Introduction à l analyse spectrale. P. Granjon, J-L. Lacoume

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1 Introduction à l analyse spectrale P. Granjon, J-L. Lacoume

2 Table des matières Propriétés énergétiques des signaux 2. Signaux à temps et fréquence continus Signaux à temps et fréquence discrets Transformée de Fourier discrète Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales 5 2. Filtrage, quadration, intégration (FQI) Corrélogramme Périodogramme moyenné Algorithme Quelques fonctions d apodisation Autres techniques d estimation Calibrage 9 3. Les 2 principes Signaux à spectre continu Calcul du facteur de calibrage Exemples Signaux à spectre discret Calcul du facteur de calibrage Exemples Quelques remarques sur les signaux à spectre de raies Signaux mixtes Effet du calibrage Contraste raies/fond du spectre Fréquences positives/négatives Addition de zéros (zero padding) 4 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel Interpolation Fenêtres d apodisation 6 6 Résolution fréquentielle 7 7 Variance d estimation 9 8 Conclusion 2

3 Chapitre Propriétés énergétiques des signaux Dans ce cours d introduction, tous les signaux sont supposés aléatoires stationnaires, c est à dire que leurs propriétés statistiques sont invariantes par translation temporelle.. Signaux à temps et fréquence continus Les propriétés énergétiques (données par des statistiques d ordre 2) des signaux aléatoires stationnaires à temps continu sont résumées à la figure.. Les figures.2,.3,.4 et.5 donnent des exemples de fonctions de corrélation et de densités spectrales Fonction de corrélation C x (τ) Signal x(t) Théorème de Wiener-Kinchine S x (ν) = T F [C x (τ)] Densité spectrale S x (ν) Figure. Propriétés énergétiques des signaux à temps et fréquence continus de puissance (DSP) pour des signaux que vous rencontrerez classiquement par la suite. Les signaux ne comportant aucune partie périodique sont à spectre purement continu (Fig..2 et.3). Les signaux purement périodiques ont un spectre purement discret, également appelé «spectre de raies» (Fig..4). Les signaux mixtes, comportant une partie périodique et une partie non périodique, ont des spectres comportant à la fois une partie continue et une partie discrète. Ce sont ces signaux qui sont le plus couramment rencontrés dans le domaine de l énergie..2 Signaux à temps et fréquence discrets Les propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires à temps et à fréquence discrets sont résumées à la figure.6. Dans la suite, nous supposerons toujours que les signaux dont nous disposons 2

4 CHAPITRE. Propriétés énergétiques des signaux C x(τ) = σ 2 δ(τ) S x(ν) = σ 2 τ(s) ν(hz) Figure.2 Bruit blanc (aucune partie périodique) C x(τ) S x(ν) τ(s) ν(hz) Figure.3 Bruit corrélé (aucune partie périodique) C x(τ) = périodique S x(ν) spectre de raies τ(s) ν(hz) Figure.4 Signal purement périodique partie périodique C x(τ) partie bruit S x(ν) τ(s) ν(hz) Figure.5 Signal mixte (une partie périodique et une partie non périodique) sont à temps discret, et qu ils ont été échantillonnés en vérifiant le théorème de Shannon. On pourrait redonner les mêmes exemples que dans le cas des signaux à temps continu, pour lesquels on obtiendrait sensiblement les mêmes résultats. Nous allons toutefois voir par la suite que l échantillonnage en temps et en fréquence provoque de légers changements dans les résultats obtenus pour les spectres..3 Transformée de Fourier discrète Un outil nécessaire pour pouvoir calculer (ou plutôt faire calculer par un ordinateur) le spectre d un signal échantillonné est la transformée de Fourier discrète (TFD) directe et inverse sur N points. Sa 3

