CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE
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- Claire Croteau
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1 Cité scolaire Claude Monet - 1S6 Année scolaire Mathématiques CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE Exercice 4 : Soit H le projeté orthogonal de O sur. La droite OH est alors une hauteur du triangle AOB, isocèle en O puisque les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et mesure la même longueur. On en déduit que OH est aussi une médiane de ce triangle et en particulier, le point H est le milieu de []. De plus, BC est perpendiculaire à, donc B est le projeté orthogonal de C sur. On en déduit que OC HB HB car et HB sont colinéaires de même sens. De plus, a et HB a puisque H est le milieu de []. Ainsi, OC a. On sait que CD puisque CD est un carré. Par conséquent, CD a. On sait que H, milieu de [] est le projeté orthogonal de O sur. Comme AD est perpendiculaire à, alors A est le projeté orthogonal de D sur. Ainsi, OD HA AH puisque a et HA sont colinéaires de sens contraire. Par conséquent, OD a a Le point D est le projeté orthogonal de A sur CD car AD est perpendiculaire à CD. On en déduit que AC CD DC CD DC a Exercice 5 : AC BD + BC BA + AD BA+ AD+ BC BA+ BC AD Comme CD est un rectangle alors et AD sont orthogonaux et AD 0. De même, BC et BA sont orthogonaux d'où BC BA 0. Ainsi, AC BD + BC BC +BC Exercice 6 : AM BC + BM CA + CM AM BC + BA + AM CA + CA + AM AM BC + BA CA + AM CA + CA + AM AM BC + CA + + BA CA + CA BA AM }{{} BB + BA CA BA CA 0 0
2 Exercice 7 : D'après la relation d'al Kashi dans le triangle C, BC + AC AC cos BAC + cos π Ainsi, BC 7. Exercice 8 : Dans la première gure, BAC π est donnée. 4 5 On avait obtenu pour la gure, lors de l'exercice, AC. 5 AC Or, on sait que cos BAC AC Avec la touche cos 1 de la caclulatrice, on obtient BAC 1, 45 rad. ou cencore BAC 8, 8. Dans la troisième gure, on avait calculé dans l'exercice : AC 1. Comme A 1 ;, B ; 1 et C 1 ; 1 alors x B x A + y B y A De même, AC x C x A + y C y A On en déduit alors que AC cos BAC AC A l'aide de la calculatrice, on peut conclure que BAC 1, 4 rad. ou encore BAC 81, 9. Pour la quatrième gure, le triangle C est rectangle en C donc cos BAC AC, et à l'aide de la 5 calculatrice, BAC 1, 16 rad. ou encore BAC 66, Exercice 9 : CM P Q CD + DM P A + AQ CD P A + CD AQ + DM P A + DM AQ Comme CD et P A sont colinéaires de même sens, CD P A CD P A. Les droites CD et AQ sont perpendiculaires d'où CD AQ 0. A et P étant les projetés orthogonaux respectifs des points D et M sur AP, alors DM P A AP. Enn Q est le projeté orthogonal de M sur AQ et D AQ donc DM AQ DQ AQ. On obtient nalement : CM P Q CD P A AP DQ AQ AP CD AP DQ AQ Comme CD est un carré, CD et de plus CD AP AP P B. Le quadrilatère AP M Q admet angles droits : en A car CD est un carré, en P et en Q car ce sont les projetés orthogonaux de M sur et AD. Cela signie que AP MQ est en rectangle et en particulier AQ P M. BD étant une diagonale du carré CD, P BM ÂBD 45. Le triangle P BM est alors rectangle en P et admet un angle mesurant 45. Cela implique que le dernier angle de ce triangle vaut aussi 45 la somme des angles d'un triangle doit valoir 180. Le triangle P BM est donc isocèle rectangle en P d'où P M P B et nalement, AQ P B. Par un raisonnement analogue, le triangle DQM est isocèle rectangle en Q d'où DQ QM. On a déjà justié que AP MQ est un rectangle donc QM AP et par conséquent, DQ AP. En remplaçant dans la précédente expression de CM P Q, cela donne : CM P Q AP P B AP P B 0. Les droites CM et P Q sont alors perpendiculaires.
