Introduction à l analyse spectrale. P. Granjon, J-L. Lacoume

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction à l analyse spectrale. P. Granjon, J-L. Lacoume"

Transcription

1 Introduction à l analyse spectrale P. Granjon, J-L. Lacoume

2 Table des matières Propriétés énergétiques des signaux 2. Signaux à temps et fréquence continus Signaux à temps et fréquence discrets Transformée de Fourier discrète Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales 5 2. Filtrage, quadration, intégration (FQI) Corrélogramme Périodogramme moyenné Algorithme Quelques fonctions d apodisation Autres techniques d estimation Calibrage 9 3. Les 2 principes Signaux à spectre continu Calcul du facteur de calibrage Exemples Signaux à spectre discret Calcul du facteur de calibrage Exemples Quelques remarques sur les signaux à spectre de raies Signaux mixtes Effet du calibrage Contraste raies/fond du spectre Fréquences positives/négatives Addition de zéros (zero padding) 4 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel Interpolation Fenêtres d apodisation 6 6 Résolution fréquentielle 7 7 Variance d estimation 9 8 Conclusion 2

3 Chapitre Propriétés énergétiques des signaux Dans ce cours d introduction, tous les signaux sont supposés aléatoires stationnaires, c est à dire que leurs propriétés statistiques sont invariantes par translation temporelle.. Signaux à temps et fréquence continus Les propriétés énergétiques (données par des statistiques d ordre 2) des signaux aléatoires stationnaires à temps continu sont résumées à la figure.. Les figures.2,.3,.4 et.5 donnent des exemples de fonctions de corrélation et de densités spectrales Fonction de corrélation C x (τ) Signal x(t) Théorème de Wiener-Kinchine S x (ν) = T F [C x (τ)] Densité spectrale S x (ν) Figure. Propriétés énergétiques des signaux à temps et fréquence continus de puissance (DSP) pour des signaux que vous rencontrerez classiquement par la suite. Les signaux ne comportant aucune partie périodique sont à spectre purement continu (Fig..2 et.3). Les signaux purement périodiques ont un spectre purement discret, également appelé «spectre de raies» (Fig..4). Les signaux mixtes, comportant une partie périodique et une partie non périodique, ont des spectres comportant à la fois une partie continue et une partie discrète. Ce sont ces signaux qui sont le plus couramment rencontrés dans le domaine de l énergie..2 Signaux à temps et fréquence discrets Les propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires à temps et à fréquence discrets sont résumées à la figure.6. Dans la suite, nous supposerons toujours que les signaux dont nous disposons 2

4 CHAPITRE. Propriétés énergétiques des signaux C x(τ) = σ 2 δ(τ) S x(ν) = σ 2 τ(s) ν(hz) Figure.2 Bruit blanc (aucune partie périodique) C x(τ) S x(ν) τ(s) ν(hz) Figure.3 Bruit corrélé (aucune partie périodique) C x(τ) = périodique S x(ν) spectre de raies τ(s) ν(hz) Figure.4 Signal purement périodique partie périodique C x(τ) partie bruit S x(ν) τ(s) ν(hz) Figure.5 Signal mixte (une partie périodique et une partie non périodique) sont à temps discret, et qu ils ont été échantillonnés en vérifiant le théorème de Shannon. On pourrait redonner les mêmes exemples que dans le cas des signaux à temps continu, pour lesquels on obtiendrait sensiblement les mêmes résultats. Nous allons toutefois voir par la suite que l échantillonnage en temps et en fréquence provoque de légers changements dans les résultats obtenus pour les spectres..3 Transformée de Fourier discrète Un outil nécessaire pour pouvoir calculer (ou plutôt faire calculer par un ordinateur) le spectre d un signal échantillonné est la transformée de Fourier discrète (TFD) directe et inverse sur N points. Sa 3

5 CHAPITRE. Propriétés énergétiques des signaux Fonction de corrélation C x (k) Signal x(n) n M Théorème de Wiener-Kinchine S x (m) = T F D[C x (k)] Densité spectrale S x (m) Figure.6 Propriétés énergétiques des signaux à temps et fréquence discrets définition mathématique est la suivante : N T F D : X(m) = θ x(n)e j2π nm N (.) n= N T F D : x(n) = β X(m)e +j2π nm N (.2) avec : Nθβ = Une manière de fixer les facteurs de normalisation θ et β est de chercher à retrouver les dimensions des grandeurs continues, c est à dire des fréquences en Hertz et du temps en secondes. Pour obtenir cela, on pose : { θ = Te m= β = NT e où T e est la période d échantillonnage. θ représente alors l écart de temps (en secondes) entre deux échantillons du signal temporel x(n), et correspond au «dt» de la version continue de l équation (.). β représente l écart fréquentiel (en Hertz) entre deux échantillons de la TFD X(m), et correspond au «dν» de la version continue de l équation (.2). On voit finalement que 2π nm N = 2π m NT e nt e est homogène au 2π ν t de la transformée de Fourier (TF) des signaux à temps continus. 4

6 Chapitre 2 Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales 2. Filtrage, quadration, intégration (FQI) Cette technique, décrite à la figue 2., est la plus ancienne. Elle réalise l estimation du spectre d un signal à temps continu, et est donnée ici pour mémoire. Le premier étage est composé d une batterie filtres très sélectifs, de fréquences centrales différentes. La sortie d un de ces filtres correspond donc au contenu du signal analysé autour de la fréquence centrale du filtre associé notée ν c. Le second étage est une élévation au carré, et calcule donc la puissance instantannée du signal autour de la fréquence ν c. Enfin, le troisième et dernier étage, réalise une intégration, et permet de calculer la puissance moyenne contenue dans le signal autour de ν c. Il faut noter que les analyseurs de spectre très haute fréquence (permettant d estimer des F ν ( ) 2 R T T dt S x(ν ) x(t) F νn ( ) 2 R T T dt S x(ν N ) Figure 2. Filtrage, quadration, intégration spectres jusqu à plusieurs Gigahertz et utilisés par exemple en électromagnétisme) fonctionnent encore suivant ce principe à cause des limites des convertisseurs numériques analogiques et des capacités de stockage et de traitement des calculateurs actuels. 2.2 Corrélogramme Cette technique est directement inspirée du théorème de Wiener-Kinchine. En effet, ce dernier nous dit que la DSP d un signal est la TF de sa fonction de corrélation. Cette méthode estime donc tout d abord la fonction de corrélation C x (k) du signal discret x(n), puis en réalise la TFD (voir figure 2.2). 5