5 CHAPITRE. Propriétés énergétiques des signaux Fonction de corrélation C x (k) Signal x(n) n M Théorème de Wiener-Kinchine S x (m) = T F D[C x (k)] Densité spectrale S x (m) Figure.6 Propriétés énergétiques des signaux à temps et fréquence discrets définition mathématique est la suivante : N T F D : X(m) = θ x(n)e j2π nm N (.) n= N T F D : x(n) = β X(m)e +j2π nm N (.2) avec : Nθβ = Une manière de fixer les facteurs de normalisation θ et β est de chercher à retrouver les dimensions des grandeurs continues, c est à dire des fréquences en Hertz et du temps en secondes. Pour obtenir cela, on pose : { θ = Te m= β = NT e où T e est la période d échantillonnage. θ représente alors l écart de temps (en secondes) entre deux échantillons du signal temporel x(n), et correspond au «dt» de la version continue de l équation (.). β représente l écart fréquentiel (en Hertz) entre deux échantillons de la TFD X(m), et correspond au «dν» de la version continue de l équation (.2). On voit finalement que 2π nm N = 2π m NT e nt e est homogène au 2π ν t de la transformée de Fourier (TF) des signaux à temps continus. 4

6 Chapitre 2 Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales 2. Filtrage, quadration, intégration (FQI) Cette technique, décrite à la figue 2., est la plus ancienne. Elle réalise l estimation du spectre d un signal à temps continu, et est donnée ici pour mémoire. Le premier étage est composé d une batterie filtres très sélectifs, de fréquences centrales différentes. La sortie d un de ces filtres correspond donc au contenu du signal analysé autour de la fréquence centrale du filtre associé notée ν c. Le second étage est une élévation au carré, et calcule donc la puissance instantannée du signal autour de la fréquence ν c. Enfin, le troisième et dernier étage, réalise une intégration, et permet de calculer la puissance moyenne contenue dans le signal autour de ν c. Il faut noter que les analyseurs de spectre très haute fréquence (permettant d estimer des F ν ( ) 2 R T T dt S x(ν ) x(t) F νn ( ) 2 R T T dt S x(ν N ) Figure 2. Filtrage, quadration, intégration spectres jusqu à plusieurs Gigahertz et utilisés par exemple en électromagnétisme) fonctionnent encore suivant ce principe à cause des limites des convertisseurs numériques analogiques et des capacités de stockage et de traitement des calculateurs actuels. 2.2 Corrélogramme Cette technique est directement inspirée du théorème de Wiener-Kinchine. En effet, ce dernier nous dit que la DSP d un signal est la TF de sa fonction de corrélation. Cette méthode estime donc tout d abord la fonction de corrélation C x (k) du signal discret x(n), puis en réalise la TFD (voir figure 2.2). 5

7 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales apodisation h(k) calibrage A x(t) corrélateur cc x(k) TFD c Sx(m) 2.3 Périodogramme moyenné 2.3. Algorithme Figure 2.2 Corrélogramme La technique la plus utilisée actuellement est celle du périodogramme moyenné. Elle est issue d une définition alternative de la DSP, donnée par : [ ] X(m) 2 S x (m) = lim E (2.) N + N où E [ ] représente l espérence mathématique, et X(m) est définie par l équation (.). Pour pouvoir calculer cette espérence mathématique, on doit disposer d une infinité de réalisations du signal aléatoire x(n). Or en pratique, on ne dispose le plus souvent que d une seule de ses réalisations. Un moyen de contourner ce problème est de découper le signal x(n) en L «blocs» de N échantillons, espacés de P N échantillons. On suppose que les blocs ont suffisament d échantillons (N suffisament grand) pour représenter correctement le signal à analyser. Chacun des blocs est alors considéré comme une réalisation de x(n). Ce principe de découpage est représenté graphiquement sur la figure 2.3. Il faut alors calculer la TFD de chacun des blocs. On calcule ensuite le module carré de ces TFD, que x(n) observé sur M échantillons forme de la fonction d apodisation h(n) décalage de P N échantillons bloc de N échantillons Figure 2.3 Découpage employé pour l estimateur du périodogramme moyenné l on moyenne pour approcher l espérence mathématique de l équation (2.). L algorithme du périodograme moyenné peut donc être résumé comme suit :. Découper le signal en L blocs de longueur N M et décalés de P N. Les apodiser par la fonction d apodisation h(n) choisie. 2. Appliquer une TFD sur chacun des blocs apodisés : X i (m) = T F D [h(n)x(n ip )] pour le bloc i. 3. Prendre le module carré de chaque TFD et les moyenner. Ŝ x (m) = A L X i (m) 2 (2.2) L i= 6

