MATHÉMATIQUES II. Partie I - Cônes contenant cinq vecteurs donnés

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1 Le but du problème est d établir quelques propriétés des cônes et coniques dans le cadre de la théorie des formes quadratiques Dans tout le problème, le corps de base est IR Si E est un espace vectoriel réel, on désigne par QE ( ) l espace vectoriel réel des formes quadratiques définies sur E Si q Q( E), on désigne par C q le cône isotrope de q, c est-à-dire l ensemble des vecteurs x E tels que qx ( ) = 0 Les parties sont largement indépendantes et de difficulté croissante La résolution des questions préliminaires A et B n est pas indispensable pour la suite du problème Question préliminaire A Soit E 2 un plan vectoriel réel et q Q( E 2 ) { 0} ; en vue de décrire C q on introduit une base B = (, i j) de E 2 et on désigne par M = rs st la matrice de q relativement à B Quelle est la signature de q? Montrer que C q est réduit à { 0} ou est la réunion d un ensemble fini de droites, dont on précisera le cardinal On utilisera pour toute cette question une décomposition de Gauss et la discussion portera entre autres sur le signe de rt s 2 Partie I - Cônes contenant cinq vecteurs donnés On rapporte l espace vectoriel euclidien IR 3 muni de son produit scalaire canonique <,> à sa base orthonormale canonique B c = ( i, j, k) et on considère deux vecteurs e et e de composantes respectives ( abc,, ) et ( a, b, c ), avec abca b c 0 On note Q e, e l ensemble des formes quadratiques q Q( IR 3 ) telles que C q contienne i, j, k, e et e ; Q e, e est un sous-espace vectoriel de Q( IR 3 ) (on ne demande pas de le vérifier) IA - Soit q Q( IR 3 ) ; donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la matrice de q relativement à B c pour que C q contienne i ; en déduire que C q contient i, j et k si, et seulement si, il existe α, β, γ réels tels que : X = ( x, y, z) IR 3, qx ( ) = αyz + βzx + γxy (1) Concours Centrale-Supélec /6

2 IB - On désigne par l et l les formes linéaires sur IR 3 qui à un triplet τ= ( αβγ,, ) associent respectivement : l() τ = αbc + βca + γab et l () τ = αb c + βc a + γa b IB1) Donner une relation entre le rang de la famille (, ll ) et la dimension de Q e, e 1 IB2) Lorsque cette dimension vaut, montrer que tous les éléments non nuls de Q e, e ont le même cône isotrope IB3) À l aide de Vect (, ee ), interpréter la condition (2) suivante : ( bc b c) ( ca c a) ( ab a b) 0 (2) On suppose (2) vérifiée Déterminer une base de Q e, e Déterminer le rang des formes quadratiques non nulles de Q e, e Montrer que les éléments de Q e, e ont une signature différente de (,) 30 Quelles sont les valeurs possibles de cette signature? Dans la suite on sera amené à envisager des propriétés affines de IR 3 dont les éléments seront alors considérés comme des points En particulier le point O sera le vecteur ( 000,, ) Dans toute la suite du problème, on désigne par P 0 et P 1 les plans d équations respectives x+ y+ z = 0 et x+ y+ z = 1 et, pour tout triplet τ= ( αβγ,, ) IR 3, on désigne par q τ la forme quadratique qui à M = ( x, y, z) IR 3 associe αyz + βzx + γxy Partie II - Nature d une section conique Question préliminaire B Déterminer les éléments communs aux cônes isotropes de toutes les formes quadratiques du type q τ On fixe maintenant, pour toute la partie II, le triplet τ= ( αβγ,, ) non nul et on désigne pour simplifier par le cône isotrope de C τ q τ Concours Centrale-Supélec /6

3 IIA - Étude de C τ P 0 Justifier l existence d une base B 0 = ( I, J) de P 0 qui soit une famille orthonormale pour le produit scalaire canonique de IR 3 et telle que la restriction q τ P0 ait dans une matrice de la forme : B 0 α 0 0 β Discuter selon α et β la nature de C τ P 0 IIB - Étude de C τ P 1 IIB1) Soit B 0 comme en IIA, et B = ( I, J, K) qui la complète en une base orthonormale de IR 3 Dans cette base, les coordonnées du point courant M de IR 3 seront désignées par X, Y et Z a) Montrer que, relativement au repère ( O ; B), P 1 a une équation de la forme Z = z 0 où z 0 prend l une ou l autre de deux valeurs que l on précisera b) De quelle forme est la matrice de q τ relativement à B? En conclure que si ( α, β ) = ( 00, ), alors rg( q τ ) 2 En déduire que ( α, β ) = ( 00, ) αβγ = 0 On supposera désormais que αβγ 0, de sorte que ( α, β ) ( 00, ) c) Montrer que, relativement au repère ( O ; B), C τ P 1 est définie par un système du type : α X 2 + β Y 2 + γ X + δ Y + ε = 0 Z = z 0 En déduire que C τ P 1 est une conique dont on précisera le genre en fonction de α et β IIB2) Mettre en relation le genre de C τ P 1 et la nature de C τ P 0 Partie III - Sections circulaires d un cône Soient a, b, c des scalaires non nuls, Π 0 et Π 1 les plans d équations respectives x y z x y z = 0 et = 1 a b c a b c Soit τ un triplet non nul et q τ la forme quadratique qui lui est associée ; C τ en désigne le cône isotrope ; q 0 désigne enfin l application carré scalaire canonique dans IR 3 IIIA - Montrer que si abcαβγ,,,,, vérifient αbc βac γab (3) b 2 + c 2 = a 2 + c 2 = a 2 + b 2 Concours Centrale-Supélec /6