3 Exercice 10 : En projetant les points D et B sur AC, on obtient : AC DB AC KH puisque K et H sont les projetés orthogonaux respectifs de D et B sur AC. De plus, AC DB + BC DC + CB DC + BC DC + CB + BC CB Comme CD est un rectangle alors DC et donc DC a On sait de plus que BC est perpendiculaire à DC donc BC DC 0. De même, est perpendiculaire à CB donc CB 0. Enn, BC CB BC b. On en déduit que AC DB a b. Finalement, AC DB AC KH a b. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle C, rectangle en B, AC + BC a + b d'où AC a + b. On obtient alors KH a b a + b. Exercice 11 : a On utilise le théorème d'al Kashi pour calculer : AC + BC AC cosĉ cos cos70 sinĉ BC sinâ AC d'où sin B 10 sin70 0, 94. A l'aide de la calculatrice, on en déduit que cos70 puis cos70 10, 06. D'après la formule des sinus, BC sinĉ sinâ  69, 1. De même, sin B que B 40, 8. AC sinĉ 7 sin cos70 0, 654. A l'aide de la calculatrice, on en déduit b La somme des angles d'un triangle vaut 180 donc  BC D'après la formule des sinus, sinâ sinĉ AC d'où sin B BC sinĉ sinâ 8 sin40 sin60 8 sin40 16 sin40 5, 9 De même, AC BC sin B sinâ 8 sin80 16 sin80 9, 1. Exercice 1 : 1. La médiatrice de [] est perpendiculaire à et elle admet donc comme vecteur normal le vecteur xb x A On peut alors chercher l'équation de la médiatrice y B y A 1 1 de [] sous la forme ax + by + c 0 avec a 4 et b 1, c'est-à-dire sous la forme 4x y + c 0. On sait également que la médiatrice de [] passe par le milieu M de []. On connait les formules des coordonnées du milieu d'un segment : x M x A + x B et y M y A + y B + 1. Les
4 coordonnées de M satisfont l'équation de la médiatrice de [] : 4x M y M + c c 0 c 4 5 On peut donc choisir 4x y 5 0 pour équation de la médiatrice de [].. La hauteur issue de A du triangle C est perpendiculaire à BC et passe par A. Le vecteur BC est xc x donc un vecteur normal de cette hauteur. Or, BC B BC 1 BC. On y C y B 4 1 cherche donc une équation de la hauteur issue de A sous la forme x + y + c 0 et comme A est sur cette droite, x A + y A + c c 0 c 7. On peut donc choisir x + y 7 0 comme équation de la hauteur de C issue de A. Exercice 1 : M est sur le cercle de diamètre [] si et seulement si Pour Mx ; y, MA xa x M y A y M MA 1 x 1 y MA MB 0 le triangle M est rectangle en M. et xb x MB M 1 x MB donc y B y M y MA MB 0 x MA x MB + y MA y MB 0 1 x1 x + 1 y y x x + x y + y + y 0 x + y + y 4 0 On peut donc choisir x + y + y 4 0 pour équation du cercle de diamètre []. Exercice 14 : a x + y + x 4y x + x y 4y x y x y 7 4 x y Comme 7 4 < 0 alors cette équation ne concerne aucun point, ce n'est donc pas l'équation d'un cercle. b x + y x 9 0 x x y 9 0 x 1 + y 10 0 x 1 + y 10 Il s'agit de l'équation du cercle de centre Ω 1 ; 0 et de rayon 10.
5 c x + y y x + y 1 0 Il ne s'agit pas de l'équation d'un cercle mais de celle du point Ω 0 1.
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