8 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales La grandeur Ŝx(m) est donc l estimateur du périodogramme moyenné de la DSP, dont la valeur théorique est S x (m). On peut noter que cet estimateur emploi exactement la même structure de calcul que la méthode FQI présentée précédemment : TFD filtrage par N filtres sélectifs, module carré quadration, moyennage intégration. Les divers paramètres qu il reste à régler correctement pour pouvoir l employer sont : le facteur de calibrage A, la fonction d apodisation h(n), la longueur des blocs N, le décalage P. Dans les chapitres suivants, nous allons étudier l influence de ces divers paramètres Quelques fonctions d apodisation Il existe un grand nombre de fonctions d apodisation. Voici les deux plus utilisées :. Fonction porte : en temps : h(n) = pour n =,..., N et ailleurs. en fréquence : H(m) = Nθδ(m) où δ(m) est une impulsion unité verifiant δ(m) = pour m = et ailleurs. 2. Fonction de Hanning : en temps : h(n) = ( ) 2 cos 2πn N pour n =,..., N et ailleurs en fréquence : H(m) = Nθ ( 2 δ(m) 4 δ(m ) 4 δ(m + )). L allure temporelle et fréquentielle de ces deux fonctions d apodisation pour N = 6 échantillons est donnée à la figure Autres techniques d estimation Il existe une multitude d autres méthodes d analyse spectrale spécifiques à certains types de signaux, mais celles-ci ne seront pas abordées ici. Toutefois, si vous voulez creuser un peu le sujet, vous pouvez consulter les ouvrages suivants :. Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques, J. Max, J-L. Lacoume, Masson, Digital Signal Processing, A-V. Oppenheim, R-W. Schafer, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Techniques modernes de traitement numérique des signaux, sous la direction de M. Kunt, Presses polytechniques et universitaires romandes, 99. Cette liste est bien sûr loin d être exhaustive... 7

9 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales x(n) = porte x(n) = Hanning echantillon n X(m) canal frequentiel m Figure 2.4 fonction porte echantillon n X(m) canal frequentiel m Figure 2.5 fonction de Hanning Figure 2.6 Fonctions d apodisation sur N = 6 échantillons 8

10 Chapitre 3 Calibrage Le réglage du facteur de calibrage A introduit dans le chapitre précédent permet de choisir la grandeur spectrale d ordre deux que l on cherche à estimer. En effet, nous allons voir qu il existe deux types de calibrages, l un conduisant à l estimateur de la densité spectrale de puissance, l autre à l estimateur du spectre de puissance. Dans la suite, on suppose que les gains des capteurs et des convertisseurs numériques/analogiques utilisés pour acquérir le signal ont été employés pour exprimer le signal discret en unités physiques. Par exemple, si le signal mesuré est une vitesse, l amplitude du signal discret est exprimée en m.s, s il s agit d une tension, l amplitude est donnée en Volts, etc. 3. Les 2 principes Le calibrage a pour principe d étalonner les spectres. Deux types de calibrage, dépendant du type de signaux traités, ont été développés : pour les signaux à spectre de raies, un calibrage correct conduit au spectre de puissance (SP) du signal physique. Celui-ci représentant la puissance contenue dans le signal à chaque fréquence, il s exprime en unités physiques au carré. pour les signaux à spectre continu, un calibrage correct conduit à la densité spectrale de puissance (DSP) du signal physique. Celle-ci étant une répartition par bande fréquentielle de la puissance contenue dans le signal, elle s exprime en unités physiques au carré par Hertz. S x (m) étant la valeur théorique de la DSP, on montre qu en moyenne, l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) vérifie la relation : ] E [Ŝx (m) = Aβ ( H 2 ) S x (m) N = Aβ H(m µ) 2 S x (µ) (3.) µ= où { β = NT e H(m) = T F D [h(n)], TFD de la fonction d apodisation. La relation (3.) conduit à deux calibrages selon que : la DSP de x est continue et supposée à variations lentes par rapport à S h (m), DSP de la fonction d apodisation h, la DSP de x est discrète (spectre de raies), et donc à variations rapides par rapport à S h (m), DSP de la fonction d apodisation h. 9

