ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Dans ce chapitre nous allons apprendre à résoudre les cas les plus élémentaires des équations di érentielles du premier ordre et du second ordre à coe cients constantes Dé ntion: De nombreu problèmes d origine physique, économique, etc. Conduisent à rechercher une fonction y d une variable réelle sachant qu il eiste une relation entre, y et les dérivées y (n avec n. Une telle relation est dite équation di érentielle d ordre n et elle est de la forme: f ; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n = 0 où f est une fonction. -ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D ORDRE : Une équation di érentielle d ordre est une équation de la forme: f (; y; y 0 = 0 avec y 0 = dy d : A-ÉQUATIONS Á VARIABLES SÉPARABLES ( OU SÉPARÉES : Soient I et J deu intervalles de R, f : I! R et g : J! R deu fonctions continues. di érentielle à variables séparables est du type: Ce qui implique que: dy d y 0 = f ( g (y : = f ( g (y dy = f ( d g (y g (y dy = f ( d + c, c 2 R: Une équation y 0 2 2y = 0 dy d 2 2y = 0 dy y = 2 ( 2 d dy y = 2 ( 2 d ln jyj = ln 2 + ln c; c 2 R + y = c 2 où c 2 R B-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGÈNE EN X ET Y: C est une équation du type: y 0 = f y On introduit la fonction auiliaire 7! t = y ; on a y = t et y0 = t 0 +t: Finallement on a une équation à variables séparables: t 0 = dt d = f (t t dt f (t t = d

2 (2 + y d (4 y dy = 0 dy (2 + y = d (4 y y 0 = dy d = 2 + y 4 on pose :t = y y = t y0 = t 0 + t t 0 + t = (2 + t (4 t t 0 (2 + t = (4 t y (4 t t 2 3t + 2 dt = d après résolution on a : ln jj + ln c = ln t = t2 3t + 2 (4 t (t 22 jt j 3 ; c 2 R + (t 22 3 = k où k 2 R jt j Ainsi toutes les solutions de l équation donnée sont dé nies par: C-ÉQUATION LINÉAIRE: C est une équation de la forme: (y 2 2 = k (y 3 où k 2 R (y 2 2 = k (y 3 où k 2 R y 0 = a ( y + b ( ( où a ( et b ( sont deu fonctions continues sur un intervalle I: y 0 = a ( y (2 est l équation -homogène- ou -sans second membre- associée à (. Ainsi, la solution générale de ( est la somme d une solution particulière de cette équation ( et de la solution générale de l équation homogène associée (2. Si on ne connaît aucune solution apparente de (: on résout (2, et on obtient sa solution générale y = y, où est une constante et y = e A, A étant une primitive de a ( sur I. Par suite on fait varier la constante. Posant, dans (, y ( = ( y ( on obtient: 0 ( y ( + ( y 0 ( = a ( ( y ( + b ( 0 ( y ( = b ( car y est une solution de (2. d ou la connaissance de 0, et celle de par intégration. Cette technique est connue sous le nom, de méthode de variation de le constante. Eemple: ( la solution particulière i y 0 cos + y sin = 2 2 ; h, est linéaire. ( 2 2

3 Une solution évidente de étant 7! y 0 ( = sin et une solution apparente de l équation homogène étant 7! y ( = cos ; la solution générale de ( est: i 2 ; 2 h! R 7! sin + cos ( 2 R Remarquons que ces solutions sont valables sur R: Eemple2: ( la méthode de la variation de la constante y y = 2 e 2 2 R, est linéaire. ( Une solution de l équation homogène y 0 +2 y = 0 étant 7! y ( = e 2 la variation de la constante et reportons dans ( y ( = ( e 2. Employons la méthode de de Ainsi est une solution générale de l équation (. D-ÉQUATION DE BERNOULLI: Une équation de la forme: 0 ( = 2 ( = 2d ( = 2 + k où k 2 R y = 2 + k e 2 où k 2 R y 0 = a ( y + b ( y ( 2 I où 2 R ( où a ( et b ( sont deu fonctions continues sur un intervalle I: Cette équation est linéaire pour = 0 et =. Dans le cas général, en l écrivant: y 0 y = a ( y + b ( donc si on pose: z = y ; on est alors ramené à une équation linéaire: z 0 = ( [a ( z + b (] y 0 + y = y 2 ln y 2 y 0 + y = ln (E c est une équation de Bernoulli, alors on fait le changement: z = y d où z 0 = y0 y 2 En remplaçant dans l équation (E, on obtient z 0 z = qui est une équation di érentielle linéaire d ordre avec seconde membre. La résolution de l équation sans seconde membre ln z 0 z = 0 3

