où est la cote de la racine de la èche considérée Cette approxiation est raisonnable si l on effectue la coupe sur des cheveux ouillés (donc verticaux et assez droits ), et elle est d autant plus correcte que les cheveux à couper sont longs (l erreur d approxiation étant la plus iportante près de la racine) Notons que, contraireent aux approches précédentes, notre éthode de coupe est physique (ie la chevelure perd effectiveent de la asse), et non pas pureent géoétrique Ainsi, la fore de chaque boucle de la chevelure, ainsi que le volue global de cette dernière sont affectés par une coupe, coe dans la réalité (voir Figure 5) 33 endu d une chevelure Au cours de la odélisation de coiffure, le rendu des cheveux est effectué interactiveent par les éthodes de Kajiya et Kay [KK89] (pour l illuination locale) et Bertails et al [BMC05] (pour le calcul de l auto-obrage) Pour le rendu final d une coiffure, l illuination locale des cheveux est calculée de anière plus précise par l algorithe de Marschner et al [MJC 03] En particulier, ce odèle tient copte des effets visuels dus à la nature elliptique de la section d un cheveu Ainsi, l excentricité représente un paraètre unique de siulation, utilisé à la fois par le odèle écanique et pour le rendu La valeur de ce paraètre est fixée en fonction du type de cheveu considéré : pour les cheveux asiatiques, est pratiqueent nul, tandis que pour les cheveux caucasiens, varie entre 0 et 0,1, et pour les cheveux africains, varie entre 0 et 0,2 Les odifications des paraètres de rendu effectuées pour siuler une chevelure ouillée sont données en Section Validation du odèle 41 Pousse de cheveux FIG 6 Coparaison du phénoène de pousse des cheveux entre le odèle siplifié de statique des poutres utilisé par Anjyo et al [AUK92] (à gauche) et notre odèle basé sur les équations de Kirchhoff pour les tiges élastiques (à droite) Dans le preier cas, la gravité seule ne suffit pas à faire tober les cheveux correcteent sur la tête, et des forces suppléentaires devront être ajoutées par la suite pour obtenir une coiffure réaliste Dans le second cas, le odèle non linéaire que nous utilisons reproduit parfaiteent le phénoène se produisant lors de la pousse de cheveux : les cheveux poussent d abord tout droit (a), puis ayant atteint une longueur seuil (b), ils se plient naturelleent sous leur propre poids (b et c) Contraireent aux nobreuses approches pseudo-physiques qui utilisent des chaps de vecteurs dans l espace 3D pour déteriner la fore statique des cheveux [HMT00, Yu01, CK05], notre éthode se sert des caractéristiques physiques des cheveux (longueur, asse voluique, odule de Young, etc) pour calculer autoatiqueent la fore de la chevelure sous l effet de la gravité La éthode d Anjyo et al [AUK92], qui s est inspirée des travaux

9 en résistance des atériaux sur la statique des poutres, suit un peu la êe idée : dans cette approche, les cheveux se courbent naturelleent sous l effet de leur propre poids Cependant, la éthode eployée est très siplifiée (elle se base sur une équation de déforation linéaire), et n est applicable en théorie que pour les petites déforations Utilisée telle quelle, elle donne des résultats irréalistes (voir Figure 6), et pour générer des coiffures plausibles, elle requiert l ajout de forces autres que la gravité (forces coiffantes ) Au contraire, notre éthode peret de tenir copte correcteent du phénoène de pousse d un cheveu, caractérisé par le fait que, au-delà d une certaine longueur, un cheveu êe parfaiteent vertical cesse de pousser droit, et plie sous l effet de son propre poids (instabilité connue sous le no d elastica d Euler) 42 Génération de fores naturelles de chevelure La Figure 7 expose quelques résultats de coiffures que nous avons réalisées en s inspirant de chevelures réelles, de fores diverses Les paraètres physiques généraux utilisés dans les siulations sont fixés à leur vraie valeur, B donnée par des esures physiques sur le cheveu : [ob02] \, a E D, gš B D j ŠœS >ž FIG 7 Coparaison entre des coiffures générées par notre logiciel et des coiffures réelles À droite : iages réelles de cheveux (a) raides, (b) bouclés et (c) crépus À gauche : résultats synthétiques correspondants, générés à partir de valeur adéquates pour l excentricité de la section du cheveu Ÿ et pour les courbures naturelles FE Chacune des coiffures de synthèse a été réalisée à l aide de notre logiciel en oins de 30 inutes Nous avons rearqué que les paraètres excentricité et courbures naturelles avaient un fort ipact sur le type de boucles générées Si la valeur des courbures naturelles correspond au degré de frisure souhaité, l ellipticité de la section du cheveu influe sur la régularité des boucles obtenues le long du cheveu (voir Figure 7) 5 Conclusion