11 CHAPITRE 3. Calibrage 3.2 Signaux à spectre continu 3.2. Calcul du facteur de calibrage Dans cette situation, puisque S x (m) varie lentement par rapport à S h (m), elle peut être supposée constante sur la somme de l équation (3.), et être mise en facteur : ] E [Ŝx (m) = = Aβ ( Aθ N µ= N n= H(µ) 2 S x (m) (3.2) h(n) 2 ) S x (m) (3.3) La dernière égalité est donnée par la relation de Parseval appliquée aux signaux discrets : N θ n= N x(n)y (n) = β m= X(m)Y (m) ] Pour avoir un estimateur non-biaisé, on impose E [Ŝx (m) = S x (m). Pour que les équations (3.2) et (3.3) vérifient cette propriété, le facteur de calibrage A doit donc prendre la valeur : A DSP = θ N = n= h(n) 2 β (3.4) N m= H(m) 2 où θ = T e, β = NT e, et la fonction d apodisation h(n) est fixée par l utilisateur. Dans le cas de signaux à spectre continu, le facteur de calibrage à appliquer sur l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est donc donné par l équation (3.4). Ŝx(m) est alors un estimateur non biaisé de la DSP du signal à analyser Exemples Voici deux facteurs de calibrage calculés pour deux fonctions d apodisation différentes : Fonction porte : Fonction de Hanning : A DSP = A DSP = 3.3 Signaux à spectre discret 3.3. Calcul du facteur de calibrage θ N = = n= h(n) 2 NT e β N = 8 = 8 m= H(m) 2 3NT e 3 durée de h en secondes durée de h en secondes On considère un signal sinusoïdal x(n) = α cos ( 2π m N n) avec m entier et < N 2. La valeur théorique de sa DSP est alors donnée par : S x (m) = α2 4β [δ(m m ) + δ(m + m )]

12 CHAPITRE 3. Calibrage où δ(m) est une impulsion unité verifiant δ(m) = pour m = et δ(m) = pour m. Cette DSP est donc bien discrète, puisqu elle ne contient que deux points non nuls (pour m = ±m ). En appelant A SP le facteur de calibrage pour les signaux à DSP discrète, la relation (3.) appliquée à la DSP précédente conduit à : ] α E [Ŝx 2 (m) = A SP 4 H(m m ) 2 + H(m + m } {{ } ) 2 } {{ } fréquences positives fréquences négatives (3.5) La puissance totale de la sinusoïde α2 2 est répartie pour moitée en m = +m et pour moitié en m = m. La puissance contenue dans le signal à ces deux fréquences est donc égale à α2 4. Pour avoir une grandeur spectrale fournissant exactement la puissance du signal contenue à la fréquence m, on doit donc imposer : A SP = H() 2 = ( θ ) 2 (3.6) N n= h(n) où θ = T e, et où la fonction d apodisation h(n) est fixée par l utilisateur. Dans le cas de signaux à spectre discret, le facteur de calibrage à appliquer sur l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est donc donné par l équation (3.6). Ŝx(m) est alors un estimateur non biaisé du SP du signal à analyser, puisqu il donne la valeur de la puissance contenue dans le signal à chaque fréquence m. Remarque On peut rencontrer dans la littérature des variantes de cette grandeur spectrale. En effet, en prenant la racine carrée du SP, on peut obtenir un «spectre d amplitudes efficaces», s exprimant en unités physiques efficaces. Dans l exemple précédent, cette dernière grandeur serait donc égale à α 2 pour m = ±m. Certains auteurs ont également défini une grandeur similaire pour les signaux à spectres continus en prenant la racine carrée de la DSP. Ceci conduit à une grandeur spectrale s exprimant en unités physiques efficaces par racine de Hertz, ce qui n a pas de signification physique précise Exemples Voici deux facteurs de calibrage calculés pour deux fonctions d apodisation différentes : Fonction porte : A SP = ( θ ) 2 = N n= h(n) (NT e ) 2 = (durée de h en secondes) 2 Fonction de Hanning : A SP = H() 2 = 4 (NT e ) 2 = 4 (durée de h en secondes) Quelques remarques sur les signaux à spectre de raies. La forme des raies en sortie de l analyseur est imposée par celle de la TFD de la fonction d apodisation H(m) (voir l équation (3.5)). 2. Si la fréquence de la raie n est pas entière, (m non entier), la valeur maximale donnée par l estimateur Ŝx(m) est inférieure à la valeur théorique cherchée (effet de l échantillonnage en fréquence). Nous reviendrons plus loin sur ce dernier point.