7 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales apodisation h(k) calibrage A x(t) corrélateur cc x(k) TFD c Sx(m) 2.3 Périodogramme moyenné 2.3. Algorithme Figure 2.2 Corrélogramme La technique la plus utilisée actuellement est celle du périodogramme moyenné. Elle est issue d une définition alternative de la DSP, donnée par : [ ] X(m) 2 S x (m) = lim E (2.) N + N où E [ ] représente l espérence mathématique, et X(m) est définie par l équation (.). Pour pouvoir calculer cette espérence mathématique, on doit disposer d une infinité de réalisations du signal aléatoire x(n). Or en pratique, on ne dispose le plus souvent que d une seule de ses réalisations. Un moyen de contourner ce problème est de découper le signal x(n) en L «blocs» de N échantillons, espacés de P N échantillons. On suppose que les blocs ont suffisament d échantillons (N suffisament grand) pour représenter correctement le signal à analyser. Chacun des blocs est alors considéré comme une réalisation de x(n). Ce principe de découpage est représenté graphiquement sur la figure 2.3. Il faut alors calculer la TFD de chacun des blocs. On calcule ensuite le module carré de ces TFD, que x(n) observé sur M échantillons forme de la fonction d apodisation h(n) décalage de P N échantillons bloc de N échantillons Figure 2.3 Découpage employé pour l estimateur du périodogramme moyenné l on moyenne pour approcher l espérence mathématique de l équation (2.). L algorithme du périodograme moyenné peut donc être résumé comme suit :. Découper le signal en L blocs de longueur N M et décalés de P N. Les apodiser par la fonction d apodisation h(n) choisie. 2. Appliquer une TFD sur chacun des blocs apodisés : X i (m) = T F D [h(n)x(n ip )] pour le bloc i. 3. Prendre le module carré de chaque TFD et les moyenner. Ŝ x (m) = A L X i (m) 2 (2.2) L i= 6

8 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales La grandeur Ŝx(m) est donc l estimateur du périodogramme moyenné de la DSP, dont la valeur théorique est S x (m). On peut noter que cet estimateur emploi exactement la même structure de calcul que la méthode FQI présentée précédemment : TFD filtrage par N filtres sélectifs, module carré quadration, moyennage intégration. Les divers paramètres qu il reste à régler correctement pour pouvoir l employer sont : le facteur de calibrage A, la fonction d apodisation h(n), la longueur des blocs N, le décalage P. Dans les chapitres suivants, nous allons étudier l influence de ces divers paramètres Quelques fonctions d apodisation Il existe un grand nombre de fonctions d apodisation. Voici les deux plus utilisées :. Fonction porte : en temps : h(n) = pour n =,..., N et ailleurs. en fréquence : H(m) = Nθδ(m) où δ(m) est une impulsion unité verifiant δ(m) = pour m = et ailleurs. 2. Fonction de Hanning : en temps : h(n) = ( ) 2 cos 2πn N pour n =,..., N et ailleurs en fréquence : H(m) = Nθ ( 2 δ(m) 4 δ(m ) 4 δ(m + )). L allure temporelle et fréquentielle de ces deux fonctions d apodisation pour N = 6 échantillons est donnée à la figure Autres techniques d estimation Il existe une multitude d autres méthodes d analyse spectrale spécifiques à certains types de signaux, mais celles-ci ne seront pas abordées ici. Toutefois, si vous voulez creuser un peu le sujet, vous pouvez consulter les ouvrages suivants :. Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques, J. Max, J-L. Lacoume, Masson, Digital Signal Processing, A-V. Oppenheim, R-W. Schafer, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Techniques modernes de traitement numérique des signaux, sous la direction de M. Kunt, Presses polytechniques et universitaires romandes, 99. Cette liste est bien sûr loin d être exhaustive... 7

9 CHAPITRE 2. Techniques classiques d estimation des grandeurs spectrales x(n) = porte x(n) = Hanning echantillon n X(m) canal frequentiel m Figure 2.4 fonction porte echantillon n X(m) canal frequentiel m Figure 2.5 fonction de Hanning Figure 2.6 Fonctions d apodisation sur N = 6 échantillons 8

10 Chapitre 3 Calibrage Le réglage du facteur de calibrage A introduit dans le chapitre précédent permet de choisir la grandeur spectrale d ordre deux que l on cherche à estimer. En effet, nous allons voir qu il existe deux types de calibrages, l un conduisant à l estimateur de la densité spectrale de puissance, l autre à l estimateur du spectre de puissance. Dans la suite, on suppose que les gains des capteurs et des convertisseurs numériques/analogiques utilisés pour acquérir le signal ont été employés pour exprimer le signal discret en unités physiques. Par exemple, si le signal mesuré est une vitesse, l amplitude du signal discret est exprimée en m.s, s il s agit d une tension, l amplitude est donnée en Volts, etc. 3. Les 2 principes Le calibrage a pour principe d étalonner les spectres. Deux types de calibrage, dépendant du type de signaux traités, ont été développés : pour les signaux à spectre de raies, un calibrage correct conduit au spectre de puissance (SP) du signal physique. Celui-ci représentant la puissance contenue dans le signal à chaque fréquence, il s exprime en unités physiques au carré. pour les signaux à spectre continu, un calibrage correct conduit à la densité spectrale de puissance (DSP) du signal physique. Celle-ci étant une répartition par bande fréquentielle de la puissance contenue dans le signal, elle s exprime en unités physiques au carré par Hertz. S x (m) étant la valeur théorique de la DSP, on montre qu en moyenne, l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) vérifie la relation : ] E [Ŝx (m) = Aβ ( H 2 ) S x (m) N = Aβ H(m µ) 2 S x (µ) (3.) µ= où { β = NT e H(m) = T F D [h(n)], TFD de la fonction d apodisation. La relation (3.) conduit à deux calibrages selon que : la DSP de x est continue et supposée à variations lentes par rapport à S h (m), DSP de la fonction d apodisation h, la DSP de x est discrète (spectre de raies), et donc à variations rapides par rapport à S h (m), DSP de la fonction d apodisation h. 9

11 CHAPITRE 3. Calibrage 3.2 Signaux à spectre continu 3.2. Calcul du facteur de calibrage Dans cette situation, puisque S x (m) varie lentement par rapport à S h (m), elle peut être supposée constante sur la somme de l équation (3.), et être mise en facteur : ] E [Ŝx (m) = = Aβ ( Aθ N µ= N n= H(µ) 2 S x (m) (3.2) h(n) 2 ) S x (m) (3.3) La dernière égalité est donnée par la relation de Parseval appliquée aux signaux discrets : N θ n= N x(n)y (n) = β m= X(m)Y (m) ] Pour avoir un estimateur non-biaisé, on impose E [Ŝx (m) = S x (m). Pour que les équations (3.2) et (3.3) vérifient cette propriété, le facteur de calibrage A doit donc prendre la valeur : A DSP = θ N = n= h(n) 2 β (3.4) N m= H(m) 2 où θ = T e, β = NT e, et la fonction d apodisation h(n) est fixée par l utilisateur. Dans le cas de signaux à spectre continu, le facteur de calibrage à appliquer sur l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est donc donné par l équation (3.4). Ŝx(m) est alors un estimateur non biaisé de la DSP du signal à analyser Exemples Voici deux facteurs de calibrage calculés pour deux fonctions d apodisation différentes : Fonction porte : Fonction de Hanning : A DSP = A DSP = 3.3 Signaux à spectre discret 3.3. Calcul du facteur de calibrage θ N = = n= h(n) 2 NT e β N = 8 = 8 m= H(m) 2 3NT e 3 durée de h en secondes durée de h en secondes On considère un signal sinusoïdal x(n) = α cos ( 2π m N n) avec m entier et < N 2. La valeur théorique de sa DSP est alors donnée par : S x (m) = α2 4β [δ(m m ) + δ(m + m )]

