1 Exercices de base. Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3 Est-il vrai que si une fonction f, définie sur Ê, vérifie lim. Exercices sur les fonctions

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1 Eercices de base On donne ci-contre la courbe représentative (notée C g ) d une fonction g définie et dérivable sur ] ;[. Sur ce même graphique, on donne les tangentes à C g en ses points d abscisses respectives 0 et (droites en pointillés).. On admet que lim g() =. Interpréter graphiquement ce résultat.. On admet que la droite d équation y = 3 est asymptote à la courbe C. Quelle limite peut-on en déduire? 3. On note g la fonction dérivée de g. Donner, par simple lecture graphique, les valeurs de g(0), g(), g (0) et g (). 3. Une des trois courbes ci-dessous correspond à la représentation graphique de la fonction g. Retrouver cette courbe parmi les trois proposées et justifier soigneusement la réponse donnée. 3 Eercice C g Courbe C 3 3 Courbe C 3 Courbe C 3 Eercice On donne ci-contre le tableau de variations d une fonction k. Donner, dans le repère ci-dessous, une allure possible du graphe de cette fonction. Var. k 0 8 Eercice 3 Est-il vrai que si une fonction f, définie sur Ê, vérifie lim f() = 0 et lim f() =, alors elle est strictement croissante sur Ê?

2 Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est eacte. La retrouver. Eercice Partie A Soient f la fonction dont on donne le tableau de variations cicontre et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. On admet que f est dérivable sur son ensemble de définition et on note f sa fonction dérivée. Var. f 3. La courbe C f admet une asymptote horizontale. Quelle est son équation réduite? y = ; y = ; y = 3 ; y =.. La courbe C f admet une asymptote verticale. Quelle est son équation réduite? = ; = ; = 3 ; =. 3. Quel est le nombre de solutions de l équation f() = 0? ; ; 3 ; on ne peut pas le savoir.. Quelle est la valeur numérique de f ()? ; 0 ; ; on ne peut pas le savoir. Partie B 8 Dans le repère ci-contre, on donne la courbe représentative C g, d une fonction g, définie sur Ê\{}, ainsi qu une droite (AB), où A et B désignent les points de coordonnées respectives (; ) et (;). On admet que : B C g est entièrement située au-dessus de la droite (AB); les droites représentées en pointillés sont asymptotes à la courbe C g. 0 A. La droite (AB) a pour équation réduite : y = ; y = ; y = ; y =.. lim g() = ; ; ;. 3. lim g() = ; ; ;.. lim g() = ; ; ;. Eercice Soient f, g et h trois fonctions définies sur Ê telles que : lim f() = et lim g() = 3 ; h est à valeurs strictement négatives ( Ê h() < 0) et lim h() = 0. Compléter : f(). lim f()+g() = lim g() =..... lim g() h() =.... g(). lim f() g() =.... lim g()+h() =..... lim h() =.... Eercice Déterminer chacune des limites ci-dessous. On justifiera les réponses en citant un résultat du cours et/ou en détaillant les étapes du raisonnement.. lim ; 3 ( 3). lim + ; 3. lim +.