13 CHAPITRE 3. Calibrage 3.4 Signaux mixtes 3.4. Effet du calibrage Un signal mixte est composé de la somme d un signal à spectre continu (qui n est donc pas périodique) et d un signal à spectre discret (qui est donc purement périodique). Les résultats d une analyse spectrale à l ordre 2 d un tel signal dépendent du calibrage choisi : A = A DSP : On obtient alors une estimée de la DSP du signal qui est une caractéristique intrinsèque de la partie à spectre continu. Dans cette situation : la partie continue de la DSP a une valeur indépendante des caractéristiques de l analyseur (nombre d échantillons par bloc N, fonction d apodisation h(n),... ), la partie discrète de la DSP (les raies) dépend des caractèristiques de l analyseur. A = A SP : On obtient alors une estimée du SP du signal qui est une caractéristique intrinsèque de la partie à spectre discret. Dans cette situation : la partie discrète du SP (les raies) est indépendante des caractèristiques de l analyseur. la partie continue du SP a une valeur dépendant des caractéristiques de l analyseur. Un exemple est montré à la figure 3.3, où l on a réalisé l analyse spectrale d un signal mixte avec 2 nombres d échantillons par bloc N différents. Le signal traité est composé d un sinus de fréquence.977 et d amplitude α =., et d un bruit blanc centré de variance unitaire. La figure 3. montre le résultat obtenu avec le facteur de calibrage A DSP, alors que la figure 3.2 montre celui obtenu avec A SP. On voit N=256 N= x 3 N=256 N= DSP 2 SP frequence reduite frequence reduite Figure 3. A = A DSP : estimation de la DSP Figure 3.2 A = A SP : estimation du SP Figure 3.3 Analyse spectrale d un signal mixte que l estimateur de la DSP (figure 3.) donne bien une valeur unitaire pour la partie continue du spectre quel que soit N. Par contre, sa valeur change pour la raie à.977 en fonction de N. Le comportement de l estimateur du SP est strictement inverse, puisque seule la valeur prise à la fréquence.977 est indépendante de N. De plus, on peut noter que pour cette fréquence, sa valeur est bien.25 = α2 4. Le calibrage choisi par l utilisateur sera donc fonction de ce qui l intéresse dans le signal : si il s intéresse aux raies contenues dans le signal, il choisira plutôt A = A SP, si il s intéresse à la «partie bruit» du signal, il choisira plutôt A = A DSP Contraste raies/fond du spectre On peut également remarquer sur la figure 3.3 que la différence entre le maximum de la raie et le fond continu du spectre, appelée «contraste» augmente avec le nombre d échantillons par bloc N. Pour illustrer 2

14 CHAPITRE 3. Calibrage ce phénomène, considérons le signal traité précédemment (un sinus d amplitude α et de fréquence m + du bruit b(n) sans partie périodique), et appliquons lui l estimateur de la DSP. On peut montrer qu à la fréquence de la raie m = m, on obtient : où B = β N m= H(m) 2 H() 2 = ] E [Ŝx (m ) = α2 4B + S b(m ) (3.7) N n= h(n) 2 θ N n= h(n) 2 et où S b (m) est la DSP du bruit b(n) (3.8) D après l équation (3.7), le contraste est dans ce cas égal à α2 4B, et dépend bien évidemment de l amplitude de la raie, mais également du paramètre B (pouvant être interprété comme la bande passante de l analyseur). Or en utilisant (3.8), on montre que B est inversement proportionnel à N (par exemple B porte = NT e et B Hanning = 3 2NT e ). Finalement, le contraste raies / fond continu du spectre est donc directement proportionnel au nombre d échantillons par bloc N, et croît avec lui. On pourrait mener exactement la même démarche sur le SP Fréquences positives/négatives Les spectres obtenus avec le facteur de calibrage A répartissent la puissance du signal sur les fréquences positives et négatives. Par suite de la parité des spectres pour les signaux réels, on les représente souvent uniquement pour les fréquences positives. Afin de retrouver sur les seules fréquences positives la puissance totale du signal analysé, on multiplie par deux les estimateurs, et leur facteur de calibrage devient : A + = 2A. 3