12 CHAPITRE 3. Calibrage où δ(m) est une impulsion unité verifiant δ(m) = pour m = et δ(m) = pour m. Cette DSP est donc bien discrète, puisqu elle ne contient que deux points non nuls (pour m = ±m ). En appelant A SP le facteur de calibrage pour les signaux à DSP discrète, la relation (3.) appliquée à la DSP précédente conduit à : ] α E [Ŝx 2 (m) = A SP 4 H(m m ) 2 + H(m + m } {{ } ) 2 } {{ } fréquences positives fréquences négatives (3.5) La puissance totale de la sinusoïde α2 2 est répartie pour moitée en m = +m et pour moitié en m = m. La puissance contenue dans le signal à ces deux fréquences est donc égale à α2 4. Pour avoir une grandeur spectrale fournissant exactement la puissance du signal contenue à la fréquence m, on doit donc imposer : A SP = H() 2 = ( θ ) 2 (3.6) N n= h(n) où θ = T e, et où la fonction d apodisation h(n) est fixée par l utilisateur. Dans le cas de signaux à spectre discret, le facteur de calibrage à appliquer sur l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est donc donné par l équation (3.6). Ŝx(m) est alors un estimateur non biaisé du SP du signal à analyser, puisqu il donne la valeur de la puissance contenue dans le signal à chaque fréquence m. Remarque On peut rencontrer dans la littérature des variantes de cette grandeur spectrale. En effet, en prenant la racine carrée du SP, on peut obtenir un «spectre d amplitudes efficaces», s exprimant en unités physiques efficaces. Dans l exemple précédent, cette dernière grandeur serait donc égale à α 2 pour m = ±m. Certains auteurs ont également défini une grandeur similaire pour les signaux à spectres continus en prenant la racine carrée de la DSP. Ceci conduit à une grandeur spectrale s exprimant en unités physiques efficaces par racine de Hertz, ce qui n a pas de signification physique précise Exemples Voici deux facteurs de calibrage calculés pour deux fonctions d apodisation différentes : Fonction porte : A SP = ( θ ) 2 = N n= h(n) (NT e ) 2 = (durée de h en secondes) 2 Fonction de Hanning : A SP = H() 2 = 4 (NT e ) 2 = 4 (durée de h en secondes) Quelques remarques sur les signaux à spectre de raies. La forme des raies en sortie de l analyseur est imposée par celle de la TFD de la fonction d apodisation H(m) (voir l équation (3.5)). 2. Si la fréquence de la raie n est pas entière, (m non entier), la valeur maximale donnée par l estimateur Ŝx(m) est inférieure à la valeur théorique cherchée (effet de l échantillonnage en fréquence). Nous reviendrons plus loin sur ce dernier point.

13 CHAPITRE 3. Calibrage 3.4 Signaux mixtes 3.4. Effet du calibrage Un signal mixte est composé de la somme d un signal à spectre continu (qui n est donc pas périodique) et d un signal à spectre discret (qui est donc purement périodique). Les résultats d une analyse spectrale à l ordre 2 d un tel signal dépendent du calibrage choisi : A = A DSP : On obtient alors une estimée de la DSP du signal qui est une caractéristique intrinsèque de la partie à spectre continu. Dans cette situation : la partie continue de la DSP a une valeur indépendante des caractéristiques de l analyseur (nombre d échantillons par bloc N, fonction d apodisation h(n),... ), la partie discrète de la DSP (les raies) dépend des caractèristiques de l analyseur. A = A SP : On obtient alors une estimée du SP du signal qui est une caractéristique intrinsèque de la partie à spectre discret. Dans cette situation : la partie discrète du SP (les raies) est indépendante des caractèristiques de l analyseur. la partie continue du SP a une valeur dépendant des caractéristiques de l analyseur. Un exemple est montré à la figure 3.3, où l on a réalisé l analyse spectrale d un signal mixte avec 2 nombres d échantillons par bloc N différents. Le signal traité est composé d un sinus de fréquence.977 et d amplitude α =., et d un bruit blanc centré de variance unitaire. La figure 3. montre le résultat obtenu avec le facteur de calibrage A DSP, alors que la figure 3.2 montre celui obtenu avec A SP. On voit N=256 N= x 3 N=256 N= DSP 2 SP frequence reduite frequence reduite Figure 3. A = A DSP : estimation de la DSP Figure 3.2 A = A SP : estimation du SP Figure 3.3 Analyse spectrale d un signal mixte que l estimateur de la DSP (figure 3.) donne bien une valeur unitaire pour la partie continue du spectre quel que soit N. Par contre, sa valeur change pour la raie à.977 en fonction de N. Le comportement de l estimateur du SP est strictement inverse, puisque seule la valeur prise à la fréquence.977 est indépendante de N. De plus, on peut noter que pour cette fréquence, sa valeur est bien.25 = α2 4. Le calibrage choisi par l utilisateur sera donc fonction de ce qui l intéresse dans le signal : si il s intéresse aux raies contenues dans le signal, il choisira plutôt A = A SP, si il s intéresse à la «partie bruit» du signal, il choisira plutôt A = A DSP Contraste raies/fond du spectre On peut également remarquer sur la figure 3.3 que la différence entre le maximum de la raie et le fond continu du spectre, appelée «contraste» augmente avec le nombre d échantillons par bloc N. Pour illustrer 2

14 CHAPITRE 3. Calibrage ce phénomène, considérons le signal traité précédemment (un sinus d amplitude α et de fréquence m + du bruit b(n) sans partie périodique), et appliquons lui l estimateur de la DSP. On peut montrer qu à la fréquence de la raie m = m, on obtient : où B = β N m= H(m) 2 H() 2 = ] E [Ŝx (m ) = α2 4B + S b(m ) (3.7) N n= h(n) 2 θ N n= h(n) 2 et où S b (m) est la DSP du bruit b(n) (3.8) D après l équation (3.7), le contraste est dans ce cas égal à α2 4B, et dépend bien évidemment de l amplitude de la raie, mais également du paramètre B (pouvant être interprété comme la bande passante de l analyseur). Or en utilisant (3.8), on montre que B est inversement proportionnel à N (par exemple B porte = NT e et B Hanning = 3 2NT e ). Finalement, le contraste raies / fond continu du spectre est donc directement proportionnel au nombre d échantillons par bloc N, et croît avec lui. On pourrait mener exactement la même démarche sur le SP Fréquences positives/négatives Les spectres obtenus avec le facteur de calibrage A répartissent la puissance du signal sur les fréquences positives et négatives. Par suite de la parité des spectres pour les signaux réels, on les représente souvent uniquement pour les fréquences positives. Afin de retrouver sur les seules fréquences positives la puissance totale du signal analysé, on multiplie par deux les estimateurs, et leur facteur de calibrage devient : A + = 2A. 3