3 Eercice 7 Déterminer chacune des limites ci-dessous. On justifiera les réponses en citant un résultat du cours et/ou en détaillant les étapes du raisonnement. ( ) 9. lim ;. lim ( ; ) 9 3. lim Eercice 8 Soient f la fonction définie sur Ê { } par f() = ++ (+) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j ) du plan.. Déterminer les limites de f au bornes de son ensemble de définition.. Interpréter graphiquement les résultats de la question précédente. 3. f désignant la fonction dérivée de f, établir que : f () = (+) 3. Étudier soigneusement les variations de f puis dresser son tableau de variations complet. Eercice 9 On considère une fonction f définie sur ] ;0[ par f() = a3 +b+c, où a, b et c sont trois réels inconnus, dont la courbe représentative, notée C, dans un repère orthogonal du plan est telle que : a pour asymptote en la droite d d équation y = ; passe par A( ;0) et admet en ce point une tangente t qui coupe l ae des ordonnées en B(0; 7).. Quelle limite de f peut-on déduire du fait que d soit asymptote à C?. En calculant la limite de f en, prouver que a =. 3. En utilisant l appartenance de A à C, établir une première égalité liant b et c.. On note f la fonction dérivée de f. Démontrer que : < 0 f () = b 3c. Déterminer le coefficient directeur de t puis, en utilisant le résultat de la question précédente, obtenir une seconde égalité liant b et c.. Déterminer les valeurs respectives de b et c. 7. On admet que f est définie par f() = C admet-elle d autres asymptotes que d? Eercice 0 f est une fonction définie sur Ê pour laquelle on ne dispose pas de l epression f(). En revanche, on sait que : f est dérivable sur Ê et est égale à sa fonction dérivée ; f est à valeurs strictement positives ( Ê f() > 0); f( ) =, lim f() = 0 et lim f() =.. Justifier que f est strictement croissante sur Ê.. C admet-elle des asymptotes? Si oui, préciser, pour chacune, son type ainsi que son équation réduite. 3. Soit g la fonction définie sur Ê par g() = f(). a) Déterminer g( ), g(0) et la limite de g en. b) Peut-on déterminer, sans plus de renseignements, la limite de g en? Pourquoi? c) On note g la fonction dérivée de g. Établir que : Ê g () = (+)f(). d) Étudier soigneusement les variations de g. e) On admet que g a pour limite en soit, soit 0, soit. Retrouver parmi les trois propositions celle qui est eacte. Justifier. Eercice Dans un repère (O; #» ı, #» j ) du plan, on considère les points A(;), B( 3;) et M (m;0), où m désigne un réel différent de. La droite (AM) coupe l ae (O; #» j ) en N et la droite (BN) coupe l ae (O; #» ı ) en P.. Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie et déplacer le point M sur l ae (O; #» ı ). Que peut-on conjecturer concernant le point P lorsque m tend vers? vers? vers?. a) Eprimer, en fonction de m, l ordonnée du point N. b) En déduire l abscisse f(m) du point P. c) Confirmer ou infirmer, par le calcul, les conjectures émises à la question. 3

4 Eercice Soit f la fonction définie sur l intervalle ];[ par f() =. On nomme C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, et on note f la fonction dérivée de f. On donne ci-dessous une copie d écran montrant un travail réalisé avec le module de calcul formel de Geogebra. Pour chacune des quatre affirmations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse de manière claire et concise. Affirmation : La droite d équation = est asymptote verticale à C. Affirmation : Sur l intervalle ]; [, la courbe C est située strictement au-dessus de la droite d équation y = +. Affirmation 3 : La limite de f() lorsque tend vers est. Affirmation : f admet un minimum sur ];[, et ce minimum est atteint lorsque =. Question bonus : Vérifier, en détaillant les calculs effectués, le résultat donné à la ligne 3 de la copie d écran. Eercices de niveau intermédiaire Eercice 3 Soit g : Rechercher l ensemble de définition de g puis déterminer les limites de g au bornes de celui-ci.. Le graphe de g, noté C dans la suite, admet-il des asymptotes parallèles au aes de coordonnées? Eercice Epliciter une fonction dont le graphe admet eactement deu asymptotes, toutes deu verticales. Eercice Epliciter une fonction dont le graphe admet les droites d équations respectives = et y=3 pour asymptotes. Eercice f et g sont deu fonctions définies sur Ê, à valeurs strictement positives et telles que lim f() = et lim g() = 0. On considère les fonctions h et k définies par h() = f() g() f()+g() et k() = (f()) (g()). f()g(). Justifier que h et k sont définies sur Ê.. h et k admettent-elles une limite en? Eercice 7 f et g sont deu fonctions définies sur ]0;[, telles que f() < g() pour tout réel strictement positif et lim g() =. On considère les fonctions h, k et l définies par h() = f()+g() f() g(), k() = f() g() et l() = f() g(). Étudier, si possible, le comportement de h, k et l en. lim f() =