15 Chapitre 4 Addition de zéros (zero padding) 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel L estimateur du périodogramme moyenné nécessite le calcul de TFDs sur des blocs de N échantillons. On obtient alors un spectre échantillonné contenant N points ( N 2 pour les fréquences positives et N 2 pour les fréquences négatives). C est ce que l on appelle l échantillonnage en fréquence. Pour les signaux à spectre de raies, en particulier, cette représentation peut être trompeuse. En effet, si une raie ne tombe pas exactement sur un des canaux en fréquence couverts par la TFD, l échantillonnage en fréquence déforme fortement le spectre. Cet effet est illustré sur la figure 4.. Elle représente le SP d un signal formé de 2 sinusoïdes d amplitude. La raie à la fréquence. tombe exactement sur un canal fréquentiel de la TFD, alors que ce n est pas le cas pour celle à la fréquence.33. On voit que le SP de la raie ne tombant pas sur un canal de la TFD est déformé, et que son maximum est fortement atténué par rapport à la valeur théorique de DSP (en lineaire) frequence reduite Figure 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel sur le spectre des signaux à spectre de raies 4

16 CHAPITRE 4. Addition de zéros (zero padding) 4.2 Interpolation Pour pallier ce défaut, il faut interpoler en fréquence, c est à dire interpoler le spectre. Pour cela, avant de calculer les TFDs, on prolonge chaque bloc par des zéros, d où le nom de la méthode. Comme l espacement entre deux échantillons du spectre (c est à dire le pas en fréquence) est l inverse de la durée du bloc, on obtient bien une interpolation en fréquence. Il est recommandé de réaliser une interpolation suffisante (les facteurs conseillés sont entre 8 et 6). La figure 4.2 représente, en regard des spectre initiaux, ceux obtenus avec une addition de zeros d un facteur 6. Cette opération augmente la durée de calcul de l estimateur, mais elle permet de rendre l amplitude des raies presque insensible à leur position vis-à-vis des canaux de la TFD DSP (en lineaire) frequence reduite Figure 4.2 Effet du zero padding (facteur 6) Enfin, en observant les raies obtenues sur la TFD interpolée on voit apparaître les deux caractéristiques principales des fonctions d apodisation : leur lobe central qui «élargit» les raies et qui est lié au pouvoir de résolution, leurs lobes secondaires qui «dispersent» l énergie. Nous allons étudier ces deux derniers points en détail dans le chapitre suivant. 5

17 Chapitre 5 Fenêtres d apodisation Nous donnons à la figure 5., en db, le résultat fourni par l estimateur du périodogramme moyenné sur une raie avec les fonctions porte et de Hanning. On voit que le lobe central de la fonction de Hanning est plus large que celui de la fonction porte. On y voit également leurs lobes secondaires. Le premier lobe secondaire (le plus important), est à 3 db pour la fonction porte et à 3 db pour la fonction de Hanning. 5 porte Hanning 5 DSP (en db) frequence reduite Figure 5. Fonctions d apodisation porte et Hanning en fréquence (amplitude en db) La fonction porte est donc meilleure du point de vue pouvoir de résolution fréquentiel car son lobe central est plus fin. Elle permettra donc de séparer plus facilement deux raies proches de même amplitude. En revanche, elle est moins performante pour les fuites d énergie puisque ses lobes secondaires sont plus importants. Elle aura donc tendance à masquer les raies proches de petite amplitude. Le choix de la fenêtre d apodisation dépend donc des caractéristiques du signal à analyser. Il existe d autres fonctions d apodisation qui ont un lobe central plus large que la fonction porte, mais qui atténuent plus fortement que la fonction de Hanning les lobes secondaires. 6