15 Chapitre 4 Addition de zéros (zero padding) 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel L estimateur du périodogramme moyenné nécessite le calcul de TFDs sur des blocs de N échantillons. On obtient alors un spectre échantillonné contenant N points ( N 2 pour les fréquences positives et N 2 pour les fréquences négatives). C est ce que l on appelle l échantillonnage en fréquence. Pour les signaux à spectre de raies, en particulier, cette représentation peut être trompeuse. En effet, si une raie ne tombe pas exactement sur un des canaux en fréquence couverts par la TFD, l échantillonnage en fréquence déforme fortement le spectre. Cet effet est illustré sur la figure 4.. Elle représente le SP d un signal formé de 2 sinusoïdes d amplitude. La raie à la fréquence. tombe exactement sur un canal fréquentiel de la TFD, alors que ce n est pas le cas pour celle à la fréquence.33. On voit que le SP de la raie ne tombant pas sur un canal de la TFD est déformé, et que son maximum est fortement atténué par rapport à la valeur théorique de DSP (en lineaire) frequence reduite Figure 4. Effet de l échantillonnage fréquentiel sur le spectre des signaux à spectre de raies 4

16 CHAPITRE 4. Addition de zéros (zero padding) 4.2 Interpolation Pour pallier ce défaut, il faut interpoler en fréquence, c est à dire interpoler le spectre. Pour cela, avant de calculer les TFDs, on prolonge chaque bloc par des zéros, d où le nom de la méthode. Comme l espacement entre deux échantillons du spectre (c est à dire le pas en fréquence) est l inverse de la durée du bloc, on obtient bien une interpolation en fréquence. Il est recommandé de réaliser une interpolation suffisante (les facteurs conseillés sont entre 8 et 6). La figure 4.2 représente, en regard des spectre initiaux, ceux obtenus avec une addition de zeros d un facteur 6. Cette opération augmente la durée de calcul de l estimateur, mais elle permet de rendre l amplitude des raies presque insensible à leur position vis-à-vis des canaux de la TFD DSP (en lineaire) frequence reduite Figure 4.2 Effet du zero padding (facteur 6) Enfin, en observant les raies obtenues sur la TFD interpolée on voit apparaître les deux caractéristiques principales des fonctions d apodisation : leur lobe central qui «élargit» les raies et qui est lié au pouvoir de résolution, leurs lobes secondaires qui «dispersent» l énergie. Nous allons étudier ces deux derniers points en détail dans le chapitre suivant. 5

17 Chapitre 5 Fenêtres d apodisation Nous donnons à la figure 5., en db, le résultat fourni par l estimateur du périodogramme moyenné sur une raie avec les fonctions porte et de Hanning. On voit que le lobe central de la fonction de Hanning est plus large que celui de la fonction porte. On y voit également leurs lobes secondaires. Le premier lobe secondaire (le plus important), est à 3 db pour la fonction porte et à 3 db pour la fonction de Hanning. 5 porte Hanning 5 DSP (en db) frequence reduite Figure 5. Fonctions d apodisation porte et Hanning en fréquence (amplitude en db) La fonction porte est donc meilleure du point de vue pouvoir de résolution fréquentiel car son lobe central est plus fin. Elle permettra donc de séparer plus facilement deux raies proches de même amplitude. En revanche, elle est moins performante pour les fuites d énergie puisque ses lobes secondaires sont plus importants. Elle aura donc tendance à masquer les raies proches de petite amplitude. Le choix de la fenêtre d apodisation dépend donc des caractéristiques du signal à analyser. Il existe d autres fonctions d apodisation qui ont un lobe central plus large que la fonction porte, mais qui atténuent plus fortement que la fonction de Hanning les lobes secondaires. 6

18 Chapitre 6 Résolution fréquentielle Le pouvoir de résolution d un analyseur de spectre caractérise son aptitude à séparer des raies. Pour pouvoir faire son étude théorique, on se place dans la représentation interpolée du spectre, ce qui permet de considérer que les signaux sont à temps continu. Soit un signal à temps continu formé de deux raies de même amplitude α aux fréquences ν et ν 2. Le spectre mesuré est, en fréquences positives, proportionnel à : α 2 4 [ H(ν ν ) 2 + H(ν ν 2 ) 2] Par définition, nous dirons que les raies sont séparées si le spectre présente deux pics différents. Cette définition conduit au «pouvoir de résolution de Rayleigh». La figure 6. indique que le pouvoir de résolution de Rayleigh est égal à la bande passante à 3 db B 3dB de la fonction d apodisation : si l écart fréquentiel ν entre les raies est supérieur à cette bande, les deux raies seront séparées sur le spectre et donc visibles. ν ν B 3dB ν ν ν ν > B 3dB raies séparées ν = B 3dB limite de Rayleigh Figure 6. Pouvoir de résolution de Rayleigh ν < B 3dB raies non séparées Ce pouvoir de résolution dépend bien sûr de la fonction d apodisation choisie, mais aussi du nombre d échantillons par bloc N utilisé pour l estimateur du périodogramme moyenné. On montre que pour les deux fonctions d apodisation précédemment étudiées, la bande passante à 3 db est : porte :.88 durée de h(n) =.88 NT e Hanning :.42 durée de h(n) =.42 NT e 7

19 CHAPITRE 6. Résolution fréquentielle Ces valeurs nous donnent deux indications : la fonction porte a un meilleur pouvoir de résolution spectral que la fonction de Hanning, le pouvoir de résolution de l analyseur est inversement proportionnel à N. Cette dernière remarque nous permet de conclure que plus le nombre d échantillons par bloc N est élevé, meilleur sera le pouvoir de résolution de l analyseur. Nous verrons dans le chapitre suivant que choisir un N élevé n a pas que des avantages. Le signal, dont l analyse spectrale est montrée à la figure 6.2, contient deux sinusoïdes d amplitudes égales, et de fréquences très proches. et.. Les figures de gauche montrent les résultats obtenus avec DSP (en lineaire) Porte N = 88.8 N = Hanning DSP (en lineaire) Porte N = 5.8 N = Hanning frequence reduite frequence reduite Figure 6.2 Résolution fréquentielle en fonction de N et h(n) la fonction porte, alors que celles de droite ont été obtenues avec la fontion de Hanning. On voit que la fonction porte permet de séparer ces deux raies pour un nombre de points plus faible que la fonction de Hanning. Il faut toutefois garder à l esprit que si une des raies avait été beaucoup plus faible que l autre, le phénomène des fuites d énergies nous aurait conduit à choisir quand même la fonction de Hanning (voir le chapitre précédent). 8