4 donne z ( = c où c 2 R Par suite, en utilisant la méthode de la variation de la constante, on obtient pour c (, l équation En intégrant par partie, on trouve: c 0 ( = ln 2 c ( = ln + + k où k 2 R Ainsi la solution générale de l équation linéaire est donnée par z ( = ln + + k et puisque z = y alors la solution générale de (E est y ( = ln + k + où k 2 R E-ÉQUATION DE RICCATI: elle est de la forme: y 0 = a ( y 2 + b ( y + c ( ( 2 I où 2 R ( où a (, b ( et c ( sont trois fonctions continues sur un intervalle I: On ne peut la résoudre que si on en connaît a priori une solution particulière y :on pose alors y = y + z; z étant une nouvelle fonction inconnue, d où (, z 0 = a ( z 2 + d ( z C est une équation de Bernoulli qui se ramène à une équation linéaire en posant z = u: 3 y 0 = y y 2 -ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D ORDRE 2 à COEFFICEINTS CON- STANTS: Une équation di érentielle d ordre 2 à coe cients constants est une équation de la forme ay 00 + by 0 + cy = f ( ( * où a; b et c sont des constantes réelles, et f : I! R une fonction dé nie et continue dans un intervalle I de R: L équation ( * est dite une équation di érentielle d ordre 2 à coe cients constants avec second membre ( f (. A lors pour résoudre l équation ( * il faut suivre les deu étapes suivantes: ère étape: la résolution de ( * sans second membre: Soit l équation ay 00 + by 0 + cy = 0 (2 * Comme remarque la résolution des équations linéaires sans seconde membre donne toujours une seule solution y ; par contre pour les équation de type (2 * on trouve deu solutions y et y 2 : En e et pour résoudre (2 * il faut trouver au premier lieu une équation équivalente à (2 * dite équation caractéristique associée à (2 * en remplace y (n par r n : ar 2 + br + c = 0 (3 * 4

5 Par suite on calcul le 4 et on trouve l un des cas suivants Le signe de 4 les solutions de (3 * Les solutions de (2 * 4 > 0 deus solutions réelles r et r 2 y + y 2 = c e r + c 2 e r2 = c z + c 2 z 2 4 = 0 une racine double r 0 y + y 2 = (c + c 2 e r0 = c z + c 2 z 2 4 < 0 deus solutions complees r et r 2 y + y 2 = c cos e + c 2 sin e avec r = + i et r = + i = c z + c 2 z 2 2ème étape: la résolution de ( * avec second membre: Il reste à trouver la troisième solution de l équation ( *, pour cela on peut appliquer l un des deu méthodes suivantes: ère Méthode: Méthode de la solution particulière. On peut utiliser cette méthode dans le cas où le second membre est l un des fonctions suivantes: polynôme, sinus, cosinus, eponentielle, ou somme ou produit entre ces quatre fonctions. D où les régles suivantes: Le type du seconde membre polynôme sinus cosinus eponentielle La solution particulière polynôme contient le cosinus ainsi que le sinus contient le cosinus ainsi que le sinus eponentielle 2ème Méthode: Méthode de la variation de la constante. On remarque que chaque solution de l équation sans seconde membre est de la forme: c z + c 2 z 2, alors la recherche de la solution de l équation avec seconde membre par cette méthode est de la forme y 3 = c ( z + c 2 ( z 2 où c (, c 2 ( sont des fonctions inconnues, dérivables véri ant la condition supplémentaire c 0 ( z + c 0 2 ( z 2 = 0 On utilise le fait que y 3 est une solution de ( * on obtient l équation D où le système c 0 ( z 0 + c 0 2 ( z 0 2 = f ( c 0 ( z + c 0 2 ( z 2 = 0 c 0 ( z 0 + c 0 2 ( z 0 2 = f ( ce qui permet de trouver c 0 ( et c 0 2 ( : Par intégration on trouve c ( et c 2 (, ce qui donne le y 3 : Conclusion: La solution générale est: Y = y + y 2 + y 3 5