18 Chapitre 6 Résolution fréquentielle Le pouvoir de résolution d un analyseur de spectre caractérise son aptitude à séparer des raies. Pour pouvoir faire son étude théorique, on se place dans la représentation interpolée du spectre, ce qui permet de considérer que les signaux sont à temps continu. Soit un signal à temps continu formé de deux raies de même amplitude α aux fréquences ν et ν 2. Le spectre mesuré est, en fréquences positives, proportionnel à : α 2 4 [ H(ν ν ) 2 + H(ν ν 2 ) 2] Par définition, nous dirons que les raies sont séparées si le spectre présente deux pics différents. Cette définition conduit au «pouvoir de résolution de Rayleigh». La figure 6. indique que le pouvoir de résolution de Rayleigh est égal à la bande passante à 3 db B 3dB de la fonction d apodisation : si l écart fréquentiel ν entre les raies est supérieur à cette bande, les deux raies seront séparées sur le spectre et donc visibles. ν ν B 3dB ν ν ν ν > B 3dB raies séparées ν = B 3dB limite de Rayleigh Figure 6. Pouvoir de résolution de Rayleigh ν < B 3dB raies non séparées Ce pouvoir de résolution dépend bien sûr de la fonction d apodisation choisie, mais aussi du nombre d échantillons par bloc N utilisé pour l estimateur du périodogramme moyenné. On montre que pour les deux fonctions d apodisation précédemment étudiées, la bande passante à 3 db est : porte :.88 durée de h(n) =.88 NT e Hanning :.42 durée de h(n) =.42 NT e 7

19 CHAPITRE 6. Résolution fréquentielle Ces valeurs nous donnent deux indications : la fonction porte a un meilleur pouvoir de résolution spectral que la fonction de Hanning, le pouvoir de résolution de l analyseur est inversement proportionnel à N. Cette dernière remarque nous permet de conclure que plus le nombre d échantillons par bloc N est élevé, meilleur sera le pouvoir de résolution de l analyseur. Nous verrons dans le chapitre suivant que choisir un N élevé n a pas que des avantages. Le signal, dont l analyse spectrale est montrée à la figure 6.2, contient deux sinusoïdes d amplitudes égales, et de fréquences très proches. et.. Les figures de gauche montrent les résultats obtenus avec DSP (en lineaire) Porte N = 88.8 N = Hanning DSP (en lineaire) Porte N = 5.8 N = Hanning frequence reduite frequence reduite Figure 6.2 Résolution fréquentielle en fonction de N et h(n) la fonction porte, alors que celles de droite ont été obtenues avec la fontion de Hanning. On voit que la fonction porte permet de séparer ces deux raies pour un nombre de points plus faible que la fonction de Hanning. Il faut toutefois garder à l esprit que si une des raies avait été beaucoup plus faible que l autre, le phénomène des fuites d énergies nous aurait conduit à choisir quand même la fonction de Hanning (voir le chapitre précédent). 8