20 Chapitre 7 Variance d estimation Pour un signal aléatoire, l estimateur du périodogramme moyenné Ŝx(m) est] une variable aléatoire. Lors de l étude sur le calibrage, nous avons étudié sa valeur moyenne (E [Ŝx (m) ). Pour étudier correctement cette variable aléatoire, nous devons également nous intéresser à sa variance, qui caractérise sa dispersion. On montre que pour un signal aléatoire gaussien, la variance relative de Ŝx(m) est donnée par : ] Var [Ŝx (m) Sx(m) 2 = L où L est le nombre de blocs sur lequel on a moyenné (voir équation (2.2)). On en déduit que l opération de moyennage est nécessaire pour diminuer la dispersion des mesures lorsque le signal contient une partie aléatoire. De plus, plus ce moyennage est important, plus l estimateur du périodogramme moyenné tendra vers la valeur théorique du spectre. Cet effet est illustré par la figure 7., où Ŝx(m) a été employé pour estimer la DSP d un bruit blanc gaussien de variance unitaire. La valeur théorique de la DSP de ce signal est, quelle que soit la fréquence m. On voit que plus le moyennage est important, meilleure est l estimation. Ce résultat influe directement sur le choix du nombre d échantillons par bloc N. En effet, en pratique, on dispose le plus souvent d un signal avec un nombre d échantillons fini. Pour avoir une bonne résolution fréquentielle, on a tendance à choisir un N important. Malheureusement, ce choix conduit à un nombre de blocs L faible. Si le signal à analyser est fortement bruité, il faudra veiller à augmenter L (et donc à diminuer N) afin de minimiser la dispersion des mesures. Afin d augmenter le nombre de blocs pour un signal de longueur finie, on peut également diminuer le décalage P entre les blocs (voir l algorithme du périodogramme moyenné détaillé au paragraphe 2.3.). Toutefois, on montre que pour P < N 4, la variance d estimation ne diminue plus de manière significative. La valeur généralement employée pour P est située entre N 4 et N 2. Pour trouver un juste milieu, on peut s appuyer sur les idées suivantes. Le point fondamental est que l on doit avoir des idées a priori sur le signal étudié (spectre continu ou de raies, signal mixte, quantité de bruit, etc.) et sur les objectifs de l analyse (étudier l amplitude des raies, séparer deux raies proches, étudier le bruit, etc.). C est ici que se noue le lien entre les méthodes de traitement et la connaissance que vous avez du système à analyser. Ainsi, si l on cherche des raies espacées de ν Hertz, il faut avoir un pouvoir de résolution supérieur à ν, et donc une durée des blocs supérieure à ν secondes. A contrario, si le signal est fortement bruité, pour diminuer la variance de la mesure, on doit prendre un nombre suffisant de blocs... 9

21 CHAPITRE 7. Variance d estimation 6 sans moyennage DSP (en lineaire) DSP (en lineaire) DSP (en lineaire) moyennages moyennages frequence reduite Figure 7. Variance d estimation de l estimateur du périodogramme moyenné 2

22 Chapitre 8 Conclusion En conclusion, nous allons tenter d énoncer quelques règles générales pour le réglage des divers paramètres de l estimateur du périodogramme moyenné. Tout d abord, dès que le signal à analyser contient une partie aléatoire (ce qui est le cas pour la majorité des signaux réels), il faut employer l estimateur du périodogramme moyenné. En effet, la TFD seule, en général calculée à l aide d un algorithme de FFT (Fast Fourier Transform), n est valable que pour des signaux ne comportant absolument pas de bruit (type simulation). On peut tenter de résumer le cours précédent en quelques principes fondamentaux : Calibrage A : Le calibrage permet de fixer le type de grandeur spectrale que l on veut estimer. Si l on s intéresse à la partie aléatoire non périodique du signal, on estime la DSP et A est choisi égal à A DSP. Par contre, si on veut concentrer son étude sur la partie périodique, il vaut mieux estimer le SP et choisir A = A SP. Addition de zéros : On emploi la technique du zero padding dans le cas d un signal à spectre de raies. Ceci rend la valeur de l estimateur du périodogramme moyenné insensible à la localisation en fréquence des raies étudiées. Fonction d apodisation h(n) : Elle est choisie d une part en fonction de la résolution spectrale désirée, et d autre part en fonction de l amplitude relative des raies contenues dans le signal. En effet, pour une résolution maximale, la fonction porte sera préférée. Toutefois, en présence de raies d amplitudes très différentes, on préfère généralement la fonction de Hanning qui minimise les fuites d énergie. Nombre d échantillons par bloc N : Ce nombre est fonction de la résolution spectrale désirée, et de la quantité de bruit contenue dans le signal. On choisira un N suffisament élevé pour obtenir une résolution suffisante, tout en conservant un nombre de bloc L assez grand pour minimiser la dispersion des mesures de l estimateur, qui est due au bruit. Décalage P entre blocs : Ce décalage est en général choisi entre N 4 et N 2. Ceci permet de diminuer la variance d estimation, tout en n augmentant pas trop le temps de calcul. 2

X Analyse spectrale numérique

X Analyse spectrale numérique X Analyse spectrale numérique Objectifs : Après avoir utilisé la FFT dans le TP4 d analyse spectrale, on va maintenant s intéresser aux différents paramètres d une acquisition numérique afin de respecter

Plus en détail

Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale

Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale David BONACCI Institut National Polytechnique de Toulouse (INP) École Nationale Supérieure d Électrotechnique, d Électronique, d Informatique,

Plus en détail

INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE

INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique

Plus en détail

Les régimes périodiques (Chap 2)

Les régimes périodiques (Chap 2) Les régimes périodiques (Chap 2)! Révisé et compris! Chapitre à retravaillé! Chapitre incompris 1. Propriétés des grandeurs physiques : La période T, est le plus petit intervalle de temps, au bout duquel

Plus en détail

Systèmes de transmission

Systèmes de transmission Systèmes de transmission Conception d une transmission série FABRE Maxime 2012 Introduction La transmission de données désigne le transport de quelque sorte d'information que ce soit, d'un endroit à un

Plus en détail

Quelques points de traitement du signal

Quelques points de traitement du signal Quelques points de traitement du signal Introduction: de la mesure au traitement Source(s) BRUIT BRUIT Système d acquisition Amplitude (Pa) Temps (s) Amplitude (Pa) Mesure Opérations mathématiques appliquées

Plus en détail

Département de physique

Département de physique Département de physique Etude de la densité spectrale de puissance du bruit thermique dans une résistance Travail expérimental et rédaction du document : Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.) mail : desmouli@physique.ens-cachan.fr

Plus en détail

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR

Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,

Plus en détail

ANALYSE SPECTRALE D UN SIGNAL PERIODIQUE

ANALYSE SPECTRALE D UN SIGNAL PERIODIQUE Approche expérimentale ANALYSE SPECTRALE D UN SIGNAL PERIODIQUE Objectifs : - S initier au traitement FFT du logiciel LatisPro - Etudier le spectre d amplitude d un signal carré - Etudier les limites de

Plus en détail

Transformée de Fourier Discrète Convolution Circulaire

Transformée de Fourier Discrète Convolution Circulaire BE Traitements Numériques des Signaux n 2 Filière SICOM 2A PHELMA-ENSE 3 Année 2015-2016 Pascal PERRIER Transformée de Fourier Discrète Convolution Circulaire 1. Analyse d un signal périodique Dans cette

Plus en détail

COMMENT OBTENIR UN SPECTRE SATISFAISANT D UN SIGNAL ENREGISTRE PAR ORDINATEUR?