5 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0;[ par f() = On note C f la courbe représentative se la fonction f dans le plan.. Calculer lim 0 f() et lim f(). La courbe C f admet-elle des asymptotes?. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f () et, vérifier que pour tout réel strictement positif, f () = ( 3)( 3 ) 3. a) Étudier le signe du polynôme g() = 3. b) Étudier le signe de f () sur l intervalle ]0;[.. Donner le tableau de variations de la fonction f.. Eercice 8. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C f, en son point A d abscisse. Eercice 9 On considère les fonctions f et g, respectivement définies par f() = 3 +3 et g() = + +. On note C f et C g leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d unité le centimètre.. Déterminer les ensembles de définition, respectivement notés D f et D g, de ces fonctions.. Étudier les limites de f et g au bornes de leurs ensembles de définition. 3. C f et C g admettent-elles des asymptotes parallèles au aes de coordonnées?. En utilisant la calculatrice graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur les courbes C f et C g au voisinage de l infini?. Epliciter l ensemble E = D f D g puis établir que : E f() g() =. En déduire les points d intersection des courbes C f et C g ainsi que leur position relative sur E. 7. Effectuer les calculs nécessaires à la valisation de la conjecture émise à la question. Pour tout entier k supérieur ou égal à, on note f k la fonction définie par f k () = k.. Préciser D k, l ensemble de définition de f k.. Étudier le comportement de f k au voisinage de. Procéder par disjonction de cas, suivant la parité de k. 3. Déterminer les autres limites de f k au bornes de D k.. Justifier que f k est dérivable sur D k puis établir que sa fonction dérivée, notée f k, est définie par : D k f k() = k ((k ) k) ( ). On se place dans le cas où k est impair. Dresser le tableau de variations complet de f k. Eercice 0. Reprendre la question dans le cas où k est pair. Eercice Dans le plan muni d un repère orthonormé, on considère le pointa, de coordonnées(;), et la courbe C, d équationy =. À tout réel strictement positif, on associe le point M, d abscisse, appartenant à la courbe C, et H le projeté orthogonal de M sur l ae (O; #» ı ).. Que peut-on dire de l aire du triangle AMH lorsque tend vers? Lorsque tend vers 0? On donnera une réponse aussi précise et rigoureuse que possible.. Reprendre la question précédente dans le cas où C désigne la courbe d équation y =. 3. Est-il possible de trouver une courbe pour laquelle l aire du triangle AMH peut être rendue aussi proche que l on souhaite de, à condition de choisir suffisamment grand?

6 3 Eercices de niveau avancé Eercice Montrer que la fonction p : 3 8+ peut être prolongée par continuité en. Eercice 3 On considère les fonctions f et g, définies sur Ê, par f() = sin() + et g() = sin() +.. Montrer que f admet une limite en, et préciser cette limite. ( π ). Déterminer lim g(nπ), puis lim g n n +nπ. 3. Que peut-on en déduire concernant le comportement asymptotique de g en? Eercice f est une fonction définie sur Ê, strictement décroissante sur];0[, strictement croissante sur]0;[, vérifiantf( ) = 0 et qui admet pour limite en, en 0 et 0 en. On pose g = f f, ce qui signifie que g est définie par g() = f(f()).. Dresser le tableau de variations de f.. Préciser l ensemble de définition de g, puis déterminer sa limite en. 3. Déterminer les limites de g au bornes de son ensemble de définition.. Étudier les variations de g sur ]; [.. Procéder à l étude complète des variations de g, puis résumer toutes les informations collectées sur g dans un seul et même tableau. Eercice Discuter, suivant les valeurs de la constante réelle k, de la limite en de f k : + k. Eercice Donner, si possible, une fonction polynomiale p vérifiant : p() p(). lim =0 et lim 3 = ; p(). lim p()=, lim =0 et lim p () p() 3. lim 3 =, lim p() 3 = ; =0 et p(0)=p( )=0. Question supplémentaire : Epliciter une fonction non polynomiale p, vérifiant les contraintes de la question. Soit f une fonction définie sur Ê telle que lim f()=, lim f()=0 et lim f()=. 0 Eercice 7. Déterminer, si elles eistent et si possible, les limites en, 0 et de chacune des fonctions suivantes : a) g : f( ); c) k : f( 3 ); ( b) h : f( ) ; d) l : f. Vérifier que ϕ : ( ) présente les mêmes particularités que f. ).