20 Chapitre 7 Variance d estimation Pour un signal aléatoire, l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est] une variable aléatoire. Lors de l étude sur le calibrage, nous avons étudié sa valeur moyenne (E [Ŝx (m) ). Pour étudier correctement cette variable aléatoire, nous devons également nous intéresser à sa variance, qui caractérise sa dispersion. On montre que pour un signal aléatoire gaussien, la variance relative de Ŝx(m) est donnée par : ] Var [Ŝx (m) Sx(m) 2 = L où L est le nombre de blocs sur lequel on a moyenné (voir équation (2.2)). On en déduit que l opération de moyennage est nécessaire pour diminuer la dispersion des mesures lorsque le signal contient une partie aléatoire. De plus, plus ce moyennage est important, plus l estimateur du périodogramme moyenné tendra vers la valeur théorique du spectre. Cet effet est illustré par la figure 7., où Ŝx(m) a été employé pour estimer la DSP d un bruit blanc gaussien de variance unitaire. La valeur théorique de la DSP de ce signal est, quelle que soit la fréquence m. On voit que plus le moyennage est important, meilleure est l estimation. Ce résultat influe directement sur le choix du nombre d échantillons par bloc N. En effet, en pratique, on dispose le plus souvent d un signal avec un nombre d échantillons fini. Pour avoir une bonne résolution fréquentielle, on a tendance à choisir un N important. Malheureusement, ce choix conduit à un nombre de blocs L faible. Si le signal à analyser est fortement bruité, il faudra veiller à augmenter L (et donc à diminuer N) afin de minimiser la dispersion des mesures. Afin d augmenter le nombre de blocs pour un signal de longueur finie, on peut également diminuer le décalage P entre les blocs (voir l algorithme du périodogramme moyenné détaillé au paragraphe 2.3.). Toutefois, on montre que pour P < N 4, la variance d estimation ne diminue plus de manière significative. La valeur généralement employée pour P est située entre N 4 et N 2. Pour trouver un juste milieu, on peut s appuyer sur les idées suivantes. Le point fondamental est que l on doit avoir des idées a priori sur le signal étudié (spectre continu ou de raies, signal mixte, quantité de bruit, etc.) et sur les objectifs de l analyse (étudier l amplitude des raies, séparer deux raies proches, étudier le bruit, etc.). C est ici que se noue le lien entre les méthodes de traitement et la connaissance que vous avez du système à analyser. Ainsi, si l on cherche des raies espacées de ν Hertz, il faut avoir un pouvoir de résolution supérieur à ν, et donc une durée des blocs supérieure à ν secondes. A contrario, si le signal est fortement bruité, pour diminuer la variance de la mesure, on doit prendre un nombre suffisant de blocs... 9

21 CHAPITRE 7. Variance d estimation 6 sans moyennage DSP (en lineaire) DSP (en lineaire) DSP (en lineaire) moyennages moyennages frequence reduite Figure 7. Variance d estimation de l estimateur du périodogramme moyenné 2

22 Chapitre 8 Conclusion En conclusion, nous allons tenter d énoncer quelques règles générales pour le réglage des divers paramètres de l estimateur du périodogramme moyenné. Tout d abord, dès que le signal à analyser contient une partie aléatoire (ce qui est le cas pour la majorité des signaux réels), il faut employer l estimateur du périodogramme moyenné. En effet, la TFD seule, en général calculée à l aide d un algorithme de FFT (Fast Fourier Transform), n est valable que pour des signaux ne comportant absolument pas de bruit (type simulation). On peut tenter de résumer le cours précédent en quelques principes fondamentaux : Calibrage A : Le calibrage permet de fixer le type de grandeur spectrale que l on veut estimer. Si l on s intéresse à la partie aléatoire non périodique du signal, on estime la DSP et A est choisi égal à A DSP. Par contre, si on veut concentrer son étude sur la partie périodique, il vaut mieux estimer le SP et choisir A = A SP. Addition de zéros : On emploi la technique du zero padding dans le cas d un signal à spectre de raies. Ceci rend la valeur de l estimateur du périodogramme moyenné insensible à la localisation en fréquence des raies étudiées. Fonction d apodisation h(n) : Elle est choisie d une part en fonction de la résolution spectrale désirée, et d autre part en fonction de l amplitude relative des raies contenues dans le signal. En effet, pour une résolution maximale, la fonction porte sera préférée. Toutefois, en présence de raies d amplitudes très différentes, on préfère généralement la fonction de Hanning qui minimise les fuites d énergie. Nombre d échantillons par bloc N : Ce nombre est fonction de la résolution spectrale désirée, et de la quantité de bruit contenue dans le signal. On choisira un N suffisament élevé pour obtenir une résolution suffisante, tout en conservant un nombre de bloc L assez grand pour minimiser la dispersion des mesures de l estimateur, qui est due au bruit. Décalage P entre blocs : Ce décalage est en général choisi entre N 4 et N 2. Ceci permet de diminuer la variance d estimation, tout en n augmentant pas trop le temps de calcul. 2