COMMENT OBTENIR UN SPECTRE SATISFAISANT D UN SIGNAL ENREGISTRE PAR ORDINATEUR? NOM: Coéquipier : COMMENT OBTENIR UN SPECTRE SATISFAISANT D UN SIGNAL ENREGISTRE PAR ORDINATEUR? Soit une fonction G(t) périodique, de fréquence f. D'après Fourier, cette fonction peut se décomposer en

Plus en détail

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique

Fiche technique expérimentale 5. Notions sur l acquisition numérique Fiche technique expérimentale 5 Notions sur l acquisition numérique D.Malka MPSI 2014-2015 Lycée Saint-Exupéry Ce bref guide traite de quelques éléments important sur l acquisition numérique des signaux

Plus en détail

Département de physique

Département de physique Département de physique Caractérisation d un diapason par TF de sa réponse impulsionnelle. Problème du paramétrage de la FFT Travail expérimental et rédaction du document : Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.)

Plus en détail

ANALYSE SPECTRALE PAR FFT

ANALYSE SPECTRALE PAR FFT AALYSE SPECTRALE PAR FFT. L'analyseur de spectre. La représentation graphique du spectre d'un signal est réalisée par un analyseur de spectre. L'analyseur de spectre peut être à balayage (analogique):

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Table des matières. Avant propos. Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES

Table des matières. Avant propos. Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES Table des matières Avant propos Chapitre I NOTIONS SUR LES SYSTEMES 1. Systèmes linéaires 1 2. Systèmes stationnaires 1 3. Systèmes continus 2 4. Systèmes linéaires invariants dans le temps (LIT) 2 4.1

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

5 Analyse de Fourier. 5.1 Aspects théoriques. 5.1.1 Analyse de Fourier

5 Analyse de Fourier. 5.1 Aspects théoriques. 5.1.1 Analyse de Fourier Responsable : J.Roussel Objectif Ce TP est une initiation à l analyse de Fourier. Nous verrons notamment comment une analyse spectrale permet de remonter à la courbe de réponse d un filtre électrique.

Plus en détail

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23.1. Critères de jugement binaires Plusieurs mesures (indices) sont utilisables pour quantifier l effet traitement lors de l utilisation d

Plus en détail

5 Analyse de Fourier. 5.1 Aspects théoriques. 5.1.1 Analyse de Fourier

5 Analyse de Fourier. 5.1 Aspects théoriques. 5.1.1 Analyse de Fourier Responsable : J.Roussel Objectif Ce TP est une initiation à l analyse de Fourier. Nous verrons notamment comment une analyse spectrale permet de remonter à la courbe de réponse d un filtre électrique.

Plus en détail

Chapitre 2 : Représentation des nombres en machine

Chapitre 2 : Représentation des nombres en machine Chapitre 2 : Représentation des nombres en machine Introduction La mémoire des ordinateurs est constituée d une multitude de petits circuits électroniques qui ne peuvent être que dans deux états : sous

Plus en détail

1 Acquisition d un signal avec l oscilloscope numérique LeCroy 9310 : Théorème de Shannon :

1 Acquisition d un signal avec l oscilloscope numérique LeCroy 9310 : Théorème de Shannon : Jeanniard Sébastien Lemaître Guillaume TP n 1 : Théorème de Shannon Modulation de fréquence 1 Acquisition d un signal avec l oscilloscope numérique LeCroy 9310 : Théorème de Shannon : 1.3 Etude de la fréquence

Plus en détail

Plan du cours. Cours de Traitement Du Signal - Transformées discrètes. Transformée de Fourier d un signal numérique. Introduction

Plan du cours. Cours de Traitement Du Signal - Transformées discrètes. Transformée de Fourier d un signal numérique. Introduction Plan du cours Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 1 guillaume.hiet@rennes.supelec.fr ESACA 17 octobre 2007 2 3 Guillaume HIE Cours de raitement Du Signal - ransformées discrètes 1/38 Guillaume

Plus en détail

Le traitement du signal

Le traitement du signal FICHE N 47 Le traitement du signal FFT, DFT ET IFT Jean-aptiste Joseph Fourier (1768-1830), né à uxerre, mathématicien et physicien français, auteur de la Théorie analytique de la chaleur (1822) : la transformée

Plus en détail

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012

ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes

Plus en détail

RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB

RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB PAR : MAROOF ASIM DAN BENTOLILA WISSAM ESSID GROUPE 1 LM206 Lundi 10H45 INTRODUCTION : ( Ce rapport est un compte

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Propriétés fréquentielles du signal

Propriétés fréquentielles du signal Fiche de référence Thème II : ANALYSE DU SIGNAL Propriétés fréquentielles du signal 1- Insuffisance de la représentation temporelle du signal Reprenons l exemple utilisé précédemment : Enregistrement du

Plus en détail

analyse spectrale des séries temporelles Jacques Beau Rythmes biologiques et cancer, Inserm U 776

analyse spectrale des séries temporelles Jacques Beau Rythmes biologiques et cancer, Inserm U 776 analyse spectrale des séries temporelles Jacques Beau Rythmes biologiques et cancer, Inserm U 776 déroulement de la présentation saisie des données numériques : échantillonnage et fenêtrage composantes

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

GELE2511 Chapitre 7 : Transformée de Fourier discrète

GELE2511 Chapitre 7 : Transformée de Fourier discrète GELE2511 Chapitre 7 : Transformée de Fourier discrète Gabriel Cormier, Ph.D., ing. Université de Moncton Hiver 2013 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 7 Hiver 2013 1 / 79 Introduction Contenu Contenu

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Calcul de valeurs globales dans ArtemiS SUITE

Calcul de valeurs globales dans ArtemiS SUITE 09/14 dans ArtemiS SUITE Dans certains cas, il peut être utile de ramener les résultats d analyse à une valeur globale, donc, par exemple, de réduire une évolution de niveau en fonction du temps à une

Plus en détail

LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION

LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION ) Caractéristiques techniques des supports. L infrastructure d un réseau, la qualité de service offerte,

Plus en détail

Audio Numérique Notes de cours année 2006/2007. 1 Complément sur la TFD, illustration sous Pure Data

Audio Numérique Notes de cours année 2006/2007. 1 Complément sur la TFD, illustration sous Pure Data Audio Numérique Notes de cours année 2006/2007 Marc Ferràs - Thomas Pellegrini LIMSI-CNRS Pour cette séance, vous devez rédiger un compte-rendu de TP à rendre à la fin de la séance. 1 Complément sur la

Plus en détail

Analyse Spectrale. Mesure des grandeurs spectrales. P. Granjon. année Grenoble INP, ense3, gipsa-lab

Analyse Spectrale. Mesure des grandeurs spectrales. P. Granjon. année Grenoble INP, ense3, gipsa-lab Spectrale Mesure des grandeurs s P. pierre.granjon@grenoble-inp.fr Grenoble INP, ense3, gipsa-lab année 2-22 du cours à estimer 2 Estimateur par banc de filtres 3 Estimateurs basés sur le périodogramme

