3- Applications linéaires. Définition, Propriétés d une projection. Caractérisation. Méthodes pour déterminer l image d une application linéaire.

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1 Quelques révisions 1- Espaces vectoriels - algèbre Définition d espace vectoriel et algèbre. Critère pour montrer qu une partie est un sous espace vectoriel, une sousalgèbre. Définition de sous-espace vectoriel engendré. Définition de famille libre, famille génératrice. Comment montrer que F est un sous espace-vectoriel. Comment montrer qu une famille est libre? Comment déterminer la dimension d un espace vectoriel? Comment montrer l égalité de deux sous espaces vectoriels? Comment montre-t-on qu une famille est une base de E. Comment montre-t-on que deux sous-espaces sont supplémentaires? 3- Applications linéaires Définition d une application linéaire, noyau et image, isomorphisme, endomorphisme, automorphisme et forme linéaire. Définition, Propriétés d une projection. Caractérisation. Théorème du rang. Méthodes pour déterminer l image d une application linéaire. Comment montre-t-on qu une application linéaire est injective. Comment montre-t-on qu une application linéaire est un isomorphisme? Comment montre-t-on que deux applications linéaires sont égales? 4- Matrices 2- Somme de sous espaces vectoriels Définition de la somme de deux sous espaces Produit matriciel. Produit par blocs. Définition d une somme directe Dimension d une somme de deux sous espaces, d une somme directe de sous espaces. Définition de sous espaces supplémentaires. Comment montre-t-on qu une somme est directe? 5- Matrices et applications linéaires Matrice d une application linéaire dans des bases données. Application linéaire canoniquement associée.

2 Matrice de passage. Lien entre les coordonnées d un vecteur dans deux bases différentes. Image d un vecteur par une application linéaire et matrice. Formule de changement de bases. Comment montre-t-on que deux matrices sont semblables? Comment montre-t-on qu une matrice est inversible? Comment calculer l inverse d une matrice? 6- Rang, Trace d une d une matrice Définition du rang d une matrice. Caractérisation des matrices de rang r. Définition et propriétés de la trace d une matrice et d un endomorphisme. Exos Banque CCP : Banque CCP - Exercice 55 Soit a un nombre complexe. On note E l ensemble des suites à valeurs complexes telles que n N, u n+2 = 2au n+1 + 4(ia 1)u n avec (u 0, u 1 ) (C) Prouver que E est un sous-espace vectoriel de l ensemble des suites à valeurs complexes. Déterminer, en la justifiant, la dimension de E. 2. Dans cette question, on considère la suite de E définie par: u 0 = 1 et u 1 = 1. Exprimer, pour tout entier naturel n, le nombre complexe u n en fonction de n. ( Indication: discuter suivant les valeurs de a.) Banque CCP - Exercice 59 Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K (K = R ou K = C) de degré inférieur ou égal à n. Soit f l endomorphisme de E défini par: P E, f (P ) = P P. 1. Démontrer que f est bijectif de deux manières: (a) sans utiliser de matrice de f, (b) en utilisant une matrice de f. 2. Soit Q E. Trouver P tel que f (P ) = Q. Indication : si P E, quel est le polynôme P (n+1)? Banque CCP - Exercice 60 ( ) 1 2 Soit la matrice A = 2 4 f (M) = AM. et f l endomorphisme de M 2 (R) défini par : 1. Déterminer Kerf. 2. f est-il surjectif? 3. Trouver une base de Kerf et une base de Imf. Banque CCP - Exercice 62 Soit E un espace vectoriel sur R ou C. Soit f dans L(E) tel que f 2 f 2Id = 0.

3 1. Prouver que f est bijectif et exprimer f 1 en fonction de f. 2. Prouver que E = Ker(f + Id) Ker(f 2Id). 3. Dans cette question, on suppose que E est de dimension finie. Prouver que Im(f + Id) = Ker(f 2Id). Banque CCP - Exercice 64 Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n. 1. Démontrer que E = Kerf Imf = Imf = Imf 2 2. (a) Montrer que Imf = Imf 2 Kerf = Kerf 2 (b) Montrer que Imf = Imf 2 = E = Kerf Imf. 2. On note (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de K 3 et on pose k {1, 2, 3}, L k = Φ 1 (e k ). (a) Justifier que (L 1, L 2, L 3 ) est une base de K 2 [X]. (b) Exprimer les polynômes L 1, L 2 et L 3 en fonction de a 1, a 2 et a Soit P K 2 [X]. Déterminer les coordonnées de P dans la base (L 1, L 2, L 3 ). 4. Application: On se place dans R 2 muni d un repère orthonormé et on considère les trois points A(0, 1), B(1, 3), C(2, 1). Déterminer une fonction polynomiale de degré 2 dont la courbe passe par les points A, B et C. D après Banque CCP - Exercice 69 0 a 1 Déterminer suivant les valeurs de a le rang de a 0 1. a 1 0 Banque CCP - Exercice 71 Soit p, la projection vectorielle de R 3, sur le plan P d équation x + y + z = 0, parallèlement à la droite D d équation x = y 2 = z Vérifier que R 3 = P D. 2. Soit u = (x, y, z) R 3. Déterminer p(u) et donner la matrice de p dans la base canonique de R Déterminer une base de R 3 dans laquelle la matrice de p est diagonale. Banque CCP - Exercice 90 K désigne le corps des réels ou celui des complexes. Soient a 1, a 2, a 3 trois scalaires distincts donnés de K. 1. Montrer que Φ : K 2 [X] K 3 P ( P (a 1 ), P (a 2 ), P (a 3 ) ) est un isomorphisme d espaces vectoriels.