4 il existe λ IR * et l L( IR 3, IR) tel que M ( x, y, z) IR 3 x y z =, q τ ( M) λq 0 ( M) = a b c lm ( ) Dans ce cas, montrer que C τ Π 1 est inclus dans une sphère En conclure que C τ Π 1 est un cercle Que représente-t-il pour les points Aa00 (,, ), B( 0, b, 0) et C( 00c,, )? On admettra que les relations (3) constituent une condition nécessaire et suffisante pour que C τ Π 1 soit un cercle IIIB - Montrer que pour tout point M( x, y, z) Π 1, il existe ( x, y, z ) IR 3 tel que x + y + z = 1 et que M soit le barycentre de A, B et C affectés des masses respectives x, y et z Si τ est tel que C τ Π 1 soit un cercle, donner une expression simple de q τ ( x, y, z) à l aide de λ, x, y, z et des carrés des distances BC 2, CA 2, AB 2 Partie IV - Couple foyer directrice d une conique Dans cette partie, on note pour simplifier C 0 le cône d équation yz + zx + xy = 0 Pour la suite, a désigne un réel donné IVA - Soit Ω a le point de coordonnées ( aaa,, ) Montrer qu il existe un réel d a 0 tel que, pour tout M C 0 \{ O}, la distance de Ω a à la droite ( OM) soit égale à d a En déduire la nature de C 0 IVB - On suppose désormais a 0 Soit P a le plan d équation x+ y+ z = a ; comment se déduit-il de P 1? Pour λ IR, on désigne par Φ λ l application qui à M de coordonnées ( x, y, z) dans IR 3 associe ( x+ y+ z a) + λ( yz + zx + xy) Montrer que pour un unique λ 0 IR, Φ λ0 ( M) = 0 est l équation d une sphère Σ a En donner le centre et le rayon et la situer par rapport à IVC - IVC1) Soit Π un plan non parallèle à P a ; montrer qu il existe une droite D incluse dans Π et un scalaire µ tels que : Mx (, y, z) Π, ( x+ y+ z a) = µ ( dm (, D) ) 2 où dm (, D) désigne la distance de M à D Indication : on pourra s intéresser à la relation x+ y+ z a = 0 ; un croquis pourra être utile Concours Centrale-Supélec /6 C 0

5 IVC2) On suppose, de plus, que Π est tangent à Σ a en un point F Pour tout M Π, exprimer Φ λ0 ( M) à l aide de FM IVD - Conclure de ce qui précède que C 0 Π est une conique de foyer F et de directrice D Faire un croquis d ensemble sans nécessairement chercher à représenter le repère canonique Partie V - Centre d une conique Dans cette partie, on considère q Q( IR 3 ), dont on désigne par f la forme polaire VA - Soient E et E deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans IR 3 et soit s L( IR 3 ) la symétrie qui à X = X + X, où ( X, X ) E E, associe sx ( ) = X X Pour ( X, X ) E E, exprimer qx ( + X ) qx ( X ) à l aide de f En déduire que : [ X IR 3, qsx ( ( )) = qx ( )] ( X, X ) E E, f( X, X ) = 0 (4) On suppose q non dégénérée ; on ne demande pas de prouver l existence et l unicité de u automorphisme de IR 3 tel que ( XY, ) IR 3 IR 3, f( X, Y) = < u( X), Y > VB - Si V est un élément non nul de IR 3 3, on pose H = X IR < V, X > = 0 Soit F un sous-espace vectoriel de IR 3 ; montrer que : [ ( XY, ) F H, f( X, Y) = 0] uf ( ) Vect( V) VC - En déduire que l hyperplan H possède un supplémentaire F vérifiant : ( XY, ) F H, f( X, Y) = 0, si et seulement si < u 1 ( V), V > 0 Montrer que F est alors unique et en donner une description On choisit maintenant V = ( 111,, ), de sorte que H = P 0 Soit τ= ( αβγ,, ), avec αβγ 0 ; on choisit q = q τ, on lui associe u comme ci-dessus et on appelle M la matrice de q relativement à la base canonique VD - Déterminer la comatrice de M Montrer que : < u 1 ( V), V > 0 α 2 + β 2 + γ 2 2( αβ + βγ + γα) (5) VE - Si < u 1 ( V), V > 0, on définit F comme ci-dessus, puis s à partir de la décomposition en somme directe IR 3 = F P 0 Décomposer alors un vecteur X IR 3 ainsi que son image sx ( ) sur la somme directe F P 0 En déduire que Concours Centrale-Supélec /6

6 s laisse stable P 1 En déduire que C q P 1 possède un centre de symétrie dont on donnera les coordonnées VF - On suppose au contraire que < u 1 ( V), V > = 0 VF1) Quelle est la nature de C q P 1? On pourra utiliser IIB2 VF2) On définit une base orthonormale B = ( I, J, K) de IR 3 telle que J soit colinéaire à u 1 ( V) et K directement colinéaire à V Étudier soigneusement la forme de la matrice de q relativement à B et retrouver la nature de C q P 1 Que représente la direction de J pour cette conique? FIN Concours Centrale-Supélec /6