Plus en détail

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL)

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL) TP 4 : Générateurs pseudo-aléatoires et applications Un générateur de nombres pseudo-aléatoires, pseudorandom number generator (PRNG) en anglais, est un algorithme qui génère une séquence de nombres présentant

Plus en détail

T.P. n 4. polytech-instrumentation.fr 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe

T.P. n 4. polytech-instrumentation.fr 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe T.P. n 4 polytech-instrumentation.fr 0 825 563 563 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe Redressement d une tension I. Objectifs Redressement d une tension alternative par le moyen de diodes. Transformation

Plus en détail

Acquisition et analyse FFT

Acquisition et analyse FFT Département de physique Acquisition et analyse FFT Rédaction du cours et travail expérimental associé : Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.) mail : desmouli@physique.ens-cachan.fr L objectif de ce cours

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

ANALYSE DE FOURIER 1. REPRESENTATION DE FOURIER. 1.1 Représentation d un signal sinusoïdal

ANALYSE DE FOURIER 1. REPRESENTATION DE FOURIER. 1.1 Représentation d un signal sinusoïdal Annexe Fourier I ANNEXE ANALYSE DE FOURIER 1. REPRESENTATION DE FOURIER 1.1 Représentation d un signal sinusoïdal On peut représenter un signal sinusoïdal de la forme s(t) = s 0 cos"t = s 0 cos(2#f 0 t)

Plus en détail

Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels

Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels Montages non linéaires à amplificateurs opérationnels Partie théorique I. omparateur L utilisation la plus simple d un amplificateur opérationnel (AOP) en montage non-linéaire est le comparateur. Deux

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Algorithmique et Programmation Projets 2012/2013

Algorithmique et Programmation Projets 2012/2013 3 Dames 3. Objectif Il s agit d écrire un programme jouant aux Dames selon les règles. Le programme doit être le meilleur possible. Vous utiliserez pour cela l algorithme α β de recherche du meilleur coup

Plus en détail

Laboratoire 4: L analyse spectrale et le filtrage par transformée de Fourier

Laboratoire 4: L analyse spectrale et le filtrage par transformée de Fourier Université du Québec à Montréal Département d Informatique MIC4220 Traitement numérique des signaux Laboratoire 4: L analyse spectrale et le filtrage par transformée de Fourier But Familiarisation avec

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Notes de cours Philippe RAYMOND Novembre 2006

Notes de cours Philippe RAYMOND Novembre 2006 Notes de cours Philippe RAYMOND Novembre 2006 1 Traitement du signal la numérisation Numériser un signal analogique (donc continu), c est le discrétiser sur deux dimensions : le temps et l'amplitude. 2

Plus en détail

Projet audio. Analyse des Signaux ELE2700

Projet audio. Analyse des Signaux ELE2700 ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Département de Génie Électrique Projet audio Analyse des Signaux ELE2700 Saad Chidami - 2014 Table des matières Objectif du laboratoire... 4 Caractérisation du bruit...

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Les fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus DERNIÈRE IMPRESSION LE 6 juin 03 à 5:06 Les fonctions sinus et cosinus Table des matières Rappels. Mesure principale.............................. Résolution d équations...........................3 Signe

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Synthèse théorique des méthodes de transmission binaires sur les canaux vocodés

Synthèse théorique des méthodes de transmission binaires sur les canaux vocodés Synthèse théorique des méthodes de transmission binaires sur les canaux vocodés I Introduction On cherche à moduler des données binaires dans le but de les transmettre sur des canaux vocodés. Afin de transmettre

Plus en détail

Corrigé non officiel de la partie mathématique du CRPE, session 2011 (Rouen)

Corrigé non officiel de la partie mathématique du CRPE, session 2011 (Rouen) Corrigé non officiel de la partie mathématique du CRPE, session 2011 (Rouen) Problème 1 Partie A On peut remarquer que la définition de Da est très ambigüe : l expression «le moment ou le conducteur voit

Plus en détail

L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories :

L analyse d images regroupe plusieurs disciplines que l on classe en deux catégories : La vision nous permet de percevoir et d interpreter le monde qui nous entoure. La vision artificielle a pour but de reproduire certaines fonctionnalités de la vision humaine au travers de l analyse d images.

Plus en détail

Étude des Corrélations entre Paramètres Statiques et Dynamiques des Convertisseurs Analogique-Numérique en vue d optimiser leur Flot de Test

Étude des Corrélations entre Paramètres Statiques et Dynamiques des Convertisseurs Analogique-Numérique en vue d optimiser leur Flot de Test 11 juillet 2003 Étude des Corrélations entre Paramètres Statiques et Dynamiques des Convertisseurs Analogique-Numérique en vue d optimiser leur Flot de Test Mariane Comte Plan 2 Introduction et objectif

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation. Gaël RICHARD Février 2008

Master IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation. Gaël RICHARD Février 2008 Master IAD Module PS Reconnaissance de la parole (suite): Paramétrisation Gaël RICHARD Février 2008 1 Reconnaissance de la parole Introduction Approches pour la reconnaissance vocale Paramétrisation Distances

Plus en détail

ENSEIRB-MATMECA PG-113 2014. TP6: Optimisation au sens des moindres carrés

ENSEIRB-MATMECA PG-113 2014. TP6: Optimisation au sens des moindres carrés ENSEIRB-MATMECA PG-113 014 TP6: Optimisation au sens des moindres carrés Le but de ce TP est d implémenter une technique de recalage d images qui utilise une méthode vue en cours d analyse numérique :

Plus en détail

Équations et inéquations du 1 er degré

Équations et inéquations du 1 er degré Équations et inéquations du 1 er degré I. Équation 1/ Vocabulaire (rappels) Un équation se présente sous la forme d'une égalité constituée de nombres, de lettres et de symboles mathématiques. Par exemple

Plus en détail

Traitement du Signal Vu par Un Mesures Physiques

Traitement du Signal Vu par Un Mesures Physiques Traitement du Signal Vu par Un Mesures Physiques Cette technique reste compliquée par les mathématiques qu il l accompagne. J ai découvert la première fois le TdS au travail (CEA) avec un ingénieur qui

Plus en détail

Traitement numérique du signal

Traitement numérique du signal Nº 754 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 707 Traitement numérique du signal par J. ESQUIEU Lycée de Brive 1. TRAITEMENT Le traitement numérique du signal consiste à agir sur le signal à partir d échantillons

Plus en détail

Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE. Active Contours without Edges for Vector-Valued Images. Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa

Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE. Active Contours without Edges for Vector-Valued Images. Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa Projet ESINSA 5 TRAITEMENT D IMAGE Active Contours without Edges for Vector-Valued Images Par Nicolas Brossier et Cyril Cassisa Page 1 sur 14 Abstract Pour ce projet, nous implémentons un algorithme de

Plus en détail

Partie Agir : Défis du XXI ème siècle CHAP 20-ACT EXP Convertisseur Analogique Numérique (CAN)