4 Autres exercices Exercice 1 : Soit f et g les fonctions définies sur R par f(x) = cos x et g(x) = sin x. Montrer que {x a cos(x b), (a, b) R 2 } = Vect(f, g). Exercice 2 : Soit F = {(x, y, z) R 3, x y + z = 0} et G = {(x, y, z) R 3, 2x + y 2z = 0}. Déterminer une base de F, G et F G. Exercice 3 : Soit F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = 0} et G = {(x, y, z) R 3 /x = y = 2z}. Montrer que F et G sont supplémentaires dans R 3 et déterminer la projection sur F parallèlement à G. Exercice 4 : Soit E l ensemble des fonctions continues sur [0, 1] et T l application définie sur E par : x [0, 1], T (f)(x) = endomorphisme de E. Est-il injectif? surjectif? x 0 f(t)dt. Montrer que T est un En déduire que f n = 0 L(E). Exercice 8 : Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, f un élément de L(E, F ) et g un élément de L(F, E). On suppose que f g f = f. Montrer que f g et g f sont des projecteurs puis établir que Kerg f = ker f et Imf g = Imf. Montrer alors que deux des trois assertions suivantes impliquent la suivante : (1) f g f = f (2) g f g = g (3) rgf = rgg Exercice 9 : Soit u et v deux symétries vectorielles d un espace vectoriel E par rapport à un même sous espace F. Montrer que v u = Id E + u v. Exercice 10 : Soit F et G deux sous espaces vectoriels d un K espace vectoriel E. Soit F (resp. G ) un supplémentaire de F G dans F (resp. G). Montrer que F + G = (F G) F G. Exercice 11 : Soit f un élément de L(E, F ) et g un élément de L(F, G). Montrer que Kerg + Imf = F équivaut à Im(g f) = Img. Exercice 5 : Soit a 1,..., a n, n réels distincts. Pour tout entier i compris entre et n soit f i l élément de F(R, R) défini par f i (x) = x a i. Montrer que la famille (f 1,..., f n ) est libre. Soit α 1 < α 2 <... < α n n réels distincts. Pour tout entier i compris entre et n soit f i l élément de F(]1, + [, R) défini par f i (x) = ln x αi. Montrer que la famille (f 1,..., f n ) est libre. Exercice 12 : 1 Soit f l endomorphisme de R de matrice en base canonique. Montrer que f est une projection. Préciser les éléments caractéristiques de cette projection. Exercice 6 : Soit u un endomorphisme d un K espace vectoriel E tel que pour tout x de E, (x, u(x)) est liée. Montrer que u est une homothétie Exercice 7 : Soit f un endomorphisme nilpotent non nul d un K ev de dimension finie n : il existe un entier p > 0 tel que f p = 0 L(E) ( ). Soit p 0 le plus petit entier vérifiant ( ). Montrer qu il existe un vecteur x de E tel que f p0 1 (x) 0 et que la famille (x, f(x),..., f p0 1 (x)) est libre. Exercice 13 : a 1 1 Soit B = 0 a 0 où a R. Calculer B n pour tout entier n. 0 1 a Exercice 14 : Soit A élément de M n (K) telle que A 2 + 2A + I n = 0.

5 Montrer que A est inversible. Etudier l inversibilité de A + ai n avec a K. Exercice 15 : Soit T une matrice triangulaire supérieure inversible. Montrer que T 1 est aussi une matrice triangulaire supérieure de deux façons différentes (Pour l une d elles, on utilisera l application M T M) Exercice 16 : Soit λ un réel ϕ λ définie sur R 2 [X] par ϕ λ (P ) = (X 2 1)P + 2XP λp. Montrer que ϕ λ est un endomorphisme de R 2 [X] dont on précisera la matrice dans la base canonique (1, X, X 2 ) de R 2 [X]. Montrer que ϕ λ est un isomorphisme sauf pour un nombre fini de valeurs de λ que l on précisera. Soit δ la plus grande d entre elles : déterminer le noyau et l image de ϕ δ. Exercice 17 : Soit n 2. On veut montrer que tout hyperplan de M n (R) rencontre GL n (R). Supposons qu un hyperplan H de M n (R) ne rencontre pas GL n (R). Montrer que M n (R) = H Vect(I n ). En déduire que si i j alors E ij appartient à H. Aboutir à une contradiction. Exercice 18 : Soit A une matrice de rang 1. Montrer qu il existe une matrice ligne L et une matrice colonne C toutes deux non nulles telles que A = CL. Exercice 19 : Soit A un élément de M n (C) de terme général a ij. On suppose que pour tout entier i compris entre 1 et n, a ii > x 1 a ij. Soit X =. tel que x n 1 j n i j a i0jx j. AX = 0. On note i 0 un entier tel que x i0 = max i. 1 i n Montrer que a i0i 0 x i0 = j i 0 1 j n Que peut-on en déduire pour X?. Que peut-on en conclure pour A? Exercice 20 : Soit A une matrice de M n (R) de rang 1. Montrer que A est semblable à une matrice dont les n 1 premières colonnes sont nulles. En déduire que A 2 = Tr(A).A. Exercice 21 : C = et D = sont-elles semblables? Montrer que A = et B = sont semblables Exercice 22 : Soit A = Déterminer le rang de A puis trouver deux matrices carrées inversibles dont on précisera la taille telles que A = P Q