Nous avons présenté une nouvelle éthode perettant de calculer autoatiqueent la géoétrie d une chevelure naturelle à partir des caractéristiques structurelles, physiques et ethniques du cheveu Coe le ontrent nos résultats, cette approche peret de générer des fores de chevelures variées et fidèles à la réalité Actuelleent, notre éthode est principaleent liitée par le coût en teps de calcul nécessaire pour générer la configuration à l équilibre d une chevelure coplète (6 secondes en oyenne sont nécessaires pour calculer une configuration à l équilibre d une chevelure seblable à celles de la figure 7) La liitation des perforances de l application nous epêche d utiliser plus d une centaine de cheveux directeurs dans notre systèe de odélisation de coiffure Cependant, les résultats obtenus sont visuelleent très satisfaisants avec ce nobre liité de cheveux directeurs, grâce à notre odèle procédural de èche Nous étudions actuelleent la prise en copte de l angle d encastreent des cheveux dans le cuir chevelu pour

10 générer la fore finale d une chevelure En effet, l iplantation des cheveux a un ipact assez iportant sur la fore d une chevelure, surtout lorsque celle-ci est courte Nous envisageons de plus d intégrer au odèle quelques caractéristiques artificielles (raies par exeple) pour obtenir des styles de coiffure plus variés Enfin, nous travaillons à l extension de notre odèle physique pour la siulation dynaique de chevelures eercieents Merci à Steve Marschner pour nous avoir peris d utiliser son code d illuination locale éférences [AMB01] M-C Auzou and S Melchior-Bonnet Les vies du cheveu Galliard, 2001 [AP07] B Audoly and Y Poeau Elasticity and Geoetry : fro hair curls to the nonlinear response of shells Oxford University Press, To Appear in 2007 [AUK92] K Anjyo, Y Usai, and T Kurihara A siple ethod for extracting the natural beauty of hair In Proceedings of ACM SIGGAPH 92, Coputer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, pages , August 1992 [BMC05] F Bertails, C Ménier, and M-P Cani A practical self-shadowing algorith for interactive hair aniation In Proc Graphics Interface, May 2005 [BW05] C Bouillon and J Wilkinson The Science of Hair Care Taylor & Francis, New York, 2005 [CK05] B Choe and H-S Ko A statiscal wisp odel and pseudophysical approaches for interactive hairstyle generation IEEE Transactions on Visualization and Coputer Graphics, 11(2), March 2005 [EC09] E and F Cosserat Théorie des corps déforables Herann, 1909 [HMT00] S Hadap and N Magnenat-Thalann Interactive hair styler based on fluid flow In Coputer Aniation and Siulation 00, pages , August 2000 [KH00] C Koh and Z Huang eal-tie aniation of huan hair odeled in strips In Coputer Aniation and Siulation 00, pages , Septeber 2000 [KK89] J Kajiya and T Kay endering fur with three diensional textures In Proceedings of ACM SIG- GAPH 89, Coputer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, pages , 1989 [KN02] T-Y Ki and U Neuann Interactive ultiresolution hair odeling and editing ACM Transactions on Graphics, 21(3) : , July 2002 Proceedings of ACM SIGGAPH 02 [LK01] D-W Lee and H-S Ko Natural hairstyle odeling and aniation Graphical Models, 63(2) :67 85, March 2001 [LMGC04] J Lenoir, P Meseure, L Grisoni, and C Chaillou A suture odel for surgical siulation 2nd International Syposiu on Medical Siulation (ISMS 04), pages , june [MJC 03] S Marschner, H Jensen, M Caarano, S Worley, and P Hanrahan Light scattering fro huan hair fibers ACM Transactions on Graphics (Proceedings of the SIGGAPH conference), 22(3) : , July 2003 [N01] O Nocent and Y eion Continuous deforation energy for dynaic aterial splines subje ct to finite displaceents In Eurographics Workshop in Coputer Aniation and Siulation, pages 87 97, Manchester, United Kingdo, sep 2001 Springer Verlag [Pai02] D Pai Strands : Interactive siulation of thin solids using cosserat odels Coputer Graphics Foru, 21(3) : , 2002 Proceedings of Eurographics 02 [PBS04] S Paris, H Briceño, and F Sillion Capture of hair geoetry fro ultiple iages ACM Transactions on Graphics (Proceedings of the SIGGAPH conference), 2004 [ob02] C obbins Cheical and Physical Behavior of Huan Hair 4th ed Springer, 2002 [WGL04] K Ward, N Galoppo, and M C Lin Modeling hair influenced by water and styling products In International Conference on Coputer Aniation and Social Agents (CASA), May 2004 [WOQH05] Y Wei, E Ofek, L Quan, and HYShu Modeling hair fro ultiple views ACM Transactions on Graphics (Proceedings of the SIGGAPH conference), 2005 [Yu01] Y Yu Modeling realistic virtual hairstyles In Proceedings of Pacific Graphics 01, pages , October 2001 [YXYW00] X D Yang, Z Xu, J Yang, and T Wang The cluster hair odel Graphics Models and Iage Processing, 62(2) :85 103, March 2000