Partie Agir : Défis du XXI ème siècle CHAP 20-ACT EXP Convertisseur Analogique Numérique (CAN) 1/5 Partie Agir : Défis du XXI ème siècle CHAP 20-ACT EXP Convertisseur Analogique Numérique (CAN) Objectifs : Reconnaître des signaux de nature analogique et des signaux de nature numérique Mettre en

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

M1/UE CSy - module P8 1

M1/UE CSy - module P8 1 M1/UE CSy - module P8 1 PROJET DE SIMULATION AVEC MATLAB RÉGULATION DU NIVEAU ET DE LA TEMPÉRATURE DANS UN BAC En vue de disposer d un volume constant de fluide à une température désirée, un processus

Plus en détail

A1.- Le décibel et le bruit les unités acoustiques

A1.- Le décibel et le bruit les unités acoustiques A1.- Le décibel et le bruit les unités acoustiques A1.1.- Définition du bruit : A1.1.1.- Production et caractéristiques d un son Tout corps qui se déplace ou qui vibre émet un son. Il transmet sa vibration

Plus en détail

Communications numériques

Communications numériques Communications numériques 1. Modulation numérique (a) message numérique/signal numérique (b) transmission binaire/m-aire en bande de base (c) modulation sur fréquence porteuse (d) paramètres, limite fondamentale

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Faisceau gaussien. A = a 0 e ikr e i k. 2R (x2 +y 2 )

Faisceau gaussien. A = a 0 e ikr e i k. 2R (x2 +y 2 ) Faisceau gaussien 1 Introduction La forme du faisceau lumineux émis par un laser est particulière, et correspond à un faisceau gaussien, ainsi nommé car l intensité décroît suivant une loi gaussienne lorsqu

Plus en détail

Phase Locked Loop (boucle à verrouillage de phase) f ref Φ. f out

Phase Locked Loop (boucle à verrouillage de phase) f ref Φ. f out Phase Locked Loop (boucle à verrouillage de phase) f ref Φ f out N - Principe 2 - Principaux comparateurs de phase 3 - Différents types 3-: PLL du 2 nd ordre - type 3-2: PLL avec pompe de charge - 3 ème

Plus en détail

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :

Chapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique : Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de

Plus en détail

Chapitre 1 L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :

Chapitre 1 L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la

Plus en détail

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B

Tension d alimentation : V CC. i C R C R B Chapitre 4 Polarisation du transistor bipolaire à jonction 4.1 Le problème de la polarisation 4.1.1 Introduction Dans le chapitre 3, nous avons analysé un premier exemple de circuit d amplification de

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Version default Titre : Opérateur GENE_ACCE_SEISME Date : 20/08/2012 Page : 1/5 Responsable : Irmela ZENTNER Clé : U4.36.

Version default Titre : Opérateur GENE_ACCE_SEISME Date : 20/08/2012 Page : 1/5 Responsable : Irmela ZENTNER Clé : U4.36. Titre : Opérateur GENE_ACCE_SEISME Date : 20/08/2012 Page : 1/5 Opérateur GENE_ACCE_SEISME 1 But Cet opérateur permet de générer des accélérogrammes sismiques artificiels pour des calculs dynamiques transitoires.

Plus en détail

Les codes Pseudo-Aléatoires et leurs applications

Les codes Pseudo-Aléatoires et leurs applications Les codes Pseudo-Aléatoires et leurs applications A) Les codes Pseudo-Aléaoires B) Les Applications : I. Etalement de spectre, II. Cryptage et chiffrement III. Brouillage numérique A) Les codes Pseudo-aléatoires

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Population étudiante en médecine vétérinaire : projections

Population étudiante en médecine vétérinaire : projections Population étudiante en médecine vétérinaire : projections Assemblée Générale des étudiants de Louvain 17 juin 2015 1 Avant-propos Depuis quelques semaines, la question de la surpopulation dans les filières

Plus en détail

T.P. n 11. polytech-instrumentation.fr 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe

T.P. n 11. polytech-instrumentation.fr 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe T.P. n 11 polytech-instrumentation.fr 0 825 563 563 0,15 TTC /min à partir d un poste fixe Utilisation de l oscilloscope à mémoire numérique I. Introduction Avec un oscilloscope numérique, le signal étudié

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

TP Filtrage numérique

TP Filtrage numérique TP Filtrage numérique Capacités exigibles du programme : Analyse spectrale Mettre en évidence le phénomène de repliement du spectre provoqué par l échantillonnage avec un oscilloscope numérique ou une

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

TP HF Manipulation 3 ANALYSEUR DE RESEAUX VECTORIELS

TP HF Manipulation 3 ANALYSEUR DE RESEAUX VECTORIELS TP HF Manipulation 3 ANALYSEUR DE RESEAUX VECTORIELS I. Introduction En hyperfréquence, la caractérisation des dispositifs passifs ou actifs est assez différentes des techniques utilisées en basse fréquence.

Plus en détail

Générateur de Nombres Aléatoires

Générateur de Nombres Aléatoires Générateur de Nombres Aléatoires Les générateurs de nombres aléatoires sont des dispositifs capables de produire une séquence de nombres dont on ne peut pas tirer facilement des propriétés déterministes.

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé **

Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé ** Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé ** Ces quatre exercices sont issus du livre d exercices de François Husson et de Jérôme Pagès intitulé Statistiques générales pour utilisateurs,

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

TECHNOLOGIE DE L OPTIQUE GUIDEE

TECHNOLOGIE DE L OPTIQUE GUIDEE REPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix - Travail Patrie --------------------- UNIVERSITE DE YAOUNDE I ---------------------- ECOLE NATIONALE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE ---------------------- REPUBLIC OF CAMEROUN Peace

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

ELECTROMAGNETISM EXEMPLES

ELECTROMAGNETISM EXEMPLES EXEMPLES 1. Représentation globale du champ électrique 2. Graphiques et export CSV sous Microsoft Excel 3. Configuration de Helmholtz 4. Condensateur plan 5. Limaille de fer autour d une bobine 6. Trajectoire

Plus en détail

Expérience 3 Formats de signalisation binaire

Expérience 3 Formats de signalisation binaire Expérience 3 Formats de signalisation binaire Introduction Procédures Effectuez les commandes suivantes: >> xhost nat >> rlogin nat >> setenv DISPLAY machine:0 >> setenv MATLABPATH /gel/usr/telecom/comm_tbx

Plus en détail

Analyse spectrale du signal

Analyse spectrale du signal Analyse spectrale du signal Principe de l analyse spectrale (ou harmonique) La réponse en fréquence des circuits est un élément caractéristique du comportement dynamique des circuits R, L et C. L autre

Plus en détail

TP N 3 CARACTERISATION DE DIODE LASER ET DETECTION SYNCHRONE

TP N 3 CARACTERISATION DE DIODE LASER ET DETECTION SYNCHRONE TP N 3 CARACTERISATION DE DIODE LASER ET DETECTION SYNCHRONE PRE-REQUIS SAVOIR : AOP en régime linéaire et non linéaire OBJECTIFS SAVOIR : Valider par le calcul et la mesure, les performances des fonctions

Plus en détail